La división entre cero ¡NO ES INFINITO! ¿Por qué no se puede dividir por cero?
Summary
TLDREste vídeo educativo de 'Mate, fácil' aborda el común error de considerar que dividir un número entre cero equivale a infinito. El presentador explica que la división por cero no está definida, ya que no se puede definir sin contradecir las propiedades fundamentales de los números reales. También desmiente la idea de que el límite de 1 dividido por x, cuando x se acerca a cero, es infinito, ya que este enfoque solo considera aproximaciones desde valores positivos, ignorando los negativos. Finalmente, se discute por qué 0 dividido entre 0 es indeterminado, y se invita a los espectadores a explorar más conceptos matemáticos en futuras sesiones.
Takeaways
- 🚫 La división por cero no está definida y no se puede realizar, lo que es un error común entre los principiantes en cálculo.
- ❌ La creencia de que dividir cualquier número entre cero es infinito es incorrecta y debe ser desmentida.
- 🔢 La división se puede representar como una fracción, y significa que al multiplicar el denominador por el resultado, se obtiene el numerador.
- ✖️ Multiplicar cualquier número real por cero siempre da como resultado cero, lo que entra en conflicto con la idea de que dividir entre cero sea infinito.
- 🚫 Al intentar definir 1 dividido entre 0 como cero o uno, se entra en contradicción con la propiedad fundamental de que cualquier número multiplicado por cero es cero.
- ⛔ La división por cero no puede ser infinito, ya que el infinito no es un número real y no se puede multiplicar por cero sin generar contradicciones.
- 📉 Al acercarse a cero desde valores positivos, el resultado de la división tiende a un número muy grande, pero no necesariamente a infinito positivo.
- 📈 Al acercarse a cero desde valores negativos, el resultado de la división tiende a un número muy grande, pero negativo, lo que muestra que no se puede definir un único límite.
- 💡 La gráfica de la función 1/x muestra que al acercarse a cero por la derecha, el gráfico tiende a infinito positivo, y por la izquierda, tiende a infinito negativo.
- 🔄 El caso de 0 dividido entre 0 es un valor indeterminado, ya que cualquier número multiplicado por cero da cero, y no se puede definir un único resultado.
Q & A
¿Por qué no se puede dividir por cero según el vídeo?
-No se puede dividir por cero porque cualquier número multiplicado por cero da cero, lo que entra en contradicción con las propiedades fundamentales de los números reales.
¿Cuál es la representación correcta de la división en el vídeo?
-El vídeo utiliza la representación de la división como fracción, por ejemplo, a / b = c significa que multiplicar b por c da como resultado a.
¿Qué significa que el resultado de la división sea cero?
-Si el resultado de la división de un número entre otro es cero, significa que al multiplicar el divisor por cero, se obtiene el dividendo.
¿Por qué la división de un número entre cero no puede ser infinito según el vídeo?
-La división de un número entre cero no puede ser infinito porque el infinito no es un número real y no se puede multiplicar por cero sin entrar en contradicciones con las propiedades de los números reales.
¿Qué es un límite en el contexto del cálculo y cómo se relaciona con la división entre cero?
-Un límite en cálculo es el valor que una función tiende a alcanzar cuando la variable se acerca a un punto específico. En el caso de la división entre cero, el límite cuando x tiende a cero de 1/x no es infinito, sino que tiende a infinito positivo por la derecha y a menos infinito por la izquierda.
¿Cuál es la diferencia entre el infinito positivo y el infinito negativo según el vídeo?
-El infinito positivo se refiere a valores que se alejan hacia arriba sin límite en el eje vertical, mientras que el infinito negativo se refiere a valores que se alejan hacia abajo sin límite.
¿Qué es un valor indeterminado y cómo se relaciona con la división cero entre cero?
-Un valor indeterminado es uno que no se puede determinar con certeza. En el caso de la división cero entre cero, cualquier número real podría ser el resultado, lo que hace que sea indeterminado.
¿Cómo se demuestra gráficamente que la función 1/x tiende a infinito cuando x se acerca a cero en el vídeo?
-En el vídeo se muestra que la gráfica de la función 1/x se eleva hacia arriba sin límite cuando x se acerca a cero por la derecha, y se desploma hacia abajo sin límite cuando x se acerca a cero por la izquierda.
¿Por qué la división entre cero no está definida según las propiedades de los números reales?
-La división entre cero no está definida porque cualquier intento de definirla entra en contradicción con la propiedad fundamental de que cualquier número multiplicado por cero da cero.
