Estimación de la proporción poblacional
Summary
TLDREl objetivo del video es explicar cómo estimar la proporción poblacional a través de muestras. Se describen dos métodos: estimación puntual y por intervalos. La estimación puntual da un valor único, mientras que la por intervalos ofrece un rango de confianza. Se utiliza la distribución normal para aproximar la proporción muestral y se muestra cómo calcular el intervalo de confianza y el tamaño de la muestra. Se aborda la importancia de elegir el tamaño de la muestra adecuado y se resuelve un ejemplo práctico sobre una encuesta a clientes de una compañía telefónica.
Takeaways
- 😀 El objetivo del video es enseñar cómo estimar la proporción poblacional a partir de una muestra.
- 📊 Se describen los parámetros poblacionales p (proporción poblacional) y Sigma (desviación típica poblacional).
- 🎯 Se diferencia entre estimación puntual y estimación por intervalos para parámetros poblacionales.
- 📝 La mejor estimación puntual de la proporción poblacional es la proporción muestral, representada por p̂.
- 🔍 La estimación por intervalos permite obtener un intervalo de confianza para el parámetro poblacional.
- 🌐 El nivel de confianza se representa como 1 - Alfa y es crucial para entender la precisión de la estimación.
- 📚 Se utiliza la distribución binomial para entender la proporción de éxitos en un conjunto de pruebas.
- 🔢 La proporción muestral se calcula dividiendo el número de éxitos (x) entre el número total de pruebas (n).
- 📉 La aproximación de la distribución binomial por la distribución normal se usa para estimar la proporción poblacional.
- 📏 La fórmula para el intervalo de confianza de la proporción poblacional es p̂ ± Z*√(p̂(1-p̂)/n).
- 🔢 El tamaño de la muestra (n) se calcula para alcanzar un error máximo (E) y nivel de confianza dado.
- 📈 Se ilustra cómo calcular el tamaño de la muestra y el intervalo de confianza con un ejemplo práctico.
- 🤔 Se enfatiza la importancia de la estimación de la proporción cuando no se conoce la proporción poblacional, tomando p = 0.5.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es enseñar cómo estimar la proporción poblacional a partir de un conocimiento de la muestra.
¿Qué es la estimación puntual y cómo se relaciona con la proporción poblacional?
-La estimación puntual es cuando se da una estimación del parámetro poblacional a través de un valor único, en este caso, la mejor estimación puntual de la proporción poblacional es la proporción muestral.
¿Qué es el intervalo de confianza y cómo ayuda a la inferencia estadística?
-El intervalo de confianza es un rango que proporciona una medida de la confianza que se puede depositar en el resultado de una inferencia estadística, indicando la probabilidad de que contenga el verdadero valor del parámetro poblacional.
¿Cómo se define el nivel de confianza en un intervalo de confianza?
-El nivel de confianza se define como 1 - Alfa, donde Alfa es la probabilidad de que el intervalo de confianza no contenga el valor del parámetro poblacional verdadero.
¿Cómo se calcula el tamaño de la muestra para un nivel de confianza y un error máximo determinados?
-Se calcula utilizando la fórmula: n ≥ (Z * sqrt(p * q) / E)^2, donde Z es el valor Z-alfa, p y q son las proporciones muestrales, y E es el error máximo.
¿Qué es la proporción muestral y cómo se calcula?
-La proporción muestral es el número de éxitos (o casos favorables) dividido por el número total de casos posibles en la muestra, y se representa con p gorrito o p tilde.
¿Cómo se relaciona la proporción muestral con la proporción poblacional en la estimación?
-La proporción muestral es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional, y se usa para calcular el intervalo de confianza y el tamaño de la muestra.
¿Qué es la distribución binomial y cómo se relaciona con la proporción de éxitos?
-La distribución binomial es una distribución de probabilidad que se utiliza cuando hay dos resultados posibles, éxito y fracaso, y se repite un número fijo de veces. La proporción de éxitos es el número de éxitos dividido por el número total de pruebas.
¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para una proporción poblacional?
-El intervalo de confianza se calcula como p ± Z * sqrt((p * q) / n), donde p es la proporción muestral, Z es el valor Z-alfa, y n es el tamaño de la muestra.
