Los Universos Paralelos Ocultos Vienen de Hace Muchos Años...

Summary

This script delves into the history and significance of Euclid's 'Elements,' a foundational text in mathematics second only to the Bible in number of editions. It explores the enigmatic fifth postulate, which led to the development of non-Euclidean geometries, such as hyperbolic and spherical geometries. The narrative follows the journey of mathematicians like Gauss, Bolyai, and Lobachevsky, who challenged and expanded Euclidean principles. The script also connects these mathematical concepts to Einstein's theory of general relativity and the curvature of spacetime, highlighting their relevance to understanding the universe's structure. It concludes by discussing the implications of a flat universe and the cosmic microwave background, emphasizing the role of geometry in cosmology.

Takeaways

• 📚 Euclid's 'Elements' was a foundational text in mathematics for over 2000 years, second only to the Bible in the number of editions published.
• 🤔 For centuries, mathematicians were troubled by a single phrase in Euclid's work, which seemed to be an error, but eventually realized that Euclid was not mistaken.
• 🔍 The fifth postulate of Euclid, concerning the uniqueness of parallel lines, was a point of contention and led to the development of non-Euclidean geometries.
• 🌐 The concept of non-Euclidean geometry introduced the idea of multiple parallel lines through a point, which was a radical departure from Euclidean geometry.
• 🛰️ The geometry of our universe, as understood through Einstein's theory of relativity, relies on the understanding of curved spaces, which is a fundamental aspect of non-Euclidean geometry.
• 🧵 The development of non-Euclidean geometry was a significant breakthrough, showing that there are consistent mathematical systems that do not adhere to Euclid's fifth postulate.
• 🎻 Janos Bolyai, a 17-year-old student, spent countless days and nights working on the mystery of parallel lines, leading to the discovery of a new and strange universe within non-Euclidean geometry.
• 🎼 Carl Friedrich Gauss, a renowned mathematician, had also independently discovered non-Euclidean geometry but chose not to publish his findings for fear of ridicule.
• 🌌 The geometry of the universe can be explored through the cosmic microwave background (CMB), which provides a snapshot of the universe at a very early stage.
• 📏 Gauß's experiment attempted to measure the curvature of space itself by measuring the angles of a triangle formed by mountains, which was a precursor to modern cosmological measurements.
• 📉 The Planck mission data suggests that the universe is remarkably flat, with a curvature close to zero, which is a significant finding in cosmology.

Q & A

What is the significance of Euclid's 'Elements' in the history of mathematics?

Euclid's 'Elements' is significant as it was the reference text for over 2000 years and has been published in more editions than any other book except the Bible. It summarized all known mathematics at the time, establishing a foundation for geometry and number theory.

What was the main issue with the fifth postulate of Euclid's 'Elements'?

The fifth postulate, also known as the parallel postulate, was problematic because it seemed more complex than the other postulates and appeared to be a mistake. It states that if a straight line crosses two other straight lines and forms inner angles on the same side that are less than two right angles, the two lines will eventually intersect on that side.

What is the parallel postulate and why was it so controversial?

The parallel postulate states that for a given line and a point not on that line, there is exactly one line through the point that does not intersect the given line. It was controversial because it was more complex than Euclid's other postulates, and many mathematicians attempted to prove it as a theorem from the first four postulates without success.

Who was Janos Bolyai and what did he discover?

Janos Bolyai was a Hungarian mathematician who, despite warnings from his father, dedicated himself to solving the mystery of the parallel postulate. He discovered a new and strange universe where more than one line could be parallel to a given line, leading to the development of non-Euclidean geometry.

What is non-Euclidean geometry and how does it differ from Euclidean geometry?

Non-Euclidean geometry is a type of geometry in which the first four postulates of Euclid are accepted, but the fifth postulate (parallel postulate) is not. It differs from Euclidean geometry in that it allows for more than one line to be parallel to a given line through a point not on the line, and it is based on different assumptions about the nature of space.

What is the Poincaré disk model of hyperbolic geometry?

The Poincaré disk model is a visual representation of hyperbolic geometry where the entire hyperbolic plane is represented within a disk. In this model, lines are represented as circular arcs that are orthogonal to the boundary of the disk, and points are within the disk. It demonstrates the properties of hyperbolic geometry, such as the fact that the sum of angles in a triangle is less than 180 degrees.

How did Carl Friedrich Gauss contribute to the understanding of non-Euclidean geometry?

Carl Friedrich Gauss was a mathematician who, independently of Bolyai, discovered non-Euclidean geometry. He found that it was consistent and named it 'non-Euclidean' geometry. However, he decided not to publish his findings for fear of ridicule. Gauss also contributed to the understanding of the geometry of the Earth and the consistency of spherical geometry.

What is the significance of the discovery of gravitational waves?

The discovery of gravitational waves is significant as it confirms predictions made by Einstein's theory of general relativity. Gravitational waves are ripples in the fabric of spacetime caused by some of the most violent and energetic processes in the universe, such as the merger of black holes.

How does the theory of general relativity relate to the geometry of the universe?

The theory of general relativity posits that massive objects curve spacetime around them, and this curvature affects the motion of other objects. The theory is based on the idea that the geometry of spacetime is not flat but curved, and this curvature is what we perceive as gravity.

What is the cosmic microwave background (CMB) and why is it important for understanding the universe's geometry?

