¿Qué es el cálculo?
Summary
TLDREl guion del video explora la importancia fundamental del cálculo en la vida moderna, desde la tecnología hasta la producción industrial y la ciencia. Se narra la historia de cómo Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo para entender fenómenos como la gravedad y las órbitas elípticas de los planetas. El cálculo, con sus herramientas de derivadas e integrales, permite modelar y predecir cambios en el tiempo, siendo esencial para el diseño de estructuras, la economía y la biología. El video destaca cómo el cálculo ha transformado nuestra comprensión del mundo y es una herramienta clave para resolver problemas complejos.
Takeaways
- 😲 La tecnología es tan omnipresente en nuestras vidas que es difícil imaginar un mundo sin ella.
- 📚 El cálculo, nacido aproximadamente hace 300 años, es una de las ramas más fascinantes y fundamentales de las matemáticas.
- 🧐 Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, dos grandes pensadores, descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
- 🌍 La tecnología moderna depende en gran medida del cálculo para operar y desarrollarse.
- 🌌 Kepler descubrió las leyes del movimiento planetario, pero no pudo explicar por qué los planetas se mueven de esa manera.
- 🍎 Newton utilizó la idea de la gravedad, que hace que las manzanas caigan, para explicar el movimiento planetario.
- 🔗 La segunda ley de Newton establece que la fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por la aceleración.
- 📉 El cálculo permite entender cambios y procesos en un intervalo de tiempo indefinido, algo crucial para describir trayectorias y movimientos.
- 🚀 El cálculo fue esencial para Newton para demostrar que las órbitas planetarias son elípticas y para encontrar fórmulas para la posición de los planetas en cualquier momento.
- 🔄 El cálculo no solo se utiliza para el estudio de los cuerpos celestes, sino también para entender fenómenos que cambian con el tiempo y las relaciones entre variables.
- 📈 Las derivadas, una herramienta del cálculo, nos ayudan a entender la velocidad y la aceleración, mientras que las integrales nos permiten calcular áreas bajo curvas y modelar fenómenos en el tiempo.
Q & A
¿Qué revolución peculiar se menciona en las matemáticas que ocurrió hace aproximadamente 300 años?
-Se refiere a la revolución del cálculo, una de las ramas más fascinantes de las matemáticas, que fue esencial para el desarrollo de la tecnología moderna.
¿Quiénes fueron los grandes pensadores que contribuyeron a la creación del cálculo?
-Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
¿Qué fenómeno descubrió Johannes Kepler que influenció en la teoría de la gravedad de Newton?
-Kepler descubrió que las órbitas de los planetas y cometas alrededor del sol tienen la forma de una elipse y que hay una relación precisa entre la distancia de un planeta al sol y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa.
¿Cómo describe Newton la fuerza de gravedad entre dos cuerpos?
-La fuerza de gravedad entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellos.
¿Cuál es la segunda ley de Newton y qué implica?
-La segunda ley de Newton establece que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es equivalente al producto de su masa por su aceleración.
¿Por qué necesitaba Newton un método para comprender los cambios en un intervalo de tiempo indefinido?
-Necesitaba un método para entender cómo los movimientos de los cuerpos celestes, como las órbitas elípticas, se desarrollan a lo largo de un período de tiempo más largo, más allá de un instante específico.
¿Cómo ayudó el cálculo a Newton a demostrar que las órbitas de los planetas son elípticas?
-El cálculo permitió a Newton obtener fórmulas para encontrar la posición de los planetas en el espacio en cualquier momento, lo que le ayudó a demostrar que las órbitas son elípticas.
¿Qué son las funciones y cómo se relacionan con el cálculo?
-Las funciones son relaciones matemáticas entre variables, y el cálculo es la herramienta que permite entender el comportamiento de estas funciones y sus variaciones en el tiempo.
¿Qué es una derivada en el contexto del cálculo y qué revela?
-Una derivada es una herramienta fundamental del cálculo que mide la tasa de cambio de una función en un punto específico, revelando información como la velocidad o la aceleración.
¿Qué es el proceso inverso a la derivación en el cálculo y cómo se relaciona con el área bajo una curva?
