Group Theory | Cosets | Cosets Examples | Abstract Algebra

Summary

The video transcript discusses group theory concepts with engineering students, focusing on competitive exam preparation. The instructor plans to upload daily videos starting in March, covering topics like group elements, left and right cosets, and group isomorphisms. Examples are provided to explain operations like addition and multiplication within groups, and the importance of understanding group properties for exam success is emphasized. The instructor also invites feedback and encourages students to subscribe to the channel for more educational content.

Takeaways

• 🎓 The speaker is addressing engineering students, particularly those pursuing BSc and MSc degrees, focusing on competitive exams.
• 📚 There's a plan to upload daily educational videos starting from March, aiming to provide a video every day for students' benefit.
• 🔍 The speaker discusses the concept of group theory, specifically the elements and operations within a group, using examples to clarify.
• 📈 The script includes examples to demonstrate how to find the right cosets and the product of group elements, emphasizing the importance of understanding group operations.
• 🧩 The concept of left and right cosets is explained, along with how they relate to the group's elements and the implications of multiplication and addition operations.
• 🔢 The script delves into the idea of group isomorphism, explaining how certain group elements and operations can map onto each other in a predictable way.
• 📝 There's an emphasis on the importance of understanding the definitions and proofs in group theory, with examples provided to illustrate these concepts.
• 🤔 The speaker encourages students to think critically about the properties of group elements, such as identity elements and inverses, and how they behave under different operations.
• 💬 There's a call to action for students to engage with the content, providing feedback, and subscribing to the channel for more educational content.
• 🔗 The speaker directs students to visit a new channel for updated content and encourages them to subscribe and like the videos for more frequent uploads.

Q & A

What is the main topic of the video script?

The main topic of the video script is Group Theory, specifically focusing on concepts such as group elements, subgroups, and operations within groups.

What does the acronym 'BSC' refer to in the script?

In the script, 'BSC' refers to Bachelor of Science in Engineering, indicating the educational level of the students the content is targeted towards.

What does the speaker plan to do in March?

The speaker plans to start uploading daily videos in March, focusing on educational content related to competitive exams and engineering mathematics.

What is the significance of 'Left Coset' and 'Right Coset' mentioned in the script?

In the context of group theory, 'Left Coset' and 'Right Coset' refer to the sets of elements obtained by left and right multiplication of a group element with a subgroup, respectively.

What is the identity element in a group, as discussed in the script?

The identity element in a group is the element that, when combined with any other element through the group operation, leaves that element unchanged.

What is the concept of 'Group Abnormality' mentioned in the script?

The term 'Group Abnormality' likely refers to a situation where the left and right cosets of a group do not match, which is not typical for groups with group abelian properties.

What does the speaker mean by 'Group Isomorphism' in the script?

In the script, 'Group Isomorphism' refers to a bijective function between two groups that preserves the group structure, meaning the operation and identity elements are mapped accordingly.

What is the purpose of providing examples of 'Find the Cosets' in the script?

The purpose of providing examples of 'Find the Cosets' is to illustrate how to determine the distinct subsets of a group when combined with a subgroup, which is a fundamental operation in group theory.

Why does the speaker emphasize the importance of operations in groups?

The speaker emphasizes the importance of operations in groups because the group operation is what defines the structure and properties of the group, and it is crucial for understanding and applying group theory concepts.

What is the concept of 'Group Elements' discussed in the script?

The concept of 'Group Elements' refers to the individual components of a group that can be combined using the group's operation to produce another element within the same group.

How does the speaker suggest students engage with the content after watching the video?

The speaker suggests that students should visit the provided group and explore old videos for additional examples and theories, as well as provide feedback in the comment section to enhance their understanding.

Outlines

00:00

🎓 Introduction to Group Theory for Engineering Students

The speaker, an engineering student, introduces the topic of group theory, specifically addressing students pursuing B.Sc. and M.Sc. in engineering. They discuss the importance of competitive exams and share their intention to upload daily educational videos starting from March. The speaker also invites students to explore their old video content and playlists, which cover a range of topics including best theorems, examples, and concepts related to group theory, such as group elements, subgroups, and operations like multiplication and addition within the group context. The paragraph sets the stage for an in-depth exploration of group theory in subsequent videos.

05:02

🔢 Exploring Group Operations and Element Properties

This paragraph delves into the operations and properties of group elements. The speaker explains the concept of group elements and their multiplication, using terms like 'left coset' and 'right coset' to describe the multiplication of elements from different sides. They also discuss the identity element and its role in group operations, emphasizing that the left and right costs (or identities) of an element must be the identity of the group. The speaker uses examples to illustrate how to calculate the right cosets of an element and how addition operations within a group are defined. The explanation is technical and requires a good understanding of group theory concepts.

10:03

📚 Advanced Group Theory Concepts and Examples

The speaker continues with more advanced concepts in group theory, focusing on the behavior of group elements under different operations. They discuss the addition of elements within a group and how the outcome is determined by the group's properties. The paragraph includes examples of how to calculate the result of adding elements like 'h+0', 'h+1', and so on, within a group. The speaker also touches upon the concept of inverse elements and how they interact with other elements in the group. The discussion is aimed at providing a deeper understanding of group operations and their implications in algebraic structures.

15:04

🧩 Group Isomorphisms and Theoretical Proofs

In this paragraph, the speaker introduces the concept of group isomorphisms and the importance of proving certain properties of groups. They discuss how to determine if two groups are isomorphic by comparing their structures and element orders. The speaker also talks about proving that the order of elements in one group is equal to the order of corresponding elements in another group. They use specific examples, such as the group of integers under addition, to illustrate these concepts. The explanation includes defining mappings between groups and proving that these mappings preserve the group structure, which is a key aspect of group theory.

20:05

📈 Conclusion and Invitation to Learn More

The speaker concludes the video script by summarizing the key concepts of group theory discussed and their relevance to engineering students. They invite students to provide feedback on the content and its effectiveness in helping them understand group theory. The speaker also promotes their YouTube channel, encouraging students to subscribe and like the videos for more educational content on group theory and related mathematical topics. The paragraph ends with a call to action for students to continue learning and engaging with the material presented.

Keywords

💡Group Theory

Group theory is a mathematical structure that deals with symmetry. In the context of the video, it appears to be the central theme, with the instructor discussing various concepts related to groups, such as group elements, group operations, and subgroups. The video seems to be educational content for students learning abstract algebra, particularly focusing on group theory.

