Geometría no Euclidiana
Summary
TLDREste vídeo explica la geometría euclidiana y sus postulados, destacando la controversia del quinto postulado de Euclides. Se exploran las geometrías no euclidianas como la hiperbólica y elíptica, introducidas por matemáticos como Gauss, Lobachevski y Riemann, que negaron el quinto postulado. Se contrasta la suma de los ángulos interiores de un triángulo en geometrías euclidiana, hiperbólica y elíptica, mostrando cómo la curvatura de las rectas determina sus propiedades.
Takeaways
- 📚 La geometría euclidiana debe su nombre a Euclides, considerado el padre de la geometría, quien escribió la obra 'Los Elementos' compuesta por 13 libros.
- 📝 En los primeros cuatro libros de 'Los Elementos', Euclides desarrolla la geometría plana a través de 48 proposiciones o teoremas basados en 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados.
- 🛠️ El quinto postulado de Euclides, conocido como el postulado de las paralelas, dice que si una recta corta a dos otras, formando ángulos internos menores que dos rectos, esas rectas se cortarán en el lado de los ángulos menores.
- ❓ El quinto postulado generó controversia, ya que no era tan evidente como los otros, y durante mucho tiempo los matemáticos intentaron demostrarlo a partir de los otros cuatro postulados, sin éxito.
- 📐 A principios del siglo XIX, matemáticos como Gauss, Lobachevski y Bolyai desarrollaron geometrías alternativas negando el quinto postulado, dando lugar a las geometrías no euclidianas.
- 🔍 Lobachevski formuló la geometría hiperbólica, en la que por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a la dada.
- 🌍 Riemann desarrolló la geometría elíptica, en la que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela.
- 🔺 En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180 grados.
- ⬇️ En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, debido a su curvatura negativa.
- ⬆️ En la geometría elíptica, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados, debido a su curvatura positiva.
Q & A
¿Qué es la geometría euclidiana?
-La geometría euclidiana es un sistema de axiomas y postulados creado por Euclides, que se utiliza para estudiar las propiedades de las formas en un plano bidimensional.
¿Cuál es la importancia de 'Los Elementos' de Euclides?
-En 'Los Elementos', Euclides expone los fundamentos de la geometría plana, compuestos por 13 libros y 48 proposiciones o teoremas, que se deducen de 23 definiciones, cinco axiomas y cinco postulados.
¿Cuáles son los cinco postulados de Euclides?
-Los cinco postulados de Euclides son: 1) Se puede trazar un segmento entre dos puntos dados. 2) Se puede prolongar un segmento tanto como se quiera. 3) Se puede construir una circunferencia dada su centro y radio. 4) Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5) Si una recta corta a otras dos de tal manera que forme ángulos internos menores que dos rectos en el mismo lado, las prolongaciones de dichas rectas se cortarán en el lado de los ángulos menores.
¿Por qué el quinto postulado de Euclides es controvertido?
-El quinto postulado es controvertido porque no es tan evidente como los otros cuatro y su enunciado es complejo. Además, no se pueden deducir propiedades de los otros cuatro postulados y Euclides mismo intentó evitar su uso en sus demostraciones.
¿Qué intentaron hacer varios matemáticos con el quinto postulado de Euclides?
-Diversos matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro sin éxito, lo que llevó a la creación de enunciados equivalentes y posteriormente a la geometría no euclidiana.
¿Quiénes fueron Gauss, Lobachevski y Bolyai y qué的贡献 a la geometría?
-Gauss, Lobachevski y Bolyai fueron matemáticos que contribuyeron a la geometría al desarrollar la geometría no euclidiana, que satisface solo los cuatro primeros postulados y difiere en el quinto.
¿Qué geometría surgió de la negación del quinto postulado de Euclides?
-La negación del quinto postulado de Euclides dio lugar a la geometría hiperbólica, que asume que por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella, y la geometría elíptica, que asume que no pasa ninguna recta paralela.
¿Cómo se diferencia la geometría hiperbólica de la elíptica?
-La geometría hiperbólica tiene una curvatura negativa y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, mientras que en la geometría elíptica la curvatura es positiva y la suma de los ángulos es mayor que 180 grados.
¿Cuál es la relación entre la curvatura de una recta y la suma de los ángulos interiores de un triángulo en las diferentes geometrías?
-En la geometría euclidiana, la curvatura de la recta es cero y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados. En la geometría hiperbólica, la curvatura es negativa y la suma es menor que 180 grados. En la geometría elíptica, la curvatura es positiva y la suma es mayor que 180 grados.
¿Cómo影响了 la geometría no euclidiana nuestra comprensión del universo?
-La geometría no euclidiana ha influido en nuestra comprensión del universo al proporcionar herramientas matemáticas para describir contextos donde la geometría euclidiana no es adecuada, como en la relatividad general y en la cosmología.