¿Cómo se resuelve un límite con una forma 0/0 en cálculo?
-Cuando se encuentra un límite con una forma 0/0, se utiliza un procedimiento adicional para determinar el valor del límite, ya que esta forma indica que la regla directa no aplica.
Outlines
🚫 División por cero y sus errores comunes
Este primer párrafo explica que la división por cero no es infinito, a pesar de ser un error común. Se menciona que este concepto confunde a los estudiantes al aprender cálculo, especialmente al tratar límites. El vídeo busca aclarar que la división por cero no puede realizarse, ya que va en contra de las propiedades de los números reales, donde cualquier número multiplicado por cero da cero. Esto lleva a contradicciones cuando se intenta definir el resultado de una división por cero.
❌ La división por cero no está definida
El segundo párrafo profundiza en la idea de que la división por cero no está definida, lo que significa que no se puede definir sin entrar en contradicciones con las propiedades de los números reales. Se discute la noción de infinito y cómo no es un número real, y por ende, no puede ser parte de una operación de multiplicación definida. Además, se argumenta que si intentamos definir 0 por infinito como cualquier número real, esto llevaría a contradicciones, ya que multiplicar cero por infinito debería dar un único resultado, no varios.
➡ Límites y aproximaciones a cero
Este tercer párrafo explora el concepto de límites en cálculo y cómo acercarse a cero desde valores positivos y negativos da resultados opuestos. Se muestra que mientras que al acercarse a cero desde el lado positivo (derecha), el resultado tiende al infinito positivo, desde el lado negativo (izquierda) tiende al infinito negativo. Esto demuestra que el límite de 1/x al acercarse a cero no existe como un único valor, sino que se comporta de manera diferente dependiendo de la dirección de aproximación.
🔄 División 0/0 y valores indeterminados
El último párrafo trata sobre la división 0/0, la cual es un caso de valor indeterminado. Se explica que cualquier intento de definir este resultado como un único número real llevaría a contradicciones, ya que 0 multiplicado por cualquier número es 0. Esto se extiende a la idea de límites indeterminados, donde 0/0 aparece y requiere de un enfoque diferente para resolverse. El vídeo concluye con un llamado a la curiosidad y a la participación del espectador a través de comentarios y sugerencias.
Mindmap
Keywords
💡División
💡Infinito
💡Propiedades de los números reales
💡Límite
💡Indeterminación
💡Fracción
💡Multiplicación
💡Cero
💡Axiomas
💡Función
Highlights
Explica que dividir por cero no es infinito y es un error común.
Argumenta que la división por cero no puede realizarse y lo explica paso a paso.
Recuerda que la división es una operación representable con símbolos como fracciones.
Define que a / b = c significa que b * c = a.
Ejemplifica la división con 8 / 2 = 4 y la multiplicación correspondiente.
Muestra que 0 / 6 = 0 debido a la propiedad de la multiplicación por cero.
Discute la propiedad de los números reales que cualquier número por cero es cero.
Desafía la idea de que 1 / 0 es 0, argumentando que multiplicar 0 por 0 no da 1.
Refuta la idea de que 1 / 0 es 1, ya que 0 * 1 no es 1.
Expone que dividir por cero no puede dar como resultado ningún número real.
Aclara que la división por cero no está definida debido a contradicciones con las propiedades de los números reales.
Explora la noción de infinito y por qué 1 / 0 no puede ser infinito.
Critica la idea de que el límite de 1 / x al acercarse a 0 es infinito, argumentando que se acerca a infinito positivo y negativo.
Establece que el límite de 1 / x^2 al acercarse a 0 es infinito positivo, ya que el cuadrado de cualquier número es positivo.
Gráficamente representa la función 1 / x y cómo tiende a infinito positivo por la derecha y a menos infinito por la izquierda.
Compara gráficamente la función 1 / x con 1 / x^2, destacando que la última tiende a infinito en ambas direcciones.