💡Subgroup

A subgroup is a subset of a group that is also a group under the operation of the larger group. The script mentions 'subgroups' in the context of discussing group theory, indicating that the instructor is explaining the conditions under which a subset of a group can be considered a subgroup and its implications in the structure of the group.

💡Element

In group theory, an element refers to a member of a set that forms a group under a specific operation. The script discusses 'elements' in relation to groups, suggesting that the video is explaining the role of individual members within the algebraic structure of a group.

💡Operation

An operation in group theory is a process that takes two elements of a group and combines them to form a third element that also belongs to the group. The script mentions 'operations' multiple times, emphasizing the importance of the group operation in defining the properties and behavior of the group.

💡Identity Element

The identity element is a special element in a group such that when combined with any other element through the group's operation, it leaves that element unchanged. The script refers to 'identity elements' in the context of explaining how the operation of a group interacts with its elements.

💡Inverse Element

Every element in a group has an inverse, which when combined with the element through the group's operation, results in the identity element. The script discusses 'inverses' in the context of group theory, indicating that the video is explaining how to find or understand the inverse of a group element and its significance in the group structure.

💡Cayley's Theorem

Cayley's theorem states that every group is isomorphic to a group of permutations of its elements. The script mentions 'Cayley', suggesting that the video might be discussing this theorem, which is a fundamental result in group theory that connects groups with permutations.

💡Abelian Group

An abelian group (or commutative group) is a group in which the result of applying the group operation to any two group elements does not depend on their order. The script refers to 'Abelian' groups, indicating that the video is discussing groups where the order of operation does not matter.

💡Cosets

Cosets are subsets of a group formed by multiplying all the elements of a subgroup by an element of the larger group. The script mentions 'cosets', which implies that the video is explaining the concept of cosets in the context of subgroups and their relationship to the larger group.

💡Lagrange's Theorem

Lagrange's theorem states that the order (number of elements) of any finite group is a multiple of the order of any of its subgroups. The script seems to touch upon 'Lagrange', suggesting that the video might be discussing this theorem, which is crucial for understanding the relationship between group sizes and their subgroups.

💡Isomorphism

An isomorphism is a function between two algebraic structures that preserves the structure, such as group isomorphisms that preserve group operations. The script mentions 'isomorphism', indicating that the video is discussing the concept of structural preservation between groups.

Highlights

Introduction to the concept of group theory and its elements

Explanation of left and right cosets and their significance in group theory

Discussion on the multiplication operation within group theory

Clarification on the difference between left and right cosets in group elements

Tutorial on how to find the cosets of a group and their properties

Detailed example of calculating cosets using the multiplication operation

Explanation of the identity element's role in group theory

The concept of inverse elements within a group and their properties

How to determine if two groups are isomorphic and the importance of this concept

Practical examples of group theory applied to solve mathematical problems

The role of group theory in competitive exams and its preparation

Discussion on the application of group theory in engineering mathematics

Tutorial on subgroups and their properties within group theory

Explanation of the concept of group actions and their implications

How to prove theorems in group theory using coset concepts

The importance of understanding group theory for engineering students

Encouragement for students to engage with daily video uploads for better learning

Invitation for students to explore old videos for a deeper understanding of group theory

Conclusion and call to action for students to apply the concepts discussed

Transcripts

[संगीत]

[संगीत]