The cosmic microwave background (CMB) is the thermal radiation left over from the early universe, shortly after the Big Bang. It is important for understanding the universe's geometry because it provides a snapshot of the universe when it was only 380,000 years old. By studying the CMB, scientists can measure the curvature of the universe and determine whether it is flat, spherical, or hyperbolic.

What is the current understanding of the universe's curvature based on observations?

Based on observations from missions like Planck, the current understanding is that the universe is very close to being flat, with a curvature of approximately zero within the margin of error. This suggests that the geometry of the universe is Euclidean on large scales.

Outlines

00:00

📚 The Legacy and Mystery of Euclid's Elements

This paragraph delves into the historical significance of Euclid's 'Elements,' which, aside from the Bible, has been published more than any other book and served as the reference text for over 2000 years. It discusses a lingering doubt among mathematicians about a single phrase that seemed erroneous. The narrative then shifts to reveal that Euclid was not mistaken, but rather, small changes in the interpretation of this phrase opened up new and strange mathematical universes. The paragraph concludes with the intriguing discovery that these universes are crucial for understanding our own universe, setting the stage for a deep dive into the evolution of mathematical thought.

05:01

🤔 The Euclidean Postulate and the Search for Truth

The focus here is on Euclid's approach to summarizing all known mathematics into a single comprehensive book, the 'Elements,' which included 465 theorems based on definitions, common notions, and postulates. The paragraph particularly highlights the fifth postulate, which has been a subject of debate for centuries. It describes the attempts by various mathematicians to prove or disprove it, leading to the realization that it might be an independent axiom. The narrative introduces the concept of parallel lines and the implications of the fifth postulate on the understanding of Euclidean geometry.

10:02

🌐 The Birth of Non-Euclidean Geometries

This paragraph introduces the revolutionary idea of non-Euclidean geometries, which challenged the traditional Euclidean model. It tells the story of János Bolyai, a young mathematician who, against his father's advice, dedicated himself to solving the mystery of parallel lines. Bolyai's work led to the discovery of hyperbolic geometry, a geometry where multiple lines can be parallel to a given line through a point not on it. The paragraph explains the concept of geodesic lines on curved surfaces and introduces the hyperbolic plane, which is likened to a crochet piece that expands exponentially, creating infinite folds.

15:04

🎻 Bolyai's Life and the Development of Non-Euclidean Geometry

The narrative shifts to Bolyai's personal life, highlighting his multiple passions, including mathematics, playing the violin, and dueling. It describes his arrogance and the difficulties it caused in his military career, particularly an incident where he dueled with 13 officers. Despite his love for dueling, Bolyai's first love remained mathematics. The paragraph also discusses Carl Friedrich Gauss's independent discovery of non-Euclidean geometry and his decision not to publish his findings for fear of ridicule. It touches on the concept of spherical geometry and Gauss's work as a geodesist, which involved measuring the Earth.

20:06

🌌 The Evolution of Geometric Understanding and the Impact of Gauss

This paragraph discusses the evolution of non-Euclidean geometry and Gauss's pivotal role. It reveals that Gauss's private correspondence acknowledged the consistency of non-Euclidean geometry and his own earlier discoveries in this field. The narrative also covers the development of spherical geometry as a valid non-Euclidean geometry, following a modification to Euclid's second postulate. The paragraph concludes with a reflection on Euclid's fifth postulate, suggesting that while Euclid was correct, his approach to defining fundamental geometric concepts was flawed.

25:06

🛰️ The Implications of Curved Geometries in Modern Physics

The final paragraph explores the implications of curved geometries in the context of Einstein's theory of general relativity. It explains how Einstein's happiest thought led to the understanding that gravity is not a force but a curvature of spacetime caused by massive objects. The paragraph describes how this curvature affects the paths of light and the perception of straight lines, as evidenced by the observation of a supernova and gravitational lensing. It concludes with the current understanding that the universe is flat, based on measurements from the cosmic microwave background (CMB), and reflects on the significance of these mathematical concepts in understanding the fabric of the universe.

Keywords

💡Euclid

Euclid is known as the father of geometry, and his work 'Elements' has been one of the most influential textbooks in the field of mathematics for over 2000 years. His approach to geometry was foundational in establishing axiomatic systems and deductive reasoning. In the script, Euclid's work is highlighted for its historical significance and for introducing the concept of postulates, which are fundamental assumptions that cannot be proven but are accepted as true for the purpose of deriving other truths.

💡Postulates

Postulates are fundamental assumptions or axioms that form the basis of a logical system. In the context of the script, Euclid's 'Elements' is noted for its use of postulates to build mathematical proofs. Euclid's fifth postulate, in particular, is highlighted as a source of controversy and a key point of contention that led to the development of non-Euclidean geometries.

💡Non-Euclidean Geometries

Non-Euclidean geometries are geometric systems that do not subscribe to Euclid's fifth postulate, which states that through a point not on a given line, there is exactly one line parallel to the given line. The script discusses how mathematicians like Gauss, Bolyai, and Lobachevsky explored geometries where this postulate does not hold, leading to the discovery of spherical and hyperbolic geometries.

💡Hyperbolic Geometry

Hyperbolic geometry is a type of non-Euclidean geometry where, contrary to Euclidean geometry, through a point not on a given line, there are infinitely many lines parallel to the given line. The script describes how János Bolyai and Nikolai Lobachevsky independently developed hyperbolic geometry, which allows for multiple lines to be parallel to a given line through a point not on the line.

