Distribución Normal Estándar - Ejemplo aplicando valores Z

El êstadigrafo

22 Feb 201708:11

Summary

TLDREn este video, se realiza un ejercicio aplicando la distribución normal estándar para determinar cuántos aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos en una universidad. Se tiene una muestra de 799 aspirantes con un promedio de 659.04 puntos y una desviación estándar de 104.04 puntos. Utilizando la distribución normal estándar, se encuentran los valores z para los puntos 500 y 800, obteniendo -1.5286 y 1.3548 respectivamente. Luego, se calcula la probabilidad de que un aspirante obtenga un puntaje entre estos valores z, que resulta en un 84.91%. Finalmente, se multiplica este porcentaje por el número total de aspirantes para obtener aproximadamente 678 aspirantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos. El video concluye con la solución al problema y ofrece la posibilidad de hacer preguntas en los comentarios.

Takeaways

📚 Se realizará un ejercicio aplicando la distribución normal estándar a un conjunto de datos.
🎓 Hay un total de 799 aspirantes a una universidad, con un promedio de 659.04 puntos y una desviación estándar de 104.04 puntos.
🔍 Se busca determinar cuántos aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos.
📊 Se asume que la distribución de los puntajes es normal.
➗ Se calculan los valores z para los puntajes de 500 y 800 puntos utilizando la fórmula z = (x - μ) / σ.
📝 Se utiliza el programa R para realizar los cálculos y obtener los valores z correspondientes.
🔢 El primer valor z para el puntaje de 500 puntos es -1.5286, y el segundo valor z para 800 puntos es 1.3548.
🌐 Se busca la área bajo la curva de distribución normal entre estos dos valores z.
📉 La probabilidad al lado izquierdo del valor z de -1.5286 es del 0.0631, y para 1.3548 es del 0.9122.
🧮 Se calcula la proporción de estudiantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos, que es del 84.91%.
✖️ Para encontrar el número de aspirantes, se multiplica el porcentaje (84.91%) por el total de aspirantes (799).
📈 El resultado redondeado indica que aproximadamente 600 aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos.

Q & A

¿Cuál es el problema que se va a resolver en el ejercicio?
-El problema es determinar cuántos aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos en una prueba, dada una distribución normal con un promedio de 659.04 puntos y una desviación estándar de 104.04 puntos.
¿Cuál es el número total de aspirantes a la universidad en el ejemplo?
-El número total de aspirantes es 799.
¿Cómo se calcula el valor z para el punto 500 en la distribución normal estándar?
-Para calcular el valor z para el punto 500, se resta el valor de la media (659.04) al valor de x (500) y se divide entre la desviación estándar (104.04). El resultado es -1.528.
¿Cómo se calcula el valor z para el punto 800 en la distribución normal estándar?
-Para el punto 800, se realiza el mismo proceso que para el punto 500, pero con el valor de x como 800. El resultado es un valor z de 1.354.
¿Qué herramienta se utiliza para realizar los cálculos en el ejemplo?
-Se utiliza el programa R para realizar los cálculos, específicamente la consola de R como calculadora y el menú de Teaching para las distribuciones.
¿Cómo se encuentra la probabilidad correspondiente a los valores z entre 500 y 800 puntos?
-Se utiliza la función de probabilidades en la distribución normal estándar del menú de Teaching en R para encontrar la probabilidad al lado izquierdo de cada valor z. Luego, se restan las probabilidades para encontrar la área entre los dos valores z.
¿Cuál es la probabilidad al lado izquierdo del valor z -1.528 en la distribución normal estándar?
-La probabilidad al lado izquierdo del valor z -1.528 es del 0.0631.
¿Cuál es la probabilidad al lado izquierdo del valor z 1.354 en la distribución normal estándar?
-La probabilidad al lado izquierdo del valor z 1.354 es del 0.9122.
¿Cómo se calcula el porcentaje de aspirantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos?
-Se toma la probabilidad correspondiente al valor z de 800 (0.9122) y se resta la probabilidad correspondiente al valor z de 500 (0.0631). El resultado es 0.8491, que representa el 84.91% de los aspirantes.
¿Cómo se determina el número de aspirantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos?
-Se multiplica el porcentaje de aspirantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos (84.91%) por el número total de aspirantes (799). El resultado es 678.43, redondeado a 678 aspirantes.
¿Por qué se asume una distribución normal para resolver este problema?
-Se asume una distribución normal porque es una de las distribuciones matemáticas más utilizadas para modelar fenómenos que varían en un rango continuo y se asientan alrededor de un promedio central.
¿Qué implica redondear el número de aspirantes a 678 en lugar de usar el número exacto 678.43?
-Al redondear el número de aspirantes a 678, se asume que no hay fracciones de aspirante, lo que podría llevar a una aproximación conservadora del número real de aspirantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos.

Outlines

00:00

📊 Aplicación de la Distribución Normal Estándar

El primer párrafo describe un ejercicio que utiliza la distribución normal estándar para resolver un problema. Se menciona que hay 799 aspirantes a una universidad con un promedio de 659.04 puntos y una desviación estándar de 104.04 puntos. La pregunta es cuántos de ellos obtuvieron entre 500 y 800 puntos. Para ello, se asume una distribución normal y se utilizan los valores z para calcular la probabilidad de que los aspirantes hayan obtenido esos puntajes. Se utiliza el programa Rk Word para realizar los cálculos, obteniendo los valores z para 500 y 800 puntos, que resultan en -1.52 y 1.35, respectivamente.

