Was ist eine Differentialgleichung? - Einführung
Summary
TLDRDieses Video erklärt Differentialgleichungen, die häufig in verschiedenen Bereichen wie Wissenschaft, Wirtschaft und Technik verwendet werden. Es behandelt das Wachstum als Beispiel, zeigt die Beziehung zwischen der Veränderungsrate und dem aktuellen Bestand und erklärt, wie man aus einer Differentialgleichung die Funktion ableiten kann. Es unterscheidet zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichungen und stellt die Ordnung von Differentialgleichungen in Bezug auf ihre höchste Ableitung dar. Zusätzlich wird die praktische Anwendung und die Notwendigkeit dieser Mathematik in verschiedenen Lebensbereichen diskutiert.
Takeaways
- 🧮 Die Differentialgleichungen sind eine wichtige Mathematik-Thematik, die häufig in der Universitätslehre behandelt wird.
- 🐾 Sie sind praktisch, um reale Situationen wie das Wachstum von Populationen oder die Verbreitung von Stoffen zu modellieren.
- 📈 Bei exponentiellem Wachstum hängt die Zunahme der Menge von der aktuellen Menge ab, was als Funktion der Zeit modelliert wird.
- 🔗 Die Differentialgleichung stellt die Beziehung zwischen der Funktion und ihrer Ableitung nach einer Variablen dar.
- 🌱 Das Wachstum ist ein klassisches Beispiel für eine Differentialgleichung, bei der die Ableitung von der Funktionswert selbst abhängt.
- 📑 Es gibt zwei Haupttypen von Differentialgleichungen: Explizite und Implizite, wobei explizite Gleichungen nach der höchsten Ableitung aufgelöst sind.
- 🔢 Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste Ableitung bestimmt, die in der Gleichung vorkommt.
- 🔄 Differentialgleichungen sind in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Biologie, Chemie und Informatik von großer Bedeutung.
- 🛒 Trotz ihrer theoretischen Bedeutung sind Differentialgleichungen auch für alltägliche Anwendungen relevant, wenngleich sie im Supermarkt oder im normalen Alltag nicht offensichtlich sind.
- 🎓 Sie sind ein grundlegendes Konzept für Studierende, besonders in mathematischen und naturwissenschaftlichen Studiengängen.
Q & A
Was versteht man unter einer Differentialgleichung?
-Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl eine Funktion als auch eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Sie wird verwendet, um Veränderungen zu modellieren, wie etwa bei Wachstumsprozessen.
Wie unterscheidet sich eine gewöhnliche von einer partiellen Differentialgleichung?
-Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) haben nur eine Variable und deren Ableitungen. Partielle Differentialgleichungen (PDE) hingegen beinhalten mehrere Variablen und deren partielle Ableitungen.
Was ist eine explizite Differentialgleichung?
-Eine explizite Differentialgleichung liegt vor, wenn die höchste Ableitung der Funktion aufgelöst ist und auf der rechten Seite keine höheren Ableitungen mehr vorkommen.
Was ist eine implizite Differentialgleichung?
-Bei einer impliziten Differentialgleichung sind die Funktion und ihre Ableitungen in einer Gleichung enthalten, die immer null ergibt. Alle Terme stehen auf einer Seite der Gleichung.
Welche Bedeutung hat die Ordnung einer Differentialgleichung?
-Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste vorkommende Ableitung bestimmt. Zum Beispiel handelt es sich um eine Gleichung dritter Ordnung, wenn die dritte Ableitung der Funktion enthalten ist.
Wie hängt das Wachstum einer Menge von der bestehenden Menge ab?
-Beim exponentiellen Wachstum hängt die Änderung der Menge von der bereits vorhandenen Menge ab. Je größer der Bestand, desto schneller wächst er.
Wozu benötigt man Differentialgleichungen in der Praxis?
-Differentialgleichungen werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Biologie und Chemie genutzt, um Prozesse wie Wachstum, Ausbreitung von Stoffen oder ökonomische Modelle zu beschreiben.