¿Qué sucede si no se conoce la proporción poblacional ni la muestral al calcular el tamaño de la muestra?
-Si no se conoce la proporción poblacional ni la muestral, se toma p = 0.5 y q = 0.5, ya que esto maximiza el tamaño de la muestra y asegura que el error sea menor que el error máximo deseado.
¿Cómo se calcula el tamaño de la muestra para una encuesta de una compañía telefónica que quiere estimar la proporción de clientes dispuestos a aceptar una subida de tarifas?
-Se utiliza la fórmula n ≥ (Z * sqrt(p * q) / E)^2, sustituyendo los valores de Z (según el nivel de confianza), p (proporción muestral o 0.5 si no se conoce), q (1 - p) y E (error máximo deseado).
Outlines
📊 Introducción a la Estimación de Proporciones Poblacionales
El primer párrafo presenta el objetivo del video, que es enseñar cómo estimar la proporción poblacional. Se destaca la importancia de conocer características de una muestra para inferir sobre la población. Se menciona la diferencia entre la estimación puntual y la estimación por intervalos, y se enfatiza la necesidad de un intervalo de confianza para medir la confiabilidad del resultado de la inferencia estadística. Se introduce el concepto de proporción muestral como la mejor estimación puntual del parámetro poblacional.
🔍 Formulación del Intervalo de Confianza para la Proporción
Este párrafo se enfoca en el cálculo del intervalo de confianza para la proporción poblacional. Se describe la fórmula para el intervalo de confianza y se explica cómo se utiliza la proporción muestral junto con el nivel de confianza y el tamaño de la muestra para determinar el error máximo admitible. Además, se discute cómo se puede despejar la fórmula para encontrar el tamaño de la muestra necesaria para un nivel de confianza y un error máximo específicos.
📉 Consideraciones para Estimar la Proporción sin Información Previa
El tercer párrafo aborda el escenario en el que no se conoce la proporción poblacional ni la muestral. Se sugiere utilizar p = 0.5 y q = 0.5 como valores iniciales para maximizar el tamaño de la muestra y minimizar el error. Se presenta un ejemplo de cómo una compañía telefónica podría estimar la proporción de clientes dispuestos a aceptar un aumento de tarifas, incluyendo el cálculo del tamaño de la muestra necesaria para un error máximo y un nivel de confianza determinados.
📈 Aplicación de la Fórmula de Intervalo de Confianza a un Estudio Real
El último párrafo aplica la fórmula del intervalo de confianza a un estudio real. Se calcula el intervalo de confianza para la proporción de clientes que aceptarían una propuesta de la compañía, utilizando los datos de una muestra de 196 clientes. Se determina la proporción muestral, se calcula el error máximo y se establece el intervalo de confianza al 92%. El video concluye con una revisión de los pasos y una agradecimiento a la audiencia.
Mindmap
Keywords
💡Estimación
💡Proporción poblacional
💡Estimación puntual
💡Estimación por intervalos
💡Intervalo de confianza
💡Nivel de confianza
💡Proporción muestral
💡Desviación típica poblacional
💡Error máximo
💡Tamaño de la muestra
Highlights
Descripción del objetivo del video: estimar la proporción poblacional.
Definición de estimación puntual y estimación por intervalos.
Explicación de la mejor estimación puntual utilizando los estadísticos muestrales.
Limitación de la estimación puntual: falta de medida de confianza.
Introducción a la estimación por intervalos y definición de intervalo de confianza.
Relación entre la estimación de proporciones y la distribución binomial.
Fórmula para calcular la proporción muestral y su desviación típica.
Explicación del intervalo de confianza para la proporción poblacional.
Proceso para despejar el tamaño de muestra necesario para un nivel de confianza dado.
Tratamiento de casos sin información previa sobre la proporción poblacional.
Ejemplo práctico: determinar tamaño de muestra para una encuesta sobre aceptación de subida de tarifas.
Cálculo del intervalo de confianza para un estudio con muestra y proporción muestral conocidas.
Procedimiento para calcular la proporción muestral a partir de una muestra.
Cálculo del error máximo y su relación con el intervalo de confianza.
