Determinación de la relación arista-radio | 2/22 | UPV
Summary
TLDREl guion del video explica cómo se deducen parámetros críticos en estructuras cristalinas de metales y aleaciones. Se enfoca en el cálculo del número de átomos por celda unitaria y la relación entre el radio y el parámetro de red (Arista). Se examinan estructuras cúbicas centradas en caras, cúbicas centradas en el cuerpo y exagonales compactas. Para la cúbica en caras, se obtiene 4 átomos por celda y la relación Arista/radio es 2 por raíz de 2. En la cúbica en el cuerpo, hay 2 átomos por celda y la relación es 4 veces el radio dividido por raíz de 3. La estructura exagonal compacta tiene 6 átomos por celda y una relación Arista/radio de 2.
Takeaways
- 🔬 Se discuten las estructuras cristalinas en metales y aleaciones, enfocándose en cómo se deducen parámetros importantes como el número de átomos en una celda unitaria y la relación entre el radio y el parámetro de red.
- 📐 Se explica que en la estructura cúbica centrada en caras, el número de átomos por celda unitaria es de cuatro, y se deduce a través de la consideración de los átomos en los vértices y las caras.
- 🧮 Para la estructura cúbica centrada en caras, la relación Arista-radio se calcula usando el teorema de Pitágoras, resultando en Arista igual a 4 veces el radio dividido por raíz de 2.
- 📊 En la estructura cúbica centrada en el cuerpo, el número de átomos por celda unitaria es de dos, y la relación Arista-radio se deduce de la diagonal del cubo, dando como resultado Arista igual a 4 veces el radio dividido por raíz de 3.
- 🔶 Se destaca que en la estructura exagonal compacta, el número de átomos por celda unitaria es de seis, y la relación Arista-radio es directamente Arista igual a 2 veces el radio.
- 📖 Se menciona que la celda unitaria se define como la figura geométrica que se forma desde los centros de las esferas rígidas de los átomos.
- 📐 Se aborda la importancia de considerar la parte de los átomos que realmente está dentro de la celda unitaria para evitar errores en el cálculo del número de átomos.
- 📘 Se señala que en la estructura cúbica centrada en caras, los átomos en los vértices contribuyen con un octavo y hay ocho vértices, sumando así ocho átomos por un octavo.
- 🔵 En la estructura cúbica centrada en el cuerpo, los átomos en los vértices contribuyen con un octavo y hay ocho vértices, sumando así ocho átomos por un octavo más el átomo en el centro.
- 🟣 Se resalta que la estructura exagonal compacta tiene una celda unitaria en forma de prisma hexagonal, con átomos en los ángulos y en la mitad superior e inferior de la celda.
Q & A
¿Qué se busca deducir en el estudio de las estructuras cristalinas en metales y aleaciones?
-Se busca deducir parámetros importantes como el número de átomos dentro de una celdilla unidad y la relación entre la arista y el radio atómico.
¿Por qué puede ser difícil entender el número de átomos dentro de una celdilla unidad?
-Puede ser difícil porque no todos los átomos en los vértices o caras están completamente dentro de la celdilla. Solo una fracción de cada átomo contribuye a la celdilla unidad.
¿Cómo se calcula el número de átomos en una estructura cúbica centrada en caras?
-Se suman las fracciones de los átomos en los vértices y en las caras. Los átomos en los vértices contribuyen con un octavo, y hay ocho vértices. Los átomos en las caras contribuyen con medio átomo, y hay seis caras. Esto da un total de cuatro átomos.
¿Cómo se deduce la relación entre la arista y el radio en la estructura cúbica centrada en caras?
-Usando el teorema de Pitágoras, se deduce que la arista es igual a cuatro veces el radio dividido por la raíz de dos, o, racionalizando, a dos veces la raíz de dos por el radio.
¿Cuántos átomos hay en la celdilla de una estructura cúbica centrada en el cuerpo?
