L'Algorithme qui Sécurise Internet (entre autres...)

Summary

Le script vidéo présente l'algorithme de Diffie-Hellman, une technique de cryptographie permettant deux personnes de échanger des secrets malgré des écoutes. Il explique comment les méthodes de chiffrement par décalage de César et par substitution sont vulnérables aux attaques statistiques. Le script détaille ensuite le processus d'établissement d'une clé commune entre Alice et Bob à travers des opérations de puissance et modulo, sans échanger explicitement la clé sur un canal non sécurisé. Il met en garde contre les risques d'usurpation d'identité et souligne l'importance d'utiliser un générateur de nombres aléatoires sûr pour la sécurité.

Takeaways

• 🔐 La cryptographie permet l'échange de secrets entre deux personnes, même sous surveillance constante.
• 🤔 L'algorithme de DifFelman est une technique incroyable qui résout le problème de l'échange de clés de chiffrement à distance.
• 🔡 Les techniques de chiffrement comme le décalage de César et la substitution sont vulnérables aux attaques statistiques basées sur les fréquences des lettres.
• 🔄 Pour se prémunir contre les attaques, on peut utiliser des méthodes de chiffrement à clé, comme le chiffrement à mot de passe qui change les décalages de lettres.
• 🔢 Le problème de l'échange de clé se pose quand deux personnes doivent se mettre d'accord sur une clé secrète sans la partager ouvertement.
• 🎓 DifFelman et Hellman ont résolu ce problème en 1976 en créant un algorithme qui permet de partager une clé secrète sans communication préalable.
• 🔧 L'algorithme fonctionne en utilisant des opérations de puissance et un modulo pour mélanger les informations de manière à ce qu'elles soient difficiles à inverser.
• 📈 La clé de chiffrement commune est calculée de manière indépendante par chaque partie, qui utilise un nombre secret et un nombre public choisis ensemble.
• 🔍 Eve, l'espion, peut connaître les valeurs publiques et les résultats intermédiaires, mais ne peut pas facilement déterminer les nombres secrets ou la clé finale.
• 🔨 Le choix du nombre premier P et d'une racine primitive G est crucial pour maximiser le nombre de possibilités et la sécurité de l'algorithme.
• 🛡️ L'algorithme de DifFelman-Hellman est largement utilisé pour sécuriser les communications sur Internet, notamment dans le protocole TLS.
• 💡 Il est important que les nombres secrets choisis par les parties soient suffisamment aléatoires pour éviter la prédiction et la usurpation d'identité.

Q & A

Quel est le sujet principal de cette vidéo ?

Le sujet principal de cette vidéo est l'algorithme de Diffie-Hellman, une technique de cryptographie permettant l'échange de secrets entre deux personnes malgré la présence d'un espion.

Comment le chiffrement par décalage de César fonctionne-t-il ?

Le chiffrement par décalage de César consiste à décaler toutes les lettres de l'alphabet d'une certaine quantité. Par exemple, si le décalage est de 3, le A est remplacé par le C, le B par le D, et ainsi de suite jusqu'au W qui devient Z et X, Y, Z qui deviennent A, B et C. Le message semble brouillé mais peut être déchiffré en appliquant le décalage inverse.

Quelle est une technique plus robuste que le décalage de César pour chiffrer un message ?

Le chiffrement par substitution est plus robuste que le décalage de César. Il consiste à remplacer chaque lettre de l'alphabet par une autre lettre sans logique particulière. Cela rend difficile la déchiffrage en utilisant des statistiques sur les fréquences des lettres et de leurs enchaînements.

Comment se prémunir contre les attaques statistiques sur les chiffrements par substitution ?

Pour se prémunir contre les attaques statistiques, on peut utiliser des méthodes de Monte Carlo par chaîne de Markov ou un mot-clé pour dicter les décalages de lettres, ce qui change les lettres fréquentes et rend l'analyse statistique plus complexe.

Quel est le problème avec l'échange de clé dans la cryptographie ?

Le problème de l'échange de clé est de se mettre d'accord sur une clé de chiffrement commune à distance, sans jamais l'écrire explicitement, car si on est écouté en permanence, un curieux pourrait découvrir la clé.