💡Spherical Geometry

Spherical geometry is another form of non-Euclidean geometry where the surface of a sphere is considered. In this geometry, lines are represented by great circles, and the sum of angles in a triangle exceeds 180 degrees. The script mentions spherical geometry in the context of Earth's surface and how it contrasts with Euclidean geometry.

💡Geodesics

Geodesics are the shortest paths between two points on a curved surface, such as a sphere or a hyperbolic plane. In the script, geodesics are mentioned as the 'straightest' lines on a curved surface, illustrating how the concept of a straight line can vary depending on the geometry of the space.

💡Poincare Disk Model

The Poincare disk model is a representation of hyperbolic geometry in two dimensions. It is a disk where the lines are circular arcs perpendicular to the boundary of the disk, and points are within the disk. The script uses this model to explain how hyperbolic geometry can be visualized and how it differs from Euclidean geometry.

💡General Theory of Relativity

The general theory of relativity, proposed by Albert Einstein, is a theory of gravitation that describes gravity not as a force but as a curvature of spacetime caused by mass and energy. The script discusses how Einstein's theory revolutionized our understanding of gravity and spacetime, incorporating the principles of non-Euclidean geometries to explain phenomena like gravitational lensing.

💡Gravitational Lensing

Gravitational lensing is a phenomenon where light from a distant source is bent by the gravitational field of a massive object, causing the light to follow a curved path. The script describes an instance where astronomers observed a supernova appearing in multiple places due to the gravitational lensing effect caused by a massive galaxy弯曲着空间-时间.

💡Cosmic Microwave Background (CMB)

The Cosmic Microwave Background (CMB) is the thermal radiation left over from the early universe, shortly after the Big Bang. The script mentions the CMB in the context of studying the geometry of the universe, as the uniformity and small fluctuations in the CMB can provide insights into the overall curvature and structure of the universe.

💡Flat Universe

A flat universe is a cosmological model where the large-scale geometry of the universe is Euclidean, meaning that the cosmic microwave background radiation has a temperature that is nearly uniform. The script discusses how measurements from the Planck mission suggest that the universe is very close to being flat, which has implications for our understanding of the universe's geometry and fate.

Highlights

A single phrase in one of the oldest math books held the key to understanding the universe.

Euclid's 'Elements' has been published in more editions than any other book except the Bible and was the reference text for over 2000 years.

Mathematicians had doubts about a phrase that seemed like a mistake in Euclid's work.

Euclid's fifth postulate, also known as the parallel postulate, was the subject of controversy and attempts to prove it from the first four postulates.

Attempts to prove the fifth postulate directly failed, leading to alternative approaches like proof by contradiction.

The concept of non-Euclidean geometry emerged when mathematicians like Alhazen and Omar Khayyam explored the implications of the fifth postulate being false.

János Bolyai spent years working on the parallel postulate and eventually imagined a world where more than one line could be parallel to a given line through a point.

Bolyai's work led to the discovery of hyperbolic geometry, where multiple lines can be parallel to a given line on a curved surface.

Hyperbolic geometry was further developed with the Poincaré disk model, where lines are arcs of circles intersecting the disk at right angles.

Carl Friedrich Gauss, a prominent mathematician, had also explored non-Euclidean geometry but chose not to publish his findings for fear of ridicule.

Gauss's work on spherical geometry, which is relevant to our understanding of the Earth's surface, contributed to the development of non-Euclidean geometries.

Nikolai Lobachevsky independently discovered non-Euclidean geometry before Bolyai, but his work was published later.

Euclid's fifth postulate turned out to be correct, but his definitions of points, lines, and planes were criticized for being recursive and lacking clarity.

The development of non-Euclidean geometries challenged the traditional Euclidean model and expanded our understanding of mathematical space.

Einstein's theory of general relativity, proposed in 1915, is based on the principles that the laws of physics are the same in all inertial frames and that the speed of light is constant.

In general relativity, gravity is not a force but a curvature of spacetime caused by massive objects.

The behavior of light and objects in a gravitational field, such as a galaxy acting as a gravitational lens, demonstrates the curvature of spacetime.

Observations of gravitational waves and the cosmic microwave background (CMB) provide evidence for the predictions of general relativity and the curvature of spacetime.

The Planck mission data suggests that the universe is flat, with a curvature close to zero, which is consistent with the predictions of general relativity.

The study of non-Euclidean geometry and its implications has been fundamental in understanding the universe and the theory of general relativity.

