MOOC Caos 2.2: Sistema dinámicos discretos

Summary

En esta lección, se exploran sistemas dinámicos discretos, con énfasis en mapas unidimensionales como el mapa logístico. Se definen conceptos clave como órbita, punto fijo y punto periódico. Se explica cómo se calculan y representan, usando ejemplos como el mapa cúbico y la ecuación logística. Se destacan las representaciones en series temporales y espacio de fases, y se ilustra cómo los puntos periódicos son puntos fijos de un mapa iterado.

Takeaways

• 🌌 Los sistemas dinámicos discretos son una herramienta útil para describir y comprender ciertas características de los sistemas dinámicos.
• 🔄 Los mapas unidimensionales simples, como los presentados en el capítulo anterior, son una forma conveniente de representar sistemas discretos.
• 🌀 La órbita de un punto en un mapa unidimensional es el conjunto de puntos generados por la iteración del mapa a partir de ese punto.
• 📈 La órbita se puede representar tanto en una serie temporal como en el espacio de fases, mostrando la evolución del sistema con el tiempo.
• 🔍 Los puntos fijos son puntos en los que la aplicación del mapa resulta en el mismo punto, y se pueden calcular algebraicamente o gráficamente.
• 🔢 En el caso de la ecuación logística, los puntos fijos se pueden encontrar al igualar la función al punto y resolver la ecuación resultante.
• 📊 La gráfica de la función 'f' frente a 'x' junto con la diagonal principal ayuda a identificar gráficamente los puntos fijos.
• 🔄 Los puntos periódicos son puntos que, después de una cantidad 'p' de iteraciones del mapa, regresan al mismo punto inicial.
• 🔢 Los puntos periódicos de orden 'p' se pueden hallar al igualar el punto al resultado de aplicar el mapa 'p' veces.
• 📈 La representación en el espacio de fases de un punto periódico muestra una secuencia de puntos que se repiten cada 'p' iteraciones.
• 🔍 Los puntos periódicos también pueden interpretarse como puntos fijos del mapa 'g', que es el mapa 'f' iterado 'p' veces.

Q & A

¿Qué son los sistemas dinámicos discretos y por qué son importantes?

Los sistemas dinámicos discretos son modelos que describen la evolución de sistemas con un enfoque incremental o en pasos, en lugar de de manera continua. Son importantes porque facilitan la descripción y comprensión de características complejas de los sistemas dinámicos, simplificando su análisis y predicción.

¿Cuál es la definición de una órbita en un mapa unidimensional?

La órbita de un punto inicial en un mapa unidimensional es el conjunto de puntos que se generan al aplicar repetidamente la función del mapa al punto inicial.

¿Cómo se determina el punto inicial de una órbita?

El punto inicial de una órbita es el primer punto que se elige en el dominio del mapa y desde el cual se empieza a generar la secuencia de puntos mediante la aplicación repetida de la función del mapa.

¿Qué es un punto fijo en un mapa unidimensional?

Un punto fijo es aquel que, al ser aplicado la función del mapa, da como resultado el mismo punto. Es decir, si 'f' es el mapa, un punto 'x_pf' es fijo si 'f(x_pf) = x_pf'.

¿Cómo se calculan los puntos fijos de la ecuación logística con un parámetro 'r' igual a 2?

Para calcular los puntos fijos de la ecuación logística con 'r' igual a 2, se resuelve la ecuación 'x = 2x(1-x)'. Esto resulta en dos puntos fijos: x = 0 y x = 0.5.

¿Qué métodos se pueden usar para obtener los puntos fijos de un mapa?

Los puntos fijos de un mapa se pueden obtener analíticamente resolviendo la ecuación 'f(x) = x', o gráficamente encontrando la intersección de la curva 'f' con la diagonal principal 'y = x'.

¿Qué es un punto periódico y cómo se define?

Un punto periódico de orden 'p' es un punto 'x_pp' tal que, al aplicar el mapa 'p' veces, se vuelve a obtener el punto inicial. Esto se escribe como 'x_pp = f^p(x_pp)', donde 'f^p' indica la aplicación de la función 'f' 'p' veces.

¿Cómo se representa una órbita periódica en el espacio de fases?

Una órbita periódica en el espacio de fases se representa con un número 'p' de puntos que se repiten periódicamente, mostrando los valores que toma la variable en las iteraciones.

¿Cuál es la relación entre los puntos periódicos y los puntos fijos del mapa iterado?

Los puntos periódicos son puntos fijos del mapa 'g', donde 'g' es la función del mapa 'f' aplicada 'p' veces. Esto significa que 'x_pp = g(x_pp)', siendo 'g(x) = f^p(x)'.

¿Cómo se pueden identificar los puntos periódicos gráficamente?

Los puntos periódicos se pueden identificar gráficamente observando la intersección de la curva del mapa 'g' con la diagonal 'y = x', donde 'g' es el mapa 'f' iterado 'p' veces.