Comment les mathématiciens Diffie et Hellman ont-ils résolu le problème de l'échange de clé ?

Diffie et Hellman ont résolu le problème en utilisant une fonction à sens unique qui est facile à faire pour Alice et Bob mais quasi impossible à inverser pour Eve. Ils ont utilisé des puissances et le modulo pour mélanger les informations de manière que seuls Alice et Bob puissent déterminer la clé commune.

Quelle est l'opération de mélange utilisée par Diffie et Hellman ?

L'opération de mélange utilisée par Diffie et Hellman est l'exponentiation (puissances) combinée avec le modulo. Cette combinaison rend l'opération à sens unique et difficile à inverser.

Pourquoi faut-il choisir un nombre premier et une racine primitive pour le chiffrement Diffie-Hellman ?

Choisir un nombre premier et une racine primitive garantit que les puissances de G modulo P s'étendent bien entre 1 et P-1, ce qui maximise le nombre de possibilités pour la clé et rend l'attaque par déchiffrage par le biais du logarithme discret très difficile.

Quel est le protocole qui utilise souvent une variante de l'algorithme de Diffie-Hellman ?

Le protocole TLS (Transport Layer Security) utilise souvent une variante de l'algorithme de Diffie-Hellman pour sécuriser les communications sur Internet.

Comment l'algorithme de Diffie-Hellman peut-il être compromis ?

L'algorithme de Diffie-Hellman peut être compromis si Eve usurpe l'identité d'Alice ou de Bob, se plaçant entre eux et interceptant ou modifiant les échanges. Il est donc important d'utiliser des méthodes pour vérifier les identités des communicants.

Quelle précaution doit-on prendre lors de la sélection des nombres secrets dans l'algorithme de Diffie-Hellman ?

Il faut que les nombres secrets choisis par Alice et Bob soient suffisamment aléatoires et difficiles à deviner pour éviter que des tiers ne puissent facilement déterminer la clé commune. Utiliser un bon générateur de nombres aléatoires est essentiel pour assurer la sécurité.

Outlines

00:00

🔐 Introduction à la cryptographie et problème de la clé

Le paragraphe introduit le concept de cryptographie en discutant de la technique qui permet à deux personnes de communiquer secrètement malgré d'éventuels espions. Il explique les méthodes de chiffrement comme le décalage de César et le chiffrement par substitution, soulignant leur vulnérabilité aux attaques statistiques. Le sujet principal est l'algorithme de Diffie-Hellman, une méthode pour établir un secret partagé entre deux parties communicantes à distance, sans être intercepté par un espion.

05:02

🔢 Méthode de clé partagée et ses vulnérabilités

Ce paragraphe explore les tentatives et les défis de la création d'une clé partagée entre deux parties, traditionnellement appelées Alice et Bob, qui peuvent communiquer à distance sur une ligne non sécurisée. Il décrit les méthodes qui ne sont pas sécurisées, comme le choix d'un nombre de base partagé, et montre comment un espion peut facilement déterminer la clé partagée en utilisant des informations interceptées. Le paragraphe met en évidence le problème de l'échange de clé, qui est de trouver un moyen de se mettre d'accord sur une clé de chiffrement commune sans la divulguer.

10:03

🔄 La solution de Diffie-Hellman : une fonction à sens unique

Le paragraphe explique la solution proposée par les mathématiciens Diffie et Hellman en 1976 pour résoudre le problème de l'échange de clé. Il décrit comment Alice et Bob peuvent utiliser une fonction à sens unique, appelée modulo, pour mélanger leurs nombres secrets de manière à ce qu'ils puissent déterminer une clé commune sans la transmettre explicitement. Le paragraphe détaille le processus d'utilisation de puissances et de modulo pour arriver à une clé partagée, tout en expliquant pourquoi cette méthode rend difficile l'interception de la clé par un espion.