Transcripts

una sola frase en uno de los libros de

matemáticas más antiguos tenía la clave

para comprender el universo elementos de

euclides se ha publicado en más

ediciones que ningún otro libro Con

excepción de la Biblia fue el texto de

referencia por más de 2000 años pero

durante ese tiempo los matemáticos

tenían dudas de una sola frase que

parecía un

error a la larga algunos de los mejores

matemáticos se dieron cuenta de que

después de todo euclides no se equivocó

Pero había más en la historia pequeños

cambios en esta frase abrieron universos

nuevos y extraños de la

nada sorprendentemente 80 años después

descubrimos que esos extraños universos

son clave para entender nuestro propio

[Música]

universo alrededor del 300 antes de

Cristo el matemático griego euclides

asumió un proyecto enorme resumir todas

las matemáticas conocidas en ese

entonces para básicamente crear un solo

libro que contuviera todo lo que se

sabía de las

Matemáticas pero no era una tarea fácil

antes de euclides había un pequeño

problema con las matemáticas se

demostraban las cosas pero lo hacían

dándole vueltas porque un triángulo

tiene 180 gr Porque si tomas dos líneas

par sí Pero puede haber paralelas Ah

puedes hacer un cuadrado Pero por qué

existe el cuadrado había esta

recursividad infinita de la razón

fundamental por la que algo es verdadero

es como en el diccionario cada palabra

se define en función de otras palabras

Cómo se llega a la verdad fundamental

euclides usó la solución que

introdujeron los griegos aceptemos que

unas cuantas de las cosas más simples y

básicas son

verdaderas Estos son nuestros postulados

con base en los postulados podemos

probar teoremas de uno en uno para

construir la matemática usando la lógica

mientras estas primeras afirmaciones

sean verdaderas todo lo que siga a

partir de ellas debe debe ser

definitivamente verdadero perfeccionó la

regla de oro de las pruebas matemáticas

rigurosas en la que se basa toda la

matemática moderna euclides usó este

método cuando publicó su serie de 13

libros llamada elementos en la que

demostró

465 teoremas cubriendo casi todas las

matemáticas conocidas por entonces

incluso geometría y teoría de números y

todos estos teoremas se basaban en

algunas definiciones unas cuantas

nociones comunes y

postulados vamos directo al libro uno y

este libro empieza en definiciones por

ahí hay que empezar las definiciones son

un punto es lo que no tiene partes una

línea es una longitud sin anchura y los

extremos de una línea Son puntos por

línea se refería a una curva y esta

tiene

extremos una línea recta es aquella que

yace igualmente respecto a sus puntos

etcétera etcétera hizo 23 definiciones y

luego están los cinco postulados

los primeros cuatro son sencillos uno si

tienes dos puntos puedes trazar una

línea recta entre ellos dos toda línea

recta se puede prolongar

indefinidamente tres dado un centro y un

radio se puede trazar un círculo y

cuatro todos los ángulos rectos son

iguales entre sí el postulado cinco se

pone más serio Qué es que si una línea

recta al incidir sobre dos líneas rectas

hace los ángulos interiores del mismo

lado menores que dos ángulos rectos

las dos líneas rectas prolongadas

indefinidamente se encontrarán en el

mismo lado de los ángulos menores a dos

ángulos

rectos de qué Rayos está hablando es un

postulado los demás son como de media

oración y son más que obvios y llega el

cinco de repente y es todo un párrafo

Qué está

haciendo esto hizo sospechar a los

matemáticos parecía que euclides se

había equivocado el filósofo griego

proclo pensó que el postulado C de debía

incluso ser eliminado de los postulados

porque es un teorema pero si es un

teorema deberíamos poder demostrarlo a

partir de los primeros cuatro postulados

y esto fue lo que muchos intentaron

algunos Incluyendo a tolomeo y proclo

creyeron que lo habían logrado pero no

era así de hecho todo lo que pudieron

hacer fue reformular el postulado cinco

con otras

palabras este es uno de esos enunciados

si tienes una recta y un punto que no

está en esa recta entonces hay un una

única recta que será paralela a la

primera recta Esta es la razón de que el

quinto postulado a veces se le llame el

postulado de las paralelas cuando falló

el método de la demostración directa

otros matemáticos como alhen y Omar

kayam intentaron un enfoque distinto la

prueba por contradicción La idea es

simple mantienes los primeros cuatro

postulados iguales pero asumes que el

quinto es falso entonces usas esos

nuevos postulados para demostrar

teoremas Y si llegas a una contradicción

por ejemplo verdadero es igual a falso

entonces significa que tu nuevo quinto

postulado debe estar equivocado y por

tanto la única opción restante es que la

versión de euclides del quinto postulado

es correcta y habrás demostrado El

quinto postulado y Qué pasaría si el

quinto postulado fuera falso Según

euclides por un punto que no está en una

recta puede pasar solo una recta que sea

paralela a la primera una alternativa es

que no se pudieran trazar rectas

paralelas que pasen por ese punto Ay

Quiénes lo entar y vieron que entonces

la longitud de las líneas tenía que ser

finita y eso no puede ser esa opción se

descartó contradecía el segundo

postulado que dice que las rectas se

pueden prolongar

indefinidamente la otra alternativa es

que se puede trazar más de una línea

paralela por un punto que no esté en la

primera recta Así que eso es lo que

hicieron asumieron que el quinto

postulado fallaba y pensaban esto tiene

que estar mal Dónde está la no podían

encontrar la contradicción entonces la

prueba por contradicción también falló

en total los matemáticos pararon más de

2000 años tratando de probar El quinto

postulado pero todos los que trataron

[Música]