हेलो हेलो

इंजीनियरिंग स्टूडेंट बीएससी और एमएससी

स्टूडेंट अगर कोई कॉम्पिटेटिव एग्जाम

होता है वह क्या होता है

वह डिस्कस करूंगा उसके बाद हम नॉर्मल

में कोशिश कर रहा हूं की इसको मैं अपलोड

करूं

मैं आपको वीडियो मिल जाएगा मैं मार्च में

कोशिश करूंगा की डेली एक वीडियो अपलोड एक

वीडियो अपलोड करना स्टार्ट कर दो और

स्टूडेंट के जो पुराने वीडियो अगर आप

देखना चाहते हैं तो यहां पर जाके मेरे

पुराने ग्रुप क्या होता है सब ग्रुप क्या

होता है उसमें बेस्ट थ्योरम से एग्जांपल

है यह सब आपको मिल जाएंगे राइट और

स्टूडेंट अगर इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स है

बीएससी है और भी दूसरी प्लेलिस्ट भी आपको

यहां पे मिल जाएगी रेस्टोरेंट देखिए

कॉसिक्स क्या होता है उसके कुछ एग्जांपल्स

हम डिस्कस करेंगे सो स्टूडेंट देखिए सबसे

पहले बात करते हैं हम गोस की सो कोस्टास

होता क्या है और इसकी में कुछ आपको

एग्जांपल देने वाला हूं सबसे पहले बात

करते हैं सीओएसईसी के बड़े में लेट आगे

विथ सुबग्रुप ऑफ जे स्टूडेंट यहां पे जो

हा होता है वो सब ग्रुप होता है जी का और

ए बिलॉन्गस तू जी है ना ए ग्रुप का

एलिमेंट है दें एन ऐसेट इस टाइप की

एलिमेंट का सेट राइट ए क्या है ग्रुप का

एलिमेंट है ठीक है ना और एक यहां पे क्या

है सब ग्रुप है ठीक है ना तो इसके साथ इस

टाइप की जो एलिमेंट्स होंगे जो ग्रुप आ सब

ग्रुप के साथ यहां पे क्या करेंगे लाइक एन

प्रोडक्ट मैं हो गया ना अगर मल्टीप्लिकेशन

ऑपरेशन है तो अगर एडिशन है तो यहां पे

क्या आएगा प्लस ए जाएगा है ना ठीक है जो

भी ऑपरेशन होगा लाइक मॉडल होगा तो मॉडल ए

जाएगा क्लियर है तो ये ध्यान देने की जरूर

है इस टाइप एलिमेंट्स होते उसका जो सेट

होता है इसको बोलते हम लेफ्ट सीओएसईसी है

ना और स्टूडेंट यहां पे ध्यान दीजिए ग्रुप

का एलिमेंट होता है वो लेफ्ट से

मल्टीप्लाई होता है इसलिए इसको बोलते हैं

लेफ्ट सीओएसईसी अगर ग्रुप का एलिमेंट यहां

पर राइट से मल्टीप्लाई होगा तो इस टाइप का

जो एलिमेंट होंगे है ना देखो यहां पे ये

ग्रुप का एलिमेंट होगा और ये जो होगा ये

किसका एलिमेंट होगा सब ग्रुप का एलिमेंट

होगा तो इस टाइप की जो एलिमेंट होते हैं

उनका जो सेट होता है उसे उसको क्या बोलते

हैं हम कोस्ट बोलते हैं और अगर यहां पे

लेफ्ट से मल्टीप्लाई ए रहा था लेफ्ट कॉस्ट

तो राइट से मल्टीप्लाई इन दिस हज

मल्टीप्लिकेशन ऑपरेशन की बात कर रहा हूं

मैं अगर ग्रुप में एडिशन ऑपरेशन है तो

भैया मल्टीप्लाई की जगह यहां पे क्या आएगा

प्लस आएगा उसे वाले कैसे में हमारी जो

डेफिनेशन होगी वो क्या होगी ए + कैपिटल हा

होगी और यहां पे आएगा ए + हा सच डेट हा

बिलॉन्गस तू हा और यहां पे ए जो होगा इसका

एलिमेंट होगा ग्रुप का होगा इसी टाइप से

यहां पे हम तो राइट सीओएसईसी की बात कर

सकते हैं क्लियर है तो यहां बताना चाहता

हूं की यहां पे ऑपरेशन बड़ा इंपॉर्टेंट है

क्लियर है मल्टीप्लिकेशन तो मैंने

मल्टीप्लिकेशन के ऑपरेशन में डेफिनेशन

बताइए ऐसे ही यहां पे एडिशन में डेफिनेशन

हो जाएगी क्लियर है सो इस कॉल्ड राइट कस

आते एन हा यू जी बाय दिस डेफिनेशन आईटी इस

डेट कॉरस्पॉडिंग तो एवरी एलिमेंट ऑफ जी वे

हैव लेफ्ट और राइट कोस्ट ऑफ एजिंग है ना

हर ग्रुप के एलिमेंट के लिए यहां पे हमें

क्या मिलेगा लेफ्ट क्वेश्चन मिलेगा राइट

क्विज केस मिलेगा इन 18 जी है ना आईटी इस

ओबवियसली तो हम जानते हैं की जो कांस्टेंट

होता है हमारा लाइक ये लेफ्ट को होता है

ये हमेशा क्या होता है ग्रुप का सबसे होगा

और एक चीज जो होगा लाइट जो राइट कस होगा

वो भी क्या होगा ग्रुप का सबसेट होगा

स्टूडेंट मैं आपको बता डन की नॉर्मली जो

लेफ्ट सीओएसईसी होता है वो राइट कोस्ट के

बराबर नहीं होता है पर अगर हमारे पास

ग्रुप अभिलेन है तो उसे वाले कैसे में

राइट सीओएसईसी के बराबर हो जाता है ठीक है

अगर हम बात करें यहां पे जो ए है ए है

इसकी जगह हमें आईडेंटिटी एलिमेंट ले लो

क्या ले लूं एक इसकी जगह ले लो मैं

आईडेंटिटी एलिमेंट ले लो तुम जानते हैं

स्टूडेंट आईडेंटिटी लिमिट लिखेंगे तो खुद

हमारे पास क्या ए जाएगा सब ग्रुप ए जाएगा

हा के बराबर हो जाएगा तो इसमें इस टाइप के

जितने भी एलिमेंट्स होंगे वो अल्टीमेटली

जब जैसे हम ए के साथ यहां पे राइट लेफ्ट

कॉन्सेप्ट और राइट कॉन्सेप्ट निकाला लेकिन

वो हमेशा सब ग्रुप के बराबर ए जाएगा

इसका मतलब होता है वो हमेशा लेफ्ट और राइट

कोस्ट होता है ग्रुप का है ना सो डी लेफ्ट

और राइट का ऑफ आगे कॉरस्पॉडिंग तू डी

आईडेंटिटी आई कौन साइड विद डी आगे हंस आगे

