Estadística: introducción al conteo
Summary
TLDREl script del video presenta conceptos fundamentales de conteo, ilustrados con ejemplos como la elección de menús en un restaurante y la organización de sentaderas en una mesa. Se explica el principio de multiplicación para calcular las posibles combinaciones de platos, refrescos y postres, así como el uso del factorial y las permutaciones y combinaciones en situaciones variadas. Además, se ofrecen ejercicios prácticos y recursos en www.auladeeconomia.com para profundizar en estadística y probabilidad.
Takeaways
- 🍽️ Un restaurante ofrece tres opciones de plato fuerte, dos tipos de refrescos y dos opciones de postre, lo que permite 12 órdenes distintas mediante combinaciones de cada uno.
- 📊 El uso de un diagrama de árbol ayuda a visualizar las diferentes combinaciones de opciones disponibles en el restaurante.
- 🔢 El principio de multiplicación de conteo se aplica para calcular el número total de combinaciones, obteniendo 12 órdenes distintas para el ejemplo del restaurante.
- 🧑🤝🧑 El principio de multiplicación también se utiliza para calcular el número de maneras en que 8 personas pueden sentarse en 8 sillas, resultando en 40,320 formas distintas.
- 🔐 La contraseña de un cajero automático, compuesta de cuatro dígitos, tiene 10,000 posibles combinaciones, ya que cada dígito puede ser uno de los 10 números.
- 🎲 El concepto del factorial (n!) se introduce como una forma de calcular el número de combinaciones de un conjunto de elementos, siendo n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1.
- 📚 El factorial de 0 y de 1 es igual a 1, lo que es un punto importante a tener en cuenta al calcular factoriales.
- 🔄 El factorial de un número es muy grande para números grandes, como el factorial de 70, que es aproximadamente 1.1978 × 10^100.
- 🔄 Permutaciones se refiere a arreglos ordenados de elementos distintos sin repetición, y su número se calcula con la fórmula P(n, r) = n! / (n-r)!.
- 🔄 Combinaciones se refiere a arreglos no ordenados de elementos distintos sin repetición, y su número se calcula con la fórmula C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!).
- 👥 Ejemplos prácticos de permutaciones y combinaciones incluyen la formación de directivas y comités a partir de grupos de personas, donde el orden es o no relevante.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del video sobre conceptos básicos de conteo?
-El objetivo principal del video es ilustrar y explicar conceptos básicos de conteo a través de ejemplos, como el de un restaurante que ofrece diferentes opciones de comida, refrescos y postres.
¿Cómo se utiliza un diagrama de árbol para calcular las posibles combinaciones de órdenes en el restaurante del ejemplo?
-El diagrama de árbol se utiliza para esquematizar las diferentes opciones de plato fuerte, refresco y postre. Cada rama del árbol representa una combinación posible, y al contar todas las ramas se obtiene el total de combinaciones distintas.
¿Cuántas distintas combinaciones de plato fuerte, refresco y postre se pueden pedir en el restaurante del ejemplo?
-Se pueden pedir un total de 12 distintas combinaciones, calculadas multiplicando las opciones de cada elemento: 3 platos fuertes, 2 tipos de refrescos y 2 postres.
¿Qué principio se utiliza para calcular el número de posibles órdenes en el restaurante del ejemplo?
-Se utiliza el principio de multiplicación de conteo, que indica que si una actividad requiere varias elecciones, el número total de formas en que se puede realizar la actividad es el producto de las formas de cada elección.
¿Cómo se calcula el número de formas en que 8 personas pueden sentarse en una mesa con 8 sillas?
-Se utiliza el principio de multiplicación, considerando que la primera persona tiene 8 opciones, la segunda 7, y así sucesivamente hasta la octava persona que tiene una opción. El resultado es 40,320 formas distintas.
¿Qué es el factorial de un número y cómo se denota?
-El factorial de un número, denotado como n!, es el producto de todos los números enteros desde ese número hasta 1. Por ejemplo, el factorial de 4 es 4 x 3 x 2 x 1 = 24.
¿Cuántas contraseñas distintas son posibles si una contraseña de cajero automático consta de cuatro dígitos?
-Como cada dígito tiene 10 opciones (0-9) y pueden repetirse, hay 10,000 (10 x 10 x 10 x 10) contraseñas distintas posibles.
¿Qué es una permutación y cómo se calcula el número de permutaciones de n elementos tomados de r a la vez sin repetición?