-En la estructura cúbica centrada en el cuerpo hay un total de dos átomos: uno en el centro de la celdilla y ocho átomos en los vértices que contribuyen con un octavo cada uno.
¿Cómo se deduce la relación arista-radio en la estructura cúbica centrada en el cuerpo?
-Se utiliza el teorema de Pitágoras dos veces: primero para deducir la diagonal de una cara y luego para la diagonal del cubo. Esto lleva a la relación de que la arista es igual a cuatro veces el radio dividido por la raíz de tres.
¿Cuál es el número de átomos en la estructura hexagonal compacta?
-En la estructura hexagonal compacta hay un total de seis átomos por celdilla unidad: seis átomos de los vértices, un átomo de las caras superior e inferior (medio en cada una), y tres átomos completamente dentro de la celdilla.
¿Cómo se deduce la relación arista-radio en la estructura hexagonal compacta?
-En la estructura hexagonal compacta, la relación arista-radio es más sencilla y se deduce que la arista es igual a dos veces el radio.
¿Qué diferencia hay entre la estructura cúbica centrada en caras y la cúbica centrada en el cuerpo en cuanto a la relación arista-radio?
-En la estructura cúbica centrada en caras, la relación arista-radio es igual a dos veces la raíz de dos por el radio, mientras que en la cúbica centrada en el cuerpo es cuatro veces el radio dividido por la raíz de tres.
¿Qué importancia tienen las leyes geométricas en la deducción de los parámetros de las estructuras cristalinas?
-Las leyes geométricas, como el teorema de Pitágoras, son fundamentales para deducir relaciones entre la arista y el radio en diferentes estructuras cristalinas, permitiendo entender cómo se organizan los átomos dentro de las celdillas unidad.
Outlines
🔬 Estructuras cristalinas en metales y aleaciones
En este primer párrafo, se aborda cómo deducir parámetros importantes de estructuras cristalinas en metales y aleaciones. Se explica cómo calcular el número de átomos dentro de una celda unitaria y la relación entre el radio de una esfera y el parámetro de red (Arista). Se destaca la estructura cúbica centrada en caras, donde se debe considerar cuidadosamente qué parte de cada átomo está dentro de la celda unitaria para evitar errores de conteo. Se menciona que los átomos en los vértices contribuyen con un octavo y los de las caras con medio átomo, sumando un total de cuatro átomos por celda. Además, se aplica el teorema de Pitágoras para deducir la relación entre la Arista y el radio, obteniendo que la Arista es igual a cuatro veces el radio dividido por la raíz de dos.
📐 Relaciones geométricas en estructuras cristalinas
Este segundo párrafo profundiza en la relación entre el radio de los átomos y el parámetro de red en diferentes estructuras cristalinas. Se describe la estructura cúbica centrada en el cuerpo, donde el número de átomos por celda unitaria es de dos, y se aplica nuevamente el teorema de Pitágoras para deducir la relación Arista-radio, obteniendo que la Arista es igual a cuatro veces el radio dividido por la raíz de tres. Posteriormente, se trata la estructura exagonal compacta, donde el número de átomos por celda unitaria es de seis, y la relación Arista-radio es directa, siendo la Arista dos veces el radio. Se resalta la importancia de estas relaciones para entender las propiedades de los materiales y se ofrece un resumen de los parámetros clave para cada estructura cristalina mencionada.
Mindmap
Keywords
💡Estructuras cristalinas
💡Celdilla unitaria
💡Relación Arista-radio
💡Cúbica centrada en caras
💡Teorema de Pitágoras
💡Cúbica centrada en el cuerpo
💡Esferas rígidas
💡Átomos en los vértices
💡Átomos en las caras
💡Estructura exagonal compacta
Highlights
Se discute cómo se deducen parámetros importantes en estructuras cristalinas de metales y aleaciones.
Se explica cómo se deduce el número de átomos dentro de una celdilla unitaria.
Se aborda la relación Arista-radio en estructuras cúbicas centradas en caras.
Se describe la importancia de considerar la distribución de átomos en vértices y caras.