-El proceso inverso a la derivación es la integral, que permite calcular el área bajo la curva de una función, lo que se utiliza para encontrar la distancia recorrida a partir de la velocidad, por ejemplo.
¿Cómo se relaciona el cálculo con la ecología y el estudio de poblaciones de animales?
-El cálculo se utiliza para modelar y resolver ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de poblaciones de animales en el tiempo, lo que es crucial para la gestión de ecosistemas y la conservación de las especies.
¿Por qué es el cálculo considerado una herramienta matemática indispensable para la industria y la ciencia?
-El cálculo es esencial para diseñar y optimizar procesos industriales, así como para entender y predecir fenómenos físicos, biológicos y económicos, permitiendo el desarrollo tecnológico y el avance científico.
Outlines
😲 La Revolución del Cálculo y su Impacto en la Tecnología
Este párrafo introduce la importancia de la tecnología en nuestra vida y hace una analogía histórica con la Revolución Industrial que ocurrió hace aproximadamente 300 años, pero en el ámbito de las matemáticas. Se centra en el Cálculo, una rama de las matemáticas fundamental para el avance tecnológico, y menciona a Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz como sus principales fundadores. El párrafo también establece la conexión entre el Cálculo y los movimientos celestes, con un enfoque en el trabajo de Johannes Kepler y la explicación de Newton sobre la gravedad y sus leyes matemáticas.
📚 El Cálculo como Habilidad para Estudiar Fenómenos en el Tiempo
El segundo párrafo explora cómo el Cálculo permite modelar y entender fenómenos que varían con el tiempo, como el vuelo de un proyectil. Se discute cómo, desde la Edad Media, se han buscado maneras matemáticas de describir fenómenos naturales, y cómo las funciones matemáticas son esenciales para representar relaciones entre variables. El párrafo también utiliza el ejemplo de una gráfica para ilustrar cómo el Cálculo nos ayuda a entender el comportamiento de estas funciones a través de su 'psicología matemática'.
🛣️ La Derivada como Herramienta para Medir la Velocidad y la Aceleración
Este apartado se enfoca en la derivada, una herramienta fundamental del Cálculo que permite medir la velocidad y la aceleración a través del análisis de la inclinación de una gráfica. Utiliza el ejemplo de un coche en movimiento para explicar cómo la derivada de la distancia recorrida con respecto al tiempo nos da la velocidad, y la segunda derivada nos proporciona la aceleración. El párrafo también muestra cómo la derivada puede ser utilizada para entender fenómenos a lo largo de un período de tiempo más largo, como las órbitas de los planetas.
📉 La Integral como Proceso Inverso a la Derivada
El cuarto párrafo introduce el concepto de integral como el proceso inverso a la derivada, es decir, como una forma de calcular áreas bajo curvas, lo que nos permite determinar distancias a partir de la velocidad. Se describe cómo Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo integral para sumar un infinito de pequeños rectángulos para encontrar áreas, y cómo esto se relaciona con el cálculo del área recorrida por un objeto en movimiento, como un coche.
🔗 El Cálculo en la Ciencia y la Industria
Este párrafo destaca el papel crucial del Cálculo en la ciencia y la industria. Se menciona cómo las ecuaciones diferenciales, derivadas de las leyes de Newton, son resueltas utilizando derivadas e integrales para entender fenómenos como las órbitas elípticas de los planetas. Además, se discute cómo el Cálculo es esencial en la ingeniería y la producción industrial, permitiendo el diseño y optimización de una amplia gama de productos y estructuras.
🌿 El Cálculo en las Ciencias del Comportamiento y de la Vida
El sexto y último párrafo ilustra cómo el Cálculo no solo es importante para las ciencias físicas, sino también para las ciencias del comportamiento y de la vida. Se da un ejemplo de cómo los biólogos utilizan ecuaciones diferenciales para modelar y entender la dinámica de poblaciones de animales en ecosistemas, y cómo estas herramientas matemáticas son esenciales para la conservación de las especies. El párrafo concluye destacando la importancia del Cálculo en una variedad de campos académicos y profesionales.
🎵 Conclusión Musical sobre la Importancia del Cálculo
Este elemento del script no contiene información narrativa sino simplemente una marca de música, indicando un cambio de sección o una pausa en la presentación. No se requiere un resumen o título para este tipo de contenido.
