Las Matemáticas detrás de la IA
Summary
TLDREste video explica de manera sencilla el concepto de redes neuronales artificiales, comenzando con las primeras ideas en los años 50, como el perceptrón de Rosenblatt. Utiliza ejemplos para ilustrar cómo estas redes funcionan con entradas, salidas y pesos, y cómo pueden aprender ajustando estos pesos. Además, describe cómo evolucionaron los modelos multicapa, incorporando la función sigmoide para suavizar las salidas. También se aborda el proceso de minimización de errores utilizando el gradiente descendente. Finalmente, se ejemplifica cómo una red neuronal aprende a representar una función matemática compleja.
Takeaways
- 🤖 Las primeras ideas sobre redes neuronales surgieron en los años 50, con Frank Rose y los trabajos previos de Warren McCulloch y Walter Pitts.
- 🔧 Un perceptrón es un modelo simple basado en neuronas biológicas, con entradas y una única salida.
- ⚙️ El perceptrón utiliza pesos para determinar la importancia de cada entrada en la salida, y estos pueden ajustarse según los resultados esperados.
- 🧠 Las redes neuronales aprenden ajustando los pesos a través de algoritmos para reducir los errores en las salidas.
- 🎛️ El modelo de perceptrón multicapa introduce varias capas de neuronas, conectadas entre sí, con funciones de activación como la sigmoide.
- 📊 La función de coste mide qué tan cerca está la salida obtenida de la salida esperada, y se minimiza para mejorar el aprendizaje.
- ⚡ La derivada direccional y el gradiente son herramientas clave para ajustar los pesos y minimizar la función de coste.
- 📉 Al desplazarse en la dirección inversa del gradiente, el sistema puede reducir el error y optimizar la red neuronal.
- 🧩 Las redes neuronales modernas utilizan la función sigmoide para suavizar las transiciones en los valores de salida, mejorando la precisión.
- 🔍 Aunque las redes neuronales pueden aprender patrones complejos, calcular el gradiente de la función de coste puede ser complicado y requiere más análisis.
Q & A
¿Qué significó la tecnología de las redes neuronales en los últimos tiempos?
-La tecnología de las redes neuronales ha representado un avance significativo en el ámbito de la inteligencia artificial, permitiendo a las máquinas aprender y realizar tareas de manera autónoma.
¿Quién fue Frank Rosen y qué aportó a la creación de las redes neuronales?
-Frank Rosen fue un investigador que, inspirado por trabajos anteriores de Warren Sturgis McCulloch y Walter Pitts, creó las primeras ideas de las redes neuronales basadas en un modelo llamado perceptrón.
¿Qué es un perceptrón y cómo funciona?
-Un perceptrón es un modelo de red neurál artificial que se basa en neuronas biológicas. Funciona como una caja con entradas y salidas, donde se pueden modificar los controles centrales para alterar la salida según los valores de entrada.
¿Cuál es la diferencia entre una red neuronal simple y una multicapa?
-Una red neuronal simple es un perceptrón que procesa la información de entrada directamente a una salida. Una red multicapa, por otro lado, es un conjunto de percepciones donde cada capa está conectada a la siguiente y cada neurona comparte su salida con todas las neuronas de la capa siguiente.
¿Qué son los pesos en el contexto de las redes neuronales y para qué sirven?
-Los pesos son valores reales que representan la importancia de cada entrada en la producción de la salida esperada. Sirven para ajustar la salida de la red neuronal de acuerdo con la configuración de los controles.
¿Cómo se determina si un perceptrón debe activarse o no?
-Un perceptrón se activa si la suma del producto de los pesos y las entradas supera un umbral determinado. De lo contrario, no se activa.
¿Qué es la función sigmoide y cómo se utiliza en las redes neuronales?
-La función sigmoide es una función matemática que transforma la salida de un perceptrón simple en un número real entre 0 y 1. Se utiliza para suavizar la salida y proporcionar una salida continua en lugar de un cambio brusco de 0 a 1.
¿Cómo se aprende una red neuronal a minimizar los errores?
-Las redes neuronales aprenden minimizando la función de coste, que es una medida de la diferencia entre la salida obtenida y la esperada. Se hace ajustando los pesos de la red neuronal en la dirección inversa al gradiente de la función de coste.