आईटी सेल्फ इस एन लेफ्ट और राइट कस एक्स

ऑफ एजेंट जी मतलब जो हा होता है वो हमेशा

लेफ्ट और राइट कांस्टेंट होता है ग्रुप जी

का तो इसमें मुझे लगता है की आपको यहां पे

सीओएसईसी की डेफिनेशन क्लियर हो गया होगी

अब मैं कुछ एग्जांपल लेक बताता हूं उसमें

आपको थोड़ा और कॉन्सेप्ट क्लियर होगा सो

फर्स्ट एग्जांपल है यहां पे की लेट जी इस

इक्वल तू स प्लस ये सेट ऑफ इंतजार का एक

ग्रुप है एडिशन ऑफ एन ऑपरेशन के अंदर और

यहां पे जो तू स है लाइक एवं इंतजार जो है

उसका हमने यहां पे कर लिया सब ग्रुप लिया

है ना दें आप से पूछ रहा था राइट कॉस्ट ऑफ

ए चेंज आप से पूछा जा रहा है की इसका राइट

कोसिड्स क्या होंगे तो इसमें राइट

सीओएसईसी का मतलब ये होता है की हम क्या

करेंगे ओबवियसली अब प्लस ऑपरेशन है तो

स्टूडेंट क्या करेंगे हम यहां पे h+ 0

निकलेंगे फिर हम h+1 निकलेंगे फिर हम क्या

निकलेंगे हा प्लस तू निकलेंगे स्टूडेंट

फिर क्या निकलेंगे हम आगे प्लस थ्री

निकलेंगे फिर क्या निकलेंगे h+ को ऐसे हम

निकाल सकते हैं एलिमेंट को एड करते जाएंगे

ना अब देखो होता क्या है जैसे हम h+ 0

नहीं करेंगे तो इसमें हम जानते हैं वो हा

के बराबर ही होगा

क्लियर है जब हम h+1 करेंगे तो स्टूडेंट

प्लस वन करेंगे तो हर एलिमेंट के साथ यहां

वन एड हो जाएगा राइट इसके साथ 18 हो गया

इसके साथ हमारा रेड हो गया तो आप जैसे

इसको सिंपलीफाई करेंगे स्टूडेंट तो यहां

पे हमारे पास क्या आएगा ये प्लस माइंस वन

आएगा दें प्लस माइंस थ्री आएगा दें प्लस

माइंस फाइव आएगा तो देखो ये थोड़ा डिफरेंट

आएगा क्लियर है इसका मतलब यहां पे h+1

क्या होगा थोड़ा सा अलग होगा अब बात करते

हैं हम अब इसके अंदर हम तू को एड करेंगे

इसको एड कर रहा है तू को एड करें तो जैसे

तू को एड करेंगे तो स्टूडेंट कैल्शियम तू

को एड करेंगे तो यहां पर जीरो प्लस तू

माइंस प्लस तू माइंस प्लस 4 तो जैसे हम

करेंगे देखो यहां पे यहां पे क्या ए रहा

है तो तू ए रहा है क्या ए रहा है यहां पे

ये तू ए रहा है राइट इसके अंदर यहां पे दो

ऑपरेशन आएंगे क्या एक तो तू प्लस तू आएगा

आते आएगा माइंस तू प्लस तू आएगा तो देखो

यहां जीरो भी ए रहा है तो सनी यहां जीरो

भी ए जाएगा हमारे पास है ना क्या यहां पे

ये जीरो हो जाएगा राइट तो देखिए अब थोड़ा

सा इसको यहां लिख लेट हूं क्या ए जाएगा

हमारे पास जीरो हो जाएगा स्टूडेंट जब इसको

एड करेंगे तो यहां पे क्या आएगा +4

इसमें हमारे पास क्या का रहा है ध्यान

दीजिए तो इसकी बात करेंगे यहां पे तो क्या

आएगा हमारे पास यहां पे आएगा ये प्लस फोर

प्लस तू आएगा माइंस फोर प्लस तू आएगा

माइंस तू ए जाएगा तो ये प्लस माइंस तू हो

जाएगा तो हम चेक करेंगे प्लस माइंस फोर भी

आएगा तो आप देख रहे हो किसके बराबर हो

जाएगा वापस हा के बराबर हो जाएगा तो इसमें

जो h+2 होगा वो किसके बराबर ए जाएगा हमारे

पास आगे के बराबर हो जाएगा तो इसी टाइप से

आप जब इसकी बात करेंगे तो ये हमारे पास जब

इसको करेंगे तो ये h+1 के बराबर ए जाएगा

करके देखेंगे अब देखो h+3 कर रखा है और जब

इसको सिंपली लाइक एन इसके अंदर आप थ्री एड

करोगे ना इसके अंदर आप क्या करोगे इसके

अंदर 38 करोगे किसके बराबर बन जाएगा हा

प्लस वन के बराबर हो जाएगा इसमें जब हम

फोर दी करेंगे तो वापस से ये ए जाएगा जैसे

हम 5 फटी करेंगे वापस क्या हो जाएगा ये हा

प्लस वन ए जाएगा तो आप देखोगे यहां पे की

यहां पे हमारे पास दो टाइप की कॉन्सेप्ट

मिल रहा है आगे

h+1h+1h+1 है ना तो यहां पे कस एक्स कितने

होंगे दो होंगे जैसे हमारे पास यहां पे

क्या होगा इसको हम बोलते हैं कौन सा

कॉन्सेप्ट है राइट सीओएसईसी है तो लेट

सीओएसईसी क्या हो जाएगा हमारे पास 1 + हा

हो जाएगा है ना इस टाइप के मिलेंगे ना ठीक

है यहां पे क्या है अभी ग्रुप होता है इन

दोनों की वैल्यू क्या होगी से होगी ठीक है

ना तो यहां पे और यहां पर

चला जाएगा

h+1 इन स सो यहां पे जैसे ही इन दोनों का

यूनियन लेंगे इन दोनों ये दोनों डिसजॉइंट

है ना इन दोनों में कोई आम एलिमेंट नहीं ए

रहा आप देख रहे हो ये दोनों डिफरेंट हैं

राइट तो जैसे ही इनका यूनियन लेंगे तो

वापस हमारे पास क्या बन जाएगा स ये बन

जाएगा स बन जाएगा राइट तो ये हमारे पास

क्या ए जाएगा पूरा ग्रुप हो जाएगा तो खाने

का मतलब ये होगा की किसी भी ग्रुप के अंदर

जितने भी डिस्टिंक्ट्स होते हैं उन सब का

जो यूनियन होता है वो आप इसके हो जाता है

ग्रुप ए जाता है क्लियर है तो ये हमारे

पास सीओएसईसी का एक एग्जांपल था जो मैंने

आपको समझा है इसमें देखो एग्जांपल लेक

आपको समझने की कोशिश करूंगा यहां पे जैसे