Mindmap
Keywords
💡Revolución matemática
💡Cálculo
💡Isaac Newton
💡Órbita elíptica
💡Fórmula de Newton
💡Derivada
💡Integral
💡Ecuaciones diferenciales
💡Fenómenos cambiantes
💡Modelos matemáticos
Highlights
La tecnología es esencial en nuestra vida y difícilmente podemos imaginar un mundo sin ella.
La revolución en las matemáticas conocida como el cálculo fue fundamental para el desarrollo tecnológico.
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
Johannes Kepler descubrió las propiedades de las órbitas elípticas de los planetas.
Newton utilizó la idea de la gravedad para explicar los movimientos planetarios.
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza, masa y aceleración de un cuerpo.
El cálculo permite entender cambios y procesos en un intervalo de tiempo indefinido.
Newton demostró que las órbitas de los planetas son elípticas utilizando el cálculo.
El cálculo ayuda a estudiar fenómenos que cambian en el tiempo y donde una variable depende de otra.
Las funciones matemáticas son fundamentales para describir relaciones entre variables.
El cálculo de derivadas nos permite entender la velocidad y la aceleración de los movimientos.
Las integrales son el proceso inverso a la derivación y nos ayudan a calcular áreas bajo curvas.
Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender fenómenos que cambian con el tiempo.
El desarrollo del cálculo ha permitido diseñar máquinas y edificaciones que antes eran impensables.
El cálculo es crucial en la industria para maximizar y minimizar variables en el diseño de productos.
La unión del cálculo con la ciencia es fundamental para entender fenómenos físicos y biológicos.
Los matemáticos han formalizado el cálculo y desarrollado técnicas para estudiar funciones complejas.
El cálculo ha dado lugar a nuevas ramas de las matemáticas como los sistemas dinámicos y la geometría diferencial.
El cálculo es una herramienta indispensable para cualquier carrera universitaria.
Transcripts
[Música]
y
i
no
estamos tan acostumbrados a la
tecnología que muy difícilmente podemos
pensar en nuestras vidas sin ella
imaginemos por ejemplo cómo sería
nuestro mundo sin los aparatos
electrónicos sin las comunicaciones sin
la producción industrial a gran escala
de alimentos muebles y hasta ropa
pues así sería nuestro mundo muy similar
a éste a no sé por qué hace
aproximadamente 300 años se forjó una
revolución muy peculiar en las
matemáticas fue tan peculiar que
solamente hizo falta la existencia de
esto
a esa revolución en las matemáticas les
llamamos el cálculo y cuando digo
cálculo no me refiero a lo que dicen
algunas personas de vamos a hacer unos
cálculos no el cálculo es una de las
ramas más fascinantes de las matemáticas
y debemos existencia de los grandes
pensadores isaac newton y 'virgen
leading quienes a finales del siglo 17
cada quien por su parte lo descubrió
actualmente toda la tecnología depende
del cálculo pero lo que realmente
preocupaba a newton y laynce nix no era
lo que tenían a su alrededor
sino más bien
las cosas
de allá arriba
newton nació en 1643 unas cuantas
décadas después de que el astrónomo
alemán johannes kepler descubriera que
las órbitas que recorren los planetas y
cometas alrededor del sol tienen la
forma de una elipse que barren áreas
iguales en tiempos iguales y que hay una
relación precisa entre la distancia de
un planeta al sol y el tiempo en que
tarda en dar una vuelta completa
estos hallazgos eran sorprendentes pero
kepler nunca pudo entender por qué los
planetas se movían alrededor del sol de
esa manera
newton tenía en mente una explicación de
este fenómeno para ello partió de la
idea de que los movimientos olímpicos de
los planetas dependen del mismo fenómeno
que hace que las manzanas se caigan de
los árboles la gravedad
[Música]
newton es famoso justamente porque
descubrió que la gravedad es la fuerza
de atracción que experimentan todos los
cuerpos de la misma manera y lo
describió con esta fórmula que no hay
que tenerle mucho miedo porque lo que
nos explica lo siguiente la fuerza de
gravedad entre dos cuerpos por ejemplo
la tierra y el sol es proporcional al
producto de sus masas esto quiere decir
que entre más grandes sean estos cuerpos
mayor será la atracción que haya entre
ellos e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que hay entre