Outlines
📐 Introducción a la Geometría Euclidiana
En este primer párrafo, el vídeo comienza explicando la importancia de la geometría euclidiana y su relación con Euclides, considerado el padre de la geometría. Se menciona su obra 'Los Elementos', compuesto por 13 libros, donde los cuatro primeros tratan sobre la geometría plana. Se destaca que esta geometría se construye sobre 23 definiciones, cinco axiomas y cinco postulados, los cuales forman el pórtico axiomático. Se enfatiza la importancia de los cinco postulados de Euclides, especialmente el quinto, que ha generado controversia debido a su complejidad y la dificultad de deducir propiedades a partir de él. El quinto postulado, conocido como el postulado de las paralelas, es el que más ha sido cuestionado y que llevó a matemáticos como Gauss a buscar demostraciones alternativas.
🌐 Geometría No Euclidiana y sus Fundadores
El segundo párrafo se centra en la evolución de la geometría euclidiana hacia la no euclidiana. Se menciona a matemáticos como Gauss, Lobachevski y Bolyai, quienes independientemente trabajaron en la negación del quinto postulado de Euclides. Se explica cómo la negación del quinto postulado dio lugar a dos nuevas ramas de la geometría: la hiperbólica y la elíptica. La geometría hiperbólica, propuesta por Lobachevski, asume que hay infinitas rectas paralelas a una dada a partir de un punto exterior, mientras que la geometría elíptica, desarrollada por Riemann, asume que no hay rectas paralelas a una dada a partir de un punto exterior. Se destaca que ambas teorías son consistentes y se aplican a la realidad, lo que desafía la validez del quinto postulado euclidiano.
🔍 Análisis de la Curvatura en Geometría
El tercer párrafo concluye el vídeo analizando cómo la curvatura de las rectas diferencia a las distintas ramas de la geometría. Se menciona que en la geometría euclidiana, la curvatura es cero y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180 grados. En cambio, en la geometría hiperbólica, la curvatura es negativa y la suma de los ángulos es menor a 180 grados, mientras que en la geometría elíptica, la curvatura es positiva y la suma es mayor a 180 grados. Esto se ilustra con ejemplos de triángulos en diferentes tipos de planos. El vídeo termina con un agradecimiento y una invitación a los espectadores a reflexionar sobre las diferencias fundamentales entre estas teorías geométricas.
Mindmap
Keywords
💡Geometría Euclidiana
💡Euclides
💡Postulados de Euclides
💡Postulado de las Paralelas
💡Geometría No Euclidiana
💡Geometría Hiperbólica
💡Geometría Elíptica
💡Curvatura
💡Ángulos Rectos
💡Teorema de la Suma de los Ángulos de un Triángulo
Highlights
La geometría euclidiana se debe a Euclides, considerado el padre de la geometría.
Euclides en su obra 'Los Elementos' compuesto por 13 libros.
Los cuatro primeros libros tratan de la geometría euclidiana o plana.
La geometría plana incluye 48 proposiciones o teoremas.
Los teoremas se deducen de 23 definiciones, cinco axiomas y cinco postulados.
El pórtico axiomático conformado por 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados.
El quinto postulado es controversial y menos evidente que los demás.
Euclides evitaba usar el quinto postulado en sus demostraciones.
El quinto postulado también conocido como el postulado de las paralelas.
Intentos fallidos de demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro.
Gauss, Lobachevski y Bolyai desarrollaron geometrías sin usar el quinto postulado.
La geometría hiperbólica nace de la negación del quinto postulado.
Riemann desarrolló la geometría elíptica, otra forma de geometría no euclidiana.
La geometría elíptica se basa en la negación de la existencia de rectas paralelas.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados en geometría euclidiana.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor a 180 grados en geometría hiperbólica.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180 grados en geometría elíptica.
La diferencia entre las geometrías se encuentra en el valor de la curvatura de las rectas.
Transcripts
bueno en este vídeo voy a hablar acerca
de la geometría euclidiana pero antes
voy a hacer un repaso de que es la
geometría euclidiana la geometría
euclidiana tal y como su nombre lo
indica se lo debe a un líder quien es
considerado como el padre de la
geometría de euclides en su obra los
elementos el cual está compuesto por 13
libros en los cuatro primeros trata de
la geometría euclidiana o también
conocida como geometría plana que
incluyen 48 proposiciones o también
llamados teoremas los cuales se deducen
lógicamente de un conjunto de 23
definiciones cinco axiomas con nociones
comunes y cinco postulados
entre las 23 definiciones los 5 acciones
y los 5 postulados conforman el pórtico
axiomático
entonces mediante la aplicación de este
pórtico cromático euclides en su obra
formula las premisas más importantes de
la geometría de estas premisas deriva la
totalidad de la geometría plana
ahora vamos a trabajar acerca de los
cinco postulados de euclides más
específicamente del quinto postulado
tenemos el primer postulado es posible
trazar un segmento entre dos puntos
dados
el segundo postulado es posible
prolongar un segmento tanto como se
quiera
el tercer postulado es posible construir
una circunferencia si se da en el centro
y el radio de la misma
el cuarto postulado todos los ángulos
rectos son iguales entre sí y por último
tenemos al quinto postulado que dice si
una recta al cortar otras dos forma de
un mismo lado ángulos internos menores
