Por Qué la Democracia es Matemáticamente Imposible

Summary

This video delves into the mathematical impossibility of perfect democracy through voting systems. It critiques the 'first-past-the-post' system, highlighting its historical use and flaws such as not reflecting the majority's choice and causing 'spoiler effects.' The video introduces alternative voting methods like instant runoff voting and points-based systems, which aim to mitigate these issues. It also discusses the paradoxes in voting theory, such as Arrow's Impossibility Theorem and the Condorcet Paradox, and concludes by emphasizing the importance of civic engagement despite the imperfections in democratic processes.

Takeaways

• 🗳️ The script discusses the mathematical improbability of democracy, focusing on the irrationality of methods used to elect leaders.
• 🏛️ It explains the 'First Past the Post' voting system, which is used in 44 countries and originated in 14th-century England.
• 📊 The script highlights issues with 'First Past the Post', such as the possibility of a party winning a majority of seats without the majority of votes.
• 🔄 The concept of 'vote splitting' is introduced, where similar parties take votes from each other, leading to the spoiler effect.
• 📉 The spoiler effect is illustrated by the 2000 US Presidential Election, where Ralph Nader's candidacy impacted the outcome.
• 🔄 The script introduces alternative voting methods like 'instant runoff voting' or 'ranked-choice voting' to address some of these issues.
• 🤝 The use of ranked-choice voting is shown to encourage politeness and cooperation among candidates, as seen in the 2013 Minneapolis mayoral election.
• 🔄 The paradox of voting, where no clear winner emerges despite multiple iterations, is discussed through the lens of Condorcet's method.
• 🏆 The script touches on the work of mathematicians like Jean-Charles de Borda and Marquis de Condorcet, who contributed to social choice theory.
• 🏁 Kenneth Arrow's Impossibility Theorem is explained, demonstrating the inherent difficulties in creating a perfectly rational voting system.
• 🔄 Duncan Black's positive theorem offers a more optimistic view, suggesting that the median voter's preference can reflect the majority's decision in certain conditions.
• 📊 The script concludes by discussing 'approval voting' as a potentially better system that can increase voter participation and reduce negative campaigning.

Q & A

What does the transcript suggest about the possibility of mathematically perfect democracy?

The transcript suggests that achieving a mathematically perfect democracy is impossible when using preferential voting methods with three or more candidates, as demonstrated by Arrow's Impossibility Theorem.

What is the First Past the Post system and why does it have issues?

The First Past the Post system is a voting method where the candidate with the most votes wins. It has issues because it can lead to situations where the majority of a country does not vote for the party that ends up in power, and similar parties can split the vote.

What is the spoiler effect in elections?

The spoiler effect occurs when a candidate with similar policies to another takes votes away, potentially causing a less preferred candidate to win. This is illustrated by the 2000 US Presidential election where Ralph Nader's candidacy may have influenced the outcome between Al Gore and George W. Bush.

What is the Instant Runoff Voting (IRV) and how does it work?

Instant Runoff Voting, also known as Ranked-Choice Voting, is a system where voters rank candidates in order of preference. If no candidate has a majority after the first count, the candidate with the fewest votes is eliminated, and their votes are redistributed based on the voters' next preferences, continuing until a candidate has a majority.

How does the behavior of candidates change with the use of Ranked-Choice Voting?

With Ranked-Choice Voting, candidates are incentivized to be more civil and respectful towards each other to gain second or third preference votes, potentially leading to a more collaborative and less adversarial campaign environment.

What is the paradox of voting and how does it relate to the Condorcet method?

The paradox of voting, or Condorcet's Paradox, occurs when there is no clear winner in a head-to-head comparison between all candidates, leading to a cycle of preferences where each candidate is preferred by some voters over another in a circular pattern.

Who is Condorcet and what contribution did he make to voting theory?

Condorcet was a French mathematician and philosopher who applied logic and mathematics to the study of electoral systems. He proposed a voting system where a candidate must win against all others in one-on-one elections, which is now known as the Condorcet method.

What is Arrow's Impossibility Theorem and what does it imply for voting systems?

