Utiliser une loi de probabilité à densité - Terminale

Summary

Dans cette vidéo, tu apprendras à travailler avec une loi de densité de probabilité continue. Contrairement aux variables aléatoires discrètes comme la loi binomiale, ici les valeurs peuvent être réelles. L'exemple étudié porte sur la production quotidienne d'une entreprise, modélisée par une fonction de densité sur l'intervalle [0, 20]. L'objectif est de calculer la probabilité que la production soit supérieure ou égale à 12 tonnes. Cela implique un calcul intégral de la fonction de densité sur l'intervalle [12, 20], aboutissant à une probabilité d'environ 35 %.

Takeaways

• 📊 Les variables aléatoires étudiées précédemment prenaient des valeurs entières, comme pour la loi binomiale.
• 🧮 Avec les nouvelles variables aléatoires continues, les valeurs peuvent être n'importe quels nombres réels, par exemple, 1,1 ou 1,2.
• 📉 Pour calculer la probabilité qu'une variable continue soit inférieure ou égale à une certaine valeur, il faut mesurer l'air sous la courbe.
• 🧮 Le calcul de l'air sous une courbe implique un calcul intégral.
• 🏭 Exemple pratique : une entreprise produit des briques selon une variable continue X en tonnes, variant entre 0 et 20.
• 🔢 La fonction densité de probabilité donnée pour la production de briques est : f(x) = 0,015x - 0,0075x².
• 📈 La probabilité que la production soit supérieure ou égale à 12 tonnes est représentée par l'air sous la courbe entre 12 et 20 tonnes.
• ✏️ La probabilité cherchée est donnée par l'intégrale de f(x) entre 12 et 20.
• 🧮 Une primitive de la fonction f(x) est calculée pour résoudre l'intégrale.
• 📊 Le résultat final est une probabilité de 0,352, soit environ 35 %, que la production soit supérieure ou égale à 12 tonnes.

Q & A

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue, et comment se distingue-t-elle des variables aléatoires discrètes?

Une variable aléatoire continue peut prendre une infinité de valeurs réelles, par exemple 1, 1.1, 1.2, etc., tandis qu'une variable aléatoire discrète prend des valeurs entières, comme 1, 2, 3, etc.

Comment calcule-t-on la probabilité qu'une variable aléatoire continue soit inférieure ou égale à une certaine valeur?

Pour une variable aléatoire continue, la probabilité est calculée en intégrant la fonction densité sur l'intervalle d'intérêt, ce qui revient à mesurer l'aire sous la courbe sur cet intervalle.

Quelle est la fonction densité de probabilité utilisée dans l'exemple de la production de briques?

La fonction densité de probabilité dans cet exemple est f(x) = 0,015x - 0,0075x², définie sur l'intervalle [0, 20] tonnes.

Quelle est la question principale posée dans cet exemple de production de briques?

La question est de calculer la probabilité que la production quotidienne soit supérieure ou égale à 12 tonnes.

Comment représente-t-on graphiquement une loi à densité continue?

On représente la loi à densité continue en traçant la fonction densité, et la probabilité d'un événement correspond à l'aire sous cette courbe sur l'intervalle de valeurs considérées.

Pourquoi peut-on affirmer que l'aire sous la courbe entre 0 et 20 est égale à 1?

L'aire sous la courbe sur l'intervalle total de définition de la fonction densité (ici entre 0 et 20 tonnes) représente la probabilité totale, qui est toujours égale à 1.

Comment calcule-t-on la probabilité que la production soit supérieure ou égale à 12 tonnes?

On calcule cette probabilité en intégrant la fonction densité f(x) sur l'intervalle [12, 20], ce qui correspond à l'aire sous la courbe entre ces deux valeurs.

Quelle est la primitive de la fonction f(x) utilisée pour le calcul de la probabilité?

La primitive de la fonction f(x) = 0,015x - 0,0075x² est F(x) = 0,0075x² - 0,00025x³.

Quelle est la probabilité trouvée que la production quotidienne soit supérieure ou égale à 12 tonnes?

La probabilité calculée que la production soit supérieure ou égale à 12 tonnes est de 0,352, soit environ 35,2%.

Pourquoi utilise-t-on un calcul intégral pour déterminer cette probabilité?

On utilise un calcul intégral car il permet de calculer l'aire sous la courbe de la fonction densité, ce qui correspond à la probabilité dans le cas d'une variable aléatoire continue.