fallaron y así cerca de 1820 hanos bolay

un estudiante de 17 años comenzó a pasar

sus días y noches trabajando en este

misterio su papá se preocupó y le

escribió a su hijo no Deberías intentar

este acercamiento a las paralelas

conozco ese camino hasta el final ya

atravesé esa noche sin fondo que

extinguió toda la luz y alegría de mi

vida te lo ruego deja la ciencia de las

paralelas por la paz aprende de mi

ejemplo pero el joven bolay no le hizo

caso a su padre no podía dejar la

ciencia de las paralelas por la paz

después de años de trabajo se dio cuenta

de que tal vez el quinto postulado no

podía probarse con los otros cuatro

podía ser totalmente

independiente de acuerdo con euclides

solo puede pasar una línea paralela por

un punto pero volay imaginó un mundo en

el que pudieran pasar más de una línea

paralela por ese punto Pero cómo bueno

Quién dijo que se necesitaba tener una

superficie plana en una superficie curva

como esta se pueden trazar más de una

línea que sea paralela a la recta

original pero esperen un momento esas

líneas no se ven

rectas Bueno lo que hace especial a las

líneas rectas es que son el camino más

corto entre dos puntos en esta

superficie esos caminos más cortos se

ven curvados porque las superficie es

curva aquí hay un ejemplo más familiar

los aviones intentan Volar por el camino

más corto entre dos ciudades básicamente

vuelan en línea recta pero esa línea no

se ve recta en un mapa porque la

superficie es curva estos caminos más

cortos en superficies curvas se llaman

geodésicas entonces todas estas líneas

son rectas pero no se ven rectas porque

el mundo que imaginó B era curvo ahora

conocemos esto como geometría

hiperbólica

cuando solía pensar en un plano

hiperbólico me lo imaginaba como una

enorme silla de montar pero en realidad

no es así el plano hiperbólico se parece

mucho más a esta pieza de crochet

empieza muy plano y uniforme en el

centro Pero conforme se mueve hacia

fuera se crea cada vez más y más tela Y

eso aleja a las líneas

paralelas y entre más afuera vayamos la

cantidad de tela va a crecer

exponencialmente y termina provocando

estos pliegues Así que si quieres pensar

en el plano hiperbólico creo que debes

pensar en sillas de montar en sillas de

montar en sillas de montar como un caos

de pliegues infinitos pero esa pequeña

pieza de crochet no es todo el plano

hiperbólico para mostrarlo tenemos que

hacer un mapa uno en donde quepa todo el

plano en un

disco para Mostrar cómo funciona vamos a

llenar todo el plano con estos

triángulos empezando en el centro como

en el crochet todo se ve muy normal Pero

conforme nos alejamos del centro tenemos

todo este espacio extra y podemos meter

más y más triángulos Parece que son más

chicos Pero en realidad son del mismo

tamaño ahora como el plano hiperbólico

es infinito se pueden agregar triángulos

por siempre y todos tienen que caber en

el disco a medida que nos acercamos a la

orilla los triángulos van a parecer cada

vez más

pequeños infinitamente más pequeños

interminables y nunca lograremos

alcanzar la orilla

esto se conoce como el modelo del disco

de poincare aquí las líneas rectas son

arcos de círculos que intersecan el

disco a 90 gr Y al igual que en la forma

original una línea recta en el centro se

ve recta mientras que las líneas rectas

cercanas a ella Parecen

curvarse lo extraordinario es que bji

aún no tenía un modelo de geometría

hiperbólica solo estaba trazando

triángulos euclidianos asumiendo que el

quinto postulado de euclides no se

sostenía Y aunque bji descubrió que el

comp atamiento en la geometría

hiperbólica es muy distinto al de la

euclidiana matemáticamente parecía igual

de

consistente en 1823 hanos con 20 años le

escribió a su papá descubrí cosas tan

maravillosas que me

fascinaron de la nada creé un nuevo y

extraño

universo pero Bay había estado haciendo

más que solo abordar antiguos misterios

matemáticos en sus 20 se unió al

ejército donde siguió desarrollando

otras dos de sus pasiones tocar el

violín y batirse en Duelo dominaba a

ambas pero Especialmente con la espada

no tenía rival quizá por sus muchos

talentos bolay se volvió arrogante y le

era difícil aceptar la autoridad de sus

superiores eso hacía que fuera difícil

llevarse bien con él esto llegó a un

punto álgido cuando durante uno de sus

despliegues 13 oficiales de caballería

de su guarnición lo retaron a un duelo

Bay aceptó el reto con la condición de

que después de cada dos duelos pudiera

tocar su violín un momento bji peleó con

cada uno sucesivamente y ganó los 13

duelos dejando a sus adversarios en la

[Música]