¿Qué es el gradiente descendente y cómo ayuda en el aprendizaje de las redes neuronales?
-El gradiente descendente es un método para encontrar el mínimo de una función, en este caso, la función de coste de la red neuronal. Consiste en desplazarse en la dirección opuesta al gradiente, lo que lleva a una disminución de la función de coste y, por tanto, a un aprendizaje más eficiente.
¿Por qué es importante minimizar los errores en el aprendizaje de las redes neuronales?
-Minimizar los errores es fundamental para que las redes neuronales aprendan patrones y realicen predicciones con alta precisión. Menos errores significan que la salida de la red neuronal se acerca más a la salida esperada.
Outlines
🤖 Introducción a las Redes Neuronales Artificiales
El video comienza describiendo cómo surgió la idea de las redes neuronales en los años 50, inspirado en modelos biológicos de neuronas. Explica cómo una red neuronal artificial imita el funcionamiento del cerebro humano a través de ejemplos simples, como una caja con entradas y salidas que pueden modificarse mediante controles. La explicación avanza hacia la idea del perceptrón, un modelo simple propuesto por Rosenblatt, que utiliza pesos para modificar las entradas y producir una salida, lo que permite tomar decisiones en función de ciertos criterios como en el ejemplo de darle 'like' a un video según varias variables.
⚙️ Cómo las Redes Neuronales Aprenden
Esta sección explora cómo las redes neuronales ajustan los pesos de las entradas para aprender patrones, como en una compuerta lógica OR. Se introduce la idea de modificar los pesos en cada iteración según el error producido entre la salida real y la esperada. A medida que el modelo ajusta estos pesos, mejora su precisión y se adapta mejor al problema que se está resolviendo, aprendiendo con el tiempo. Se menciona el uso de perceptrones multicapa, que conectan múltiples neuronas entre sí para mejorar la capacidad de aprendizaje, y cómo este modelo permite entrenar funciones más complejas.
🔢 Minimización de Errores y Función de Coste
Aquí se aborda cómo se minimizan los errores en una red neuronal usando una función de coste que calcula la diferencia entre la salida real y la esperada. Se explica que el objetivo es minimizar esta función moviendo los pesos hacia una dirección que reduzca el error. Se introduce la noción de gradiente y cómo, al calcular el gradiente de la función de coste, se puede ajustar la red neuronal para mejorar su desempeño. Este proceso se compara con una pelota que se desplaza por una pendiente hacia el punto más bajo, representando el error mínimo.
Mindmap
Keywords
💡Red neuronal
💡Perceptrón
💡Pesos
💡Función de activación
💡Umbral
💡Función de coste
💡Gradiente
💡Aprendizaje
💡Perceptrón multicapa
💡Función sigmoide
Highlights
Las primeras ideas sobre redes neuronales fueron propuestas en los años 50, inspiradas por trabajos anteriores de Warren McCulloch y Walter Pitts.
Frank Rosenblatt creó el modelo de perceptrón, basado en neuronas biológicas, que se considera una de las primeras redes neuronales artificiales.
El perceptrón simple tiene entradas, cada una con un peso, y una única salida. La salida depende de si la suma ponderada de las entradas supera un umbral determinado.
El perceptrón puede utilizarse como un modelo de toma de decisiones basado en evidencia, como en el ejemplo de darle 'like' a un video basado en tres factores: calidad, duración y colores.
Los algoritmos permiten modificar los pesos del perceptrón para ajustar los resultados y mejorar la precisión, un proceso que se denomina 'aprendizaje'.
El modelo del perceptrón simple es limitado, ya que solo puede resolver problemas lineales. Esto dio lugar a la creación del perceptrón multicapa.
El perceptrón multicapa incluye varias capas de neuronas conectadas entre sí, donde cada capa toma la salida de la anterior como entrada.
Las neuronas en el perceptrón multicapa utilizan una función sigmoide para suavizar el impacto de pequeñas variaciones, mejorando la precisión del modelo.
El entrenamiento de redes neuronales implica minimizar una función de coste, que mide qué tan cerca está la salida obtenida de la esperada.
El gradiente de la función de coste se usa para ajustar los pesos en las redes neuronales y minimizar el error durante el proceso de aprendizaje.
