Matemática - Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Summary
TLDREl guion trata sobre las funciones inyectivas y suryectivas en álgebra. Se explica que una función inyectiva asigna a cada elemento del conjunto de llegada un único elemento del dominio, mientras que una función suryectiva asegura que cada elemento del co-dominio tenga una pre-imagen. Se ilustran con ejemplos cómo determinar si una función es inyectiva, suryectiva o biyectiva (tanto inyectiva como suryectiva), y se señala que las funciones biyectivas son esenciales en aplicaciones matemáticas.
Takeaways
- 😀 Una función es como una máquina que relaciona numéricamente elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.
- 📚 La notación f(1) = 3 significa que si tomamos el 1, la función le asocia el 3.
- 🔍 El conjunto de salida de una función se llama dominio y el conjunto de llegada es el codominio.
- 💡 Una función inyectiva (1-1) es aquella donde cada elemento del recorrido está asociado a un solo elemento del dominio.
- 🔑 En la función inyectiva, cada imagen tiene una sola preimagen.
- 🔄 La función no es inyectiva si algún elemento del dominio tiene más de una preimagen.
- 🌐 Una función sobreyectiva (onto) es aquella donde cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen.
- 🔄 Una función es sobreyectiva si el codominio está completamente cubierto por las imágenes.
- 🔒 Una función biyectiva (biuntiva) es aquella que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
- 📈 La condición de ser biyectiva significa que cada elemento del dominio tiene una única imagen y cada elemento del codominio tiene una única preimagen.
Q & A
¿Qué es una función en matemáticas?
-Una función es como una máquina que relaciona numéricamente elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.
¿Cómo se representa la relación entre un elemento del dominio y el codominio en una función?
-Se representa como f(x) = y, donde 'f' es la función, 'x' es el elemento del dominio y 'y' es el elemento asociado en el codominio.
¿Qué significa que un elemento 'y' sea la imagen de 'x' en una función?
-Significa que si tomamos el elemento 'x', la función 'f' le asocia el elemento 'y'.
¿Qué es el dominio de una función?
-El dominio es el conjunto de salida de la función, donde están las preimágenes.
¿Qué es el codominio de una función?
-El codominio es el conjunto de llegada de la función, que es el conjunto completo pero no necesariamente está completamente cubierto por la función.
¿Qué es una función inyectiva?
-Una función inyectiva es aquella en la cual cada elemento del recorrido (codoominio) está asociado a un solo elemento del dominio.
¿Cómo se puede verificar si una función es inyectiva?
-Se verifica si cada elemento del conjunto de imágenes tiene una única preimagen en el dominio.
¿Qué es una función sobreyectiva?
-Una función sobreyectiva es aquella en la cual cada elemento del codominio tiene asociada alguna preimagen en el dominio.
¿Cómo se puede verificar si una función es sobreyectiva?
-Se verifica si todos los elementos del codominio tienen asociada una preimagen en el dominio.
¿Qué es una función biyectiva?
-Una función biyectiva es aquella que es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
¿Cómo se puede verificar si una función es biyectiva?
-Se verifica si cada elemento del codominio tiene una única preimagen y si todos los elementos del codominio tienen asociada alguna preimagen.
Outlines
📐 Funciones y sus Propiedades
Este párrafo explica las nociones básicas de las funciones matemáticas. Se describe una función como una 'máquina' que relaciona numéricamente elementos de un conjunto con elementos de otro. Se ejemplifica con una función que asocia números enteros de un conjunto a otro, donde cada elemento del conjunto de entrada (dominio) tiene una 'imagen' única en el conjunto de salida (codominio). Además, se introduce la notación f(x) para representar la imagen de un elemento x bajo la función f. Se definen las funciones inyectivas (cada elemento del codominio está asociado a un único elemento del dominio) y se ejemplifican con dos casos: uno donde la función es inyectiva y otro donde no lo es porque dos elementos del dominio tienen la misma imagen. Finalmente, se introduce la noción de función sobreyectiva (cada elemento del dominio tiene una o más imágenes en el codominio) y se ejemplifica con una función que es sobreyectiva y otra que no lo es porque hay elementos en el codominio que no están asociados a ningún elemento del dominio.
🔄 Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
Este segundo párrafo profundiza en las propiedades de las funciones inyectivas y sobreyectivas. Se explica que una función es inyectiva si cada elemento del codominio está asociado a un único elemento del dominio, y se ejemplifica con una función que no es inyectiva porque dos elementos del dominio tienen la misma imagen. Se discute la condición de sobreyectividad, indicando que una función es sobreyectiva si cada elemento del dominio tiene al menos una imagen en el codominio, y se ejemplifica con una función que es sobreyectiva y otra que no lo es porque hay elementos en el codominio sin preimagen en el dominio. Además, se aclara que una función es biyectiva (directiva) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, y se ejemplifica con una función que es directiva y otra que no lo es debido a que no es sobreyectiva.
Mindmap
Keywords
💡Función
💡Dominio
💡Codominio
💡Inyectiva
💡Preimagen
💡Imagen
💡Recorrido
💡Sobreyectiva
💡Biyectiva
💡Directiva
Highlights
Definición de una función como una relación numérica entre elementos de dos conjuntos.
Explicación de la notación f(1) = 3 y su significado.
Introducción al concepto de dominio y codominio en una función.