plaza Aunque a bolj le encantaban los

duelos su primer amor seguía siendo las

matemáticas en 1832 9 años después de

haber descubierto su extraño y nuevo

universo publicó sus hallazgos como un

apéndice de 24 páginas en el libro de

texto de su padre farcas bolji

extremadamente orgulloso y emocionado

por el trabajo de su hijo se lo envió a

quien Quizá es el mejor matemático de

todos los tiempos Carl thed gaus después

de estudiarlo detenidamente gaus

respondió meses después elogiarlo

equivaldría a elogiarme a mí mismo ya

que todo el contenido de la obra

coincide casi exactamente con mis

propias meditaciones que han ocupado mi

mente los últimos 30 o 35

años años antes gaus había recorrido un

un camino similar en 1824 Le escribió

una carta privada a uno de sus amigos en

la que describía haber descubierto una

geometría curiosa con teoremas

paradójicos y para los no iniciados

absurdos por ejemplo escribía gaus los

tres ángulos del triángulo pueden ser

tan pequeños como se desee si solo se

toman los lados lo suficientemente

grandes sin embargo el área del

triángulo nunca puede exceder un límite

definido En otras palabras se puede

tener un triángulo infinitamente largo

pero el área es

finita se puede ver por qué con el

modelo del disco de poincare un

triángulo pequeño se ve bastante normal

Pero conforme se hace más grande los

ángulos se vuelven cada vez más pequeños

finalmente todos esos ángulos llegan a

cero porque estas rectas intersecan el

disco a 90 gr estas rectas son

infinitamente largas pero debido a la

geometría el área es

finita en la misma carta privada gaus

escribía todos mis esfuerzos por

descubrir una contradicción o

inconsistencia en esta geometría no

euclidiana han sido

infructuosos al igual que bolji gaus

descubrió que esta geometría era

absolutamente consistente la nombró

geometría No euclidiana un nombre que se

quedó describe geometrías en las que se

cumplen los primeros cuatro postulados

pero no el quinto pero gaus decidió no

publicar sus hallazgos por temor a

quedar en ridículo esta aversión a un

tipo distinto de geometría Debería ser

al menos un poco sorprendente Porque

existe otra geometría con la que

deberíamos estar muy familiarizados la

geometría esférica ya que todos vivimos

en una esfera en una esfera las líneas

rectas son parte de círculos máximos que

son los círculos con la mayor

circunferencia posible en la tierra el

Ecuador y los meridianos son ejemplos de

círculos

máximos y podemos usar esto para ver

cómo se comportan las líneas rectas

estas líneas parecen ir en la misma

dirección Pero conforme se prolongan se

puede ver que se intersecan una vez y

otra vez al otro lado de la tierra y

esto siempre ocurre para dos círculos

máximos porque cada uno debe tener la

mayor circunferencia posible por eso en

una esfera no hay líneas

paralelas gaus llevaba mucho tiempo

fascinado por la geometría esférica

además era un geodesta y a menudo tomaba

medidas de la tierra en la década de

1820 le dieron la tarea de medir el

reino de Hanover para ayudar a hacer un

mapa como parte de su medición escaló

las montañas cercanas a gotinga con la

ayuda de gente situada en otros puntos

de referencia pudo medir cuidadosamente

los ángulos de varios triángulos que

luego serían usados para determinar la

posición de un lugar con respecto a otro

como referencia para la medición y para

ayudar a determinar la redondez de la

tierra midieron con precisión los

ángulos de un gran triángulo formado por

tres

montañas pero a pesar de sus ideas

románticas de tomar mediciones en la

cima de las montañas gaus No era el

correspondiente más amable cuando volay

Recibió la respuesta de su héroe se

sintió devastado porque creyó que gaus

estaba intentando socavar lo y robarle

sus ideas quedó tan resentido por la

respuesta de gaus que nunca volvió a

publicar en 1848 volay tuvo que soportar

otra pena cuando se enteró de que el

matemático ruso nikolai lobachevski

había descubierto por su cuenta la No

euclidiana mucho antes que Bay publicara

su apéndice de 24

páginas cuando Bay murió en 1860 dejó

20.000 páginas de manuscritos

matemáticos sin publicar él no supo que

gaus había descubierto la geometría no

euclidiana por su cuenta ni que después

de recibir el apéndice gaus Le escribió

a un amigo Considero que Este joven

geometra bolay es un genio de primer

nivel

[Música]