Arrow's Impossibility Theorem states that it is impossible to create a preferential voting system that satisfies certain desirable conditions—such as unanimity, independence of irrelevant alternatives, and non-dictatorship—when there are three or more candidates.

What is the significance of Black's Median Voter Theorem in the context of voting systems?

Black's Median Voter Theorem suggests that in a one-dimensional voting scenario, the preference of the median voter will determine the election outcome, aligning with the majority's preference and avoiding paradoxes like those highlighted by Arrow's Theorem.

What is Approval Voting and how does it differ from preferential voting?

Approval Voting is a system where voters can vote for as many candidates as they approve of, rather than ranking them. This method can increase voter participation, reduce negative campaigning, and mitigate the spoiler effect, as voters are not limited to expressing a single preference.

How does the transcript conclude about the state of democracy and voting systems?

The transcript concludes that while democracy and voting systems are not perfect and may be inherently flawed, it is still the best system available. It encourages engagement and political commitment as a means to make a difference in the world.

Outlines

00:00

🗳️ The Impossibility of Democratic Voting Systems

The paragraph discusses the mathematical challenges of democracy, particularly in the context of voting systems. It introduces the concept that the methods we use to elect leaders are fundamentally irrational, leading to outcomes that may not reflect the true will of the majority. The video focuses on the mathematics behind this issue, highlighting the limitations of the 'first-past-the-post' or simple majority voting system. This system, which has historical roots and is still used in many countries, can lead to situations where the majority of voters do not support the ruling party, as seen in the UK's parliamentary elections. The paragraph also touches on the 'spoiler effect' where similar parties split votes, and the tendency for strategic voting due to the 'winner-takes-all' nature of the system.

05:00

📊 Alternative Voting Systems: Instant Runoff and Beyond

This section explores alternative voting methods, such as the instant runoff (also known as ranked-choice voting), which allows voters to rank candidates in order of preference. If no candidate achieves a majority in the initial count, the candidate with the fewest votes is eliminated, and their votes are redistributed based on the voters' next preferences. This process continues until a candidate has a majority. The paragraph also discusses the impact of such systems on candidate behavior, as seen in the 2013 Minneapolis mayoral race with 35 candidates, where the use of ranked-choice voting led to a more civil and cooperative campaign environment. However, it also points out potential issues with this system, such as the possibility of a candidate who initially performs poorly ending up winning due to vote redistribution.

10:01

🤔 The Paradox of Voting and Condorcet's Method

The paragraph delves into the historical development of voting systems, focusing on the work of mathematician Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet. Condorcet, a leading figure in the social choice theory, proposed a method where the winner is determined through a series of one-on-one elections against other candidates. However, this method can lead to the 'Condorcet Paradox,' where no clear winner emerges despite the process. The paragraph also mentions the work of Raymond Llull, a 13th-century monk whose ideas on voting were rediscovered much later. The discussion highlights the ongoing search for a 'fair' voting system and the challenges in achieving one that satisfies all desired criteria.

15:03

🏆 Arrow's Impossibility Theorem and the Limits of Voting Systems

This section introduces Kenneth Arrow's Impossibility Theorem, which states that it is impossible to design a voting system that satisfies certain desirable conditions when there are three or more candidates. Arrow outlined five criteria that a rational voting system should meet, such as unanimity and independence of irrelevant alternatives. However, he proved that no voting system can meet all these conditions simultaneously. The theorem has significant implications for the theory of social choice and highlights the inherent limitations in collective decision-making processes. The paragraph also discusses the attempts by various mathematicians and thinkers, including Charles Dodgson (Lewis Carroll), to find a fair voting system.

20:03

📊 Approval Voting and the Future of Electoral Systems

The final paragraph discusses alternative voting methods that have been proposed to address the issues identified by Arrow's theorem. It focuses on approval voting, where voters can approve of any number of candidates, and the candidate with the most approvals wins. This system is shown to increase voter participation, reduce negative campaigning, and avoid the spoiler effect. The paragraph also mentions that while Arrow was initially skeptical of score-based voting systems, he later acknowledged their potential. The discussion concludes with a call for continued exploration and improvement of voting systems, emphasizing the importance of civic engagement and political commitment despite the imperfections of democracy.

