Transformaciones Gráficas de Funciones | Ejercicios Resueltos

Profe Oscar ROSO

26 Apr 202016:09

Summary

TLDREl video explica de manera detallada cómo las transformaciones gráficas afectan las funciones matemáticas básicas. Comienza repasando las gráficas de funciones como la lineal, cuadrática, cúbica, raíz cuadrada y valor absoluto. Luego, muestra cómo estas gráficas se reflejan, desplazan o se estiran cuando se les aplican transformaciones como agregar un signo negativo, sumar o restar una constante, y multiplicar por un número. A través de ejemplos visuales, se enseña cómo identificar la ecuación correspondiente a una gráfica transformada.

Takeaways

📊 La gráfica de una función se transforma reflejando o invirtiendo el eje x cuando se le agrega un signo negativo a la función.
🔄 Al agregar un signo negativo a una función cuadrática, se refleja la gráfica en el eje x y la ecuación cambia a -x^2.
🔽 Cuando se coloca un signo negativo en la función del valor absoluto, la gráfica se refleja hacia abajo y la ecuación se convierte en -|x|.
🔼 La gráfica de la función \( y = \sqrt{x} \) se refleja hacia arriba cuando se le agrega un signo negativo, cambiando la ecuación a -\(\sqrt{x}\).
⬆️ Al sumar una constante positiva a una función, la gráfica se eleva en la cantidad de unidades equivalentes a la constante.
⬇️ Si la constante agregada es negativa, la gráfica de la función se desplaza hacia abajo en la cantidad de unidades del valor absoluto de la constante.
↔️ La adición de una constante dentro de un paréntesis y dentro de la función provoca un desplazamiento horizontal de la gráfica; positiva a la izquierda, negativa a la derecha.
🔄 La multiplicación de una función por un número mayor a 1 hace que la gráfica se estreche, mientras que una constante fraccionaria la hace más ancha.
📉 La multiplicación de una función por un número fraccionario hace que la gráfica se expanda y se acerque al eje x.
📈 Al multiplicar una función por un número, si el número es mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, mostrando una mayor pendiente.

Q & A

¿Qué sucede cuando se añade un signo negativo a una función en una gráfica?
-Al añadir un signo negativo a una función, su gráfico se refleja o invierte sobre el eje x, que actúa como un espejo para obtener la transformación correspondiente.
¿Cómo se ve la gráfica de la función cuadrática cuando se le añade un signo negativo?
-La gráfica de la función cuadrática, que es 'x al cuadrado', se refleja sobre el eje x y su ecuación se convierte en 'menos x al cuadrado'.
¿Cuál es el efecto de sumar una constante a una función en su gráfica?
-Al sumar una constante a una función, su gráfica se eleva o se desplaza verticalmente en la cantidad de unidades de la constante.
¿Cómo se transforma la gráfica de la función 'y = sqrt(x)' cuando se le añade un signo negativo?
-La gráfica de la función 'y = sqrt(x)' se refleja hacia abajo y su ecuación se convierte en 'menos sqrt(x)'.
¿Qué ocurre cuando se multiplica una función por un número mayor a 1?
-Al multiplicar una función por un número mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, acercando la función al eje y.
¿Cómo se desplaza la gráfica de una función cuadrática si se le añade una constante dentro de un paréntesis?
-Si se añade una constante dentro de un paréntesis a una función cuadrática, la gráfica se desplaza horizontalmente a la izquierda o derecha, dependiendo del signo de la constante.
¿Cuál es el efecto de multiplicar una función por un número fraccionario o racional?
-Al multiplicar una función por un número fraccionario o racional, la gráfica se vuelve más estrecha o se aproxima al eje x.
¿Cómo se determina la ecuación de una gráfica dada si se sabe que está reflejada y desplazada?
-Para determinar la ecuación de una gráfica reflejada y desplazada, se debe identificar el signo de refleje, la cantidad y dirección del desplazamiento, y aplicar estas transformaciones a la ecuación de la función primitiva.
¿Qué indica el signo menos en una ecuación de función cuando se refiere a desplazamiento horizontal?
-El signo menos en una ecuación de función indica un desplazamiento horizontal a la derecha, mientras que el signo más indica un desplazamiento a la izquierda.
¿Cómo se relaciona la posición del vértice de una parábola con la ecuación de la función cuadrática?
-La posición del vértice de una parábola está dada por la ecuación 'y = a(x - h) al cuadrado + k', donde (h, k) es la coordenada del vértice y la cantidad 'h' indica el desplazamiento horizontal.
¿Cómo se puede identificar si una gráfica pertenece a una función de valor absoluto?
-Una gráfica que pertenece a una función de valor absoluto tiene una forma V invertida, y su ecuación es 'y = |x - a|', donde 'a' es la coordenada horizontal del vértice.
¿Qué sucede con la gráfica de una función cúbica al multiplicarla por un número mayor a 1?
-Al multiplicar una función cúbica por un número mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, manteniendo la forma general de una función cúbica pero con una mayor frecuencia de oscilación.