-Una permutación es un arreglo ordenado de n elementos distintos tomados de r a la vez. El número de permutaciones se calcula como P(n, r) = n! / (n - r)!.
¿Qué es una combinación y cómo se calcula el número de combinaciones de n elementos tomados de r a la vez sin repetición?
-Una combinación es un arreglo no ordenado de n elementos distintos tomados de r a la vez. El número de combinaciones se calcula como C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!).
¿Cuántas directivas de tres miembros se pueden formar de un grupo de ocho personas elegibles, considerando que el orden es importante?
-Se pueden formar 336 directivas distintas, utilizando la fórmula de permutaciones P(8, 3) = 8! / (8 - 3)!.
¿Cuántos comités de tres miembros se pueden formar de un grupo de ocho personas elegibles si el orden no es importante?
-Se pueden formar 56 comités distintos, utilizando la fórmula de combinaciones C(8, 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!).
Si se quieren formar comités de tres estudiantes y dos profesores, y hay un grupo de diez estudiantes y cinco profesores elegibles, ¿cuántos comités distintos se pueden formar?
-Se pueden formar 1,200 comités distintos, calculando las combinaciones de estudiantes C(10, 3) y profesores C(5, 2) y multiplicando los resultados: 120 estudiantes * 10 profesores.
Outlines
🍽️ Conceptos Básicos de Conteo y Aplicaciones
Este párrafo introduce conceptos fundamentales de conteo a través de un ejemplo práctico. Se considera un restaurante que ofrece opciones de comida, refrescos y postres, y se plantea el problema de calcular el número de órdenes distintas posibles. Se utiliza un diagrama de árbol para visualizar las combinaciones y se aplica el principio de multiplicación de conteo, que sugiere que el número total de combinaciones es el producto de las opciones disponibles para cada elemento. El ejemplo demuestra que para tres platos fuertes, dos refrescos y dos postres, hay 12 órdenes distintas posibles, ilustrando así el poder de este principio matemático en situaciones de elección múltiple.
🔢 Aplicación del Principio de Multiplicación y Factorial
El segundo párrafo profundiza en el principio de multiplicación y presenta el concepto de factorial. Se describe cómo calcular el número de formas en que ocho personas pueden sentarse en ocho sillas, lo que resulta en 40,320 combinaciones. A continuación, se explica el factorial como el producto de un número y todos sus predecesores hasta 1, ejemplificado con el factorial de 4, que es 24. Se presentan diferentes números factoriales, mostrando cómo crecen rápidamente y se vuelve impracticable calcularlos para números grandes. También se introduce el concepto de permutaciones, que son arreglos ordenados de elementos sin repetición, y se da una fórmula para calcular el número de permutaciones posibles.
🔄 Permutaciones y Combinaciones: Distinción y Cálculo
Este párrafo establece la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Mientras que las permutaciones son arreglos ordenados de elementos sin repetición, las combinaciones son arreglos no ordenados que no distinguen la secuencia de los elementos. Se ilustra con un ejemplo de cuatro objetos tomados tres a la vez, mostrando que hay 24 permutaciones pero solo 4 combinaciones posibles. Se proporciona una fórmula para calcular el número de combinaciones, que es similar a la de las permutaciones pero incluye el factorial del número de elementos seleccionados en el denominador. Se presentan ejercicios que aplican estos conceptos para resolver problemas de elección de miembros de comités y directivas.
📚 Recursos para el Aprendizaje de Estadística y Probabilidad
El último párrafo ofrece recursos adicionales para el aprendizaje de estadística y probabilidad. Se menciona una página web que proporciona materiales de aprendizaje, presentaciones, textos completos y plantillas de Excel para facilitar el estudio de estas disciplinas. El video concluye agradeciendo al espectador y dirigiéndolos a un enlace específico para acceder a estos recursos, que pueden ser útiles para una mejor comprensión y aplicación de los conceptos de conteo y combinatoria.
Mindmap
Keywords
💡Conteo
💡Diagrama de árbol
💡Principio de multiplicación
💡Factorial
💡Permutaciones
💡Combinaciones
💡Password
💡Mesa con sillas
💡Comités
💡Estadística y probabilidad
Highlights
Explicación de conceptos básicos de conteo utilizando un diagrama de árbol para ilustrar diferentes combinaciones de comida y bebida en un restaurante.
Calculo de 12 diferentes combinaciones de plato fuerte, refresco y postre en un restaurante.