Keywords

💡Democracy

Democracy refers to a system of government where citizens exercise power by voting. In the video, it is discussed as potentially being mathematically 'impossible' due to the irrational methods used to elect leaders. The script points out that despite democracy's historical instability and rarity, it is still the best form of government we have tried.

💡First-past-the-post

First-past-the-post is an electoral system where the candidate with the most votes in a constituency wins, regardless of whether they have a majority. The video explains that this system can lead to a party gaining power without the majority of the popular vote, as seen in the UK's parliamentary elections.

💡Effect of spoiler

The effect of spoiler refers to when a third-party candidate takes votes away from a similar candidate, potentially causing the less preferred candidate to win. The video uses the 2000 US Presidential Election as an example, where Ralph Nader's candidacy may have influenced the outcome between Al Gore and George W. Bush.

💡Strategic voting

Strategic voting is when voters choose not to vote for their preferred candidate but for another they believe has a better chance of winning. The script mentions this behavior is encouraged by the first-past-the-post system, where voting for a less popular candidate is seen as wasted.

💡Duverger's law

Duverger's law is a principle in political science that suggests that first-past-the-post systems tend to favor a two-party system. The video explains how this concentration of power in larger parties is a common outcome of the first-past-the-post system.

💡Instant Runoff Voting (IRV)

Instant Runoff Voting is an electoral system where voters rank candidates by preference. If no candidate has a majority of the first preference votes, the candidate with the fewest votes is eliminated, and their votes are redistributed according to the voters' next preferences. The video discusses how IRV can lead to more civil candidate behavior, as seen in the 2013 Minneapolis mayoral election.

💡Condorcet method

The Condorcet method is a voting system where the winner is the candidate who would win a head-to-head election against each of the other candidates. The video explains that this method was proposed as a more just alternative to others, but it can lead to the paradox of Condorcet, where no candidate is preferred by a majority in a direct comparison.

💡Borda count

The Borda count is a voting system where candidates are assigned points based on their position in each voter's preference order. The video mentions that this system can be influenced by the number of candidates, as adding a non-competitive candidate can affect the outcome.

💡Arrow's Impossibility Theorem

Arrow's Impossibility Theorem states that it is impossible to create a voting system that satisfies certain fairness criteria when there are three or more candidates. The video uses this theorem to argue that no perfect voting system exists, as any system will require compromise.

💡Approval voting

Approval voting is a system where voters can vote for all candidates they approve of, without ranking them. The video suggests that this method can increase voter participation, reduce negative campaigning, and avoid the spoiler effect by allowing voters to express approval without fear of wasting their vote.

💡Black's Median Voter Theorem

Black's Median Voter Theorem posits that in a one-dimensional voting model, the preference of the median voter will determine the election outcome. The video highlights this theorem as a more optimistic view of voting systems, suggesting that the preferences of the average voter can reflect the majority's decision.

Highlights

Democracy can be mathematically impossible, not a value judgment or comment on human nature, but a fact based on the irrational methods we use to elect leaders.

The video discusses mathematics proving the irrationality of our voting systems and their consequences, leading to a Nobel Prize.

First-past-the-post voting system, used in 44 countries, may not reflect the majority's choice, as seen in historical UK parliamentary elections.

Similar parties splitting votes can lead to the 'spoiler effect', as seen in the 2000 US Presidential Election between Gore and Bush.

Strategic voting in first-past-the-post can lead to non-representative outcomes and encourages a two-party system.

Instant run-off voting, also known as ranked-choice voting, asks voters to rank candidates and redistributes votes until a majority is reached.

The 2013 Minneapolis mayoral election with ranked-choice voting saw candidates behaving more cordially due to the voting system's nature.

Ranked-choice voting can lead to counterintuitive outcomes where a less popular candidate wins due to vote redistribution.

The Marquis de Condorcet, a French mathematician, applied logic and mathematics to electoral systems, founding social choice theory.

Condorcet's proposed voting system required candidates to win one-on-one elections against others, but it faced the Condorcet Paradox.

The Borda Count, another voting method, assigns points to candidates based on rankings but can be influenced by non-viable candidates.