Kann man aus einer Differentialgleichung sofort die zugrunde liegende Funktion bestimmen?
-Nein, aus einer Differentialgleichung lässt sich nicht direkt die Funktion ablesen. Sie beschreibt nur, wie die Ableitung von der Funktion abhängt. Die Funktion selbst muss durch das Lösen der Gleichung ermittelt werden.
Welche typischen Probleme löst man mit gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung?
-Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung werden häufig zur Modellierung von Prozessen wie Wachstum, Zerfall oder Bewegung verwendet.
Was ist der Unterschied zwischen expliziten und impliziten Formen einer Differentialgleichung am Beispiel des Wachstumsmodells?
-In der expliziten Form wird die Ableitung der Funktion nach der Zeit aufgelöst, während in der impliziten Form alle Terme, inklusive der Ableitung und der Funktion selbst, auf eine Seite der Gleichung gebracht werden und gleich null gesetzt werden.
Outlines
📚 Differentialgleichungen - Grundlagen und Anwendung
Dieser Absatz stellt Differentialgleichungen als wichtiges Thema in der Universitätsbildung dar, insbesondere in Mathematik. Es wird erklärt, dass Differentialgleichungen häufig verwendet werden, um reale Situationen wie Wachstum und Veränderungen in verschiedenen Bereichen wie Biologie, Wirtschaft und Physik zu modellieren. Der Schwerpunkt liegt auf der Beschreibung des Wachstums und der Abhängigkeit des Wachstums von der Größe des Bestandes, was durch die Ableitung einer Funktion verdeutlicht wird. Es wird auch erwähnt, dass Differentialgleichungen sowohl in expliziter als auch in impliziter Form vorkommen können und dass sie in der Regel eine oder mehrere Ableitungen einer Funktion enthalten.
🔍 Anwendung von Differentialgleichungen im Alltag und in der Wissenschaft
In diesem Absatz wird die praktische Relevanz von Differentialgleichungen hervorgehoben, indem auf ihre Anwendung in verschiedenen Disziplinen wie Wirtschaft, Physik, Biologie, Chemie und Informatik eingegangen wird. Es wird betont, dass Differentialgleichungen nicht nur in akademischen Kontexten, sondern auch im Alltag eine Rolle spielen, obwohl sie möglicherweise nicht immer offensichtlich sind. Der Absatz schließt mit einer Quiz-Frage, die die Zuhörer auffordert, die Ordnung einer gegebenen Differentialgleichung zu bestimmen, und verspricht, in einem zukünftigen Video, wie man spezielle Fälle von gewöhnlichen Differentialgleichungen löst, zu zeigen.
Mindmap
Keywords
💡Differentialgleichungen
💡Wachstum
💡Ableitung
💡Exponentielles Wachstum
💡Logistisches Wachstum
💡Gewöhnliche Differentialgleichungen
💡Explizite Differentialgleichungen
💡Implizite Differentialgleichungen
💡Ordnung der Differentialgleichung
💡Lösung von Differentialgleichungen
Highlights
Differentialgleichungen werden häufig in der Uni studiert und sind in vielen Bereichen praktisch.
Sie sind essentiell für das Verständnis von Wachstum, wie zum Beispiel exponentielles oder logistisches Wachstum.
Differentialgleichungen beschreiben die Veränderung einer Funktion in Abhängigkeit von einer Variablen.
Das Wachstum hängt vom Bestand ab, was bedeutet, dass die zukünftige Veränderung von der aktuellen Menge abhängt.
Differentialgleichungen können sowohl explizit als auch implizit sein, was ihre Form und Auflösung betrifft.
Explizite Differentialgleichungen sind solche, bei denen die höchste Ableitung allein auf einer Seite der Gleichung steht.
Implizite Differentialgleichungen sind solche, bei denen die Ableitungen und die Variablen in einer übergeordneten Funktion enthalten sind.
Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste auftretende Ableitung bestimmt.
Differentialgleichungen sind in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Biologie, Chemie und Informatik von Bedeutung.