15:04

💡 Optimisation de l'algorithme de Diffie-Hellman

Dans ce paragraphe, l'algorithme de Diffie-Hellman est affiné en choisissant un nombre premier P et une racine primitive g modulo P pour maximiser le nombre de possibilités et compliquer l'attaque de l'espion. Il est expliqué comment éviter les cycles de valeurs répétitives en choisissant correctement g et P, ce qui augmente la sécurité de l'algorithme. Le paragraphe conclut en soulignant l'utilisation de l'algorithme pour sécuriser les communications sur Internet, notamment le protocole TLS, et en recommandant l'utilisation d'un générateur de nombres aléatoires pour assurer la sécurité de la clé partagée.

Keywords

💡Cryptographie

La cryptographie est l'art et la science de la transformation de l'information en un format codé pour assurer sa sécurité contre l'interception ou la modification non autorisée. Dans la vidéo, la cryptographie est utilisée pour permettre à deux personnes de communiquer secrètement, même lorsqu'elles sont écoutées par un espion.

💡Algorithme de Dif-Hellman

L'algorithme de Dif-Hellman est un protocole de cryptographie qui permet à deux parties, traditionnellement appelées Alice et Bob, de partager une clé secrète sur un canal non sécurisé, sans avoir besoin de partager de secrets préalables. Cela est possible grâce à une opération de mélange qui est facile à effectuer pour les deux parties mais presque impossible à inverser pour un tiers, même s'il intercepte les échanges.

💡Espion

Dans le contexte de la vidéo, un espion (ou Eve) représente une tierce partie qui cherche à intercepter et à décrypter les communications entre deux parties, Alice et Bob, pour espionner leurs échanges secrets. L'algorithme de Dif-Hellman est conçu pour s'assurer que même si un espion suit les échanges, il ne peut pas déterminer la clé secrète partagée.

💡Chiffrement

Le chiffrement est le processus de transformation d'un message en clair en un format codé qui ne peut être lu que par une personne ayant la clé correspondante. Il est utilisé pour protéger la confidentialité des informations. Dans le script, les différentes techniques de chiffrement sont présentées comme des moyens pour Alice et Bob de communiquer secrètement.

💡Décalage de César

Le décalage de César est une méthode de chiffrement dans laquelle chaque lettre de l'alphabet est déplacée de manière prédéfinie dans l'alphabet. C'est l'une des techniques les plus anciennes et les plus simples de chiffrement. Cependant, comme le script l'indique, elle est facilement brisée en essayant toutes les possibilities de décalage.

💡Chiffrement par substitution

Le chiffrement par substitution est une méthode de cryptographie qui consiste à remplacer chaque lettre de l'alphabet par une autre lettre sans logique particulière. Cela rend le message illisible pour quiconque n'a pas la connaissance de la correspondance entre les lettres originales et les lettres de substitution.

💡Mot de passe

Un mot de passe est une séquence de caractères secrètes utilisée pour authentifier l'identité d'un utilisateur ou pour protéger l'accès à une information. Dans le contexte du script, un mot de passe est utilisé pour déterminer les décalages de lettres dans le chiffrement par mot de passe, ce qui ajoute une couche de sécurité supplémentaire par rapport aux méthodes de chiffrement plus simples.

💡Problème de l'échange de clé

Le problème de l'échange de clé est un défi dans la cryptographie où deux parties doivent établir une clé secrète commune sans la transmettre sur un canal non sécurisé. Cela doit être fait de manière à ce que même si un tiers intercepte les échanges, il ne puisse pas déterminer la clé.

💡Fonction à sens unique

Une fonction à sens unique est une fonction mathématique qui est facile à calculer dans une direction, mais difficile à inverser. Dans le script, l'algorithme de Dif-Hellman utilise une telle fonction pour mélanger les informations de manière à ce qu'elles soient faciles à calculer pour Alice et Bob, mais difficiles à décomposer pour un espion qui intercepte les échanges.

💡Module op

Le modulo est une opération mathématique qui consiste à trouver le reste de la division entière de deux nombres. Dans le contexte de la cryptographie, l'opération modulo est utilisée pour mélanger les valeurs de manière à rendre l'inversion de l'opération difficile, ajoutant ainsi une couche de sécurité.

💡Logarithme discret

Le logarithme discret est un concept mathématique utilisé pour résoudre des équations de l'forme a^x ≡ b (mod p), où a, b et p sont des nombres entiers. C'est un moyen de trouver un nombre x tel que la puissance de a à ce pouvoir soit égale à b, modulo p. Dans le script, le logarithme discret est le problème que doit résoudre un espion pour déterminer la clé secrète partagée par Alice et Bob.