Arrow's Impossibility Theorem states that it's impossible to design a voting system that meets certain rational criteria with three or more candidates.

Duncan Black's Median Voter Theorem offers a more optimistic view, suggesting that the preference of the median voter often determines the election outcome.

Score voting systems, like approval voting, allow voters to express approval for multiple candidates, potentially increasing participation and reducing negative campaigning.

Approval voting has been used historically in the Vatican and for selecting the UN Secretary-General, suggesting its practical application.

Despite the imperfections, engaging with the world and being politically active is crucial for making a difference, as democracy, though flawed, is the best system we have.

Transcripts

la democracia puede ser matemáticamente

imposible Este no es un juicio de valor

un comentario sobre la naturaleza humana

ni una afirmación sobre lo escasas e

inestables que han sido las sociedades

democráticas en la historia de la

civilización en nuestro actual intento

de democracia los métodos que usamos

para elegir a nuestros líderes son

esencialmente irracionales y este es un

hecho matemático bien

fundamentado este video trata de las

Matemáticas que prueban este hecho y que

condujeron a un premio Nobel es un video

sobre cómo toma decisiones un grupo de

gente y los inconvenientes que tien

nuestros sistemas de

votación una de las formas más fáciles

de llevar una elección es pedirles a los

votantes que marquen a su candidato

favorito en una boleta cuando los votos

se cuentan el candidato con más votos

gana la elección esto se conoce como

elección First pass the post o sistema

de mayoría simple su nombre en inglés no

es muy apropiado porque no hay un poste

que los candidatos tengan que pasar el

ganador simplemente es el candidato con

más

votos este método probablemente se

remonta a la antigüedad se ha usado para

elegir a los miembros de la cámara de

los comunes en Inglaterra desde el siglo

xiv y es aún un sistema de votación

común usado en 44 países en el mundo

para elegir a sus gobernantes 30 de

estos países fueron colonias

británicas Estados Unidos que fue

Colonia británica aún usa la elección de

mayoría simple en la mayor parte de los

estados para elegir a a sus

representantes en el colegio electoral

pero la mayoría simple tiene

inconvenientes si se están eligiendo

representantes en un parlamento puede

haber y normalmente ocurren situaciones

en las que la mayoría de un país No votó

por el partido que termina en el

poder en los últimos 100 años hubo 21

veces en los que un solo partido obtuvo

la mayoría de los escaños en el

parlamento británico pero en Solo dos de

esas veces la mayoría de los votantes sí

votó por ese

un partido por el que solo una minoría

votó termina detentando todo el poder en

el

gobierno otra cosa que pasa gracias a la

mayoría simple es que partidos similares

terminan robándose votos

mutuamente para la elección presidencial

del año 2000 que fue una elección

básicamente entre al gore y George W

Bush todos los estados del país usaban

votación por mayoría simple para

determinar el resultado de la elección

obtuvo más votos en Florida pero por un

margen de diferencia ridículo de menos

de 600 votos Pero había otro candidato

en la boleta Ralph nader nader era un

candidato verde en efecto estaba a la

derecha tanto de gore como de Bush lo

que necesitamos Es que aumente la

preocupación Ciudadana de la gente de

pobres ricos o clase media para

contrarrestar el poder de los intereses

específicos y obtuvo casi 100,000 votos

en Florida no sé si puedo

conscientemente votar por Bush o por

gore voy a votar por Ralph neer la

mayoría de esos votantes estaban

devastados Pues por haber votado por ner

en lugar de gore terminaron eligiendo a

Bush Esto es lo que se conoce como

efecto spoiler casi todos los que

votaron por ner preferían a gore sobre

Bush pero en el sistema de mayoría

simple no tenían manera de expresar esa

preferencia

porque solo puedes votar por un

candidato la votación por mayoría simple

incentiva a los votantes a votar

estratégicamente digamos que hay cinco