Agradecimiento final y despedida.
Transcripts
Hola a todos y bienvenidos a un nuevo
vídeo el objetivo del presente vídeo es
cómo estimar la proporción
poblacional recordemos que al
procedimiento que utilizamos cuando
queremos conocer las características de
un parámetro probaal a partir del
conocimiento de la muestra se le
denomina
estimación ahora vamos a describir la
población con los
parámetros poblacionales p que es la
proporción poblacional y Sigma que es la
desviación típica poblacional recordemos
que cuando se querían estimar parámetros
poblacionales podíamos optar por una
estimación puntual y por una estimación
por intervalos vamos a comenzar por la
estimación puntual para la para la
proporción
poblacional se produce cuando la
estimación del parámetro poblacional
ahora sería la proporción poblacional se
se da mediante un valor
único recordemos que la mejor estimación
puntual de los parámetros poblacionales
es la ofrecida por los estadísticos
muestrales
correspondientes nuestro caso el
parámetro poblacional proporción
poblacional el mejor estimador puntual
sería el estadístico muestral
correspondiente que es la proporción
muestral y que lo representamos con esa
p y ese angulito o también puede ser una
rayita por
encima en la estimación puntual se
obtiene un valor concreto como
estivación del parámetro poblacional
pero este método no permite tener una
medida de la confianza que puede
depositarse en el resultado de dicha
inferencia para paliar esta dificultad
se recurre a la estimación por
intervalos la estimación por intervalos
consiste en obtener un intervalo llamado
intervalo de confianza tal que
conozcamos la probabilidad que llamemos
nivel de confianza de que ese intervalo
contenga al verdadero valor del
parámetro poblacional recordemos que al
nivel de confianza lo representábamos
como 1 men Alfa Pues bien vamos ahora a
ver el intervalo de confianza para el
parámetro de la proporción poblacional
Nuestro objetivo va a ser estimar la
proporción p de individuos con una
cierta característica que hay en una
determinada población Pero a qué nos
referimos con esto de la
proporción si os acordáis cuando
estudiamos la distribución binomial
veíamos que una variable x se distribuía
según una distribución
binomial cuyos parámetros eran n y p eh
Cuando solo tenía dos resultados
posibles Solo cabían dos resultados
posibles que era el éxito y el fracaso
en N pruebas esto era el número de
pruebas número de veces que se repetía
el experimento idénticas e
independientes y aquí teníamos la
probabilidad del éxito que llamábamos
p Pues ahora en vez de eh querer
estudiar el número de éxitos que es x yo
lo que quiero hallar es la proporción de
éxitos esta nueva variable lo que
estudiaría sería la proporción de
éxitos para hallar la proporción de
éxitos debo de dividir el número de
éxitos que es
x número de éxitos entre el número total
de veces que se repite el experimento es
decir entre el número de casos posibles
si lo queremos número de
veces que se
repite el
experimento si os fijáis estamos
hablando del número de éxitos es decir
el número de casos favorables al partido
el número de casos posibles estamos
hablando de que esa proporción es una
probabilidad de éxito es decir coincide
con esa
p la proporción es un tanto por uno y si
la multiplico por 100 tendría el
porcentaje de
éxitos de un vídeo anterior sabemos que
las muestras de tamaño n de esa
población eh la proporción p de
individuos que cumplen ese atributo se
ajustan a esta normal donde esta es la
proporción
eh muestral Y esta es la desviación
típica muestral recordemos que era muy
parecida esta fórmula a la aproximación
de la binomial por la normal H Recuerden
que la aproximación de la binomial por
la normal era n * p y raíz n * p y por q
Cuál es la diferencia ahora pues que
eh lo que estamos es como estamos
teniendo proporciones estoy dividiendo
todo esto por
n esta n y esta n se simplificaría Y me
darían esta p que es la proporción
muestral vamos a ponerlo bien puesto que
es la proporción muestral Aquí también y
eh si yo meto esta n dentro de eh la
raíz lo metería como n
cuadrado y n y n cuad se simplificaría y
