Probabilités et roulette au casino : Grand Oral du Bac

Summary

Dans cette vidéo, l'auteur explore les probabilités et l'espérance de gain à la roulette, en mettant l'accent sur les paris possibles et leurs gains. Que l'on mise sur un, deux, six ou plus de numéros, l'espérance de gain reste constamment négative, avec une perte moyenne de 1/37e d'euro par partie. L'analyse démontre que les différents paris sont équilibrés en termes d'espérance, ce qui reflète l'avantage du casino. L'auteur présente également les liens mathématiques derrière ces calculs, notamment l'importance des diviseurs de 36 dans les paris possibles, offrant une vision claire de la mécanique du jeu.

Takeaways

• 😀 La roulette est composée de 37 cases, dont 36 numérotées de 1 à 36 et une case 0, qui ne rapporte aucun gain.
• 😀 Le joueur peut miser sur un ou plusieurs numéros, et le gain dépend du nombre de numéros sur lesquels il mise.
• 😀 Si un joueur mise sur un seul numéro, il gagne 35 fois sa mise en cas de victoire.
• 😀 Si le joueur mise sur deux numéros, le gain est de 17 fois la mise.
• 😀 L'espérance de gain, ou gain attendu, est calculée en fonction de la probabilité de gagner et du gain potentiel.
• 😀 En moyenne, un joueur perd 1/37e de son euro à chaque partie, ce qui est défavorable pour le joueur.
• 😀 L'espérance de gain est négative pour toutes les mises, ce qui signifie que le casino garde un avantage à long terme.
• 😀 Si un joueur mise sur plus de numéros, la probabilité de gagner augmente, mais le gain potentiel diminue.
• 😀 L'espérance de gain reste la même, soit -1/37, peu importe le nombre de numéros sur lesquels on mise.
• 😀 Les variations de la mise et du gain, comme par exemple parier sur 6 numéros, n'affectent pas l'espérance de gain globale.
• 😀 Les divisibilités des nombres dans le calcul montrent que les mises possibles sont limitées aux diviseurs de 36, excluant certains nombres comme 5, 7 ou 11.

Q & A

Quelle est la structure de la roulette dans le jeu de casino ?

La roulette est composée de 36 cases numérotées de 1 à 36, plus une case 0. Le zéro ne correspond à aucun gain, ce qui signifie que le joueur ne gagne jamais si la bille tombe sur le zéro.

Quels sont les différents types de paris possibles dans la roulette et leurs gains ?

Le joueur peut parier sur un ou plusieurs nombres. Si le joueur parie sur un nombre, il gagne 35 fois sa mise. Pour un pari sur deux nombres, le gain est de 17 fois la mise. Pour trois nombres, le gain est de 11 fois la mise, et ainsi de suite, avec des gains plus petits pour des paris sur plus de nombres.

Pourquoi les gains sont-ils différents en fonction du nombre de cases sur lesquelles on mise ?

Les gains sont différents en fonction du nombre de cases sur lesquelles on mise car la probabilité de gagner change. Par exemple, en misant sur un seul nombre, la probabilité de gagner est plus faible, mais le gain est plus élevé (35 fois la mise), tandis qu’en misant sur plus de nombres, la probabilité de gagner augmente, mais le gain par rapport à la mise diminue.

Qu’est-ce que l'espérance de gain et comment la calcule-t-on dans le cas de la roulette ?

L’espérance de gain est la moyenne des gains que l’on peut attendre à long terme d’un pari, pondérée par les probabilités. On la calcule en multipliant chaque gain possible par la probabilité correspondante et en sommant les résultats. Dans la roulette, cette espérance est souvent négative pour le joueur, car elle tient compte de la probabilité de perdre à chaque tour.

Quel est l’intérêt d’utiliser une variable aléatoire (G) pour modéliser les gains dans ce contexte ?

La variable aléatoire G permet de modéliser les gains d’une partie de manière mathématique. Elle prend la valeur -1 en cas de perte (car le joueur perd sa mise) et la valeur 35, 17, etc., en fonction du type de pari et du gain associé, ce qui permet de calculer l'espérance de gain.

Pourquoi la probabilité de gagner est-elle de 1 sur 37 lorsque l'on mise sur un seul nombre ?

La probabilité de gagner est de 1 sur 37 car il y a 37 cases en tout (36 numérotées de 1 à 36 et le 0), et une seule chance que la bille tombe sur le nombre choisi par le joueur. La probabilité de perdre est donc de 36/37.

Quel est le résultat de l’espérance de gain pour un pari sur un seul nombre ?

L’espérance de gain pour un pari sur un seul nombre est de -1/37, ce qui signifie qu’en moyenne, le joueur perd 1/37 de son pari à chaque fois qu’il joue.

Pourquoi, même si l'on mise sur plus de nombres, l'espérance de gain reste la même à -1/37 ?

L'espérance de gain reste la même parce que, même si la probabilité de gagner augmente en misant sur plus de nombres, le gain pour chaque pari diminue proportionnellement. En somme, les gains supplémentaires sont compensés par une plus grande probabilité de perdre, ce qui maintient l'espérance de gain à -1/37.

Comment la formule reliant le nombre de cases sur lesquelles on mise et le coefficient multiplicateur de la mise explique-t-elle les gains dans la roulette ?

La formule montre que le nombre de cases sur lesquelles on mise (X) doit être un diviseur de 36 pour que l’espérance de gain soit toujours la même (-1/37). Cette relation permet de déterminer les nombres possibles sur lesquels parier pour que les gains restent équilibrés, et la seule exception notable est le nombre 24, qui n’est pas un diviseur de 36.

Pourquoi certains nombres comme 5, 7, 9, etc., ne sont-ils pas présents dans les paris possibles de la roulette ?

Certains nombres comme 5, 7, 9, etc., ne sont pas présents dans les paris possibles car ils ne sont pas des diviseurs de 36. La formule mathématique qui lie le nombre de cases à la mise explique que seul les diviseurs de 36 peuvent être utilisés, car cela garantit que les gains sont des nombres entiers et non des décimaux.