Introducción al principio de multiplicación en conteo para calcular el número de posibles órdenes en un restaurante.
Ejemplo de aplicación del principio de multiplicación para el caso de 8 personas sentándose en 8 sillas distintas.
Cálculo de las 40,320 formas distintas en las que 8 personas pueden sentarse en una mesa.
Introducción al concepto de factorial y su importancia en el conteo.
Ejemplo de cómo calcular el factorial de un número y su interpretación en el conteo.
Comparación entre el factorial de números pequeños y el factorial de 70, destacando su gran tamaño.
Definición y explicación de las permutaciones como arreglos ordenados de elementos sin repetición.
Cálculo del número de permutaciones posibles al tomar 3 objetos de un conjunto de 4.
Fórmula para calcular el número de permutaciones y su aplicación en ejemplos prácticos.
Diferencia entre permutaciones y combinaciones, y su relevancia en el orden de los elementos.
Ejemplo de cómo calcular las combinaciones de 4 objetos tomados 3 a la vez, y su resultado de 4.
Fórmula para calcular el número de combinaciones y su explicación en términos de factoriales.
Ejemplos de ejercicios para calcular el número de directivas y comités que se pueden formar de un grupo de personas.
Comparación entre el uso de permutaciones y combinaciones basándose en si el orden es significativo.
Recursos educativos adicionales disponibles en www.aula de economía.com para el aprendizaje de estadística y probabilidad.
Agradecimiento y promoción de recursos en www.hable de economía.com para la mejora del aprendizaje en estadística.
Transcripts
en este vídeo vamos a exponer algunos
conceptos básicos de conteo
para ilustrar el tema vamos a basarnos
en algunos ejemplos
vamos a suponer que un restaurante
ofrece las siguientes opciones para
almorzar tres tipos de plato fuerte
pollo res y chuleta dos tipos de
refrescos de frutas y de cola y dos
tipos de postre flan y helado
la pregunta es cuántas órdenes distintas
pueden efectuarse mediante la
combinación de un plato fuerte un
refresco y un postre
entonces vamos a utilizar un diagrama de
árbol para esquematizar la respuesta
tenemos el plato fuerte el plato fuerte
tiene tres opciones el pollo la res y la
chuleta
luego tenemos el refresco para cada
plato fuerte que se pueda escoger van a
tenerse dos opciones de refresco que
serían de frutas y de cola de frutas y
de cola si se escoge el resto de frutas
y de cola si se escogiera chuleta y
luego tenemos el postre para cada
combinación de plato fuerte y refresco
tenemos entonces dos opciones de postre
el flan y los helados así tenemos
entonces para cada combinación de plata
fuerte y refresco la posibilidad de
escoger como postre flan y helados
entonces
tenemos que cada una de estas ramas del
diagrama de árbol va a representarnos
una posible combinación de plato fuerte
refresco y postre entonces tenemos un
total de 12 diferentes combinaciones en
total por lo tanto tendríamos un total
de 12 diferentes combinaciones 12
diferentes órdenes que pueden
solicitarse en este restaurante como
podríamos calcular este 12 bueno
observemos que para el plato fuerte
tenemos tres opciones para el refresco
tenemos dos y para el postre tenemos dos
si multiplicamos tres por dos por dos
obtendríamos 12 exactamente la cantidad
de posibles órdenes que se pueden
efectuar
entonces este ejemplo no es útil nos
ilustra lo que llamamos el principio de
multiplicación de conteo el principio de
multiplicación del conteo nos dice que
si una actividad requiere una primera
elección que se puede hacer de n 1
formas distintas como era elegir el
plato fuerte una segunda elección que se
puede hacer de n sub dos formas
distintas como era elegir el refresco
que en este caso pues en el psuv 2 sería
2 n su bono era 3 hasta una k décima
elección que se puede hacer de n sub que
formas distintas entonces la actividad
puede ser realizada de n sub 1 por n sub
2 por el sub tres por n sub 4 hasta por
en esta formas diferentes vimos en el
ejemplo anterior que multiplicamos
entonces 3 x 2 por 2 y eso nos daba
entonces el posible número de
combinaciones bueno eso es entonces el
principio de multiplicación de conteo
supongamos u otra situación ocho
personas van a comer
hay una mesa con ocho sillas y la
pregunta es de cuántas maneras distintas