फाइंड डी जो कंसर्न्स ऑफ थ्री जूम यहां पे

थ्री स है ना थ्री का मल्टीप्लाय स प्लस

के अंदर है तो वही हम क्या करेंगे

स्टूडेंट हम जानते हैं इस टाइप के एलिमेंट

होते हैं है ना इसमें क्या करेंगे सबसे

पहले आगे लेंगे फिर हम क्या लेंगे h+1

लेंगे फिर हम क्या लेंगे हा प्लस तू लेंगे

फिर हम क्या लेंगे हा प्लस थ्री लेंगे फिर

हम क्या लेंगे हा प्लस 4 लेंगे फिर हम

क्या लेंगे आगे प्लस फाइव लेंगे ऐसे चला

रहेगा हा प्लस 6 लेंगे क्लियर है इस क्या

करेंगे इसको लेते जाएंगे अब जहां पे बी

रिपीट होना स्टार्ट हो जाएगा हम देख लेंगे

है ना तो सबसे पहले h+ 0 मतलब जीरो ले

लेते हैं इसका हा प्लस 0 ले लेते हैं राइट

तो स्टूडेंट जीरो एड करने पर वापस कोई

फर्क नहीं पड़ता वो अच्छी आता है क्लियर

अब इसमें हा प्लस वन करते हैं जैसे h+1

करोगे प्लस वन करोगे तो आप जानते हो यहां

पे क्या आएगा देखो ये माइंस सिक्स है ना

तो माइंस फाइव माइंस तू ये प्लावन ए जाएगा

ये आपके पास 4 ए जाएगा ये आपके 7 ए जाएगा

तो डिफरेंट ए रहा है है ना तो h+ जैसे +2

करेंगे +2 करेंगे तो यहां पे क्या ए जाएगा

नाइन एक कम कर दो -4 - 1 यहां एड कर दो है

ना इसमें जोड़ रहे हैं ना वन वन सब पे एड

कर रहा है तो ये ए जाएगा स्टूडेंट ये भी

बिल्कुल जैसा नहीं अलग है है ना स्टूडेंट

जैसे हम ठीक करेंगे है ना थ्री करेंगे तो

हम यहां पे क्या ए जाएगा मतलब एक और एड

करेंगे राइट ये देखो वन फिर वन बड़ा है

फिर वन बड़ा है वापस वन बनाएंगे तो -3 ए

जाएगा ये जीरो हो जाएगा है ना ये थ्री हो

जाएगा सिक्स तो इसमें वापस ये क्या कर गया

रिपीट कर गया तो हमारे पास ये जो h+3 है

और इसके ए जाएगा एट ए जाएगा स्टूडेंट जब

h+4 करेंगे हमारे पास तो ऑफिस के ए जाएगा

ये h+1 ए जाएगा फिर इसी टाइप से हम करेंगे

तो ये क्या हो जाएगा h+2 ए जाएगा वापस

हमारे पास क्या ए जाएगा

डिस्टिंगू के ए रहे हैं ये कॉन्सेप्ट्स ए

रहा है आगे h+1 और हा प्लस तू इस टाइप से

स्टूडेंट जब माइंस करेंगे तो माइंस में भी

यही होगा आप देखोगे तो माइंस जीरो माइंस

वन माइंस तू इस टाइप से भी आप कर सकते हो

क्लियर है ना मतलब -1 एलिमेंट के साथ भी

क्योंकि ग्रुप में माइंस वन एलिमेंट भी है

ना तो माइंस वन एलिमेंट के साथ भी करोगे

तो भी आपको यहां पे मिल जाएगा ठीक है ना

तो स्टूडेंट आप देख रहे हो यहां पे जितने

भी हमारे पास जीरो थ्री सिक्स ये किसके

बराबर आएगा आगे के बराबर आएगा है ना फिर

प्लस वन जितने भी आएंगे ये बराबर आएंगे है

ना ये माइंस के लिए भी ट्रू है राइट इस

टाइप से प्लस से और माइंस के लिए भी बराबर

आएंगे तो देवर पर हम जानते हैं यहां पे की

हमारे पास क्या आएगा दे रहा थ्री कस एक्स

हा इंजन र तू एन हा प्लस वाले हा प्लस इन

तीनों का यूनियन लेंगे हम क्या लेंगे

यूनियन मतलब अगर मैं इन तीनों का यूनियन

लेट हूं तो वापस हमारे पास क्या ए जाएगा

ग्रुप ए जाएगा क्या ए जाएगा ग्रुप ए जाएगा

ठीक है ना हा प्लस तू ठीक है ये हमारे पास

क्या ए जाएगा ग्रुप ए जाएगा तो इस तरीके

से यहां पे हम समझते हैं सो देवर आर एन जब

हम बात करेंगे जैसे मेरी बात करेंगे यहां

पे थ्री स तक यहां पे थ्री स तो कितने कस

आते थे थ्री सीओएसईसी इससे पहले वाला

मैंने एग्जांपल लिया था तू स तो वहां पे

कितने

था h+1 तो जब भी एन जोड़ एन स वाला हमारे

पास कोई ग्रुप होगा तो उसे वाले कैसे में

हमारे पास कितने होंगे तो ये हमारे पास

क्या है रिमार्क क्लियर है तो मुझे लगता

है आपको समझ में आया होगा एक और एग्जांपल

लेट हूं उससे आपको समझने की कोशिश करूंगा

यहां पे की कैसे करते हैं सो फाइंड जो डी

कोस्टेट्स ऑफ आगे जीरो कोमा फोर इन डी

ग्रुप स एट एन माड्यूल्लो आते लाइक एडिशन

मोड लो आते पे आपको सब ग्रुप लिया है 04

तो आपको ये पता लगाने की इसके अंदर कितने

कॉस्ट होंगे है ना तो स्टूडेंट देखिए यहां

पे हमारे पास जो ग्रुप दे रखा है वो कितने

तरह का 0123 457 और ये हमारे पास सब ग्रुप

है है ना किसका राइट डी फॉलोइंग

डिस्टिंक्ट्स ऑफ आगे इन ग्रे ऑब्टेन हम

पता लगाएंगे अपन स्टूडेंट क्या करेंगे वही

लेकिन हम h+ क्योंकि देखो आप बोलोगे सर आप

प्लस कर रहे हो डेफिनेशन अरे भैया एडिशन

मॉडल है ना तो प्लस की बात करेंगे ना ये

मॉडल लो क्या है यहां पे आते है तो एक ले

लेंगे है ना ठीक है 8 ए जाएगा ना फिर हम

क्या करेंगे 8 + 1

+ 2

8 प्लस

जैसे जीरो एड करेंगे तो एक ही आएगा

स्टूडेंट वन एड करेंगे इसके अंदर इसके

अंदर हा के अंदर तो जब 180 करेंगे तो यहां

पे क्या ए जाएगा देखो ये वन और फाइव आएगा

देखिए क्या आएगा वन और फाइव फिर जब तू एड