que dos rectos las prolongaciones de
dichas rectas se cortarán del lado en
que están los ángulos menores que los
rectos
este quinto postulado es el que presenta
mayor controversia porque
porque no era tan evidente como los
cuatro primeros postulados que mencioné
anteriormente evidente en el sentido que
a diferencia de los otros cuatro de este
quinto no se podían deducir propiedades
y su enunciado era bastante complejo
esta característica llamó la atención de
varios matemáticos de la época que lo
colocaban más cerca de una proposición
que de un postulado el mismo euclides
notó esta diferencia en su momento y
evitó usarlo lo más posible
solamente lo introdujo para demostrar la
proposición 29 que dice una recta que
corta a dos paralelas forma con ellas
ángulos alternos internos iguales
correspondientes es por esto que el
quinto postulado se lo denomina como el
postulado de las paralelas
entonces al ser considerado el quinto
postulado como una proposición más que
como un postulado durante muchos años
varios matemáticos intentaron
demostrarlo a partir de los otros cuatro
pero no tuvieron éxito estos sucesivos
intentos de demostración no dieron otro
resultado más que llevarlo a enunciados
equivalentes por ejemplo por un punto
exterior a una recta se puede trazar una
y solo una paralela a dicha recta
a principios del siglo 19
varios matemáticos importantes se
percataron que existían geometrías
distintas tan consistentes como la de
upyd uno de ellos fue el gauss
quien en 1826 ya había manifestado la
existencia de geometrías distintas sin
el uso del quinto postulado y que eran
aplicables a la realidad pero no pudo
demostrar que eran consistentes entonces
no pudo publicar sus trabajos se acerca
a esta teoría por temor a que sus ideas
fueran consideradas evaluaciones
insensatas entonces sus trabajos fueron
publicados luego de su muerte
quienes continuaron con la idea de gauss
fueron los matemáticos lobatchewski y
golean los baches que publicó su trabajo
en 1826 y volear en 1832
ambos trabajaron de manera independiente
pero fue lobatchewski quien asume que el
quinto postulado de euclides era falso
y se previó en evans
existen dos formas de negar el quinto
postulado una de ellas es por un punto
exterior a una recta no se puede trazar
ninguna recta paralela a la dada la otra
sería por un punto exterior a una recta
pasan infinitas rectas paralelas a ella
la noche es que al negarlo intento
demostrarlo por el absurdo lo que quería
era llegar a una contradicción
pero lejos de llegar a una contradicción
descubra que se puede obtener una teoría
perfectamente consistente comenzando con
un postulado que en un 100 que las
rectas paralelas y existen pero que
nieguen que son únicas
de esta manera nace la geometría
hiperbólica que toma como postulado la
siguiente negación del quinto postulado
del plane
por un punto exterior a una recta pasan
infinitas rectas paralelas a ellos
también conocido como el postulado de
las paralelas de loeches
otro matemático importante de la época
fue rima
riman público sus trabajos en mil 968
este estudio la geometría sobre una
superficie esférica
y demostró que si se descarta la
infinidad de una recta y se admite que
es indefinida se puede desarrollar otro
tipo de geometría así nace la geometría
elíptica el cual toma como postulado la
siguiente negación del quinto postulado
de euclides
por un punto exterior a una recta no
pasa ninguna recta paralela a ese
también conocido como el postura
postulado de las paralelas de rima
podemos concluir entonces que la
geometría hiperbólico de gauss
lobatchewski y goliat y la geometría
elíptica de rima son las que conforman
la geometría no euclidiana la cual
satisface sólo los cuatro primeros
postulados y difieren en el quinto por
lo tanto en esta geometría el quinto
postulado de euclides deja de ser válido
ahora vamos a tomar en cuenta el teorema
referido a la suma de los ángulos
interiores de un triángulo
de la geometría euclidiana se deduce el
siguiente teorema
la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a 180 grados
y observamos en la imagen vemos que la
curvatura de la recta es cero
ahora sí este ejemplo lo llevamos a un
plano plano donde sobre el gráfica mos
un triángulo y luego medimos sus ángulos
interiores encontraremos que la suma de
los mismos es igual a 180 grados
de la geometría euclidiana vamos a la
geometría hiperbólico
de esta geometría se deduce el siguiente
teorema
[Música]
la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es menor que 180 grados en
este caso vemos que la curvatura de la
recta es negativa o sea que son abiertas
si este ejemplo lo llevamos a un plan
hiperbólico y sobre el gráfica mos un
triángulo y luego medimos sus ángulos
interiores la suma de los mismos es
menor que 180 grados
por último tenemos a la geometría
elíptica de este se deduce el siguiente
teorema
la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es mayor que 180 grados
en este último caso la curvatura es
positiva o sea que son curvas cerradas
si llevamos este modelo a un plano
esférico y gráfica moss sobre él un
triángulo y luego medimos sus ángulos
interiores hallaremos que la suma de los
mismos es mayor que 180 grados
bueno luego de este análisis podemos
concluir que la diferencia entre estos
tres modelos de geometrías es el valor
de la curvatura de las rectas
entonces podemos concluir
que ésta sería una forma también de
diferenciar la geometría euclidiana de
la acción maestría no neutra
espero que les haya gustado el vídeo
gracias
[Música]
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