Sie sind nützlich für das Modellieren von Phänomenen wie Wachstum, Ausbreitung von Stoffen und vieles mehr.
Aus einer Differentialgleichung kann man die Funktion ableiten, die die Beziehung zwischen Wachstum und Bestand beschreibt.
Die praktische Anwendung von Differentialgleichungen ist zwar im Alltag nicht offensichtlich, aber für akademische Zwecke unerlässlich.
In der Vorlesung wird gezeigt, wie man aus einer Differentialgleichung die richtige Funktion ableiten kann.
Es wird ein Beispiel gegeben, wie man eine Differentialgleichung löst, um das Wachstum zu verstehen.
Die Vorlesung betont die Bedeutung von Differentialgleichungen für das Verständnis von Veränderungen in verschiedenen Systemen.
Es wird auf die Notwendigkeit hingewiesen, Differentialgleichungen in der Schule zu lernen, um später in der Uni besser zu verstehen.
Die Vorlesung gibt einen Überblick über die grundlegenden Begriffe von Differentialgleichungen und ihre Anwendungen.
Es wird eine Quiz-Frage gestellt, um die Zuhörer*innen über die Ordnung von Differentialgleichungen zu befragen.
Transcripts
differenzial differenzial da wimmelt
doch was gab es dann auch gleich damit
wird stimmt den differenzial patient
also die steigung von der funktion einer
stelle aber was soll jetzt eine
differentialgleichungen sein
differentialgleichungen braucht man
ziemlich oft in der uni matte werden die
dinger andauernd durchgekaut die teile
sind aber auch so echt praktisch
meistens wenn man weiß was es ist und
wie man sie löst aus der schule kennt
ihr vielleicht noch ganz dunkel den
ganzen kram zu wachstum exponentiell
beschränkt logistisch und blei wenn ich
hier haben wir dazu mal was gemacht beim
wachstum war es immer so da hat man ja
eine menge an irgendwas oder generell
einfach eine funktion von einer
variablen irgendwelche tiere in einem
see oder temperaturen irgendwo oder weiß
gott was noch für nehmen einfach mal ne
menge karnickel die den ganzen tag rum
knattern also sich vermehren man hat
sich dann auch angeguckt wie sich die
menge verändert also zb wie viele tiere
pro tag dazu kommen beim wachstum haben
wir immer gesagt wie viel neu dazu kommt
hängt davon ab wie viel schon da ist er
strich von tee ist meine änderung der
menge und f&e halt die menge die schon
da ist also wenn ich vier tiere im
gehege habt dann kriegen die natürlich
weniger kinder als wenn ich 40
fortpflanzungsfähige etwas da rumlungern
hat ihr wachstum hängt also vom bestand
selbst ab das ist wichtig merkt euch das
wenn ihr den größeren bestand dann asn
habt dann wächst dieser bestand auch
schneller dieses wachstum ist ja gerade
die änderung der funktion also den gong
die ableitung nach der variablen
manchmal gibt's da noch so gepresst mit
einer schranke oder blei aber eins gilt
bei wachstum immer wenn man eine
funktion von maria genannt dann hängt
die ableitung von der funktion nach der
variablen von dem funktions wert selbst
ab das ganze ist das klassische beispiel
für ihr habt euch gedacht oder
vielleicht noch gewusst
differentialgleichungen natürlich gibt
es noch viel viel mehr
differentialgleichungen
allgemein hat man so eine
differentialgleichungen immer wenn in
der gleichung eine funktion und eine
oder mehrere ableitungen gleichzeitig
vorkommen es ist dabei auch egal wie
viele ableitungen da drin sind unser
wachstums seien es auch einen
differentialgleichungen warum naja da
stecken ja zum einen die ableitungen
drin hier vorne das sprichwort und die
funktion selbst steckt auch drin hier
hinten f&e
achtung beim wachstum ist es so man weiß
allein aus der differentialgleichungen
noch lang nicht wie viele tiere gibt es
denn zu einem zeitpunkt t man weiß nur
wie das wachstum und der bestand