Finalmente, explica por qué 0 / 0 es un valor indeterminado y no puede ser un único número real.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a hablar
acerca de este tema vamos a ver que nos
da la división entre 0 ya desde ahora
les voy diciendo que dividir entre 0 no
es infinito este es un error muy común
que muchas personas piensan bueno cuando
nosotros dividimos algo entre 0 eso es
igual a infinito esto es un error que
cometen pues los estudiantes que
empiezan a ver cálculo sobre todo cuando
empiezan a ver límites y es que en
algunas escuelas incluso se enseña de
esa manera que dividir algo entre 0 nos
da infinito y eso es un error la
división entre 0 no se puede realizar y
en este vídeo voy a explicar paso a paso
porque es que no podemos dividir algo
entre 0 y para esto vamos a empezar
recordando lo que es la división la
división es una operación que nosotros
podemos representar con diferentes
símbolos uno de ellos es este de aquí 8
entre 2 también lo podemos representar
con una línea diagonal o también lo
podemos representar como 1
fracción estas tres cosas significan
exactamente lo mismo a lo largo de este
vídeo
yo voy a utilizar esta forma de
representar la división como fracción
vamos a recordar entonces que es lo que
significa dividir
cuando nosotros decimos que a / b es
igual a c
eso es equivalente a decir que
multiplicar b por c nos da como
resultado
para que esto quede más claro vamos a
hacer esto con la división que indique
aquí arriba 8 entre 2 es igual a 4 ese
es un resultado que conocemos pero
porque es igual a 4 bueno eso es así
porque si nosotros multiplicamos 2 por 4
nos da como resultado 8 eso es lo que
quiere decir la división si nosotros
decimos que un número entre otro es
igual a esta cantidad es porque al
multiplicar el número de abajo por esta
cantidad nos debe dar como resultado el
número de arriba por ejemplo 5 entre 1
es igual a 5 porque si multiplicamos 1
por 5 eso nos da como resultado 5
cuánto nos da por ejemplo 0 entre 6
bueno esta es una división muy sencilla
el resultado es cero porque si nosotros
multiplicamos 6 por 0 eso nos da como
resultado 0
eso es lo que quiere decir la división
ahora hay un problema cuando nosotros
dividimos entre 0 y es que existe una
propiedad de los números reales que es
la siguiente cuando nosotros
multiplicamos cualquier número real por
0
el resultado es 0 eso se cumple para
todos los x en los reales eso es lo que
significa esto de aquí o sea esto se
cumple para cualquier número real
entonces si nosotros por ejemplo
queremos calcular esta división 1 entre
0 eso a que es igual bueno cuando una
persona le preguntan por primera vez
cuánto da 1 entre 0 lo más usual es que
la persona responda que el resultado es
0 confundiéndose tal vez con el caso
anterior 1 entre 0 es 0 pues lo que dice
bueno qué pasa si nosotros decimos que 1
entre 0 es 0 pues lo que estamos
diciendo es que si nosotros
multiplicamos 0 por 0
eso nos debe dar como resultado 1
pero esto es falso porque 0 x 0 no es
100 nos da cero por esta propiedad de
aquí arriba cualquier número por cero es
igual a cero
entonces la división no nos puede dar
como resultado 0 esto está mal entonces
1 entre 0 cuánto es bueno otra respuesta
que se nos puede ocurrir rápidamente es
decir que 1 entre 0 es 1
otra vez hagamos la comprobación si
decimos que 1 entre 0 es uno es porque 0
por 1 debe ser igual a 1 pero otra vez
tenemos el mismo problema 0 por uno no
es uno es cero por esta propiedad de
aquí arriba y ya vemos entonces cuál es
el problema que sin importar qué valor
le demos nosotros a esta división le
podemos dar cualquier valor cualquier
valor x
al comprobar nosotros el resultado de la
división cero por equis nunca nos va a
dar uno independientemente del valor que
tenga x porque cero por equis es cero
para todo valor x para cualquier número
real entonces dividir entre cero no nos
puede dar como resultado ningún número
bueno hasta aquí no he explicado todavía
por qué no es infinito porque aquí
alguien me podría decir bueno 1 entre 0
no es ningún número pero decimos que es
infinito e infinito no es un número
también eso está mal dicho lo correcto
es decir que la división entre 0 no está
definida que quiere decir que no está
definida bueno eso no quiere decir que
no haya forma de definirla que a nadie
se le ocurre cómo definirla no es en sí
eso lo que significa lo que significa es
que no se puede definir la división
entre 0 sin que entre esto en
contradicciones con los axiomas de los
números reales o sea con las propiedades
básicas de los números reales porque las
propiedades básicas de los números
reales nos llevan a esta propiedad a que
