Derivada de u a la n (derivada de la potencia de una función)

Summary

Este video enseña cómo derivar funciones algebraicas utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\). Se explica paso a paso el proceso de derivación para funciones como \(3x^2 - 2^3\), \(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{4}{3}}\) y \(\frac{4}{x^2 - 2}\), entre otras. Se destacan las reglas de derivación para potencias y productos, así como la manipulación de exponentes fraccionarios para facilitar el proceso.

Takeaways

• 📘 La derivada de una función algebraica se calcula utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, donde la derivada de u^n respecto a x es n · u^{n-1} · u'.
• 📗 Para derivar una constante elevada a una potencia, se multiplica la constante por el exponente y se reduce el exponente en 1.
• 📙 La derivada de una constante es cero, ya que no varía con respecto a la variable independiente.
• 📒 Al derivar una potencia fraccionaria, se convierte en una potencia entera y se aplica la fórmula de la derivada de una potencia.
• 📕 La derivada de una fracción se calcula multiplicando el numerador por el denominador elevado a la potencia correspondiente y descomponiendo el exponente.
• 📔 Al derivar una función que contiene un binomio elevado a un exponente, primero se desarrolla el binomio y luego se multiplica por el exponente correspondiente.
• 📓 La derivada de una raíz cuadrada se obtiene pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.
• 📔 Al derivar una función con un exponente negativo, se pasa el exponente al denominador y se cambia su signo.
• 📒 La simplificación de una expresión algebraica después de derivar puede incluir la cancelación de factores comunes.
• 📐 La derivada de una función que contiene una raíz cúbica se calcula pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.

Q & A

¿Cuál es la fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n?

La fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n es f'(x) = n*a*x^(n-1).

¿Cómo se deriva la función f(x) = 3x^2 - 2^3?

La derivada de f(x) = 3x^2 - 2^3 es f'(x) = 6x.

¿Qué es la derivada de una constante y por qué es cero?

La derivada de una constante es cero porque la constante no cambia con respecto a la variable, por lo que su tasa de cambio (derivada) es nula.

¿Cuál es la derivada de x^3 con respecto a x?

La derivada de x^3 con respecto a x es 3x^2.

¿Cómo se calcula la derivada de una potencia fraccionaria de una variable?

Para calcular la derivada de una potencia fraccionaria, se utiliza la fórmula (a^(m/n))' = (m/n)*a^(m/n - 1)*lna.

¿Qué significa el exponente fraccionario en una función y cómo se maneja al derivar?

El exponente fraccionario indica que la función está elevada a una potencia que no es un entero. Al derivar, se pasa al numerador y se cambia el signo del exponente fraccionario.

¿Cómo se derivan funciones que tienen un binomio elevado a un exponente?

Para derivar funciones con un binomio elevado a un exponente, se aplica la fórmula (uv^n)' = n*u*v^(n-1)*v'.

¿Qué es la fórmula para derivar una función que está en la forma de una fracción?

La fórmula para derivar una función en forma de fracción es (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.

¿Cómo se simplifica la derivada de una función que contiene un término con exponente negativo?

La derivada de un término con exponente negativo se simplifica pasando el término al denominador y cambiando el signo del exponente a positivo.

¿Cuál es la derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2)?

La derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2) es f'(x) = -8/(x^2 - 2)^3.

¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene una raíz cúbica?

Para derivar una función que contiene una raíz cúbica, se pasa el exponente fraccionario a la raíz correspondiente, y se aplica la fórmula de derivación para potencias fraccionarias.