pueden sentarse a la mesa aquí viene una
lista de opciones ocho posibilidades 64
80 40 mil 320 8 a la 8 o alguna otra
entonces vamos a utilizar el principio
de multiplicación para dar la respuesta
supongamos aquí tenemos la mesa y
tenemos las ocho sillas
llega la primera persona a sentarse y
esta primera persona tiene ocho opciones
ahora viene el segundo a sentarse ya no
hay ocho opciones porque la primera
silla ya está ocupada esta segunda
persona tiene siete posibilidades viene
ahora el tercero ya hay dos personas
sentadas por lo tanto el tercero tiene
seis posibilidades el cuarto tiene cinco
posibilidades el quinto tiene cuatro
posibilidades el sexto tiene tres el
séptimo tiene dos y cuando llega el
octavo ya las otras siete sillas están
ocupadas él sólo tiene una opción
entonces multiplicamos 8 por 7 por 6 por
5 por 4 por 3 por 2 por 1 y esto nos da
40 1320 quiere decir que estas 8
personas se pueden combinar o se pueden
sentar de 40.300 20 formas distintas
alrededor de esta mesa
dice este otro ejemplo si una contraseña
para retirar dinero de un cajero
automático se compone de cuatro dígitos
cuantas contraseñas distintas son
posibles muy bien el primer dígito tiene
diez opciones el segundo dígito también
tiene diez opciones el tercero también
tiene diez opciones y el cuarto tiene
diez opciones porque aquí se pueden
repetir por lo tanto el total de
posibles contraseñas es de diez mil
en el ejemplo anterior de la mesa se nos
ilustra también el concepto del
factorial el factorial de un número que
lo denotamos con n iv signo de
admiración se define del modo siguiente
es el número x n 1 es decir por su
antecesor por n
2 que sería el antecesor del primer
antecesor por n menos 3 por n menos 4
hasta llegar a 2 por 1
es importante señalar que el factorial
de unos 1 y el factorial de 0 también es
1 entonces vamos a dar un ejemplo el
factorial de 4 sería entonces 4 el mismo
número por 4 menos uno que es 3 por 4
menos 2 que es 2 hasta llegar al 1 y 4
por 3 por 2 por 1 esto es 24 es decir el
factorial de un número es tomar el
número de multiplicarlo por todos y cada
uno de sus antecesores
veamos aquí entonces un ejercicio que
nos pide calcular el factorial de varios
números vamos entonces a ir resolviendo
el factorial de 5 que sería entonces 5
por 4 por 3 por 2 por 1 esto nos da 120
puede usted comprobarlo con su
calculadora el factorial de 6 sería
tomar 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1
que nos da 720 el factorial de 10 sería
10 por 9 por 8 por 7 por 6 por 5 por 4
por 3 por 2 por 1 que nos da 3 millones
628 mil 800 el factorial de 0 que es uno
el factorial de uno que es uno el
factorial de 70 este es un número tan
grande que no cabe en la pantalla de la
mayoría de las calculadoras y es
entonces uno punto 1978 aproximadamente
por 10 a las 100
el factorial de 20 veamos que es un
número bastante grande los factoriales
entonces son valores normalmente muy
elevados esto sería entonces 2 trillones
432 mil 902 billones 800 más bien 8 mil
176 millones 640 mil
muy bien vamos ahora a hablar de
permutaciones decimos que una
permutación es un arreglo ordenado de n
elementos distintos tomados ere a la vez
sin repetición qué significa esto
supongamos que tenemos cuatro objetos
cuatro cartas por ejemplo que se llaman
abs y d
n es cuatro tenemos cuatro objetos y
vamos a tomarlos de tres en tres
o sea r estrés sin repetición o sea no
te no podemos tomar dos veces la carta a
por ejemplo entonces tenemos cuatro
objetos que los vamos a tomar de tres en
tres
sin repetirlos por ejemplo entonces una
permutación es tomar las tarjetas abc
como dice que es un arreglo ordenado una
permutación distinta sería be hace
otra permutación diferente sería sea b
otra permutación sería desean quitamos
la be y ponemos a d
entonces tomamos otra vez un grupo de
tres de los cuatro elementos y con sólo
cambiar el orden ya es una permutación
diferente pero podemos seguir buscando
permutaciones y permutaciones y la
pregunta entonces es bueno cuantas
permutaciones podremos lograr o sea
cuántas arreglos ordenados de estos
cuatro elementos tomados de tres en tres
son posibles y nos encontramos entonces
con que hay un total de 24 permutaciones
bueno y si tuviéramos 400 objetos
tomados de 8 a 8