mientras Bay se amargaba la geometría no

euclidiana siguió desarrollándose hasta

1854 la geometría esférica no se

consideraba geometría no

euclidiana debido a que en una esfera

las líneas no se pueden prolongar

indefinidamente esto es con lo que se

toparon los matemáticos anteriores Y por

lo que descartaron esta geometría ya que

el segundo postulado de euclides no se

sostenía pero en 1854 ran modificó el

segundo postulado de una prolongación

infinita algo que es entre comillas

ilimitado y así el segundo postulado se

sostiene en una

esfera con este cambio la geometría

esférica se convirtió en otra geometría

nu euclidiana válida utilizando los

cuatro postulados generalizados y

tomando el quinto como que no hay líneas

paralelas ahora se puede derivar la

geometría esférica o

elíptica consideras que el quinto

postulado fue un error hubiera sido

mejor que no lo hubiera escrito nunca si

no lo hubiera escrito habría arriesgado

su geometría porque no hubiera podido

demostrar mucho de lo que él decía es

muy hermoso que lo haya escrito es

hermoso que la gente pasara 2000 años

tratando de refutarlo solo para

descubrir que de hecho tenía razón

cuando él escribió esto pero aunque

euclides se acertó al escribir El quinto

postulado cometió un error distinto Este

es el problema con lo que estaba

haciendo euclides definición uno un

punto es lo que no tiene partes Qué es

tener una parte Qué es una parte Qué es

no tener partes una línea es una

longitud sin anchura Qué es tener

anchura ya se Igualmente respecto a sus

puntos de qué Rayos está hablando lo

leímos hace dos minutos y todos dijimos

sí tiene sentido lo que dice no tiene

sentido no me des una definición que va

a tener una recursividad infinita si

defines algo en función de otras cosas

entonces Define esas cosas Si me dices

que es eso Entonces dime que es es lo

anterior a eso definir es una mala idea

no deberías tener definiciones sino

términos indefinidos no voy a decirte

que es un punto no voy a decirte que es

una recta no voy a decirte que es un

plano solo voy a decirte cuáles son los

postulados que se supone que satisfacen

Lo importante es la relación entre los

objetos no la definición de los objetos

en sí y cuando abres tu mente a esa

posibilidad de repente te das cuenta de

que hay un mundo geométrico

perfectamente válido en el cual línea

significa Círculo máximo y plano

significa esfera y punto es un punto en

una esfera Y entonces se satisfacen

cuatro de esos axiomas pero no el quinto

y de manera similar hay otro modelo

llamado modelo del disco para el espacio

hiperbólico en el cual el disco es el

plano y cuando digo líneas rectas me

refiero a arcos de círculos que son

ortogonales al disco y los puntos Son

puntos dentro del disco y el disco es el

plano se puede pensar en la geometría

como un juego los primeros cuatro

postulados son las reglas básicas

necesarias para jugar el juego y el

quinto postulado selecciona el mundo en

el que vas a jugar si eliges que no haya

líneas paralelas vas a jugar en

geometría esférica si eliges una línea

paralela vas a jugar en geometría plana

y si eliges más de una línea paralela

vas a jugar en geometría

hiperbólica pero ran decidió llevarlo un

paso más allá en lugar de elegir jugar

en un solo mundo por qué no combinarlos

todos en

uno durante su discurso inaugural en

1854 sentó las bases para una geometría

en la que la curvatura podría variar de

un lugar a otro una parte podría ser

plana otra un poco curva e incluso otra

parte con una curvatura

profunda a tres o más

dimensiones en 168 se produjo otro gran

avance cuando Eugenio beltrami demostró

inequívocamente que las geometrías

hiperbólica y esférica eran tan

consistentes como la geometría plana de

euclides es decir si hubiera alguna

inconsistencia en la geometría

hiperbólica o en la esférica tendría que

estar presente también en la geometría

plana las perspectivas de estas nuevas

geometrías eran magníficas y resulta que

esto era solo el

principio en 1905 Einstein propuso la

teoría de la relatividad especial que se

basa en Solo dos postulados uno las

leyes de la física son las mismas en

todos los sistemas de referencia

inercial y dos la velocidad de la luz en

el vacío es la misma para todos los

observadores inerciales En consecuencia

el espacio y el tiempo deben ser

relativos Pero eso generaba un problema

para la gravedad newtoniana porque según

Newton la fuerza de la gravedad es

inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia entre los dos objetos pero

