Definición de la Regla de la Cadena y ejemplo

Summary

В этом видео рассматривается использование правила цепочки для вычисления производных сложных функций. Начинается с абстрактного представления формулы и затем переходит к конкретному примеру с корнем квадратным из выражения, состоящего из двух функций. Подробно объясняется, как применить правило цепочки, включая вычисление производных внешней функции и внутренней функции. На примере с функцией, включающей 3x³ - x, пошагово показано, как найти производную, используя правило цепочки и правила дифференцирования для степеней. Видео помогает понять принцип работы с составными функциями и производными.

Takeaways

• 😀 В этом видео объясняется, как применять правило цепочки для нахождения производной сложной функции.
• 😀 Начнем с абстрактной формы правила цепочки, а затем перейдем к более конкретному примеру.
• 😀 Функция F(g(x)) представляет собой композицию двух функций, и цель — найти её производную относительно x.
• 😀 Правило цепочки гласит, что производная от F(g(x)) равна производной F по g(x), умноженной на производную g(x) по x.
• 😀 В примере используется функция F(x) = √x и G(x) = 3x³ - x, чтобы проиллюстрировать правило цепочки.
• 😀 Чтобы применить правило цепочки, нужно выразить производную F как F'(g(x)) и затем умножить на производную G(x).
• 😀 Производная от функции F(x) = √x равна 1/2 * x^(-1/2), а для G(x) = 3x³ - x производная будет 6x² - 1.
• 😀 Важным моментом является то, что производная F'(g(x)) берется не по x, а по g(x), который является внутренней функцией.
• 😀 После применения цепочки, производная функции √(3x³ - x) будет выражена как 1/2 * (3x³ - x)^(-1/2) * (6x² - 1).
• 😀 Видео демонстрирует важность аккуратного использования цвета для лучшего понимания и выделения разных функций и их производных.

Q & A

Что такое правило цепочки и как оно применяется в этом видео?

Правило цепочки объясняет, как находить производные составных функций. В этом видео оно применяется на примере функции, которая является композицией двух других функций, F и G, чтобы найти её производную.

Как записать композицию двух функций F и G?

Композицию двух функций можно записать как F(G(x)), где G(x) — внутренняя функция, а F(x) — внешняя функция.

Что означает F' в контексте правила цепочки?

F' в контексте правила цепочки означает производную внешней функции F относительно её аргумента, который сам является функцией G(x).

Что такое производная функции F в контексте данного примера?

В данном примере F(x) — это функция квадратного корня, и её производная по x записывается как 1/2 * x^(-1/2), если рассматривать x как переменную.

Как выглядит производная композиции F(G(x)) по правилу цепочки?

Производная композиции F(G(x)) по правилу цепочки записывается как F'(G(x)) * G'(x), где F'(G(x)) — это производная внешней функции относительно её аргумента, а G'(x) — производная внутренней функции.

Почему важно выделять разные функции разными цветами в примере?

Цветовое выделение помогает чётко различать компоненты примера, например, внутреннюю и внешнюю функции, чтобы избежать путаницы и облегчить понимание шагов при применении правила цепочки.

Что такое G(x) в данном примере и какова его производная?

В данном примере G(x) — это функция 3x^3 - x. Её производная G'(x) равна 9x^2 - 1, полученная с использованием правила дифференцирования для степенных функций.

Как вычисляется производная функции с корнем из выражения, как в примере?

Для вычисления производной функции с корнем из выражения, например, sqrt(x), применяется правило для дифференцирования корня, что даёт 1/2 * x^(-1/2), а затем используется правило цепочки для учёта внутренней функции.

Почему при вычислении производной выражение 3x^3 - x записывается как G(x)?

3x^3 - x записывается как G(x), потому что это внутреннее выражение, которое подставляется в функцию F(x). Таким образом, G(x) является частью составной функции, и её производная используется в правиле цепочки.

Что происходит, когда мы применяем правило цепочки к составной функции?

Когда мы применяем правило цепочки, мы находим производную внешней функции относительно внутренней функции, а затем умножаем её на производную внутренней функции. Это позволяет нам найти производную составной функции.