Se utiliza un método llamado 'descenso de gradiente' para ajustar los pesos moviéndose en la dirección inversa al gradiente, minimizando así el error.
Las redes neuronales pueden entrenarse para aprender funciones complejas, como la de x^3 - x, ajustando sus pesos tras múltiples iteraciones.
El objetivo del entrenamiento es minimizar la función de coste, que a su vez reduce el error en las predicciones de la red neuronal.
El modelo multicapa permite aprender patrones no lineales, algo que el perceptrón simple no puede hacer.
A medida que la red neuronal se entrena más, su precisión mejora y se aproxima mejor a la función esperada, como se muestra en ejemplos gráficos.
Transcripts
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The Final
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todos conocemos lo que últimamente ha
supuesto esta nueva tecnologia pero muy
pocos saben que todo esto comenzó en los
50 las primeras ideas creadas por Frank
Rose inspirado por trabajos anteriores
de Warren MC cuyo can Walter Pitt se
basan en un tipo de red neurland
artificial llamada percepttran un modelo
basado en neuronas biológicas
pero que es una red neuronal
para entender la idea detrás de las
redes neuronales vamos a ver el
siguiente ejemplo supongamos que tenemos
una caja y esta tiene una serie de
entradas y una serie de salidas como
pueden ver el lado izquierdo y en el
lado derecho por la parte de las
entradas le podemos introducir cualquier
número y esta nos va a devolver otro
numeritos en este caso que le
introducimos tres números y nos saca
otros tres números sin embargo esta caja
es peculiar ya que cuenta con una serie
de controles en el centro que nos
permiten modificar la salida Según como
los acomodemos obtendremos resultados
distintos como podemos ver aquí lo
giramos y en la salida aparecen números
totalmente distintos a los anteriores Y
gracias a esta peculiaridad podemos
hacer que la caja devuelva el valor que
queramos sólo haría falta saber cómo
mover los controles
de hecho estas fueron algunas de las
primeras ideas que surgieron sobre el
tema rosen Black por su parte propuso el
siguiente modelo mucho más simplificado
donde ahora cambiamos las cajas por
flechita y circulita la flecha de la
izquierda son las entradas o los inputs
que vamos a anotar por x y o en este
caso x1 x2 X3 y la parte de la derecha
representan las salidas o el output Este
modelo vamos a denotar al circulito azul
como neurona que se caracteriza por
tener una única salida y distintas
entradas en este caso y tres entradas y
una única salida y a este conjunto lo
vamos a llamar percepción simple
rosembrad planteó también una forma para
calcular la salida pero para eso
introduce omegas es decir numeritos
reales llamados pesos que de alguna
forma representan la importancia que
tiene cada entrada a la hora de producir
la salida esperada de ahí el nombre de
peso la salida puede tomar los valores
de 10 dependiendo si la suma del
producto de pesos y entradas supera un
umbral como podemos ver en esta
formulita de aquí
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también se puede escribir esta misma
fórmula de la siguiente forma en donde
se añade un más b y el B representa o
denota el menos el umbral Y si ese es el
funcionamiento básico del perceptrón una
forma de pensar Este modelo es como un
artefacto de decisión basado en
evidencia supongamos que hay que decidir
si darle like a este video no por
ejemplo like Es un 1 no darle like Es un
cero para eso tenemos en cuenta tres
variables calidad del contenido duración
del contenido y los colores utilizados
que los vamos a ordenar de esta forma la
calidad es más importante que la
duración y la duración a su vez más
importante que los colores Sabiendo esto
a cada una de las entradas las denotamos
por un grado de relevancia del 1 al 10 a
la calidad Vamos a ponerle un 8 porque
es lo más importante la duración un 3 y
los colores un 3 entonces tomamos un
vídeo al azar y a la calidad del
contenido lo valorar con un número del 1
al 10 por ejemplo un 8 a la duración con
un 1 indicando que es inferior a 10
minutos en caso contrario el video te es
pesado y pondríamos un cero y a los
colores con un uno indicando que no te
rompió los ojos y cero en caso contrario
en este caso le ponemos un uno y