ellos lo que significa que entre mayor
distancia entre estos cuerpos la
atracción entre ellos va a ser menor
newton también descubrió que la fuerza
que se ejerce sobre un cuerpo es
equivalente al producto de su masa por
su aceleración esta es la famosa segunda
ley de newton
con toda esta fórmula con toda esta
fórmula newton estaba seguro que por ahí
estaba el secreto de la órbita elíptica
anteriormente descrita por kepler pero
el problema es que la ley de la gravedad
nos habla o nos describe la fuerza de
atracción entre dos cuerpos pero en un
instante preciso en un momento
determinado y las órbitas elípticas son
el resultado de algo que ocurre en un
intervalo de tiempo más amplio digamos
por ejemplo el que ocupa un planeta en
darle una vuelta completa al sol a que
newton le faltaba algo que no existe en
ese momento le faltaba un método para
poder comprender los cambios o procesos
que tiene un fenómeno en un intervalo de
tiempo digamos indefinido a partir
de un momento específico o definido como
esto
y lo sorprendente es que lo encontró ese
método es precisamente el cálculo con el
cálculo newton no sólo pudo demostrar
porque las órbitas de los planetas son
elipses y los círculos sino también
obtener fórmulas para encontrar la
posición de los planetas en el espacio
en cualquier momento fórmulas que por
cierto seguimos usando para determinar
la posición de nuestros satélites
artificiales
lo maravilloso de todo esto es que
newton se dio cuenta de que el cálculo
no solamente nos sirve para estudiar los
movimientos de los cuerpos celestes sino
que nos ayuda a estudiar matemáticamente
todos los fenómenos que cambian en el
tiempo y más aún todos los fenómenos en
donde una variable depende de otra
piensen en el vuelo de un proyecto por
ejemplo una flecha
desde tiempos muy antiguos se sabe que
la distancia que pueda alcanzar una
flecha depende de muchos factores uno de
ellos es por supuesto el tiempo de vuelo
pero también su peso la atención del
arco y la velocidad del plano
a partir del renacimiento se empezó a
pensar que esas relaciones pueden
ponerse en términos matemáticos por
ejemplo es claro que uno de los factores
que determinan la distancia que recorre
cualquier proyectil y hace una flecha o
un óvalo de cañón es el ángulo de
disparo
resulta claro que la distancia está
relacionada con el ángulo del cañón a
una relación como esta los matemáticos
la llamamos funciones en este caso
decimos que la distancia es una función
del ángulo de disparo la relación entre
el ángulo de disparo y la distancia no
es tan trivial
de hecho los matemáticos tardaron mucho
tiempo en encontrar la forma matemática
de recta para describir la trayectoria
de una pala de cañón
podemos observar muchas funciones a
nuestro alrededor
por ejemplo la velocidad con la cual
gira una patinadora está en función de
la posición de sus brazos está cuando
salió en el mercado el precio de
cualquier producto depende de la oferta
y la demanda
y así podríamos infinitamente donde algo
cambio y hay una dependencia entre
variables el matemático descubre
funciones
el mundo está repleto de funciones entre
variables y el cálculo trata
precisamente de entender estas funciones
y su comportamiento digamos que es como
la psicología de las matemáticas
así como las personas tenemos días
buenos y los malos
y las funciones que tienen variaciones
[Música]
existen pasos donde las funciones tienen
manchas
hoy
y como a veces hay máximos
también el niño
también existen funciones que sin
importar nada permanecen constantes en
fin las funciones que encontramos en la
naturaleza son tan variadas como el
comportamiento de las personas
el cálculo es la herramienta que nos
permite clasificarlas y entenderlas
para entender cómo funcionan las
herramientas del cálculo conviene
representar las funciones entre
variables
en una gráfica el valor de una función
se representa con una
todos hemos visto una ratita alguna vez
está por ejemplo representa la
temperatura promedio del cuerpo durante
el día está el crecimiento de la
población mundial en el último siglo y
está la temperatura promedio de la
superficie terrestre desde 1864 para
hacer una gráfica necesitamos que una
variable cambie en función de otra por
ejemplo un carro en movimiento un carro
tiene que frenar y acelerar cambiar de