05:01

📉 Cálculo de Probabilidad y Número de Aspirantes

El segundo párrafo continúa el ejercicio, calculando la probabilidad de que los aspirantes hayan obtenido puntajes entre 500 y 800 puntos. Se usan los valores z previamente calculados para encontrar las áreas correspondientes en la distribución normal estándar. Estas áreas se representan como probabilidades, obteniendo que la probabilidad al lado izquierdo de z1 (-1.52) es del 0.0631 y la al lado izquierdo de z2 (1.35) es del 0.9122. Para encontrar la proporción de estudiantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos, se restan las probabilidades, lo que da como resultado un 84.91%. Finalmente, se multiplica este porcentaje por el número total de aspirantes (799) para obtener aproximadamente 678.43 aspirantes, redondeado a 678, que obtuvieron puntajes entre estos rangos.

Mindmap

Keywords

💡distribución normal

La distribución normal, también conocida como curva gaussiana, es una distribución de probabilidad continua que se utiliza ampliamente en estadística. En el video, se aplica la distribución normal para resolver un problema de probabilidades asociado a los puntajes de aspirantes a una universidad. Se utiliza para encontrar qué porcentaje de los aspirantes obtuvo puntajes entre 500 y 800 puntos.

💡promedio

El promedio, también llamado media, es una medida de tendencia central que representa el valor medio de un conjunto de datos. En el contexto del video, el promedio de los puntajes de los aspirantes es de 659.04 puntos, lo cual es crucial para la conversión de los puntajes a valores z.

💡desviación estándar

La desviación estándar es una medida de dispersion que indica la variabilidad de los datos en torno a la media. Se utiliza para describir la dispersión de los puntajes en el video, donde la desviación estándar es de 104.04 puntos, y es necesaria para el cálculo de los valores z.

💡valores z

Los valores z son transformaciones de los datos que se han centrado y reducido, es decir, se han convertido a una distribución normal estándar con una media de 0 y una desviación estándar de 1. En el video, se calculan los valores z para los puntajes de 500 y 800 puntos para luego encontrar las áreas correspondientes en la distribución normal.

💡área bajo la curva

La área bajo la curva de una distribución normal representa la probabilidad de que un valor caiga dentro de un rango específico. En el video, se busca encontrar la área entre los valores z correspondientes a los puntajes de 500 y 800, que se traduce en la proporción de aspirantes que obtuvieron puntajes dentro de ese rango.

💡R y RStudio

R es un lenguaje de programación y entorno de software para el análisis estadístico y gráfico, mientras que RStudio es un entorno de desarrollo integrado (IDE) para R. En el video, se utiliza RStudio como una calculadora para encontrar los valores z y luego para calcular la probabilidad asociada a los rangos de puntajes.

💡probabilidad

La probabilidad es una medida numérica que varía entre 0 y 1, y representa la chances de que ocurra un evento. En el contexto del video, la probabilidad se utiliza para determinar el porcentaje de aspirantes que obtuvieron puntajes entre 500 y 800 puntos, basado en la distribución normal de sus puntajes.

💡calculadora

Una calculadora es una herramienta que permite realizar operaciones matemáticas. En el video, la consola de R dentro de RStudio se utiliza como una calculadora para encontrar los valores z correspondientes a los puntajes de 500 y 800 puntos.

💡consola de R

La consola de R es la parte del entorno de RStudio donde se escriben y ejecutan los comandos de R. Se utiliza en el video para realizar cálculos, como la obtención de los valores z y la probabilidad bajo la curva normal.

💡distribuciones continuas

Las distribuciones continuas son aquellas en las que los valores posibles son infinitos y continuos, a diferencia de las distribuciones discretas. En el video, se trata de la distribución normal como una distribución continua, donde se calcula la probabilidad en un rango de valores.

💡probabilidades acumuladas

Las probabilidades acumuladas, o probabilidad acumulada, es la probabilidad de que un evento ocurra antes de o en un punto específico. En el video, se utilizan las probabilidades acumuladas para los valores z para encontrar la proporción de aspirantes que obtuvieron puntajes entre 500 y 800.

💡multiplicación de probabilidades

La multiplicación de probabilidades se refiere a la operación de encontrar la probabilidad de que ocurran dos o más eventos independientes. En el video, se multiplica la probabilidad obtenida (0.8491) por el número total de aspirantes (799) para encontrar el número de aspirantes que obtuvieron puntajes dentro del rango deseado.

Highlights

Se realizará un ejercicio aplicando la distribución normal estándar.

Se tiene un total de 799 aspirantes a una universidad.

El promedio de los aspirantes es de 659.04 puntos.

La desviación estándar es de 104.04 puntos.

Se busca cuántos aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos.

Se asume que la distribución es normal para resolver el problema.

Se utilizarán valores z en una distribución normal estándar.

El valor de la media se encuentra justo a la mitad, es decir, 659.04.

Se ubican los puntos 500 y 800 en la distribución.

Se calculan los valores z correspondientes a los puntos 500 y 800.

Se utiliza el programa Rk Word para realizar los cálculos.

Se calcula el primer valor z como 500 - 659.04 / 104.04.

El primer valor z es -1.52866.

Se calcula el segundo valor z como 800 - 659.04 / 104.04.

El segundo valor z es 1.3548.

Se busca la área entre los valores z -1.52866 y 1.3548.

Se calcula la probabilidad correspondiente a los valores z.

La probabilidad al lado izquierdo de -1.52866 es 0.0631.

La probabilidad al lado izquierdo de 1.3548 es 0.9122.

Se determina la proporción de estudiantes que obtuvieron entre 500 y 800 puntos.

Se calcula la diferencia entre las probabilidades de 800 y 500.

El área entre 500 y 800 puntos es igual a 0.8491.

El 84.91% de los aspirantes obtuvo entre 500 y 800 puntos.

Se multiplica el porcentaje por el número total de aspirantes para encontrar la cantidad.

El resultado redondeado indica que 600 aspirantes obtuvieron entre 500 y 800 puntos.