cualquier número por 0 es igual a 0 y
como ya vimos es esta propiedad a la que
nos impide dividir entre 0 porque sin
importar qué valor le demos a esa
división vamos a llegar a una
contradicción porque estaremos diciendo
que 0 por esa cantidad nos tiene que dar
como resultado 1 en este caso entonces
por eso simplemente decimos que no es
definida porque no puede definirse sin
entrar en contradicción con las demás
propiedades de los números reales bueno
ahora voy a explicar por qué la división
entre 0 no puede ser infinito
si nosotros decimos que 1 entre 0 es
igual a infinito aplicando la propiedad
de aquí arriba estamos diciendo entonces
que 0 por infinito es igual a 1 y aquí
hay dos problemas el primero es que
infinito no es un número o sea infinito
no pertenece al campo de los números
reales por lo tanto no hay definida una
multiplicación por infinito porque no es
un número la multiplicación está
definida únicamente para los números
reales bueno en este caso no está
definida para infinito porque infinito
no pertenece a este conjunto
ese es el primer problema pero aún si
alguien quisiera aquí pensar bueno
infinito no es un número real pero pues
vamos a agregarlo de tal manera que ya
sea un número real entonces lo agregamos
pero al agregar lo tenemos que decir que
propiedades cumple el infinito
tendríamos que definir alguna
multiplicación por infinito y entonces
alguien podría decir bueno vamos a
definir que 0 por infinito sea igual a 1
cuál es el problema con esto que
entonces cuánto nos da 12 entre 0
bueno pues alguien que quiere defender
que dividir entre cero es infinito pues
nos diría entonces que 2 entre 0 es
infinito pero esto nos lleva a que 0 por
infinito también tiene que ser igual a 2
y cuánto nos da 13 / 03 / 0 es igual a
infinito significaría que 0 por infinito
es igual a 3 es decir que 0 por infinito
va a ser igual a cualquier número real y
entonces tenemos otro problema que
nosotros en la multiplicación siempre
que multiplicamos los números
queremos que el resultado
sea un único número que no nos dé
diferentes resultados si quisiéramos
definir 0 por infinito quisiéramos que
eso fuera igual a un número nada más y
no a cualquier número real entonces por
esta razón no podemos decir que dividir
entre 0 sea igual a infinito si
quisiéramos considerar a infinito como
un número bueno entonces hasta aquí
únicamente he utilizado propiedades
digamos aritméticas de los números
reales pero aquí alguien podría defender
lo siguiente y esto ya es tema de
cálculo que el límite cuando x tiende a
0 de 1 entre x es igual a infinito y
resulta que esto también estaría mal
dicho también es un error y ahora voy a
explicar por qué las personas que dicen
que el límite cuando x tiende a cero de
1 entre x es igual a infinito
generalmente lo defienden de esta manera
que si nosotros nos acercamos al 0 al
dividir uno entre esas cantidades
los resultados van siendo siempre
cantidades más y más y más grandes por
lo tanto la división entre 0 tiende
a infinito o sea que si por ejemplo x
vale 11 entre 1 es 1 ahora vamos a hacer
que x sea más pequeña por ejemplo que
sea 0.1 entonces al dividir uno entre
0.1 eso nos da 10 un número más grande
si hacemos que esta cantidad sea todavía
más pequeña tendiendo a cero o sea por
ejemplo 0.01 al hacer la división eso
nos da 100 todavía podemos acercarnos
más al 0 por ejemplo dividiendo entre
0.001 y eso nos da 1000 entonces vamos
viendo que conforme nos acercamos más y
más al 0 aquí vamos obteniendo un
resultado más y más grande y por lo
tanto la división tiende a infinito
porque tiende a ser muy muy grande por
ejemplo si tomamos un valor muy pequeño
y muy cercano al 0 como este valor de
aquí al hacer la división nos da este
número de aquí que es muy grande y claro
que podríamos ir agregando más y más
ceros acá y se van a ir agregando más y
más ceros acá por lo tanto el límite
tiene que tender a infinito cuál es el
problema con esto
el problema es que el límite en la
definición del límite lo que significa
es que nosotros debemos acercarnos a
este valor pero por ambos lados es decir
tenemos que acercarnos al cero por los
números que son mayores que 0 aunque muy
cercanos a 0 pero también por los
números que sean menores que el 0 y muy
cercanos al 0 aquí nosotros nos estamos
acercando al 0 únicamente con números
positivos o sea con números que son
mayores que 0 la pregunta ahora sería
qué pasa si nos acercamos al 0 por la
izquierda o sea por números que sean
menores que 0 es decir por números
negativos vamos a ver qué pasa
para empezar nos podemos acercar tomando
x igual a menos 1 que es un número menor
que cero sea un número negativo al hacer