decidimos que a todo video que supere un
valor de 60 le darás like Entonces el
umbral es 60 y si hacemos los cálculos
te sale que para este esta misma entrada
tenemos un valor de 70 por lo tanto esto
significa que le tendrás que dar like al
vídeo
pero que tiene de especial esto por qué
se dice que las redes neuronales
aprenden
porque resulta que existen algoritmos
para modificar los pesos o como
anteriormente lo dijimos para mover los
controles dentro de la caja según la
salida que queramos por ejemplo
supongamos que tenemos esa tabla que es
una compuerta lógica ord y queremos que
cada vez que se pasen las entradas el
perceptrón de perceptrón devuelva la
correspondiente salida en este caso
tendríamos un perceptrón simple de dos
entradas a y b y la salida q cada uno
con su peso correspondiente
para que nos devuelva las salidas
esperada que queremos en cada caso según
las entradas hay que modificar los pesos
de una forma determinada Y entonces así
decimos que el sistema aprende el patrón
el patrón or
rosemblack también propuso una forma de
calcular esto que es la siguiente como
podemos ver la modificación del peso es
equivale al peso que había antes que es
el que causa error más su entrada
correspondiente por el error a que Delta
es la salida esperada y output como la
salida real que emite el perceptrón
entonces lo que va a hacer es ajustar
cada uno de los pesos que hay en la red
neuronal Y a medida que van pasando las
iteraciones el modelo se ajusta cada vez
mejor Y aprende cada vez mejor y tiene
menos errores esto lo podemos ver en un
ejemplo de código en python como Tenemos
aquí
el perceptrón simple Tiene un gran
problema y es que es muy limitada
por ese mismo motivo surgen Este modelo
que como podemos ver Es un conjunto de
percepciones en donde cada capa contiene
un número de neuronas o percepciones y
todas las neuronas de una capa tienen
como entrada la salida de cada una de
las neuronas de la capa anterior es
decir cada neurona comparte su salida
con todas las neuronas de la capa
siguiente por lo tanto dos capas
adyacentes están conectadas entre sí
cada una cada neurona con todas las de
la siguiente y a este modelo lo vamos a
llamar perceptrón multicapa Pero además
estos tienen una nueva característica y
que cada percepción está formado por una
neurona sigmoide no es un percepción
simple sino que es un perceptrón
sigmoide y funciona Exactamente igual
que el anterior tenemos las mismas
entradas y una salida igual con sus
pesos lo que pasa es que esta le aplica
una función a la salida del perceptor
simple si el percepción simple produce
una salida pero la neurona sigmoide le
aplica una función
esto lo que hace Entonces será cambiar
el output a un número real entre 0 y 1
y a la función la vamos a definir de la
siguiente forma que es la función
sigmoide que se ve tal que así Y por qué
hacemos Esto bueno vamos a ver cómo se
ve la otra función que es la función de
paso que es lo que hace la neurona
simple como podemos ver hay un cambio
muy brusco del 0 al 1 entonces Nuestro
objetivo al poner esta función es
intentar de suavizar ese impacto que
tiene cerca del origen para minimizar
los casos caóticos Es decir para no
tener pequeñas variaciones en los pesos
y que la salida sea un valor totalmente
distinto entre 0 y 1 con esto lo que
hacemos Es tener más precisión en la
salida
[Música]
vamos a entrenarla para que aprenda una
función por ejemplo x elevado a 3 - x Es
decir para que dibuje esa función en el
plano si le metemos un uno Esperamos que
la red neuronal devuelva un 0 ya que es
la función evaluada en uno sí Entonces
vamos a entrenar este mismo modelo que
hemos recibido un percepción multicapa
en este caso a la salida la vamos a
visualizar como un vector Aunque en este
caso como hay una salida no es necesario
pero en otros modelos hay distintas
salidas y varias salidas Entonces es
útil verlas de esta forma en primer
lugar es común definir una función
objetivo o de coste para cuantificar que
también la salida obtenida se acerca la
esperada y la vamos a definir de la
siguiente forma y si se dan cuenta es la
media de la diferencia entre la salida
esperada y la obtenida para cada entrada
es decir la media de los errores por
cada entrada y salida y la multiplicamos
por un medio para simplificar los