partidos uno de ellos va a ser el menor

por lo que no va a ganar Por qué

votarías por él esto también pasa si

hubiera cuatro partidos o tres partidos

este sistema en el que el ganador se

lleva todo concentra el poder en los

partidos más

grandes finalmente resulta en un sistema

de dos partidos este efecto es tan común

que tiene nombre ley de

duberger el sistema de mayoría simple no

es una gran opción Entonces qué se puede

hacer Bueno podemos decir que un

candidato solo puede ganar una votación

si obtiene la mayoría al menos 50% más

uno de los votos Pero qué pasa si se

celebran elecciones y nadie obtiene la

mayoría podemos ir con la gente que votó

por el candidato con menos votos y

pedirles que vuelvan a votar pero que

elijan a otro candidato y podemos

repetir este proceso una y otra vez

eliminando al candidato menos votado

hasta que un candidato alcance la

mayoría pero celebrar muchas elecciones

es un lío enorme mejor podríamos

pedirles a los votantes que califiquen

sus preferencias del favorito al menos

favorito y si se elimina a su candidato

favorito pasamos a su siguiente

preferencia cuando las urnas cierran se

cuentan las primeras elecciones de los

votantes si un candidato tiene la

mayoría de votos Entonces es el ganador

pero si ninguno tiene la mayoría el

candidato con menos votos se elimina y

sus boletas se distribuyen entre la

siguiente elección de los votantes Y eso

sucede hasta que un candidato tenga la

mayoría de los

votos matemáticamente esto es idéntico a

repetir las elecciones pero ahorra

tiempo y problemas se le llama segunda

vuelta instantánea pero también se le

conoce como voto preferencial o voto

ranqueado

la segunda vuelta instantánea no solo

afecta a los votantes también afecta el

comportamiento de los candidatos entre

sí fue en la contienda para alcalde de

Minneapolis de 2013 estaban utilizando

voto preferencial el alcalde en turno

había dimitido y de la nada surgieron

todas estas personas que querían ser

alcalde había 35 candidatos y pensarías

que si hay 35 candidatos vas a querer

pasar sobre alguien abrirte paso para

ser el centro de atención eso no fue lo

que que pasó todos los 35 candidatos

fueron muy amables entre ellos eran

super cordiales muy respetuosos al grado

de que al final de El último debate para

alcalde todos ellos se reunieron y

cantaron

cumbayá juntos

kumb kumbor

de la cantidad de veneno ira y ataques

partidistas a los que todos estamos

acostumbrados a ver esta visión de un

verdadero cumbayá ni siquiera es broma

toda esta gente llevándose bien

desesperados por ser la segunda o

tercera elección de otros están como voy

a ser el candidato más perfecto y amable

posible pero hay un problema con esta

segunda vuelta puede haber casos en

donde que le vaya mal a un candidato le

ayude a ser El

Elegido digamos que hay tres candidatos

Einstein Kuri y bor Einstein y bor

tienen perspectivas muy contrastantes

mientras que Kuri está ideológicamente

en el centro digamos que Einstein

obtiene el 25% de los votos Kuri el 30 y

bor el 45 ninguno tiene la mayoría Así

que se van a la segunda vuelta en la que

se elimina Einstein y como la gente que

votó por Einstein puso a Kuri como

segunda opción ella es finalmente la

ganadora pero ahora imagina que bor

tiene un discurso de campaña Terrible y

propone una política muy impopular tan

mala que algunos de sus votantes deciden

pasarse al lado de Einstein ahora es cue

la que es

eliminada y como ella es más moderada la

mitad de sus votantes Elige a Einstein y

la otra mitad a bor en la segunda vuelta

y esto lleva a bor al triunfo el que bor

haya sido el peor en la primera vuelta

es de hecho lo que lo hace ganar la

elección claramente Esto no es algo que

queremos en un sistema

electoral Esto es lo mismo que pensó el

matemático francés cond doré Condors fue

una de las primeras personas en aplicar

la lógica y las matemáticas en un

riguroso estudio de los sistemas

electorales convirtiéndose en uno de los

fundadores de una rama de las

Matemáticas llamada teoría de la

elección social trabajaba en la época de

la revolución francesa por lo que la

determinación justa de la voluntad del

pueblo estaba viviendo un momento

cultural

[Música]