Outlines

00:00

📈 Transformaciones de Gráficas de Funciones Básicas

Este párrafo explica las transformaciones gráficas de funciones matemáticas básicas, como la función y=x, y=x^2, y=√x y y=|x|. Se describe cómo el cambio de signo en una función afecta a su gráfica, reflejándola o invirtiéndola con respecto al eje x. Se muestran ejemplos de cómo agregar un signo negativo a las funciones cuadrática y la raíz cuadrada, y cómo esto se refleja en su gráfica y su ecuación correspondiente. Además, se menciona cómo la gráfica de una función se ve afectada cuando se le agrega o resta una constante.

05:02

🔄 Desplazamientos de Gráficas por Añadir o Restar Constantes

En este párrafo se discuten los efectos de desplazar gráficas de funciones al añadir o restar constantes dentro de las mismas. Se ilustra cómo la adición de una constante provoca un desplazamiento vertical de la gráfica, mientras que la resta de una constante la hace descender. También se muestra cómo el signo de la constante dentro de la función afecta el desplazamiento: positivos hacia la izquierda y negativos hacia la derecha. Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas, cúbicas y el valor absoluto de x son utilizados para demostrar estos cambios.

10:03

🔢 Ajustes de Amplitud y Posición por Multiplicación de Constantes

Este segmento aborda cómo la multiplicación de una función por una constante afecta su gráfica. Se explica que multiplicar por un número mayor que uno hace que la gráfica se estrechó, mientras que multiplicar por un número fraccionario o racional la hace más estrecha y se aproxima al eje x. Se presentan ejemplos de cómo la gráfica de la función absoluta de x y una función cuadrática se ven afectadas por esta multiplicación, mostrando gráficas que se acercan o se alejan del eje x según el valor de la constante multiplicativa.

15:06

📉 Determinación de Ecuaaciones a Partir de Gráficas Transformadas

El último párrafo se centra en cómo determinar la ecuación correcta a partir de una gráfica transformada. Se utiliza un ejemplo específico para demostrar cómo se identifican las transformaciones realizadas a una función básica, como la adición de signos negativos, desplazamientos y multiplicaciones, para deducir la ecuación correspondiente. Se enfatiza la importancia de recordar las gráficas de las funciones primitivas para identificar correctamente las transformaciones y se proporciona un resumen de las reglas generales que rigen estas transformaciones.

Mindmap

Keywords

💡Transformaciones gráficas

Las transformaciones gráficas son cambios que se realizan en las gráficas de funciones matemáticas para modificar su forma, posición o orientación. En el video, se discuten varios tipos de transformaciones, como el reflejo o la inversión de gráficas, y su relación con el tema principal de cómo se ven afectadas las gráficas de funciones básicas al aplicar estas transformaciones.

💡Funciones básicas

Las funciones básicas son funciones matemáticas comunes que se utilizan como referencia para entender las transformaciones gráficas. Ejemplos incluyen la función lineal 'y = x', la función cuadrática 'y = x^2' y la función de raíz cuadrada 'y = √x'. En el video, estas funciones se toman como punto de partida para aplicar transformaciones y observar los cambios resultantes en sus gráficas.