करेंगे तो स्टूडेंट करेंगे तो क्या यहां

पे 2 और 6 ए जाएगा स्टूडेंट जब 38 करेंगे

यहां पे क्या आएगा 3 और 7 ए जाएगा इसमें

फोर एड करेंगे यहां पे तो क्या आएगा ये 4

और ये 8 हो जाएगा हम जानते हैं एडिशन मोड

लो 8 की वैल्यू क्या होती है जीरो

रिमाइंडर जीरो आएगा तो देखो जैसे ही आप

चेक कर रहे हो तो यहां पे ये जीरो कोमा

फोर और ये फोर ये सेट है तो सेट जीरो फोर

और फोर जीरो एक ही होता है राइट तो ये

ऑफिस क्या ए जाएगा आते ए जाएगा स्टूडेंट

जैसे हम यहां पे 5 फेड करेंगे तो ये फाइव

कोमा वन हम जानते हैं फाइव कोमा वन कोमा

फाइव क्या होता है से होता है इस टाइप से

आप जब सिक्स सेट करोगे तो ये स्टूडेंट ये

ए जाएगा हमारे पास इसी तरह से आप 7 एड

करोगे तो ये ए जाएगा तो स्टूडेंट आप देख

रहे हैं यहां पे हमारे पास जो

डिस्टिंक्ट्स ए रहे हैं वो कितने ए रहे

हैं आगे हा प्लस वन हा प्लस तू है h+ 3 ए

रहा है ना सो वे ऑब्जर्व डेट अबोव इट्स

क्लियर डेट डी 4% ऑफ एजिंग ए इट्स प्लस वन

एस प्लस तू है h+ 3 तो इस तरीके से यहां

पे इस क्वेश्चन को यहां पे सॉल्व करते हैं

तो मुझे लगता है आपको समझ में आया होगा

कॉन्सेप्ट

सो एक और एग्जांपल और बड़ा इंपोर्टेंट

एग्जांपल स्टूडेंट आ आईएफ एच इन एन सबवूफ

ऑफ एन जी मतलब ए जो है वो सब ग्रुप है जी

का और जी बिलॉन्गस तू जी दें प्रूफ डेट

आपको ये प्रूफ करना है की इस टाइप के

जितने भी एलिमेंट का जो सेट होगा वो हमेशा

बनेगा सब ग्रुप बनाएगी और दूसरा एक और एक

यहां पे बी पार्ट तू करना है की आईएफ हा

इस फाइन और दें ऑर्डर ऑफ आगे इसके ऑर्डर

के बराबर होगा है ना ऑर्डर ऑफ ए जो सब

ग्रुप आगे का जो ऑर्डर होगा वो इसके ऑर्डर

के बराबर होगा तो भैया आपको ये बताना है

की इस टाइप का जो सेट है है ना लेकिन यहां

पे एक्चुअली क्या है कैपिटल ए जाएगा है ना

इस टाइप का जो

ओके जी तो मैं आपको बताता हूं कैसे करेंगे

फर्स्ट का सॉल्यूशन देखेंगे यहां पे सो

लेट क्या करेंगे एक्स बिलो बिलॉन्गस तू जी

h1 h1 जी इन्वर्स हमने एक देखो अल्टीमेटली

सब ग्रुप की डेफिनेशन क्या होती है आपको

अगर सब ग्रुप के बड़े में थोड़ा आइडिया

नहीं है तो आप प्लीज यहां पे आईटी पे जाके

एक बार सब ग्रुप के बड़े में समझ लीजिए

आपको समझ में ए जाएगा इसमें मैं आपको

बताना चाहता हूं की जब भी आप सबके लिए सब

गुरु के बड़े में बात करेंगे तो यहां पे

चूंकि मल्टीप्लिकेशन ऑपरेशन है तो ए

बिलॉन्गस तू ए और बी बिलॉन्गस तू हा है तो

सनी यहां पे क्या आना चाहिए ए बी यूनिवर्स

बिलॉन्गस तू क्या होना चाहिए आगे होना

चाहिए अगर ऐसा होता है तो वो क्या होता है

सब ग्रुप होता है ऐसे अगर हम एडिशन ऑपरेशन

की बात करें तो ए - बी बिलॉन्गस तू क्या

होना चाहिए आगे होना चाहिए राइट तो ये कुछ

कॉन्सेप्ट है जो आपको पता होना चाहिए तो

वही हम यहां पे क्या करेंगे दो एलिमेंट

लेंगे एक लिए हमने एक्स एलिमेंट दूसरा

हमने लिया ए एलिमेंट राइट ये कैपिटल है ना

तो ये फर्स्ट एलिमेंट इसके अंदर सेकंड है

अब हम क्या करेंगे एक्स वे इन्वर्स

निकलेंगे तो दोस्तों ये एक्स है और ये ए

इसका इन्वर्स ले लेंगे इसमें जो भी

इन्वर्स एक्स हम जानते हैं की अब का जो

इन्वर्स होता है मैं आपको बता चुका हूं

इसका प्रूफ भी बताया था मैंने इसके लिए

क्या है की बी इन्वर्स ए इन्वर्स के बराबर

आएगी राइट तो दिस इसे इसको खोलेंगे हम तो

क्या होगा ये तो ऐसी चीज नहीं है पर क्या

ए जाएगा जिन वर्ष है ना ये इसका यूनिवर्स

ए जाएगा फिर इसका इन्वर्स ए जाएगा फिर

इसका इन्वर्स आएगा खुला जाएगा ऐसे जैसे हम

जानते हैं इन्वर्स का इन्वर्स खुद एलिमेंट

होता है स्टूडेंट जैसे अब खोलोगे आप तो ये

जिन जी क्या हो जाएगा हमारे पास ये

जिनवर्स ये एक साथ ए जाएगा इसको बोलते हैं

हम आईडेंटिटी एलिमेंट राइट और आईडेंटिटी

हमारे पास क्या होता है आईडेंटिटी की

वैल्यू हम जब किसी के साथ प्रोडक्ट करते

हैं तो वो खुद ही एलिमेंट ए जाता है राइट

तो h1 h2 इन्वर्स ए जाएगा स्टूडेंट यहां

पे जो h1 h2 इन्वर्स है इसकी वैल्यू हमारे

पास किसकी आएगी एक्चुअली ये जो एलिमेंट

आएगा ये किसका आएगा देखो हम जानते हैं

हमारे पास आएगा जी h1 h2 इन्वर्स जेन वर्ष

आएगा पर हम जानते हैं जो बीच वाला है ये

किसका एलिमेंट होना चाहिए आगे का एलिमेंट

होना चाहिए तो हम जानते हैं यहां पे जो h1

h2 इन्वर्स ये किसका है हम जानते हैं आगे

का भी हा सब ग्रुप है और डेफिनेशन के

हिसाब से ये हमेशा हा पे जाएगा इसका मतलब

ये जो पूरा है ये किसमे जाएगा एक्चुअली

यहां पे h1 थोड़ा सा गलत हो गया यहां पे

हा ए और h2 इन्वर्स है राइट यस है ना ये