Entonces en 1784 un contemporáneo de

Condor en la Real Sociedad francesa de

ciencias Jean Charles de bord propuso un

método de

votación se pide a los votantes que

clasifiquen a los candidatos si hay

cinco candidatos el que esté en primer

lugar recibe cuatro puntos el segundo

recibe tres etcétera y el último lugar

recibe cero

puntoso conteo de bordad tiene un

problema porque la cantidad de números

que se le da a cada candidato depende

del número de candidatos agregar más

gente que no tiene posibilidad de ganar

puede afectar al ganador debido a esto

Condors odiaba la idea de borda escribió

que estaba destinada al error porque se

apoyaba en factores irrelevantes para

sus

juicios y en 1785 Condors publicó un

ensayo en el que proponía un nuevo

sistema de votación uno que creía que

era el más justo

básicamente el ganador necesita vencer a

los demás candidatos en una elección uno

a uno pero con más de dos candidatos se

necesita celebrar un gran número de

elecciones uno a uno para elegir al

ganador bueno no solo hay que pedir a

los votantes que clasifiquen sus

preferencias como en la segunda vuelta

instantánea y luego contar Cuántos

votantes clasifican a cada candidato por

encima de los demás este Parece ser el

método de votación más

justo este sistema de votación en

realidad fue descubierto 450 años antes

por Raymond LoL un monje que estaba

viendo cómo se elegían a los líderes de

la iglesia pero las ideas de LOL No

tuvieron un impacto porque su libro ars

eleis El arte de las elecciones se

perdió y se redescubrió hasta

2001 por lo tanto el sistema de votación

lleva el nombre de Condors y no de

LOL pero siempre habrá un ganador de

esta manera probemos el método de

Condors para elegir la cena entre tú y

dos amigos hay tres opciones hamburguesa

pizza o Sushi a ti te gustan mucho las

hamburguesas Así que esa es tu primera

opción tu segunda elección es la pizza y

pones el Sushi al final tu amigo

prefiere la pizza luego el Sushi luego

las hamburguesas y tu otro amigo

prefiere el Sushi luego las hamburguesas

luego la pizza ahora si se eligen

hamburguesas se puede argumentar que el

Sushi debería haber ganado ya que dos de

Ustedes prefieren el Sushi a las

hamburguesas y solo uno prefiere las

hamburguesas al Sushi sin embargo Bajo

el mismo argumento la pizza le gana al

Sushi y las amb burguesas le ganan a la

pizza por un margen de dos a uno en cada

caso Parece que tus amigos y tú están

atrapados en un bucle se prefieren las

hamburguesas a la pizza esta se prefiere

el Sushi y este las hamburguesas y así

sucesivamente esta situación se conoce

como la paradoja de

Condors

Condors murió antes de poder resolver

este problema de su sistema de votación

estuvo activo políticamente durante la

Revolución Francesa escribiendo un

borrador de la Constitución de Francia

en 1793 durante el reinado del terror

cuando le montain llegó al poder fue

considerado un traidor por criticar el

régimen particularmente a su nueva

constitución al año siguiente fue

arrestado y murió en la

cárcel Durante los siguientes 150 años

docenas de matemáticos propusieron sus

propios sistemas de votación o

modificaciones a las ideas de condé o

bord uno de esos matemáticos fue Charles

doxon mejor conocido como Luis Carol

cuando no estaba escribiendo Alicia en

el País de las Maravillas intentaba

encontrar un sistema para celebrar

elecciones

justas pero todos los sistemas de

votación tenían problemas similares o

habría bucles de Condor o candidatos que

no tuvieran posibilidad de ganar

afectarían el resultado de la

elección en 1951 Kenneth Arrow publicó

su tesis doctoral y en ella describió

cinco condiciones muy obvias y sensatas

que debería tener un sistema de votación

racional condición número uno si todos

en el grupo eligen una opción sobre otra

el resultado debe reflejar eso si cada

persona en el grupo prefiere comer sushi

que pizza Entonces el grupo en su

conjunto debería preferir el Sushi que

la pizza esto se conoce como

unanimidad condición dos el voto de una

sola persona no debe anular las

preferencias de todos los demás si todos

votan por Pizza Excepto a una persona

que vota por Sushi Obviamente el grupo

debería elegir pizza Si un solo voto es

decisivo eso no es una democracia es una