💡Reflejo gráfico

Un reflejo gráfico es una transformación que invierte la posición de una gráfica en relación a un eje de coordenadas, como el eje X o Y. En el video, se menciona que al agregar un signo negativo a una función, se produce un reflejo de su gráfica en el eje correspondiente, cambiando la orientación de la misma.

💡Inversión gráfica

La inversión gráfica ocurre cuando una gráfica se refleja sobre un eje, lo que puede resultar en una imagen especular o una inversión de la forma original. El video explica que la inversión es un efecto de aplicar un signo negativo a una función, mostrando cómo esto afecta la apariencia de la gráfica.

💡Valor absoluto

El valor absoluto de una variable es una función que convierte cualquier número en su valor no negativo. En el video, se muestra cómo el valor absoluto '|x|' se representa gráficamente y cómo la aplicación de un signo negativo 'menos' lo transforma, reflejando la gráfica hacia abajo.

💡Desplazamiento de gráficas

El desplazamiento de gráficas se refiere a mover una gráfica de función a lo largo de los ejes de coordenadas. En el video, se discuten los efectos de sumar o restar constantes dentro de las funciones, que resultan en un desplazamiento vertical o horizontal de las gráficas respectivamente.

💡Ecuación de una función

La ecuación de una función es una representación matemática que describe la relación entre dos variables. En el contexto del video, las ecuaciones de las funciones se modifican para reflejar las transformaciones gráficas, como el reflejo, el desplazamiento o la inversión de las gráficas.

💡Multiplicación de funciones

La multiplicación de funciones implica el ajuste de la escala o el estiramiento de una gráfica al multiplicar una función por un número. El video muestra cómo esta multiplicación puede hacer que la gráfica se acerque o aleje de los ejes de coordenadas, dependiendo del valor del número multiplicador.

💡Fracciones y razionales

En el video, se menciona que al multiplicar una función por un número fraccionario o racional, la gráfica resultante se vuelve más estrecha o se aproxima más al eje X. Esto ilustra cómo los factores de escala en las funciones afectan la apariencia de sus gráficas.

💡Ejemplos de funciones

El video proporciona varios ejemplos de funciones para ilustrar las transformaciones gráficas, como 'y = x^2', 'y = √x', 'y = |x|' y 'y = x^3'. Estos ejemplos son fundamentales para entender cómo las diferentes transformaciones afectan visualmente a las gráficas de funciones comunes.

Highlights

Se discuten transformaciones gráficas para entender las funciones básicas.

Se ilustra cómo el signo negativo en una función refleja o invierte la gráfica con respecto al eje x.

Se describe el efecto de sumar una constante a una función, que eleva la gráfica verticalmente.

Se muestra cómo restar una constante de una función hace descender la gráfica.

Se explica que agregar una constante dentro de una función con paréntesis desplaza la gráfica horizontalmente.

Se menciona que un valor negativo dentro de la función hace desplazar la gráfica a la derecha.

Se describe cómo multiplicar una función por un número mayor que 1 hace que la gráfica se acerque y se haga más estrecha al eje y.

Se ilustra el efecto de multiplicar una función por un número fraccionario, haciendo la gráfica más estrecha y cercana al eje x.

Se presenta un ejemplo de cómo graficar una función compleja con múltiples transformaciones.

Se detalla el proceso para determinar la ecuación de una gráfica dada, considerando signos negativos y desplazamientos.

Se enfatiza la importancia de recordar las gráficas de funciones primitivas para entender las transformaciones.

Se discute cómo la gráfica de una función cuadrática se refleja o invierte con un signo negativo.

Se muestra la gráfica del valor absoluto de x y cómo se transforma al agregar un signo negativo.

Se explica el efecto de la raíz cuadrada de x en la gráfica y su transformación con un signo negativo.

Se da un ejemplo de cómo la gráfica de una función cúbica se ve afectada por la suma o resta de una constante.

Se presenta un resumen de las reglas generales de transformación gráfica para funciones.