चीज को मैंने यहां लिखा है यहां पे तो हम

जानते हैं ये हटा दिया तो इसको यहां पे ए

है जाएगा थोड़ा सा करेक्ट कर देता हूं

इसको

तो यहां पर जो आएगा इसको मैं ऐसा लिख देता

हूं

यहां पे आएगा और स्टूडेंट हम जानते हैं

आगे में जाता है ये किस में जाता है हा

में जाता है और ये हा में जाता है इसका

मतलब ये वापस किस में चला जाएगा इसमें चला

जाएगा तो ये शून्य पे हमारे पास ये इसके

अंदर जा रहा है इसका मतलब ये हो रहा है

इसका मतलब ये हमारे पास क्या होगा सब

ग्रुप होगा क्लियर है तो इस टाइप का जो

होगा अगर ए वो ये मेरा हमें क्या प्रूफ की

आएगी ये ए हा के अंदर ये भी ये बीएच के

अंदर तो इससे एलिमेंट भी आगे के अंदर और

वही हमने किया है की जो एक्स है वो इसके

अंदर है ए इसके अंदर है तो एक्सी इन्वर्स

भी है वो भी इसके अंदर ए रहा है अगर ऐसा ए

रहा है तो इसका मतलब ये इसका क्या होगा सब

ग्रुप होगा तो इस तरीके से इसके थ्योरम को

यहां पे हम प्रूफ करते हैं स्टूडेंट सेकंड

एयर में प्रूफ करनी है तो सेकंड फॉर्म में

क्या करना है ध्यान दीजिए देखो सेकंड में

आपको ये प्रूफ करना है की इसका जो ऑर्डर

है वो इसके ऑर्डर के बराबर है जब ये

क्वेश्चंस होते हैं तो उसको हम यहां पे

क्या प्रूफ करते हैं ये वन वन और आंटो है

क्या ये वन वन और वन तू हम यहां पे एक

मैपिंग डिफाइन करनी पड़ेगी अगर हम ये

प्रूफ कर देंगे

स्ट्रिपिंग जो है यह क्या है वन वन और ऑन

तू है अगर हम ये प्रूफ कर देते की मैपिंग

11 और 12 है तो यहां पे इसकी ऑर्डर हा =

क्या हो जाएगा और ड्रॉप ग इन्वर्स हो

जाएगा राइट तो हम यहां पे क्या करेंगे

देखो कैसे थ्योरम को प्रूफ करेंगे सब में

एक मैप डिफाइन करेंगे फ्रॉम आगे तू जी हा

जी इन्वर्सिड़े एक मैपिंग डिफाइन करेंगे

तो इसलिए मफिंग हमने डिफाइन कारी इसका

मतलब ये मैपिंग के और एक यहां पे कोई भी

एलिमेंट है तो वो इस एलिमेंट पे जा रहा है

ठीक है ना तो हम क्या करेंगे यहां पे सबसे

पहले हम ये प्रूफ करेंगे ये वन वन है तो

दोस्तों वन वन की डेफिनेशन क्या होती है

हमने यहां पे h1 दो लिया 11 की डेफिनेशन

क्या होती है अगर हम दो वैल्यू बराबर है

फंक्शन की तो वो एलिमेंट बी क्या होंगे

बराबर होंगे राइट तो ये हमने यहां पे fh1

= f2 लिया तो स्टूडेंट एफ हा वन की वैल्यू

क्या होगी जी h1 और gs2g इन्वर्स हो जाएगा

स्टूडेंट हम जानते हैं कैंसिलेशन लॉस ये

कैंसिल हो जाएगा ये से ये कैंसिल हो जाएगा

तो हमारे पास h1 इस इक्वल तू इसका मतलब ये

वन है उसके बाद ऑन तू क्या होता है

स्टूडेंट ऑन तू के लिए हमें दिखाना होगा

की इधर की इधर की हर एलिमेंट के लिए इधर

के हर एलिमेंट के लिए इधर एक यहां पे क्या

होगा इसकी इमेज विजिट करेंगे ना तो वह

हमें देखना है यहां पे सो अगेन पर एन एवरी

एलिमेंट दिस है ना बिलॉन्गस तू दिस इसके

अंदर एक इसके अंदर होगा डियर एक्जिस्ट आगे

बिलॉन्गस तू आईटी इसके लिए इसकी इमेज

इसमें एक्जिस्ट करेगी सच डेट ये हमारा

बड़ी हो जाए है ना सो हम जानते हैं इस

हमेशा इसके लिए आगे क्योंकि इसके लिए एक

ही तरह आएगा है ना तो ओबवियसली एफ क्या

होगा ये ऑटो होगा और एफ इसे बाइक देवर इस

वन वन तू एवरीवन ऑन तू है इसका मतलब इसका

जो ऑर्डर होगा वो इसकी ऑर्डर के बराबर

होगा जब भी आपको ऐसा करना हो तो जिसके दो

दो ग्रुप का ऑर्डर बराबर प्रूफ करना है तो

आपको एक मैपिंग डिफाइन कर लेंगे है ना और

उसे ग्रुप से उसको जिसके लिए आपको ऑर्डर

बराबर करना उसके मैपिंग डिफाइन करके आप वन

वन और वन तू प्रूफ कर देंगे तो आपको यहां

पे क्वेश्चन प्रो हो जाएगा राइट तो इस

तरीके से इस क्वेश्चन यहां पे हम सॉल्व

करते हैं इसमें लास्ट क्वेश्चन और लेते

हैं आईएफ एच और के आर तू फिनिटी सब ग्रुप

ऑफ अभिलेन ग्रुप जी दें आपको प्रूफ करना

है की ऑर्डर ऑफ हा के इस इक्वल तू ऑर्डर

ऑफ आगे डॉट ऑर्डर ऑफ के डिवाइडेड बाय और

ड्रॉप एच इंटरसेक्शन की दिस वन आप यहां पे

क्या करेंगे बड़ा थोड़ा सा क्वेश्चन लेवल

का समझना की जरूर है है सो सॉरी देखिए अब

यहां पे करेंगे लेट डी = हा इंटरसेक्शन के

स्टूडेंट हम क्या करेंगे इसको दी मां

लेंगे क्या मानेंगे इस पूरे को दी मां

लेंगे और इसमें आगे इंटरसेक्शन के है है

ना तो ओबवियसली इसकी जो एलिमेंट होंगे वो

हमने मां ली की दी केवल है दी के तू इस

टाइप के एलिमेंट है ना बी तो जो

डिस्टिंक्ट कॉस्ट ऑफ टी इनके है ना ये के

में क्या है यहां पर है राइट सीओएसईसी है

ना ठीक है एन देवर पर इसका जो यूनियन होगा

है ना क्योंकि हमने राइट सीओएसईसी के कम

आना है राइट तो इसके जितने भी एलिमेंट

इसका यूनियन लेंगे तो वापस किसके बराबर हो