💡Racine primitive

Une racine primitive d'un nombre premier p est un nombre g tel que toutes les puissances de g jusqu'à p-1 sont différentes modulo p. Cela garantit que les valeurs de g^x (mod p) sont bien réparties entre 1 et p-1, ce qui est important pour éviter que les valeurs ne se répètent et facilitent ainsi la découverte de la clé secrète.

Highlights

L'algorithme de DifFelman est une technique de cryptographie qui permet à deux personnes d'échanger des secrets même sous surveillance constante.

Le chiffrement par décalage de César est une méthode simple mais vulnérable, où les lettres de l'alphabet sont décalées de manière prédéfinie.

Le chiffrement par substitution est plus sécurisé, où chaque lettre est remplacée par une autre sans logique particulière.

Les méthodes de Monte Carlo et de chaîne de Markov peuvent être utilisées pour casser rapidement les chiffrements par substitution.

Pour se prémunir contre les attaques statistiques, on peut utiliser un mot-clé pour dicter les décalages de lettres.

Le problème de l'échange de clé est crucial pour la sécurité des communications cryptées.

L'algorithme de DifFelman a été développé en 1976 par les mathématiciens DifFelman et Hellman.

La clé dans le protocole DifFelman n'est pas un mot, mais un nombre.

Le modulo est utilisé dans l'algorithme de DifFelman pour créer une fonction à sens unique difficile à inverser.

Le choix du nombre P et de G (racine primitive) dans l'algorithme de DifFelman est crucial pour éviter les répétitions et maximiser la sécurité.

L'algorithme de DifFelman est largement utilisé pour sécuriser les communications sur Internet, notamment le protocole TLS.

L'algorithme de DifFelman permet de générer une clé de chiffrement commune sans l'échanger explicitement sur un canal non sécurisé.

La sécurité de l'algorithme de DifFelman repose sur la difficulté du problème de l' logarithme discret.

L'algorithme de DifFelman est vulnérable si l'identité d'Alice ou de Bob est usurpée, permettant à l'espion de se placer entre eux.

Les nombres secrets choisis par Alice et Bob doivent être générés de manière aléatoire pour assurer la sécurité du protocole.

L'algorithme de DifFelman est un exemple de la manière dont la cryptographie peut résoudre des problèmes de sécurité complexes.

La cryptographie moderne repose sur des techniques comme celle de DifFelman pour garantir la confidentialité des échanges de données.

L'utilisation de racines primitives et de nombres premiers dans l'algorithme de DifFelman est une pratique recommandée pour optimiser la sécurité.