dirección y todo eso provoca continuos
cambios porque no se suben al auto
con este coche podemos hacer los
movimientos básicos como acelerar
sin problema usamos este vehículo para
ver cómo se construye una gráfica
graphic haremos la distancia que recorre
el coche en función del tiempo
[Música]
[Música]
observen que la novela gráfica siempre
es ascendente porque a veces
cuando el coche mientras hago una curva
tiene que frenar es tocándolo trocito de
una forma de la gracia
y después cuando el coche entre en una
recta vuelve a acelerar y la gráfica
cambia de forma
en las rectas la distancia recorrida
aumenta rápidamente y en la gráfica
vemos este aumento en la pendiente de la
curva que se inclina más hacia arriba
pero en las curvas la reducción de
velocidad hace que la inclinación de la
línea sea menor
si bien esta gráfica nos sirve para
definir la distancia recorrida en
función del tiempo la inclinación nos
revela otro dato la velocidad por
ejemplo aquí y aquí el auto va más
rápido y aquí y aquí va más lento
precisamente evaluar la inclinación de
la curva en cada instante es para lo que
sirve la herramienta fundamental del
cálculo la derivada
podemos pensar que las
como cambia otra función por ejemplo
hemos descubierto que la velocidad del
coche está representada por la
inclinación de la gráfica de la
distancia que recorre para medir esta
inclinación podemos dibujar una línea
recta que toca la curva en cada punto
que tenga la misma inclinación que ella
podemos dibujar un triángulo con un lado
horizontal otro vertical y el tercero
sobre la entidad si mantenemos fija la
base del triángulo y lo movemos a lo
largo de la curva su altura va a cambiar
es mayor cuando la curva está más
inclinada así que la altura de esta
línea es un buen indicador de la
inclinación de la gracia
qué les parece si gráfica mos el tamaño
de esta altura así obtendremos una
gráfica a partir de otra
fíjense muy bien dentro de esta nueva
gráfica cuando el auto va a una
velocidad constante la gráfica es
horizontal
cuando el auto disminuye la velocidad la
gráfica baja
y cuando la velocidad aumenta la gráfica
la nueva gráfica no es otra que la
gráfica de la velocidad en una infección
de tiempo
la derivada de la distancia es la
velocidad
lo interesante es que obtuvimos la
gráfica de la velocidad sin estar viendo
directamente al velocímetro del auto
todo a partir de la gráfica de la
distancia en función del tiempo por lo
que deducimos entonces que la velocidad
es una derivada de la distancia pero
también conocemos que la velocidad se ve
alterada por el tiempo por lo tanto
también se puede derivar y que obtenemos
pues un dato muy importante que es la
aceleración y llegamos a otra conclusión
la distancia tiene dos derivadas la
primera de ellas la velocidad la segunda
la aceleración
[Música]
podemos usar las derivadas para entender
matemáticamente las funciones de cosas
que cambian en periodos largos de tiempo
por eso cuando el minuto en desarrollo
por primera vez el concepto pudo
entender por fin la razón de que las
órbitas de los planetas sean elitistas
lo que newton hizo fue considerar su
fórmula como una función y es que miren
en un periodo de un año la posición del
sol con respecto a los planetas cambian
y por lo tanto cambio también la
aceleración los cuerpos celestes nunca
mantienen la misma velocidad y esto es
muy notorio en los cometas que mientras
están más cercanos al sol su aceleración
es mayor y entre más lejanos esta
aceleración disminuye y es precisamente
en esta relación entre la posición de la
tierra con respecto a su aceleración que
newton descubre el secreto de las
órbitas elípticas lo que newton hizo fue
formalizar matemáticamente esta relación
utilizando la derivada con la derivada
newton pudo relacionar matemáticamente
la posición de los planetas con su
velocidad y su aceleración la derivada
le permitía por ejemplo obtener la
velocidad del planeta conociendo
solamente la gráfica de la posición pero
necesitaba una herramienta que le
permitiera realizar el proceso inverso
es decir obtener la posición de un
planeta
a partir de su velocidad
la derivada la otra parte fundamental
del cálculo la conocemos como interior
desde afuera de un coche es fácil
graficar la distancia que recorre pero
si uno está adentro lo que tenemos más a