cálculos más tarde pero eso ya lo
entenderemos después
si se dan cuenta Esta función cuadrática
objetivo función de costes siempre es
mejor a cero y se aproxima cero cuando
la salida real tiende a o sea el output
tiende a las salidas esperada para cada
entrada Entonces qué queremos hacer
queremos encontrar un conjunto de omegas
y b que minimicen la función y entonces
Cómo podemos hacer esto aquí vemos
visualizado cómo sería lo que queremos
hacer queremos que la distancia entre la
salida obtenida y la esperada sea lo
mínimo posible Así diríamos que el
sistema aprende
entonces para hacerlo lo que vamos a la
idea que vamos a tener es minimizar la
función de coste pero como vimos recién
depende de mucha variables Entonces el
cálculo no lo podemos utilizar entonces
imaginemos que empezamos en un punto al
azar y justo ahí hay una pelota lo vamos
a ver en r3 por para ser más simple
Entonces si tenemos una pelota en un
punto de r3 sobre la Gráfica que tenemos
ahí Hacia dónde se va a desplazar
obviamente hacia abajo por la pendiente
tal vez podríamos utilizar esta idea
para encontrar un mínimo de la función
no entonces veamos los con más
detenimiento Qué pasa si movemos la
pelota una pequeña cantidad en una
dirección determinada bueno Esto
recurriendo el cálculo sería la derivada
direccional que si recordamos se define
como el siguiente Límite
y además si F es diferenciable lo
podemos definir de la siguiente forma a
que existen sus derivadas parciales
donde recordemos Claro que la derivada
direccional es con respecto a un vector
unitario
Entonces esto recordemos que se puede
volver a reescribir como un producto
escalar de El vector u por el gradiente
de F donde el gradiente DF lo vamos a
definir como el vector de derivadas
parciales
entonces volviendo ahora a la función de
coste y generalizando para todas
nuestras variables lo podemos escribir
de la siguiente forma recordemos que
esto es válido porque la función de
coste es diferenciable entonces podemos
hacer esto Y definir el gradiente de la
función de coste de la siguiente forma
y si se dan cuenta y recordamos de
cálculo que el gradiente de la función
indica la dirección de Máximo
crecimiento de c y esto es muy fácil de
demostrar ya que como definimos a la
derivada direccional como un producto
escalar Bueno lo reescribimos así
también lo podemos reescribir como la
norma de F por la norma u por el coseno
del ángulo que forman la norma de u es 1
entonces la función será máxima siempre
y cuando el coseno de tita sea 1 y
mínima cuando el coseno de tita sea
-1 entonces nos tenemos que desplazar en
la dirección inversa al gradiente y
bueno cómo hacemos esto Bueno podemos
definir un vector que lo que haga es
multiplicar el gradiente de la función
de coste por algún numerito real inverso
y resulta que esto es totalmente válido
a que podemos seleccionar cualquier
punto por ejemplo comenzamos en el X
y el siguiente punto lo que hará es
desplazarse a en el sentido inverso el
gradiente por ejemplo x1 lo vamos a
definir como el punto anterior
desplazado en la dirección inversa de
gradiente Y esto es lo que estamos
haciendo con el ejemplo de la pelota si
se dan cuenta nos estamos desplazando
hacia abajo
y esto lo podemos demostrar fácilmente a
que bueno vamos a sustituir el vector en
la definición y si se dan cuenta nos
queda que
la derivada direccional es el menos el
numerito que habíamos elegido por la
norma del gradiente de Sep y el
gradiente de c siempre es un número
positivo por lo tanto la expresión final
siempre es negativa con lo que siempre
estaremos desplazándonos hacia abajo
estaremos minimizando la función eso
Tiene ciertas limitaciones a que no
vamos a encontrar siempre un mínimo
global sino que mínimo locales pero nos
garantiza y nos ayuda un poco para
minimizar el error de la red neuronal
Entonces generalizando los pesos los
podemos reescribir de la siguiente forma
[Música]
Este es un ejemplo de red neuronal que
aprende la función de X elevado a tres
menos x la función roja es lo que dibuja
la red neuronal la azul es la función
esperada a medida que pasan las
iteraciones el sistema aprende y la
dibuja mejor
[Música]
Pero qué pasa con el gradiente de c Cómo
se calcula
eso ya es más complicado y digno de otro
video
[Música]
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