zusammenhängen also aus der
differentialgleichungen könnt ihr nicht
direkt die funktion in abhängigkeit von
der variablen ablesen ihr könnt mir
nicht so einfach sagen wie die funktion
f&e hier wirklich aussieht ihr wisst nur
okay die ableitung hängt so von der
funktion ab übrigens noch ein
nebeneffekt wir sagen unsere definitions
menge besteht heute nur aus einer
variablen theoretisch kann man da auch
mehrere verknüpfte mengen reinpacken
aber so einen tag wollen wir heute nicht
also nix mit vektoren oder sonstige
mängel relevanz in diesem video einfach
nur eine unbekannte zahl solche
einfacheren teile heißen dann
gewöhnliche differentialgleichungen gibt
von den gewöhnlichen gleichungen zwei
typen zum einen die expliziten explizit
heißt so eine immer wenn sie nach der
höchsten ableitung aufgelöste es dann
ist die höchste ableitung der funktion
von allen ableitungen drunter und der
variable selbst wenn zum beispiel ganz
vorne also eine fünfte ableitung steht
dann steht nach dem ist gleich keine
höhere ableitung mehr also maximal noch
die vierte ableitung übrigens
ableitungen werden oft mit so hoch
zahlen in klammern geschrieben weil man
ja keine 1000 striche machen kann f und
in klammern eine 5 oben ist also die
fünfte ableitung dann gibt es noch
implizite differentialgleichungen
implizit heißt eine
differentialgleichungen wenn es so eine
art überfunktion gibt die dann alle
ableitungen und die variable auch als
variablen hat und die immer null gibt
klingt kompliziert ist aber einfach auf
der einen seite steht halt ne 0 beispiel
das ist die explizite form unserer
wachstums differentialgleichungen wenn
man jetzt einfach alles auf eine seite
bringt dann haben wir die implizite form
merkt euch einfach alles auf einer seite
gleich null dann ist ganz easy
soviel zu implizit und explizit damit
ihr bescheid willst wenn euer braucht
die wörter durch den vorlesungssaal wird
falls ihr dann manchmal sein wir gucken
uns erst mal nur die expliziten
gleichungen an einen begriff haben wir
noch die ordnung keine panik ist ganz
easy die höchste ableitung entscheidet
immer welche ordnung so ein
differentialgleichungen hat wenn ihr
eine dritte ableitung mit dabei habt
dritter ordnung eine fünfte ableitung
logo fünfte ordnung also quiz frage ob
es gecheckt hat welche ordnung hat die
differentialgleichungen abstrich von t
gleich zwölf mal fch
210 oder
d700 3408 50,89 drücken schreibt die
lösung in die kommentare
geil grundbegriffe für die vorlesungen
sind also abgehakt und jetzt noch die
typische frage antwort braucht man das
im alltag
ist nämlich nein zu beantworten
gar nicht mehr wahr praktisch überall in
der wirtschaft
als weil die wirtschaft modelle dort
haben manchmal solche dollar als
grundlage in der physik auch da ist
gefüllt praktisch andauernd eine
differentialgleichungen und bio klar als
modell dafür wie sich irgendetwas
vermehrt aber auch wie sich stoffe
irgendwo ausbreiten genauso in chemie
informatik auch und und und klar im
supermarkt oder so im normalen alltag
bringt natürlich nichts aber für uni
matte verhältnisse sind
differentialgleichungen schon mega
allgemein nützlich kommen wir noch mal
zurück zum problem von vorher schön und
gut wir haben jetzt eine
differentialgleichungen aber das bringt
uns doch gar nix und wenn ich wissen wie
dann die funktion aussieht die antwort
ist doch wissen wir man kann nämlich aus
der differentialgleichungen die richtige
funktion rauskriegen und oft auch gar
nicht so schwer wir zeigen euch im
nächsten video wie da lösen wir
sonderfälle von gewöhnlichen
differentialgleichungen erster ordnung
einfach klicken
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