la mano es el velocímetro así que lo más
fácil en este caso no es gráfica la
distancia sino la velocidad
como podemos conocer la distancia que
recorre el auto conociendo solo su
velocidad lo que necesitamos es
encontrar algo en esta gráfica que nos
permita realizar el proceso inverso a la
derivación analicemos una gráfica
sencilla de la velocidad por ejemplo
cuando vamos a una velocidad constante
es claro que la distancia recorrida
aumenta proporcionalmente al tiempo
si vamos a 60 kilómetros por hora
después de dos horas habremos recorrido
120 kilómetros en total estos 120
kilómetros los podemos visualizar como
el área del rectángulo que se forma
debajo de la curva de la gráfica
esa relación se conserva aún cuando la
velocidad varía siempre la distancia
recorrida corresponde al área debajo de
la curva
así que si gráfica mos cómo crece esa
área con el tiempo obtendremos ni más ni
menos la gráfica de la distancia
recorrida
encontrar la función que permite
calcular el área bajo la curva de una
función es el proceso inverso a derivar
y es precisamente la segunda pieza clave
del cálculo el proceso se llama integral
la función resultante la integral de la
función original
es muy difícil calcular directamente el
área de una figura completa pero todo el
mundo sabe calcular el área de un
rectángulo
base por altura
así que una forma de encontrar un valor
aproximado para el área bajo la gráfica
de una función es llenarla de pequeños
rectángulos y sumar sus áreas
es fácil darse cuenta que mientras más
angosto sean los rectángulos que
pongamos bajo la curva más exacto será
nuestro cálculo del área
lo que encontraron newton y lightning es
la manera de hacer estos rectángulos
verdaderamente chiquitos que tampoco es
infinita
de hecho el símbolo que inventó lives
para indicar la integral de una función
es una s de suma y una especie de
chiquita significa algo así como la suma
de una infinidad de pequeño rectángulo
si nos parece muy extraña la idea de
sumar una infinidad de rectángulos
infinitamente pequeños no se preocupen
porque para newton light mix y otros
matemáticos que les precedieron fue un
verdadero dolor de cabeza pero dejando
de lado todos los problemas filosóficos
que nos plantea el cálculo si conocemos
una función a través de la derivada
vamos a saber cómo cambia en el tiempo y
si sabemos cómo cambia en el tiempo a
través de la integral vamos a saber de
cuál función se trata
o la derivada de la integral los
científicos por fin tuvieron las
herramientas necesarias para entender
matemáticamente todos los fenómenos que
cambian con el tiempo combinando las
derivadas con las integrales
transformaron muchas de las viejas
fórmulas que conocían en nuevas fórmulas
que podrían estudiarse por medio del
cálculo
pues aquí está de nuevo la fórmula de
newton recuerden aquí tenemos la
distancia aquí tenemos la aceleración
que hay que recordar
una derivada de la velocidad en función
del tiempo la que a su vez
es una derivada
de la distancia
en función del tiempo y bueno pues
obtenemos una ecuación que aparentemente
es muy compleja tenemos de este lado a
la distancia solita y acá la tenemos
como una segunda derivada a este tipo de
ecuaciones se les llama ecuaciones
diferenciales
las ecuaciones diferenciales son
parecidas a las ecuaciones entre
variables que aprendemos en la
secundaria pero la incógnita no es un
número sino una función por eso resolver
ecuaciones diferenciales es muy difícil
una vez que newton convirtió su fórmula
en una ecuación diferencial cómo
resolverla utilizando las dos
herramientas básicas del cálculo y
llegar a la conclusión de que la forma
de la órbita de un planeta que gira
alrededor del sol impulsado por la
fuerza de gravedad necesariamente tiene
que ser dada por una ecuación como ésta
es la ecuación de una figura cónica es
decir una hipérbola parábola o elipse
pero las hipérboles y parábolas son
abiertas es decir describen órbitas de
cuerpos que una sola vez es cercana al
sol y después se alejan para siempre
como este no es el caso de los planetas
y los cometas conocidos newton concluyó
que sus órbitas sólo pueden tener una
forma la de una elipse
este descubrimiento es sin duda uno de
los logros más grandes de la
civilización desde entonces no se puede
conseguir al mundo sin el calcio
