Espaces vectoriels : cours 1 : lois de composition internes

Summary

Dans cette vidéo, l'orateur explique les lois de composition interne et externe, essentielles pour comprendre les espaces vectoriels. Il décrit comment une opération, telle que l'addition ou la multiplication, sur des éléments d'un ensemble doit toujours aboutir à un autre élément appartenant au même ensemble pour être considérée comme une loi de composition interne. À travers des exemples concrets sur les réels, l'orateur montre quand ces lois sont valides ou non. Cette explication pose les bases pour approfondir la compréhension des espaces vectoriels et de leurs opérations fondamentales.

Takeaways

• 😀 Une loi de composition interne est une opération définie sur un ensemble spécifique, où les résultats de l'opération restent dans cet ensemble.
• 😀 L'addition et la multiplication sont des exemples de lois de composition interne sur l'ensemble des réels (R).
• 😀 Pour qu'une opération soit une loi de composition interne sur un ensemble, les éléments résultant de l'opération doivent appartenir à ce même ensemble.
• 😀 Un contre-exemple suffit pour prouver qu'une opération n'est pas une loi de composition interne, comme la multiplication dans l'ensemble des réels négatifs (R-).
• 😀 L'addition de deux éléments quelconques dans R donne toujours un élément de R, ce qui en fait une loi de composition interne sur R.
• 😀 En revanche, la multiplication dans R- n'est pas une loi de composition interne, car le produit de certains éléments, comme -3 et -5, donne un résultat (15) qui n'appartient pas à R-.
• 😀 La loi de composition interne garantit que les résultats d'une opération entre éléments de l'ensemble restent dans cet ensemble, sans introduire d'éléments extérieurs.
• 😀 Les lois de composition interne incluent des opérations comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, mais leur validité dépend de l'ensemble sur lequel elles sont définies.
• 😀 L'addition n'est pas une loi de composition interne sur certains ensembles limités, comme un ensemble contenant seulement 4 éléments, où 4 + 8 ne reste pas dans cet ensemble.
• 😀 La distinction entre loi de composition interne et externe repose sur le fait qu'une loi interne garde les éléments dans l'ensemble de départ, tandis qu'une loi externe pourrait introduire des éléments d'autres ensembles.
• 😀 Une opération est une loi de composition interne sur un ensemble si, pour tous les couples d'éléments de cet ensemble, l'application de l'opération donne un résultat toujours dans l'ensemble.

Q & A

Qu'est-ce qu'une loi de composition interne ?

Une loi de composition interne est une opération réalisée sur des éléments d'un ensemble, telle que la somme, la multiplication, etc., où le résultat de l'opération appartient également à cet ensemble.

Pourquoi l'addition est-elle une loi de composition interne sur l'ensemble des réels (ℝ) ?

L'addition est une loi de composition interne sur ℝ car, pour n'importe quel couple d'éléments x et y de ℝ, leur somme (x + y) est toujours un élément de ℝ.

Donnez un exemple d'opération qui n'est pas une loi de composition interne sur ℝ.

La multiplication n'est pas une loi de composition interne sur l'ensemble des réels négatifs (ℝ⁻), car en multipliant deux nombres négatifs, le résultat est un nombre positif qui n'appartient pas à ℝ⁻.

Qu'est-ce qu'un contre-exemple dans le contexte des lois de composition internes ?

Un contre-exemple est un cas particulier où l'application de l'opération sur deux éléments d'un ensemble ne donne pas un résultat appartenant à cet ensemble, ce qui démontre que l'opération n'est pas une loi de composition interne sur cet ensemble.

Pourquoi la multiplication n'est-elle pas une loi de composition interne sur ℝ⁻ ?

La multiplication n'est pas une loi de composition interne sur ℝ⁻ parce que, par exemple, en multipliant -3 et -5, on obtient 15, un nombre positif, qui n'appartient pas à ℝ⁻.

Est-ce que l'addition est une loi de composition interne sur un ensemble comme {4, 8} ?

Non, l'addition n'est pas une loi de composition interne sur l'ensemble {4, 8}, car en additionnant 4 et 8, on obtient 12, un élément qui ne fait pas partie de l'ensemble {4, 8}.

Quels critères sont nécessaires pour qu'une opération soit une loi de composition interne sur un ensemble donné ?

Pour qu'une opération soit une loi de composition interne, il doit être garanti que pour tout couple d'éléments choisis dans l'ensemble, l'application de l'opération donne un résultat qui appartient aussi à cet ensemble.

Pourquoi la notion de 'sur' est-elle importante lorsqu'on parle de lois de composition interne ?

Le terme 'sur' est crucial car il indique que l'opération doit être réalisée au sein du même ensemble, sans en sortir, ce qui signifie que les éléments de l'ensemble ne doivent pas être modifiés par l'opération.

Quels types d'opérations peuvent être des lois de composition internes ?

Les opérations comme l'addition, la multiplication, et parfois la soustraction ou la division peuvent être des lois de composition internes, à condition que les résultats appartiennent toujours à l'ensemble d'origine.

Peut-on appliquer des lois de composition internes à tous les ensembles ?

Non, toutes les opérations ne sont pas des lois de composition internes pour tous les ensembles. Par exemple, l'addition n'est pas une loi de composition interne sur un ensemble restreint comme {4, 8}, car la somme de ses éléments peut dépasser cet ensemble.