Transcripts

bonjour à tous aujourd'hui on va parler

d'une technique de cryptographie

incroyable qui permet à deux personnes

de s'échanger des secret même quand

elles sont en permanence écouté par un

espion cette méthode qu'on appelle

l'algorithme de difi Elman paraît assez

invraisemblable et les premières fois

que j'en ai entendu parler je me suis

dit que ça n'était pas possible qu'une

telle technique puisse exister et

pourtant on va voir que ça marche

vraiment

si deux personnes souhaitent s'échanger

un message dans le plus grand secret

vous allez me dire que c'est facile he

il suffit de coder le message

techniquement on appelle ça une

opération de chiffrement on part d'un

message en clair par exemple rendez-vous

ce soir au parc et on va essayer de le

transformer en un charabia

incompréhensible mais qui pourra être

déchiffré par notre

interlocuteur une des plus vieilles

techniques c'est ce qu'on appelle le

décalage de César puisque puisquelle

aurait été popularisée par le célèbre

général romain l'idée est de simplement

décaler toutes les lettres de l'alphabet

d'une certaine quantité par exemple si

on décale de 3 on remplace le a par le D

le B par le E le C par le F et cetera

jusqu'au W qui devient Z et X Y Z qui

deviennent A B et C avec ça le message

semble complètement brouillé mais notre

interlocuteur pourra sans problème le

reconstituer en appliquant le décalage

inverse cette technique est toutefois

assez superficielle hein si un espion

devine que le message a été chiffré de

cette façon il n'a que 26 possibilités

de décalage à essayer et même seulement

25 en fait et donc il aura assez vite

fait de tout tester jusqu'à découvrir le

message secret pour faire plus robuste

que la méthode de César on peut utiliser

ce qu'on appelle le chiffrement par

substitution ça consiste à remplacer

chaque lettre de l'alphabet par une

autre lettre mais sans logique

particulière pour chiffre et déchiffrer

le message il faut donc connaître

l'ensemble de la table de conversion et

c'est très efficace he car cette fois il

y a factoriel 26 possibilités soit de

l'ordre d'un milliard de milliards de

milliards mais malgré ça on sait aussi

très bien casser ces chiffrements par

substitution en faisant des statistiques

sur les fréquences des lettres et de

leurs enchaînements par exemple comme

c'est toujours la même lettre qui

représente le E sur un message en

français suffisamment long on arrive

facilement à l'identifier et idem pour

des lettres fréquentes comme le a ou le

S et ainsi de suite j'avais d'ailleurs

fait une vidéo sur comment casser ce

type de chiffrement très rapidement de

façon automatisée en utilisant ce qu'on

appelle des méthodes de Monte Carlo par

chaîne de Markov pour se prémunir de ces

attaques il faut essayer un autre type

de chiffrement une option c'est par

exemple d'utiliser un mot- clé qui va

dicter les décalages de lettres prenons

le mot jardin et écrivons-le en dessous

de notre message chacune des lettres du

mot va représenter un décalage en

fonction de sa position dans l'alphabet

le J c'est neu le a c'est 0 le r C'est

17 et cetera et on applique ensuite

chaque décalage aux lettres de notre

message le r on décale de 9 ça fait un a

le E on décale de 0 ça fait un e le N on

décale de 17 ça devient aussi un E et

cetera et on répète le mot-cé autant de

fois que nécessaire jusqu'à avoir tout

fait si la personne qui reçoit le

message possède la clé ça ne pose pas de

problème pour elle il suffit de

soustraire les décalages l'intérêt de

cette méthode vous le voyez c'est que

les deux e du message d'origine seront

représentés par des lettres différentes

dans le message chiffré et inversement

la même lettre dans le message chiffré

peut représenter deux lettres

différentes dans le message d'origine et

cela va donc considérablement gêner les

attaques utilisant des approches

statistiques pour que la méthode soit

assez robuste il faut bien sûr utiliser

un mot clé suffisamment long mais ça n'a

même pas besoin d'être un vrai mot en

fait hein ça peut être simplement une

longue suite de lettres prises au hasard

qu'on appellera alors la clé de

chiffrement elle permettra à la fois à

l'envoyeur de chiffrer son message et au

destinataire de le

déchiffrer le gros problème de cette

technique c'est que si deux personnes