la división esto nos da menos 1 podemos
acercarnos más al 0 tomando ahora por
ejemplo el menos 0.1 y al hacer la
división esto nos da menos 10 si nos
acercamos un poco más tomando el menos
0.01 esto nos da menos 100 al acercarnos
más con 0.001 esto nos da menos 1000
entonces vemos que los resultados que
vamos obteniendo son cada vez más
grandes pero negativos o sea que si nos
acercamos con un valor todavía más
cercano a 0 pero negativo obtenemos un
valor muy grande pero negativo es decir
que la división no tiende a infinito
sino a menos infinito y no es lo mismo
decir que un número muy bueno que una
función tiende a infinito así positivo
que decir que tiende a infinito negativo
el infinito positivo quiere decir que
obtenemos valores más y más grandes pero
positivos mientras que el infinito
negativo quiere decir que tendemos a
valores
y más grandes pero negativos y no es lo
mismo acercarnos a valores más grandes
negativos que a valores positivos por lo
tanto como nos estamos acercando a dos
valores distintos y el límite tiene que
ser un valor único este límite no existe
porque se acerca a dos valores distintos
por eso es que no es correcto decir que
el límite cuando x tiende a cero de 1
entre x es igual a infinito lo correcto
sería decir que el límite cuando x
tiende a 0 por la derecha de 1 / x es
igual a infinito y por la izquierda es
igual a menos infinito es decir con los
límites laterales
pero por ejemplo decir que el límite
cuando x tiende a 0 de 1 / x cuadrada es
igual a infinito esto sí es válido
porque si nosotros tomamos ya sean
números positivos o números negativos al
hacer la división siempre obtenemos
números positivos ya que estamos
elevando al cuadrado y al elevar al
cuadrado los resultados son siempre
positivos y van siendo cada vez más y
más grandes por lo tanto tiende a
infinito si la explicación no ha quedado
muy clara con esto de aquí también
podemos ver esto gráficamente
gráficamente la función 1 sobre x tiene
esta forma esta es la gráfica de la
función y igual a 1 sobre x podemos ver
que si nosotros nos acercamos al 0 por
la derecha del 0 que está el 0 y a la
derecha están estos números conforme nos
acercamos hacia el 0 la línea verde que
es la gráfica se hace más y más y más
grande tendiendo a infinito positivo
pero si nos acercamos al 0 por la
izquierda o sea por valores negativos la
línea verde se va más bien hacia abajo o
sea que tiende a menos infinito es
diferente con esta otra función 1 sobre
x cuadrada porque en este caso su
gráfica es como esta de aquí y aquí
podemos ver que la línea verde tanto por
la derecha como por la izquierda crece
hacia arriba o sea tiende a infinito
positivo por eso este límite si es
válido mientras que éste no porque éste
tiende en dos direcciones contrarias se
va en dos direcciones contrarias la
gráfica
bueno entonces con esto ya ha quedado
claro por qué la división entre 0 no
está definida y no es infinito pero
antes de terminar con el vídeo quiero
mostrarles otra división que es muy
común que es esta de aquí 0 entre 0
resulta que aquí aplicando la definición
que vimos anteriormente si nosotros
decimos que 0 entre 0 es igual a 1
esto es sería correcto porque al hacer
la multiplicación 0 por 10 x 10 es decir
que decir que será entre 0 es igual a 1
sería correcto de acuerdo a nuestra
definición pero en este caso también
tendríamos un problema porque decir que
0 entre 0 es igual a 1 es exactamente
igual de válido que decir que 0 entre 0
es igual a 2 porque fíjense que aquí
también 0 por 2 es igual a 0 y también
podríamos decir que 0 entre 0 es igual a
3 porque 0 por 3 es igual a 0 y en
general podríamos decir que 0 entre 0 es
igual a x sin importar qué valor x
tengamos aquí porque 0 por x es igual a
0 por la propiedad que vimos al
principio ese es el problema con la
división cero entre 0 por esta razón
decimos que 0 entre 0 es un valor
indeterminado es decir no es un único
valor puede ser cualquier número real y
nosotros queremos que en la división al
hacer la división tengamos un solo
número real no cualquier número por eso
simplemente decimos que es un valor
indeterminado
y ya en los límites cuando nosotros
calculamos un límite llegamos a una
forma 0 sobre 0 para obtener su valor
tenemos que hacer algún otro
procedimiento para obtener pues en este
caso cuál de estos números sería el
correspondiente para esa división bueno
entonces con esto termino este vídeo
espero que ya con esto quede claro este
error común y si les gustó el vídeo
apoyen me regalándome un like suscríbase
a mi canal y compartan mis vídeos y
recuerden que si tienen cualquier
pregunta o sugerencia pueden dejarla en
los comentarios
5.0 / 5 (0 votes)