Definición de recorrido como los elementos cubiertos del conjunto de llegada por la función.
Introducción a la función inyectiva y su definición.
Ejemplo de una función inyectiva y su análisis.
Explicación de que cada elemento del recorrido debe tener una única preimagen para que una función sea inyectiva.
Ejemplo de una función que no es inyectiva debido a que una imagen tiene múltiples preimágenes.
Definición de función sobreyectiva y su relación con el conjunto de llegada.
Ejemplo de una función sobreyectiva y su análisis.
Condición de que todos los elementos del codominio deben tener una preimagen para que una función sea sobreyectiva.
Ejemplo de una función que no es sobreyectiva debido a la existencia de elementos sin preimagen.
Definición de función biyectiva como aquella que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Ejemplo de una función biyectiva y su análisis.
Explicación de que una función biyectiva cumple con que cada elemento del dominio y del codominio tenga una única correspondencia.
Ejemplo de una función que no es biyectiva y su justificación.
Importancia de las funciones biyectivas en la relación uno a uno y onto entre conjuntos.
Transcripts
matemática eje temático álgebra de
funciones a continuación veremos
funciones inyectadas sobre directivas y
directivas
recordemos primero que una función es
como una máquina que relaciona
numéricamente elementos de un conjunto
con elementos de otro conjunto
por ejemplo en la pantalla tenemos la
función que alumno le asocia 3 a 2 le
asocia 4 a 3 las socias 5 a 4 las socias
6 a 5 las socias 7
lo que está haciendo esta función es
tomar elementos de un conjunto x y
asociar los elementos de un conjunto y
diremos
como notación que f de uno es igual a
tres qué significa eso que si tomamos el
uno esta función le asocia el 3 entonces
3 decimos que es la imagen de uno y por
lo tanto decimos que uno es la pre
imagen de 3
el conjunto de salida de esta función se
llama dominio donde están las pre
imágenes y el conjunto de llegada de
esta función o de toda función es el co
dominio y es el conjunto completo pero
no necesariamente está cubierto completo
si tomamos solamente los elementos que
están cubiertos de ese conjunto por la
función tenemos que ese se llama el
recorrido que son todos los elementos
que tienen pre imagen
veamos las funciones inyectadas una
función inyecta también conocida como 11
es una función en donde cada elemento
del recorrido es decir cada elemento de
las imágenes está asociado a un solo
elemento del dominio otra imagen que
queremos decir pongamos un ejemplo
tenemos la función que va de x en y que
1 la asociada a doble asociado a 3 la
asociación y a 5 la sociedad de si nos
fijamos todos los elementos del conjunto
tienen asociado un solo elemento del
conjunto x o sea cada imagen tiene una
sola pre imagen si pasa eso la función
es inyectaba veamos otro ejemplo de
función tenemos esta función que va de x
semi donde también uno asocia a a2
asociable a 3 asociación 5 a social de
pero tenemos además en el conjunto
condominio los elementos e y f que no
tienen asociado a una breve imagen qué
pasa con esta función bueno esta función
también es inyectaba porque porque los
elementos que tienen asociada una breve
imagen tienen sólo una obra imagen y ese
es el único requisito para ser investido
veamos ahora la siguiente función donde
lo único que cambia es que se está
asociado al 3 como pre imagen y también
asociada al 5 como pre imagen es decir
la imagen de 3s y la imagen de 5 s será
inyectó a esta función
la respuesta es que no es inyectaba
porque porque los elementos que tienen
asociados una pre imagen en el conjunto
de llegada en el conjunto y no tienen
solo una pre imagen el c no cumple esa
condición y por lo tanto esta función no
es sin decir
veamos las funciones sobre si activas o
también conocidas como directivas este
tipo de funciones sobre directivas es
una función en donde cada elemento del
condominio tiene asociado algún elemento
del dominio que queremos decir veamos un
ejemplo tenemos la función que partimos
como ejemplo alumno la asociada al 2 b
al 13 y el 5 donde será efectiva miremos
el condominio es decir miremos el
conjunto y nos sobran elementos por lo
tanto todos los elementos tienen
asociada una breve imagen y por lo tanto
esta función es sobre directiva qué pasa
ahora con la siguiente función que a uno
le asociada a dos la social y a 13 a 5
le asocia c
si miramos el conjunto de llegada o sea
el condominio está cubierto completo no
sobran elementos y por lo tanto esta
función si es sobre electiva en cambio
la función que a uno la sociedad a dos
veía 13 a 56 igual que la otra pero que
además en el conjunto de llegada tiene
de e y f que no están cubiertos no
tienen pre imagen entonces esta función
no es sobre estrías
funciones directivas son aquellas
funciones que son inyectadas y efectivas
a la vez veamos un ejemplo tenemos la
función de x en ikea 1 la asociada a 2 b
a 365 d
si nos fijamos es inyectaba porque todas
las pre imágenes se asocian a de
imágenes distintas
es 11 además es sobre directiva o
directiva que es lo mismo porque todas
las imágenes en el conjunto y tienen
asociada una pre imagen en el conjunto x
por lo tanto esta función es directiva
no es directiva esta función por ejemplo
por qué porque las pre imágenes 3 y 5
tienen asociada una sola imagen que se
como no es inyectaba no es directiva ni
esta función porque los elementos de f
no tienen asociada una breve imagen en x
por lo tanto como no es sobre directiva
la función no es directiva
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