souhaitent communiquer ainsi elles

doivent à un moment donné se mettre

d'accord sur la clé à utiliser alors si

c'est la CIA qui envoie un agent sur le

terrain ben il y a pas de problème he

ils peuvent convenir d'une clé à

l'avance avant le

départ mais si on a deux personnes à

distance qui n'ont pas la possibilité de

se voir physiquement si on ne fait que

se téléphoner ou s'envoyer des messages

par internet comment se fixer une clé de

chiffrement qui soit secrète on peut pas

avoir juste un des deux qui décide d'une

clé et puis qui écrivent à l'autre bah

on a qu'à utiliser la clé bateau parce

que si ce message là est intercepté et

bien l'espion connaîtra la clé

évidemment il faut donc trouver un moyen

de se mettre d'accord sur une clé mais

sans jamais vraiment l'écrire

explicitement c'est ce qu'on appelle le

problème de l'échange de clé ou de

l'établissement de clés comment se

mettre d'accord à distance sur une clé

de chiffrement commune sachant qu'on est

potentiellement écouté en permanence à

première vue ça paraît quasi impossible

à résoudre si on a aucun moyen

d'échanger des infos secrètement comment

est-ce qu'on pourrait se mettre d'accord

à distance sur une même clé sans qu'un

curieux ne puisse la connaître aussi et

bien c'est ce problème qu'ont résolu les

mathématiciens difi et Elman en 1976

alors classiquement en cryptographie on

décrit les choses de la façon suivante

imaginons deux personnes

traditionnellement nommé alice et Bob

qui ne se sont jamais vu ou parler

auparavant mais qui peuvent communiquer

à distance sur une ligne qui n'est pas

sécurisée et d'ailleurs on a une

personne usuellement nommée

qui s'est justement brancher sur cette

ligne et qui peut capter absolument tout

ce qui va s'y raconter comment alice et

Bob peuvent se mettre d'accord sur une

clé commune sans qu'ev ne puisse

connaître cette clé ça paraît impossible

alors petite précision avant de

commencer dans la méthode de difi Elman

la clé ne sera pas un mot ou une suite

de lettres mais un nombre mais dans le

fond ça change pas grand-chose hein

c'est très facile de fabriquer l'un à

partir de l'autre pour vous montrer

comment alice et Bob peuvent procéder

pour décider d'une clé numérique je vais

commencer doucement par une méthode qui

ne marche pas mais qui va nous mettre

sur la voix imaginons qu'Alice et Bob

s'appellent et décident ensemble d'un

nombre de base qu'on va appeler g

maisons il choisissent g = 17 et

évidemment la ligne n'est pas sécurisée

donc EV entend tout et enregistre cette

valeur de G ensuite alice et Bob

choisissent chacun de leur côté un

nombre secret qu'on note a pour Alice et

B pour Bob il vut ensuite chacun

multiplier leur nombre secret par le

nombre commun g Alice fabriquera donc le

nombre g X a et Bob g x B si Alice

choisit 4 et Bob 6 ça fera 68 et

102 puis il communique à l'autre le

résultat de cette multiplication donc

Alice envoie g X a à Bob qui lui envoie

g x B et cela se fait sans sécurisation

donc là à nouveau est au courant de ses

valeurs et enfin dernière étape chacun

multiplie ce nombre qu'il vient de

recevoir par son propre nombre secret

Alice fabrique donc le nombre g x B X a

ça fera 408 et Bob g X a x B ça fera 408

aussi évidemment et voilà ils peuvent

maintenant décider d'utiliser ce

résultat commun comme clé de chiffrement

vous voyez qu'avec ce protocole ils

auront bien à la fin chacun le même

nombre g X a x B ils se sont donc bien

mis d'accord sur une clé commune mais

sans qu'à aucun moment cette clé n'ê

explicitement transité sur la ligne non

sécurisée aucun moment ils n'ont

communiqué l'un à l'autre le nombre

408 alors le souci vous le voyez hein

c'est keV connaît g c'est 17 mais

connait également g X a 68 et G x B 102

bah à partir de là c'est très facile

pour elle de retrouver les nombres

secrets d'Alice et Bob par exemple a

s'obtient en divisant g par G ici 68 par

17 on retrouve 4 et donc F pourra sans

problème reconstituer elle-même la clé

complète donc la méthode que je viens de

proposer n'est pas terrible hein car

même si la clé ne transite pas

explicitement EV a suffisamment

d'informations pour la refabriquer

facilement pour essayer de contourner ce

problème essayons une variante plus

compliquée on garde le nombre commun g

et les nombres secrets A et B mais cette