Se menciona que no toda la parte de un átomo en un vértice está dentro de la celdilla unitaria.
Se detalla cómo se cuentan las partes de los átomos para deducir su número en la celdilla.
Se indica que los átomos en los vértices contribuyen con un octavo y hay ocho vértices.
Se explica que los átomos en las caras contribuyen con medio átomo y hay seis caras.
Se concluye que hay un total de cuatro átomos dentro de la celdilla cúbica centrada en caras.
Se aplica el teorema de Pitágoras para deducir la relación Arista-radio en la estructura cúbica.
Se menciona que la diagonal del cubo es cuatro veces el radio.
Se deduce que la relación Arista-radio es Arista igual a cuatro veces el radio dividido por raíz de 3.
Se describe cómo se deduce el número de átomos en la estructura cúbica centrada en el cuerpo.
Se indica que en la estructura cúbica centrada en el cuerpo hay un total de dos átomos por celdilla.
Se detalla la relación Arista-radio para la estructura cúbica centrada en el cuerpo.
Se explica cómo se deduce el número de átomos en la estructura exagonal compacta.
Se menciona que en la estructura exagonal compacta hay seis átomos por celdilla.
Se deduce que la relación Arista-radio en la estructura exagonal compacta es Arista igual a 2r.
Se resumen los distintos parámetros para cada una de las estructuras cristalinas.
Se agradece a los asistentes por participar en la exposición sobre estructuras cristalinas en metales y aleaciones.
Transcripts
hola Vamos a ver cómo se deducen algunos
parámetros importantes cuando hablamos
de estructuras cristalinas en metales y
aleaciones en particular vamos a ver
cómo se deduce el número de átomos
dentro de una celdilla unidad y así así
como la relación Arista
radio en primer lugar vamos a ver estas
relaciones para la estructura cúbica
centrada en caras la primera
consideración que tenemos que hacer es
que en relación al símil de esferas
rígidas que conocemos bien usando
pelotas de Pin pón el número de átomos
dentro unidad puede ser difícil de
entender Ya que la celd día unidad se
define como aquella estructura o aquella
figura
geométrica que va desde los centros de
las esferas rígidas de los átomos y que
forma una estructura o una
una estructura geométrica determinada en
este caso al tener una bola completa en
cada uno de los vértices puede llegar o
inducir a error ya que no toda la el
átomo que está en un vértice en una cara
está dentro de celdilla unidad por lo
tanto hay que considerar en cada caso
cuánto o qué parte del átomo está dentro
de la celdilla esto se ve muy bien
efectivamente cuando consideramos la
celda unidad solamente señalando o
dibujando la parte de átomos o esferas
que está incluido dentro de
ella una vez hecho esto podemos
fácilmente
deducir el número de átomos dentro de
celdilla
unidad para ello solamente tenemos
que
contar las partes y sumarlas en
particular tenemos dos tipos los átomos
en los vértices y los átomos en las
caras átomos en los
vértices distribuyen con un octavo y hay
ocho por lo tanto ocho átomos por un
octavo más los átomos de las caras los
os de las caras hay seis caras lo es un
hexaedro un cubo es un hexaedro y cada
uno contribuye con medio átomo por lo
tanto tendremos seis
átomos
por medio para un total de cuatro átomos
dentro de la celdilla cúbica centrada en
caras el
siguiente parámetro de
importancia es la relación Arista radio
para lar esta relación simplemente
aplicaremos leyes geométricas muy
sencillas en particular el teorema de
Pitágoras si nos fijamos en la cía
unidad podemos observar
que tenemos aquí un triángulo rectángulo
en el cual
los
catetos son las aristas y la hipotenusa
es igual a cuatro veces el radio
1 dos 3es y cuat por lo tanto podemos
aplicar el teorema de Pitágoras con
estos datos efectivamente tenemos la
hipotenusa cuatro veces el radio al
cuadrado es igual a la suma de los
catetos al cuadrado