जाएगा के के बराबर हो जाएगा राइट हमने

क्या माना है इसका जो भी यूनियन होगा

किसके बराबर हो जाएगा डिस्टिंक्ट्स का

यूनियन हमेशा क्या होता है उसके बराबर

होता है जिसके वो कस एक्स है ठीक है और टी

= ऑर्डर के अपन ऑर्डर दी मां लिया हमने

क्या मां लिया यहां पे टी = क्या हमारे

लिए ऑर्डर ऑफ के / ऑर्डर ऑफ डी ओबवियसली

क्योंकि अगर यहां पे हम जानते हैं की ये

के है हमारे पास है ना ग्रुप है और इसकी

ये हमारे सीओएसईसी तो इसको क्या करेगा ये

डिवाइड करेगा अब हम जानते हैं स्टूडेंट हम

बात करते हैं हा की की है ना ये हा के हम

इसकी बात करेंगे ऑर्डर ऑफ हा की बड़े में

बात करेंगे तो आगे के लेते हैं स्टूडेंट

के को हमने इस तरह से डिफाइन किया जहां पर

भी के है वहां पे मैं ये लिख सकता हूं और

फिर ये यूनियन है यूनियन कहां जाएगा बाहर

ए जाएगा है ना और इसलिए हमारे पास क्या

होगा हम जानते हैं की

हम यहां पे क्या कर रहे हैं जो भी दी हमने

लिया है वो क्या हा इंटरसेक्शन के होता है

स्टूडेंट आगे इंटरसेक्शन ये जो होता है वो

हमेशा क्या होता है इसका भी सब ग्रुप होता

है के का और जी का भी सब ग्रुप होता है ना

ठीक है सॉरी एन आगे का भी सब ग्रुप होता

है राइट हम जानते हैं ये सब चीज क्लियर है

तो हम यहां पे चूंकि दी सबसेट ऑफ हा है ना

ठीक है दें हम जानते हैं जो एचडी होगा वो

किसके बराबर होगा हा के बराबर हो जाएगा तो

स्टूडेंट की जो एचडी आएगा यहां एचडी आएगा

ये किसके बराबर होगा हा के बराबर होगा तो

स्टूडेंट जैसे अभी हमने यहां पे ये लिया

था है ना इसी टाइप से हमने ये भी प्रूफ कर

दिया की हा के जो है वो इसके ये

डिस्टिंक्ट इसके क्या है कॉसिक्स है ठीक

है ना सो अगेन वे सी डेट अन्य तू कॉसिक्स

डीज आ अन्य अन्य कॉसिक्स हा के वन हा के

तू हा के आई आर पर जस्ट जॉइन भी इसका

बिकॉज़ है ना ये क्या हो गया डिज्जैन जो

हो जाएंगे यहां पे और इसमें जैसे इसको

यहां पे लाइक यूनियन लेंगे तो इसके बराबर

हो जाएगा आगे के बराबर ए जाएगा अगर ऐसा है

तो हम जानते हैं की ऑर्डर ऑफ आगे के किस

को डिवाइड करेगा इसको डिवाइड करेगा यहां

वही हमने बात कारी थी क्लियर है तो

स्टूडेंट वही हम यहां करने वाले हैं तो

देखिए यहां पे

इस तरीके से हम बात करेंगे क्योंकि

डिस्टिंक्ट है तो हम यह पता लगाएंगे की

भैया डिस्टिंक्ट है की नहीं मां लगी दो

कोजेसिटी हमारे यहां पे क्या है इक्वल है

अगर इक्वल है तो क्या होगा k1 के इन्वर्स

बिलॉन्गस तू हा हो जाएगा अगर ये हा में तो

सुनिए किस में जाएंगे यूनियन में हो

जाएंगे और यूनियन में जाएंगे इंटरसेक्शन

में जाएंगे तो किसके में जाएंगे डी भी

जाएंगे इसके अंदर दी के आई = डीके के विच

इस कांट्रेक्शन ऐसा नहीं हो सकते क्योंकि

यहां पे कोस्टास से है वो क्या है

डिस्टिंक्ट है तो ये तो हो नहीं सकता सो

तू अवर्स अपन इस रंग सो हा की वन है हा की

तू ये सबके होंगे डिस्टेंट होंगे स्टूडेंट

है इसका मतलब इन सब का वापस में यूनियन

लूप है ना और तो वापस के बराबर हो जाएगा

अरे मैं बात करूं ऑर्डर की तो ऑर्डर ऑफ हा

की स्टूडेंट क्या होगा इन सब के ऑर्डर के

एडिशन के बराबर होगा क्लियर है तो

स्टूडेंट हम यहां पे क्या करेंगे हम जानते

हैं इसको क्या लिख सकते हैं तीन तू ऑर्डर

लिख सकते हैं यहां पे ठीक है ना टी की

वैल्यू अभी हमने पता लगे दी है यहां पे टी

की हुई वैल्यू क्या होती है और ड्रॉप के

अपन ऑर्डर ऑफ डी तो स्टूडेंट यहां पर भी

दी है वहां पे हम क्या रख देंगे और ड्रॉप

के अपन ऑर्डर ऑफ डी और स्टूडेंट ऑर्डर ऑफ

डी हमारे पास क्या होता है ऑर्डर ऑफ

इंटरसेक्शन ये होता है तो स्टूडेंट इस

तरीके से शर्म को हम क्या करते हैं प्रूफ

करते हैं और मुझे लगता है आपको ये

कॉन्सेप्ट समझ में आया होगा और बड़ा ही

इजी कॉन्सेप्ट है तो स्टूडेंट एन जो 64

वाला कॉन्सेप्ट

है वो मैं आपके सामने डिस्कस कर रहा हूं

स्टूडेंट ग्रुप थ्योरी का जो कंटेंट है

आपको कैसा ग रहा है और कैसे आपको फायदा हो

रहा है नहीं हो रहा है प्लीज यहां पे जो

कमेंट बॉक्स है इसके अंदर आप मुझे जरूर

बताइए और लास्ट में जो मेरी वीडियो ए रहे

हैं यहां पे जाके आप देख सकते हैं

स्टूडेंट मेरा जो ऊपर वाला है ये मेरा नया

चैनल है और नीचे वाला मेरा पुराना चैनल है

तो स्टूडेंट जो ऊपर वाला चैनल है ये भी आप

एक बार विजिट कर लीजिए सब्सक्राइब कर

लीजिए बहुत ही जल्दी फिल्म बहुत अच्छा

कंटेंट में अपलोड कर रहे हैं वो वाला सो

स्टूडेंट बने रहिए मेरे साथ और थैंक यू सो

मैच और अगर आपको अच्छा लगता है तो प्लीज

लाइक करिए शेर करिए फिर फ्रेंड्स को जरूर

बताइए थैंक यू सो मैच बाय