fois on va prendre la puissance au lieu

de faire la

multiplication ça veut dire qu'Alice

fabrique le nombre g^iss a qu'elle

envoie à Bob et Bob fabrique g^iss B

qu'il lui envoie en retour et ensuite

chacun prend la puissance avec son

propre nombre secret donc Alice fait

g^iss B puissance a tantis que Bob fait

g^iss a puissance B et à nouveau avec ce

protocole ils auront à la fin le même

résultat g^issance a x B donc une clé

commune sans l'avoir jamais

explicitement communiqué sur la ligne F

de son côté connaît seulement ce qu'elle

a intercepté à savoir g g^iss A et g^iss

B sauf qu'à nouveau elle peut s'en

sortir rien qu'avec ses infos si f

connaît le nombre g puissance a elle

peut prendre son logarithme qui vaut a x

logarithme g et ensuite en divisant par

le logarithme de G elle peut isoler a

donc à nouveau elle peut reconstituer

facilement les nombres secrets et donc

la clé commune ça va toujours pas

l'origine fondamentale du problème c'est

qu'Alice et Bob essayent à chaque fois

de maquiller leur nombre secret en le

mélangeant en quelque sorte avec G mais

à chaque fois F peut défaire ce mélange

et retrouver les nombres secrets si on

utilise la multiplication F peut

utiliser la division si on utilise la

puissance EV utilise le logarithme pour

que l'idée fonctionne il faudrait une

opération de mélange qui soit facile à

faire pour alice et Bob mais quasi

impossible à inverser pour

c'est ce qu'on appelle en cryptographie

une fonction à sens unique et bien on

peut justement en créer une à partir de

notre tentative précédente en ajoutant

juste un ingrédient le

modulo le modulo c'est une opération qui

calcule le reste de la division entière

par un nombre par exemple 17 modulo 3 ça

fait 2 parce que si vous faites la

division entière de 17 par 3 vous

trouvez 5 il vous reste 2 à la fin de

même 14 modulo 5 ça fait 4 ou encore 42

modulo 6 ça fait 0 et cetera l'idée de

la méthode de difi Elman c'est de

choisir un nombre P qu'Alice et Bob se

communique publiquement comme j'ai et

ensuite de faire exactement comme dans

mon exemple avec les puissances mais

cette fois après chaque opération on va

appliquer module op c'est-à-dire qu'avec

son nombre secret a Alice calcule g^iss

a moduo P et l'envoie à Bob Bob de son

côté calcule g^iss B module P et

l'envoie à Alice et ensuite chacun

applique la puissance de son nombre

secret et prend à nouveau moduo op et là

ça ne se voit pas forcément mais en

faisant ça ils auront exactement le même

nombre à la fin qui est en fait g^iss a

x B module P d'ailleurs ceux qui font ê

expert en terminal peent peuvent essayer

de démontrer ça avec les congruences

grâce à cette technique qui est presque

la même que la précédente mais en

appliquant le module op après chaque

opération alice et Bob auront à nouveau

réussi à se mettre d'accord sur une clé

commune sans jamais la faire circuler

explicitement sauf que pour Eve

qu'est-ce que ça change est-ce qu'elle

peut pas à nouveau extraire A ou B des

infos dont elle dispose et reconstituer

la clé comme avant et bien non car pour

quelqu'un qui intercepte même toutes les

conversations ça devient très très

compliqué à démêler à cause du modulo

qui en quelque sorte mélange tout

mathématiquement même en connaissant g P

et g^iss à moduo P il est très difficile

de retrouver a l'opération de puissance

avec MODULO est très difficile à

inverser c'est une opération à sens

unique comme on le souhaitait on peut le

voir sur un exemple si vous voulez

prenons P = 17 et G = 5 sur lesquel

alice et Bob se mettent d'accord

publiquement donc

est parfaitement au courant de ces deux

valeurs Alice choisit son nombre secret

disons 4 et Bob choisit 6 Alice met 5 à

la puissance 4 ça fait 625 et prend

modulo 17 il reste 13 pareil pour Bob il

calcule 5^ 6 prend modulo 17 ça fait 2

et chacun envoie le résultat à l'autre

qui applique sa propre puissance Alice

prend 2^iss 4 module 10 ça fait 16 Bob

fait 13 puiss 6 modulo 17 ça fait 16

aussi on a donc bien une clé commune

pour les deux interlocuteur de son côté

F connaît P = 17 et G = 5 bien sûr mais

ne dispose que de 13 et 2 comme

intermédiaire pour retrouver par exemple

a le nombre secret d'Alice elle doit

trouver un nombre qui quand on

l'applique en puissance à 5 redonne 13

modulo 17 et ça n'a pas l'air comme ça