desarrollando esta ecuación y despejando
a llegamos a la conclusión que queremos
efectivamente 2 a
cuadr hacemos raíces
cuadradas ambos lados con lo cual
tenemos
4r
igual
perdón a
a por raí de
do y despejando la
a obtenemos que la Arista es igual a
cuatro veces el
radio dividido ra2 eso es una forma de
expresarlo aunque también podemos
racionalizar para eliminar la raíz en el
denominador y obtener la ecuación final
que sería que la lista es igual a dos
veces ra2 por
r a continuación vamos a pasar a la
estructura cúbica centrada en el cuerpo
en este caso el número de átomos denta
unidad es muy sencillo de
deducir ya que tenemos los 8 octavos de
átomo en cada uno de los
vértices por lo tanto 8
más el átomo que está incluido en el
centro de la salida unidad más un por lo
tanto tenemos un total de dos átomos
dentro de la est estructura cristalina
cúbica centrada en el
cuerpo en el caso de la ración Arista
radio en esta estructura vamos a
proceder de la misma manera que
anteriormente es decir mediante leyes
geométricas sencillas vamos a deducir
esta relación en particular aplicaremos
el teorema de Pitágoras pero en este
caso dos veces porque sabemos que la
diagonal del cubo es decir la línea que
une dos vértices Opuestos en el cubo
forma un triángulo rectángulo
con un cateto que es la Arista y el otro
cateto que es la diagonal de una cara la
diagonal de una cara a su vez aplicando
teorema de Pitágoras podemos deducir que
es igual a dos veces la Arista al
cuadrado ya que una cara es un cuadrado
perfectamente regular con estas
relaciones podemos aplicar el diagonal
de Pitágoras de nuevo y tenemos que la
diagonal del cubo es igual a cuatro
veces el radio porque tenemos un radio
dos radios tres radios y cuatro radios
entonces cuatro veces el radio la
hipotenusa al cuadrado es igual a la
suma de los catetos al cuadrado donde un
cateto es el parámetro de red o la
Arista de la supr acristalia más el otro
cateto que es la
diagonal de una cara operando
podemos llegar rápidamente a la
conclusión de que el parámetro de red a
o la lista es igual a cuatro veces el
radio dividido raíz
3 y finalmente vamos a hacer las mismas
consideraciones con respecto a la
estructura exagonal compacta en primer
lugar el número de átomos dentro de AC
celdilla unida
en este caso la celida unidad es un
prisma
hexagonal y podemos observar que tenemos
tres tipos de átomos en primer lugar los
átomos que están en los eh ángulos en
los vértices de una de las caras cada
uno de estos
átomos señalado con rotulador cada uno
de estos átomos contribuye con un sexto
Y tenemos 1 2 3 4 5 y 6 por lo tanto
tenemos seis átomos por un se en una
cara pero como tenemos dos caras Pues
multiplicamos por
dos más tenemos en cada cara también
medio átomo medio arriba y medio abajo
por lo tanto sumaremos un átomo más Y
por último más tenemos tres átomos
están incluidos dentro de la celda
unidad por lo tanto tres con lo cual
digamos un total de seis átomos dentro
de la cida
unidad en este caso la relación Arista
radio es todavía más sencilla
porque la
Arista es claramente dos veces el radio
bien como resumen de la exposición de
hoy vamos a ver los distintos parámetros
para cada una de las estructuras
cristalinas en primer lugar la
estructura cúbica centrada en caras
tiene cuatro átomos por
celdilla y la relación Arista radio es
Arista igual a dos veces el radio por
raíz de do en el caso de la estructura
cúbica centrada en el cuerpo el número
de átomos del dilla es dos y la relación
de Arista radio es Arista igual a cuatro
veces el radio dividido raí de3 mientras
que en el caso de la estructura exagonal
compacta el número de átomos por
celdilla es se y la relación Arista
radio es igual a
2r en fin hemos visto cómo se pueden
deducir los parámetros más importantes
cuando hablamos de estructuras
cristalinas en metales y
aleaciones
gracias m
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