dictadura condición tres todos deberían

poder votar como quieran y el sistema de

votación debe dar como resultado una

conclusión para la sociedad basada en

todas las boletas no se pueden evitar

boletas o candidatos problemáticos

simplemente ignorándolo o adivinando al

azar se debe llegar a la misma respuesta

para el mismo conjunto de boletas cada

vez esto se llama dominio

irrestricto condición cuatro el sistema

de votación debe ser transitivo si un

grupo prefiere las hamburguesas sobre la

pizza y la pizza sobre el Sushi entonces

también deberían preferir las

hamburguesa sobre el Sushi esto se

conoce como

transitividad condición cinco si la

preferencia del grupo es el Sushi sobre

la pizza la introducción de otra opción

como hamburguesas no debería cambiar esa

preferencia claro el grupo podría

clasificar colectivamente las

hamburguesas por encima de ambas o en

medio o por debajo pero la clasificación

del sushi sobre la pizza no debería

verse afectada por la nueva

esto se llama la independencia de

alternativas

irrelevantes Pero hay un problema Arrow

demostró que satisfacer las cinco

condiciones en un sistema de votación

preferencial con tres o más candidatos

es imposible Este es el teorema de la

imposibilidad de Arrow y fue tan

innovador que Arrow recibió el premio

Nobel de economía en

1972 y quiero analizar una versión de su

prueba basada en una formulación de Jan

aclos digamos que hay tres candidatos

contendiendo en la elección Aristóteles

bor y Kuri pero nos referiremos a ellos

como A B y C y tenemos un conjunto de

votantes que se alineará en orden

Entonces tenemos el votante 1 2 3 y así

sucesivamente hasta n cada uno de estos

votantes es libre de clasificar A B y C

como quiera incluso permitiré empates y

lo primero que quiero mostrar es que si

todos clasifican a un candidato en

particular en primero o último lugar

entonces la sociedad en su conjunto

también debe clasificarlo en primero o

último elijamos arbitrariamente al

candidato B si la mitad de los votantes

clasifican a b en primer lugar y la otra

mitad en último Entonces se afirma que

nuestro sistema de votación debe poner A

B en primero o último lugar y lo

demostraremos por contradicción

supongamos que así es como votaron todos

si el sistema no coloca a b arriba o

abajo sino en medio digamos que a está

por encima de B que está por encima de c

Entonces tendremos una

Porque si cada uno de nuestros votantes

moviera c por encima de a Entonces por

unanimidad c debe estar por encima de a

sin embargo como no cambiamos la

posición de ninguna a con relación a b a

debe estar por encima de b y como no

cambiamos la posición de ninguna C con

relación a b c todavía debe estar por

debajo de b y por transitividad si a es

preferido a b y b es preferido a c

entonces a debe estar por encima de c

pero esto contradice el resultado por

unanimidad Y eso prueba que si todos

ponen a un candidato en primero o último

lugar entonces la sociedad también debe

ponerlo en primero o último

lugar ahora hagamos un ejercicio mental

donde cada votante coloca B al final de

su clasificación dejaremos las

clasificaciones de A y C al azar Bueno

entonces por unanimidad sabemos que B

debe estar hasta abajo en la

clasificación de la sociedad llamaremos

a esta configuración perfil cero ahora

crearemos el perfil uno que es idéntico

al perfil cero salvo porque el primer

votante mueve A B del último al primer

lugar esto por supuesto no afecta el

resultado Pero podemos seguir haciendo

esto creando los perfiles 2 3 4 etcétera

agregando en cada uno Un botante más que

cambia B del último al primer lugar si

seguimos así acabará por llegar un

votante cuyo cambio de tener a b abajo a

tener a b arriba le dará la vuelta a la

clasificación de la

moviendo B al primer lugar llamaremos a

este votante el votante pivotal y

etiquetar este como perfil p el perfil o

es Entonces el perfil inmediato anterior

a que ocurre el cambio pivotal ahora

crearemos un perfil Q que es igual a p

salvo porque el votante pivotal mueve a

a por encima de B por independencia de

alternativas irrelevantes la

clasificación social también debe

colocar a a por encima de B ya que para

todos nuestros votantes la posición

relativa de a y b es la misma que en el

perfil o y b debe estar por encima de c