mais mais c'est très difficile comme

équation l'opération qu'on doit résoudre

pour trouver la solution c'est ce qu'on

appelle le problème du logarithme

discret dans ma méthode précédente avec

juste les puissances F s'en sortait en

appliquant un simple logarithme

maintenant à cause du modulo il faut

résoudre le logarithme discret ce qui

est possible en théorie mais très très

fastidieux en pratique il faut quasiment

essayer toutes les possibilités alors je

dis que c'est très compliqué il faut

quand même faire un peu attention quand

on prend un nombre modulo p le résultat

est forcément entre 0 et P -1 c'est le

reste d'une division entière donc si on

veut qu'il y ait un maximum de

possibilités différentes à tester pour

EV il faut déjà prendre un P le plus

grand possible ça n'est pas tout il faut

aussi bien le choisir et surtout bien

choisir le G qui va avec je vous

illustre ça avec un exemple si je prends

P = 15 et G = 4 on sait que la clé sera

à la fin fin g^iss Ab module P donc

g^issance quelque chose module P et on

peut regarder ce que valent les

différentes puissance de G module P avec

mon choix de valeur g^iss 1 module P

c'est 4 g^ 2 module P c'est 1 g^iss 3

module P c'est 4 g^ 4 module P c'est 1

et cetera on se rend compte que bien

qu'on ait choisi P = 15 les puissances

de G tombent toujours sur 1 ou 4 donc on

croyait avoir 15 clés possibles que F

devait essayer mais on en a seulement

deux il faut absolument éviter ce genre

de situation car en réduisant ainsi

l'espace des possibilités on facilite

considérablement la tâche devev qui

cherche à percer notre clé heureusement

il existe une solution l'idéal c'est de

prendre un nombre P qui soit premier et

un nombre G qui soit ce qu'on appelle

une racine primitive module op une

racine primitive ça veut dire que si

vous élevez g à toutes les puiss

puissance entre 1 et P -1 vous allez

trouver tous les nombres possibles entre

1 et P - 1 donc on sera dans un cas où

il y aura un maximum de possibilités on

peut le voir sur un exemple avec P = 13

par exemple je vous le démontre pas mais

les racines primitif sont uniquement 2 6

7 et 11 donc si on prend g = 6 les

puissances de 6 modulo 13 s'étalent bien

entre 1 et 12 c'est parfait mais avec G

= 5 ça marche pas bien car les

puissances ne boucle que sur 5 12 8 et 1

donc il y a seulement quatre

possibilités au lieu de 12 d'où

l'intérêt qu'il y a à bien choisir pour

G une racine primitive du nombre P qu'on

a sélectionné avec ces petites

précautions on a ainsi l'essence de

l'algorithme de DII Elman qui résout

donc le problème de la détermination

d'une clé de chiffrement commune quand

on est sur un canal public cet

algorithme a été d'abord publié en 1976

et breeveté aux États-Unis l'année

suivante mais heureusement il est

maintenant dans le domaine public et il

est très largement utilisé pour

sécuriser une grande partie des

communications sur internet ainsi quand

deux ordinateurs ont besoin de mettre en

place un canal de communication chiffré

pour ne pas que vos données soient

diffusées en clair sur le réseau ils

utilisent souvent une variante de

l'algorithme de difi Elman et c'est

d'ailleurs ce principe qui sécurise

notamment le protocole TLS qui se trouve

derrière la plupart des visites que vous

pouvez faire sur des sites web donc

merci difi et Elman malgré tout comme

toujours la méthode n'est pas non plus

totalement inviolable par exemple il

faut faire attention à ce qu'ev n'arrive

pas à usurper les identités d'Alice et

Bob ça lui permettrait de se mettre

entre les deux en se faisant passer pour

Bob aux yeux d'Alice et inversement et

là c'est open bar pour Eve en dehors de

ce risque il faut aussi s'assurer que

quand alice et Bob choisissent chacun

leur nombre secret de leur côté

ne puisse pas le deviner facilement et

donc idéalement il faut qu'ils fassent

leur choix en utilisant un bon

générateur de nombre aléatoire et

d'ailleurs cette question de comment

faire un générateur aléatoire je me dis

que ça ferait un très bon sujet pour un

prochain épisode merci d'avoir suivi la

vidéo abonnez-vous pour ne rien rater

des futures publications rejoignez-moi

sur le discord de science étonnante je

vous mets le lien en description et puis

je vous dis à très vite pour une

nouvelle vidéo à

[Musique]

bientôt

[Musique]