en la relatividad especial de Einstein

esa distancia ya no está bien definida

En qué sistema de referencia estamos

midiendo Einstein tenía que encontrar

una manera de conciliar la relatividad y

la gravedad dos años después en 1907

Einstein tuvo el pensamiento más feliz

de su vida se imaginó a un hombre

cayendo del tejado de una casa y lo que

alegró tanto a Einstein es que se dio

cuenta de que mientras el hombre

estuviera cayendo Se sentiría

absolutamente ingrávido Y si soltara un

objeto este permanecería en un

movimiento uniforme con relación a él

sería como estar en el espacio lejos de

cualquier masa flotando en una nave

espacial a una velocidad constante y ese

es un observador inercial y el gran

descubrimiento es que Einstein se dio

cuenta de que no son similares son

idénticos porque no hay experimento que

pueda hacerse para determinar si estás

en caída libre en un campo gravitatorio

uniforme o si estás en el espacio

profundo lejos de cualquier cuerpo

masivo por tanto el hombre en caída

libre también debe ser un observador

inercial es decir no está acelerando ni

experimentando ninguna fuerza de

gravedad pero si la gravedad no es una

fuerza cómo se explican cosas como que

la estación espacial orbite la tierra no

debería salir volando en línea recta los

astronautas de la estación espacial

también se sienten ingrávidos y Esa es

la clave es como si viajaran a velocidad

constante en línea

recta se siente así porque eso es

precisamente lo que están haciendo viaj

en línea recta Entonces cómo podría esa

línea recta parecer curva a un

observador distante La respuesta es

porque el espaciotiempo en el que se

encuentra esa línea recta es

curvo verán los cuerpos masivos curvan

el espacio-tiempo y los objetos que se

mueven por el espaciotiempo curvo

seguirán el camino más corto a través de

esa geometría curvada la geodésica y

mientras los astronautas de la estación

espacial sigue en una línea recta esta

parecerá curva a un observador distante

porque la tierra curva el espaciotiempo

o a su

alrededor el comportamiento de las

líneas rectas en geometrías curvas es

fundamental para comprender el universo

en que vivimos y en los más de 100 años

que van desde su publicación la teoría

general de la relatividad ha tenido un

éxito

notable en 2014 los astrónomos

observaron brevemente una supernova la

muerte violenta y sumamente brillante de

una estrella de hecho vieron exactamente

la misma supernova en cuatro lugares

diferentes Cómo Pues en entre la

supernova y la Tierra había una galaxia

masiva que curva el espacio-tiempo la

luz de la supernova que se propagaba en

todas direcciones seguía varios caminos

distintos para llegar a la Tierra y

cuatro de ellos llegaron aproximadamente

al mismo tiempo la galaxia sirvió como

una lente gravitatoria inmensa los

astrónomos se dieron cuenta de que otras

galaxias del cúmulo también podrían

captar la luz de esa supernova pero con

longitudes de trayectoria y potenciales

gravitatorios diferentes por lo que la

luz llegaría a la Tierra en momentos

distintos tras una cuidadosa

modelización predijeron que deberían ver

una repetición de esa supernova justo un

año después y el 11 de diciembre de 2015

tal como Se predijo volvieron a ver la

misma

supernova además de poder observar los

efectos de la curvatura del

espaciotiempo ahora incluso podemos

medir Las ondas del propio espacio

tiempo ondas gravitatorias formadas por

sucesos cósmicos muy muy lejanos como la

fusión de agujeros negros y según un

estudio reciente de nanog grab El tejido

espacio temporal parece estar repleto de

restos de grandes sucesos cósmicos en

los 100 años transcurridos desde la

publicación de la relatividad general

innumerables descubrimientos han

corroborado sus predicciones y en su

núcleo se encuentran las geometrías

curvas de bolji y riman pero hasta ahora

todos los efectos que hemos visto son

distorsiones locales del

espaciotiempo Cuál es la forma de todo

el el

universo usando las diferencias entre

las geometrías también podemos

averiguarlo en la geometría plana

Esperamos que todos los ángulos de un

triángulo sumen 180 gr sin falta Pero en

geometría esférica los ángulos no suman

180 gr sino más del mismo modo en

geometría hiperbólica los ángulos suman

menos de 180 gr para determinar la forma

del universo basta con medir los ángulos

de un

triángulo y medir un triángulo es

precisamente lo que hacía gaus hace 200

años de hecho esto llevó a algunos a

especular con que en realidad estaba

intentando medir la curvatura del

espacio mismo el ángulo que encontró 180

gr dentro del error de

observación Pero eso no Debería ser muy

sorprendente tomemos como ejemplo este

globo que se aproxima a una esfera Si

trazo en él un pequeño triángulo la

superficie en la que dibujo es

prácticamente plana y los ángulos dentro

del triángulo sumarán esencial m 180 gr

pero si hago el Triángulo lo

suficientemente grande entran en juego

los efectos de la curvatura Y entonces

los ángulos del triángulo sumarán más de

180 gr y Este era el problema del

experimento de gaus Incluso si intentaba

medir la curvatura del espacio en Sí de

lo cual no hay pruebas sólidas el

triángulo que midió habría sido

demasiado pequeño en relación con el

tamaño del

universo entonces para superar el

problema de escala que encontró gaus

tenemos que ampliar los triángulos

formados entre montañas hasta los

triángulos más grandes que podamos y

como mirar cada vez más lejos es lo

mismo que mirar al pasado tenemos que

retroceder en el tiempo lo más posible

hasta la primera luz que podemos ver el

fondo cósmico de microondas o cmb en

inglés una imagen de cuando el universo

tenía solo 380,000 años Aunque el cmb es

casi totalmente uniforme hay algunos

puntos ligeramente más calientes o más

fríos sabemos A qué distancia está el

cmb Así que si podemos calcular el

tamaño de uno de esos puntos podremos

trazar un triángulo cósmico se cree que

las primeras variaciones de densidad y

temperatura se originaron a partir de

fluctuaciones cuánticas en el universo

primitivo que luego estallaron al

expandirse el universo debido a esta

rápida expansión no todas las regiones

pudieron estar en contacto causal con la

información que tenemos de cómo ilusionó

el universo primitivo los astrónomos

pueden predecir Con qué frecuencia

deberían aparecer manchas de distintos

tamaños en el cmb eso es lo que muestra

este espectro de potencia básicamente es

un histograma de la frecuencia con la

que debería producirse cada punto si el

universo es plano ahora tenemos algo con

qu comparar nuestra medición si el

universo es plano el ángulo que midamos

en el cielo Debería ser el mismo que

esperamos pero si el universo es curvo

como una esfera los ángulos del

triángulo deberían sumar más de 180 gr

por lo que el ángulo que midamos sería

mayor que el previsto y este pico se

desplazaría a la izquierda De igual

forma si el universo tiene una geometría

hiperbólica las manchas serían más

pequeñas de lo previsto y este pico se

desplazaría a la derecha Entonces qué

medimos Esta es la información de la

misión plank que es prácticamente la que

esperaría si el universo fuera plano

esta misión también nos da la mejor

estimación actual de la curvatura del

universo que es de punto C 007 má menos

pun

0019 eso es básicamente cero dentro del

margen de error Así que estamos bastante

seguros de que el universo en que

vivimos es

plano pero vivir en un universo plano

Parece ser extraordinariamente fortuito

actualmente la densidad de masa energía

promedio se reduce al equivalente de

unos seis átomos de hidrógeno por metro

cúbico si en promedio hubiera habido un

átomo de hidrógeno más el universo

tendría una forma curva más esférica si

hubiera habido uno menos la curvatura

sería de geometría hiperbólica Y hasta

ahora no estamos seguros de Por qué el

universo tiene la densidad de más

energía que

tiene lo que sí sabemos Es que la

relatividad general es una de las

mejores teorías físicas de la realidad y

en su esencia están esas geometrías

paradójicas y Aparentemente absurdas que

encontramos Gracias a que los

matemáticos pasaron más de 2000 años

pensando en una sola frase del texto

matemático más famoso del

[Música]

mundo