porque las posiciones relativas de B y C

son las mismas que en perfil p donde

nuestro votante pivotal movió a b hacia

arriba por transitividad a debe estar

por encima de c en la clasificación

social esto es cierto independientemente

de cómo los votantes no pivotales

reorganicé estas reorganizaciones no

cambian la posición de a en relación con

b o c en relación con

b esto significa que el votante pivotal

es en realidad un dictador por

determinar la preferencia de la sociedad

de a sobre c la clasificación social

siempre coincidirá con un votante

pivotal independientemente de lo que

hagan los otros votantes podemos hacer

otro ejercicio mental similar donde

colocamos a c en último lugar y

demostramos que nuevamente hay un

dictador que en este caso determina la

preferencia social de a sobre b y

resulta que este votante es el mismo que

determina la preferencia social de a

sobre

c el votante pivotal es por lo tanto un

completo

dictador entonces la democracia está

condenada el teorema de la imposibilidad

de Arrow parece decir que sí si hay tres

o más candidatos para elegir no hay un

método de elección preferencial para

sumar racionalmente las preferencias de

los votantes Siempre necesitas renunciar

algo pero el matemático Duncan Black

encontró un teorema mucho más optimista

que de hecho podría representar mejor la

realidad si los votantes y los

candidatos están naturalmente

distribuidos a lo largo de una sola

dimensión digamos que van desde liberal

a la izquierda hasta conservador a la

derecha pero podría aplicarse a

cualquier otra dimensión política Black

demostró que la preferencia del votante

medio reflejará la decisión de la

mayoría la Selección del votante medio a

menudo determinará el resultado de la

elección un resultado que se alinea con

la mayoría de los votantes evitando las

paradojas e inconsistencias que señalaba

Arrow y hay más buenas noticias el

teorema de la imposibilidad de Arrow

solo se aplica en los sistemas de

votación ordinales aquellos en los que

los votantes clasifican a los candidatos

en orden de preferencia hay otra forma

los sistemas de votación por puntaje la

versión más simple Se conoce como voto

aprobatorio donde en lugar de clasificar

a los candidatos los votantes

simplemente marcan los candidatos que

aprueban también hay versiones en las

que puedes indicar Qué tanto te gusta

cada candidato digamos de -10 lo

desapruebas totalmente a más 10 lo

apruebas totalmente Los investigadores

han encontrado que el voto aprobatorio

aumenta la participación electoral

disminuye la campaña negativa y evita el

efecto spoiler los votantes podrían

expresar su aprobación a un candidato

sin preocuparse por el tamaño del

partido por el que votan también el

cómputo es fácil simplemente se cuenta

Qué porcentaje de los votantes aprueba a

cada candidato y el que tenga la mayor

aprobación gana Kenneth Arrow

inicialmente era escéptico de los

sistemas de votación por puntaje pero

hacia el final de su vida aceptó que

probablemente eran el mejor método el

voto aprobatorio no es nuevo lo

utilizaban los sacerdotes en el Vaticano

para elegir al papa entre 1294 y 1621

también se utiliza para elegir al

secretario general de las Naciones

Unidas pero su uso no se ha extendido en

elecciones a gran escala por lo tanto es

probable que se requieran más pruebas en

el mundo

real entonces la democracia es

matemáticamente imposible Pues sí si

usamos métodos de votación preferencial

que son los que la mayoría de los países

del Mundo usan para elegir a sus líderes

y algunos métodos son claramente mejores

que otros para reunir las preferencias

de las personas el uso de la votación

por mayoría Simple me parece francamente

ridículo dadas todas sus fallas pero

solo porque las cosas no son perfectas

no significa que no lo intentemos

interesarse en el mundo que nos rodea

preocuparse por los problemas y estar

políticamente comprometido es importante

puede ser una de las pocas maneras en

que podemos hacer una diferencia real en

el mundo como dijo Winston Churchill la

democracia es la peor forma de gobierno

salvo por todas las otras formas que se

han intentado la democracia no es

perfecta pero es lo mejor que tenemos el

juego puede estar amañado pero es la

única alternativa