me daría lo que hay aquí de acuerdo O
sea que lo único que hemos cambiado es
la variable que en vez de ahora medir el
número de éxitos va a medir la
proporción de éxito es decir eh el
número de éxitos partido por el número
de
pruebas pues este intervalo de confianza
de la proporción poblacional con un
nivel de confianza 1 men Alfa viene dado
por esta expresión p proporción muestral
os Z de Alfa Med por raíz cuadrada de p
gorrito por q gorrito que son las
proporciones de esta es la proporción
muestral partido por n recordemos que
siempre que q no es más que q gorrito es
el suceso contrario 1 -
p y recordemos también que al igual que
los intervalos de confianza para la
media yo podía definir esto como el
error máximo verdad que realmente si
esto es el límite inferior del intervalo
Y esto es el límite superior Pues el
error máximo sería la mitad de la
amplitud del intervalo es decir el
límite superior menos el límite inferior
dividido por
2 se llamaba entonces error máximo
admisible a la semiamputacion
esto que está aquí luego el intervalo de
confianza lo podemos escribir
como p la proporción muestral menos el
error máximo la proporción muestral más
el error máximo siendo el error máximo
esto que hay aquí Z de Alfa medi por
raíz cuadrada de p muestral q muestral
partido por n recordemos que esta es la
desviación
típica
bien Si nosotros despejamos esta n de
aquí
Esta es nuestra n que queremos despejar
pues eh vamos a pasar primero Z Alfa
medios
dividiendo ahora eh Como n está dentro
de una raíz elevamos al cuadrado en
ambos
miembros por lo tanto si estamos
elevando al cuadrado en ambos miembros
aquí la raíz y el cuadrado se van a
simplificar con lo voy a obtener y todo
esto si lo elevamos al cuadrado Pues
será
máxima el error máximo al cuadrado
partido Z Alfa Med al cuadrado igual
recordemos que aquí se simplific el
cuadrado y la raíz pues p por q parido
por n ahora multiplicamos en
Cruz error máximo al cuadrado por n ig a
Z de Alfa medi al cuadrado por p y por q
y ya directamente despejamos n pasando
esto que está multiplicando a
dividir n sería Z de Alfa Med cu * p * q
parido el error máximo al
cuadrado bien recordad que este sería la
fórmula para el tamaño de la muestra
para un nivel de confianza de 1 -
Alfa si me piden el tamaño de la muestra
para un determinado error máximo y nivel
de confianza la respuesta Siempre será
un n mayor o igual al entero
inmediatamente posterior al valor de n
obtenido recuerden inmediatamente
posterior si n es 80 coma eh 1 1 pues no
es el más cercano es el el entero
inmediatamente posterior sería a 80,1
sería 81
mm ahora bien si la pregunta me dieran
el intervalo de confianza y me dijeran A
qué eh nivel de confianza se hizo el
estudio pues Eh entonces el resultado
será el entero más próximo al valor
obtenido
vale Y algo muy importante en estos
problemas hay un problema eh interesante
normalmente no conocemos la proporción
poblacional ni tan siquiera el valor de
proporción de la
muestra imaginen que queremos hacer un
estudio sobre la proporción de votantes
eh en las próximas elecciones eh a un
determinado partido político Obviamente
si yo no he hecho el estudio no conozco
la proporción de la muestra ni tampoco
la proporción Pol
lacional si se tiene información previa
sobre el valor de p pues puede
utilizarse si no tenemos información
previa si no conocemos la proporción
poblacional ni la muestral ojo si no la
conocemos si me dan un intervalo de
confianza ya pues ahí sí la podemos
hallar pero si no la conocemos tomaremos
p = a 0,5 y lógicamente Q que es 1 men p
también igual a 0,5 pues se puede
demostrar que para este valor se obtiene
el máximo valor del tamaño de la muestra
y en consecuencia quedará asegurado que
el error sea menor que el error máximo
la cota de error máximo que queremos
vamos a resolver un problema como
ejemplo una compañía telefónica tiene
interés en determinar qué proporción de
sus clientes estaría dispuesta a aceptar
una subida de tarifas a cambio de un
incremento en el número de megas de
descarga una encuesta previa indica que
esta proporción está en torno al
