Integración por sustitución | Ejemplo 18 Seno y Coseno

Matemáticas profe Alex

16 Sept 201907:28

Summary

TLDREn este video, se explica el proceso de resolución de integrales por sustitución, utilizando funciones trigonométricas como ejemplo. Se aborda la sustitución de términos en el denominador, enfocándose en cómo la derivada de seno de 2x se utiliza para simplificar la integral. A través de un ejemplo práctico, se muestra cómo realizar la sustitución, integrar y luego sustituir nuevamente para obtener la respuesta final. Se destacan detalles como el manejo de constantes y signos negativos, y se invita a los estudiantes a practicar con ejercicios adicionales para mejorar su comprensión del tema.

Takeaways

😀 El curso de integrales se enfoca en la resolución de integrales por sustitución.
😀 Se resuelve por sustitución cuando hay una división, y se sustituye lo que está en el denominador.
😀 Para realizar la sustitución, es importante conocer las derivadas de las funciones trigonométricas.
😀 En este ejercicio, la derivada de seno de 2x es el coseno de 2x multiplicado por 2, lo cual se utiliza para hacer la sustitución.
😀 La sustitución debe ser hecha de manera que la derivada de lo que está en el denominador coincida con lo que está en el numerador.
😀 Se debe hacer una sustitución por la expresión 'u' y luego derivar para encontrar el valor de 'dv'.
😀 Al realizar la sustitución, el seno de 2x se reemplaza por 'u' y el coseno de 2x de x por 'dv sobre 2'.
😀 Después de hacer la sustitución, la integral se simplifica utilizando la fórmula de la integral de 1/v.
😀 La integral de 1/v es el logaritmo natural de |v|, y al final de la solución se debe agregar la constante de integración.
😀 Se debe recordar que la letra con la que se empieza el ejercicio debe coincidir al final, en este caso, la 'x'.

Q & A

¿Cuál es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es enseñar cómo resolver integrales por sustitución, específicamente un ejemplo de integral que involucra funciones trigonométricas como seno y coseno.
¿Por qué se utiliza la sustitución en este ejercicio?
-La sustitución se utiliza porque la integral involucra una división, y generalmente, cuando hay una división, se sustituye la expresión que aparece en el denominador, ya que su derivada coincide con el numerador.
¿Qué derivada se utiliza para la sustitución en este ejemplo?
-Se utiliza la derivada de seno de 2x, que es el coseno de 2x multiplicado por 2, ya que esa es la expresión que se necesita para la sustitución.
¿Cómo se deriva el seno de 2x?
-La derivada de seno de 2x es coseno de 2x multiplicado por la derivada de 2x, que es 2. Entonces, la derivada de seno de 2x es 2 coseno de 2x.
¿Qué se debe hacer para que la sustitución funcione correctamente?
-Para que la sustitución funcione correctamente, debemos sustituir la expresión que está en el denominador, en este caso, seno de 2x por 'u', y luego derivar para obtener la expresión que aparece en el numerador, que es coseno de 2x por dx.
¿Qué pasa con el factor 2 al realizar la sustitución?
-El factor 2 que aparece en la derivada de seno de 2x se divide cuando se hace la sustitución, lo que nos da 1/2, lo cual se mantiene en el denominador durante la integración.
¿Cómo se resuelve la integral resultante después de la sustitución?
-Después de la sustitución, la integral se convierte en una forma sencilla, 1/2 de la integral de 1/v, cuyo resultado es el logaritmo natural de v, y luego se sustituye v de nuevo por seno de 2x.
¿Qué importancia tiene la constante de integración en este tipo de ejercicios?
-La constante de integración es importante porque refleja que existen múltiples soluciones a la integral, ya que cualquier número constante añadido al resultado de la integral sigue siendo válido.
¿Qué error común se menciona al resolver esta integral?
-Un error común es no tener cuidado con los signos durante la derivación, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas con un signo negativo, como en el caso de la derivada del coseno.
¿Qué se debe hacer cuando aparece un signo negativo en la derivada?
-Cuando aparece un signo negativo en la derivada, se debe multiplicar toda la ecuación por -1 para corregir el signo y hacer que la sustitución funcione adecuadamente.