cuantas permutaciones serían posibles
bueno hay una fórmula el número de
permutaciones se denota con p de n coma
r y se calcula de este modo como el
factorial de n entre el factorial de n
efe
por ejemplo en la situación anterior
eran cuatro elementos tomados de 3 en 3
o sea n es 4 y r es 3 entonces sería
calcular el factorial de 4 3 que sería
entonces el factorial de 4 entre el
factorial de cuatro menos 3
el factorial de 4 24 4 - 13 suelos u
factoriales 1 y 24 entre unos 24 muy
bien vamos ahora con las combinaciones
una combinación decimos que es un
arreglo no ordenado de n elementos
distintos tomados es real a veces sin
repetición
a diferencia del concepto de
permutaciones es simplemente que las
combinaciones no son coordenadas no
importa el orden entonces supongamos que
tenemos los mismos cuatro objetos abc de
y los tomamos de tres en tres en es
cuatro erres tres entonces
abc es una combinación si tomamos acb
los mismos elementos cambiándole es el
orden como una combinación es un arreglo
no ordenado
es decir que esto no sería una nueva
combinación es la misma combinación cuál
sería una nueva combinación
por ejemplo estas otras abed desea de
cpi
y entonces a diferencia de las
permutaciones que eran 24 las
combinaciones son solamente 4 como aquí
el orden ya no es relevante hay muchas
que son los mismos tres elementos en
otro orden son permutaciones distintas
pero no son combinaciones distintas
entonces tenemos solamente cuatro
combinaciones también tenemos una
fórmula para calcular las combinaciones
lo denotamos cdn coma ere y se calcula
como el factorial de n entre el
factorial de r por el factorial de n
cr es similar a la fórmula anterior nada
más que incorpora el factorial de r en
el denominador entonces si queremos
calcular el número de combinaciones de
cuatro elementos tomados de tres en tres
en es cuatro y el resto es tendríamos
entonces las combinaciones de cuatro
entre el factorial del cuarto más bien
entre el factorial de tres por el
factorial de cuatro menos tres
y entonces aplicando las fórmulas esto
nos daría 4 vamos a ver aquí este
ejercicio para aclarar el concepto si se
resuelve los siguientes ejercicios
número uno cuantas directivas de tres
miembros un presidente un secretario y
un tesorero se pueden formar de un grupo
de ocho personas elegibles el segundo
similar dice cuántos comités de tres
miembros se pueden formar de un grupo de
ocho personas elegibles y el tercero
cuántos comités de tres estudiantes y
dos profesores se pueden formar si hay
un grupo de diez estudiantes y cinco
profesores elegibles
entonces vamos a ver el primero dice
cuántas directivas de tres miembros un
presidente un secretario y un tesorero
se pueden formar de un grupo de ocho
personas
si hay puestos entonces quiere decir que
el orden es importante entonces lo que
vamos a calcular es utilizando
permutaciones n es 8
y el estrés
entonces aplicamos la fórmula de
permutaciones de 83 si aplicamos la
fórmula esto nos daría 336 hay 336
directivas distintas que se pueden
formar
el segundo ejercicio nos dice cuántos
comités de tres miembros se pueden
formar de un grupo de ocho personas
elegibles en este caso el orden no es
importante porque si no hay puestos
cualquier comité de las tres personas
que contenga esa misma esta persona no
importa el orden en el que se pongan es
el mismo comité por lo tanto en eso ocho
erres tres y lo que vamos a calcular son
combinaciones calculamos las
combinaciones de 8,3 y esto nos daría 56
por lo tanto la clave para elegir entre
el uso de permutaciones o combinaciones
es ver si el orden implica un resultado
diferente en este caso tendríamos sólo
56 comités distintos
y finalmente nos dice cuántos comités de
tres estudiantes y dos profesores se
pueden formar si hay diez estudiantes y
cinco profesores elegibles entonces el
orden no es importante se calculan las
combinaciones tenemos que calcular una
combinación para los estudiantes tenemos
diez estudiantes se eligen tres
calculamos las combinaciones de 10,3 que
120 con los profesores tenemos que hay 5
profesores y se eligen dos por lo tanto
las combinaciones de 5,2 que nos da 10 y
finalmente aplicamos el principio de
multiplicación multiplicamos entonces
120 por 10 y nos da mil 200 comités
distintos
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