15% apartado a De qué tamaño debería de
ser la muestra de cliente Si se quiere
estimar dicha proporción con un error
inferior al 8% con un nivel de confianza
del 95 por. lo primero que tenemos que
saber es que el problema es se refiere a
el al parámetro de la proporción
poblacional obviamente lo tenemos
claro a veces no nos tiene por qué decir
proporción pero si nos da un porcentaje
o un tanto por uno pues se referirá a
una proporción también y también sería
de
proporción en segundo lugar primer
apartado me dice De qué tamaño estamos
hablando del tamaño
muestral y el tamaño muestral es esta n
y nosotros como lo podíamos despejar
pasamos Z de Alfa medios
dividiendo y me quedaría esta expresión
elevo todo al cuadrado para que se
simplifique la
raíz la raíz se va con el cuadrado
aquí y me quedaría
eso Entonces hago producto de medios
igual a extremos esto es importante
multiplico en Cruz
esto por esto igual a esto por
esto así y ahora despejo n pasando a
dividir el error máximo al
cuadrado ahí tenemos
n
bien me dice que el nivel de confianza
es del 95 por y de ahí tengo que
calcular Z de alfam calculo Z de Alfa
medios no lo voy a explicar porque ya
tenemos otros vídeos donde lo lo explica
y
ya tengo lo que vale Z Alfa medio
Necesito la
proporción
muestral Dice que una encuesta previa
indica que la proporción está en torno
al
15% luego 15 / 100 sería p y Q que es 1
men p bueno es 0,15 y Q que es- p 1 -
0,15 y eh ahora me dice que el error
máximo lo tengo que localizar es del
inferior al 8% fíjense un error inferior
si un error es inferior es que el máximo
error es el 8% 8 ent lo sustituyo al
cuadrado y 8 / 100 es 0,08 ojo
0,08 no
0,8 eso es 80 /
100 bien calculo eso son y me da
76,51
319 es decir la muestra el tamaño mínimo
es el entero inmediatamente superior a
este que sería 77 luego n debería de ser
mayor o igual a
77 mayor o igual a
77 recordemos que es justo el entero
inmediatamente
superior finalmente dice que que se ha
realizado el estudio con una muestra de
196 clientes de los cuales 37
manifestaron su conformidad con la
propuesta me pide calcular un intervalo
de confianza al 92 por para la
proporción total de clientes de la
compañía que aceptaría dicha propuesta
recordemos que la expresión del
intervalo de confianza para la
proporción
será p men Z Alfa Med raíz de p muestral
por q muestral partido por n p + Z ala
Med raíz cuad de p por q muestral
partido por n bien lo primero que vamos
a fijarnos es en el valor de la
proporción
muestral hemos cogido una muestra de 196
clientes luego eso es lo que vale n
196 de los cuales 37 manifestaron su
conformidad con la propuesta esta x
vendría a ser la variable que mide el
número de casos que cumplen una
determinada condición es decir estar de
acuerdo con el con la propuesta de la
compañía es decir es una variable que
mide el número de éxitos partido el
número total de casos los casos número
total de casos favorable a a la
propuesta partido el número total de
casos y esto sería 196 es el tamaño de
la muestra y los que son favorables son
37 37 de
196 que es
0,188 ya tenemos p la proporción
muestral y ahora vamos a ver el error
máximo recordemos que todo esto era el
error máximo que Z Alfa medios por la
raíz cuadrada de proporción muestral por
q muestral partido por n vamos a hallar
primero el Z de Alfa medios tenemos que
el nivel de confianza es al 92 por luego
1 men Alfa
092
y calculamos eh Como hemos visto el
valor crítico que me da
1,75 Si miro en la tabla luego esto en
los márgenes no es
1,75 ya tengo Z de alfam medios que es
1,75 lo sustituyo p lo tengo aquí
01888 y q es 1
men de acuerdo si sustituyo tendría eso
y
eh el n es el tamaño de la muestra que
es 196 si multiplico todo esto me da
0,0892 luego el intervalo de confianza p
menos el error máximo p más el error
máximo sustituyo p y el error máximo por
sus valores ahora máximo y me quedaría
este que sería el intervalo de confianza
pedido pues muchas gracias por vuestra
atención y hasta una futura ocasión
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Como Calcular el tamaño de la Muestra.wmv
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