la tecnología fue una de las actividades
más beneficiadas con el nacimiento del
cálculo del cálculo permitió diseñar
nuevas máquinas significara
construcciones que nadie había imaginado
hoy mismo el cálculo es sin duda la
herramienta matemática más importante de
la industria todo lo que se produce a
gran escala necesita calcular
desde la construcción de un gigantesco
puente capaz de soportar grandes fuerzas
durante muchos años hasta el diseño de
una sencilla lata de refresco
qué tiene que almacenar la mayor
cantidad de líquido gastando la menor
cantidad de aluminio en su fabricación
se empiezan a dar cuenta porque toda la
producción industrial depende del
cálculo como ya vimos las latas de
refresco las sillas de los escritorios
los teléfonos todo se diseña para
maximizar algunas variables y minimizar
otras y para eso se aplican las
derivadas y si el cálculo es
imprescindible para la industria es aún
más importante para la ciencia la unión
del cálculo con la ciencia es un
matrimonio indivisible no se podría
imaginar la física sin cálculo
[Música]
y la química y la economía y bueno la
mala noticia para quienes no les gustan
las matemáticas pero si los animales es
que ni siquiera la biología se escapa
del cálculo por ejemplo los biólogos que
estudian las extinciones de especies a
menudo tienen que entender cómo se
comporta una población de animales en el
tiempo
si una población vive sin restricciones
de alimentación la cantidad de
individuos de la especie puede aumentar
indefinidamente como en el caso de estas
bacterias
en otras palabras si tomamos la cantidad
de individuos en función del tiempo su
derivada será una constante multiplicada
por ella misma
hasta que empieza a escasear el alimento
y la población decrece también de manera
proporcional al número de individuos
ambos fenómenos suceden con frecuencia
en la naturaleza más interesante es si
los animales tienen suficiente comida
pero enfrentan depredadores por ejemplo
aquí vemos las poblaciones de conejos y
coyotes que comparten un mismo hábitat
primero los coyotes se dan un atracón y
los conejos disminuyen pero cuando
quedan pocos conejos los depredadores
empiezan a su vez a desaparecer por
falta de alimento lo que permite que
aumente la población de conejos y así se
siguen indefinidamente esta situación
puede graficar se en un plano si
aceptamos que ahora en una dirección se
mide la cantidad de conejos y en la otra
la de coyotes la figura resultante
describe el comportamiento del
ecosistema de conejos y coyotes y puede
modelar se con una ecuación matemática
que a diferencia de las ecuaciones
comunes incluye derivadas de las
cantidades por lo tanto lo que tenemos
es una ecuación diferencial que se puede
resolver con las herramientas del
cálculo la derivada y la integral
resolviendo la ecuación diferencial
podemos saber cómo cambia la población
de conejos y coyotes en el tiempo
modelos como este pero con muchas más
variables se utilizan para estudiar las
poblaciones de especies en ecosistemas
reales y para determinar las acciones
que deben de tomarse para proteger a una
especie particular de la extinción
en los siglos 18 19 y 20 los matemáticos
formalizaron el cálculo y desarrollaron
técnicas para poder estudiar las
funciones cada vez más complejas que
utiliza la ciencia para explicar los
fenómenos físicos y biológicos dando
origen a nuevas ramas de las matemáticas
que surgen a partir del cálculo como los
sistemas dinámicos y la geometría
diferencial derivadas integrales y
ecuaciones diferenciales esa es la
esencia del cálculo su estudio es
fascinante aunque para ser muy honesto a
veces es muy difícil incluso los
matemáticos seguimos estudiando seguimos
investigando muchos aspectos que aún no
nos quedan claros pero que no nos
extraña de una herramienta que nos
permite entender tantos fenómenos de
nuestro entorno pero ahora que si
ustedes quieren seguir cualquier carrera
universitaria
vale la pena aprenderlo porque
mejor sigamos
medicina cálculo
genética
astronomía cálculo
duke estudios de literatura
bueno ni siquiera el cálculo es perfecto
entienden ahora por qué es tan
importante el cálculo es la herramienta
matemática que ha permitido crear
nuestra tecnología y estudiar todo lo
que nos rodea
bien
[Música]
ah
[Música]
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