Tasa de variación instantánea | Introducción a la derivada
Summary
TLDREn este vídeo se explica la tasa de variación instantánea, que mide la variación de una función en un punto específico. Se contrasta con la tasa de variación media, que se calcula entre dos puntos. La derivada, obtenida al acercar un punto hacia otro hasta que casi se toquen, se define como el límite cuando la distancia entre ellos tiende a cero. Se ilustra con un ejemplo práctico: encontrar la tasa de variación instantánea de la función f(x) = x^2 + 3x + 2 en x = 3, demostrando paso a paso el proceso de cálculo.
Takeaways
- 📐 La tasa de variación instantánea es una medida de cómo cambia una función en un punto específico.
- 🔍 Se calcula a través del límite cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero, haciendo que el punto b se aproxime más y más a a.
- 📉 La fórmula para encontrar la tasa de variación instantánea es similar a la de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
- 📚 Se define la derivada como la tasa de variación instantánea de una función en un punto específico.
- 🔢 Para calcular la derivada, se toma el límite cuando h tiende a 0 de la expresión (f(a+h) - f(a)) / h.
- 📈 La derivada nos permite saber la velocidad a la que una función cambia en un punto dado.
- 👨🏫 En el vídeo se explica cómo evaluar funciones cuando se encuentran entre paréntesis y se les pide evaluar en un punto específico.
- 📘 Se muestra un ejemplo práctico de cómo calcular la tasa de variación instantánea para la función f(x) = x^2 + 3x + 2 en x = 3.
- 🧮 Se detalla el proceso de simplificación para encontrar la derivada, incluyendo la sustitución de valores y el uso de propiedades algebraicas.
- 🎯 El resultado final de la derivada para el ejemplo dado es 9, lo que indica que la función varía a una tasa de 9 en el punto x = 3.
Q & A
¿Qué es la tasa de variación?
-La tasa de variación es una medida que indica cuánto cambia una cantidad en promedio durante un período de tiempo específico.
¿Cómo se calcula la tasa de variación media?
-La tasa de variación media se calcula mediante la pendiente de la recta que pasa por dos puntos dados en un gráfico, lo que representa el cambio promedio entre esos dos instantes de tiempo.
¿Cuál es la diferencia entre la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea?
-La tasa de variación media se calcula entre dos instantes de tiempo, mientras que la tasa de variación instantánea se calcula en un solo instante específico, indicando el cambio en ese punto exacto.
¿Cómo se determina la tasa de variación instantánea?
-Para encontrar la tasa de variación instantánea, se toma el límite cuando el intervalo de tiempo delta t tiende a cero, de la diferencia entre la función en el punto a más delta t y la función en el punto a, todo dividido por delta t.
¿Qué es la derivada en matemáticas?
-La derivada es una generalización de la idea de tasa de variación instantánea; se define como el límite cuando el intervalo delta x tiende a cero, de la diferencia entre la función en el punto a más delta x y la función en el punto a, dividido por delta x.
¿Cómo se relaciona la derivada con la recta tangente a una curva?
-La derivada de una función en un punto específico nos da la pendiente de la recta tangente a la curva representada por la función en ese punto.
¿Qué significa 'delta' en el contexto de la tasa de variación?
-En el contexto de la tasa de variación, 'delta' representa la diferencia entre dos valores, usualmente el cambio en una cantidad en un intervalo de tiempo, y se denota por el símbolo 'Δ'.
¿Cómo se evalúa una función en un punto específico?
-Para evaluar una función en un punto específico, se sustituye el valor del punto en la expresión de la función y se calcula el resultado.
¿Cuál es el proceso para encontrar la tasa de variación instantánea de una función dada?
-El proceso para encontrar la tasa de variación instantánea de una función dada implica sustituir el valor específico en la función, calcular la expresión que representa la diferencia entre la función evaluada en el punto más un pequeño cambio y la función en el punto, y luego encontrar el límite de esa expresión cuando el cambio tiende a cero.
¿Qué función se usó como ejemplo para explicar cómo calcular la tasa de variación instantánea en el guion?
-Se usó la función f(x) = x^2 + 3x + 2 para explicar cómo calcular la tasa de variación instantánea en el punto x = 3.
¿Cuál fue la tasa de variación instantánea encontrada para la función dada en el ejemplo del guion?
-La tasa de variación instantánea encontrada para la función f(x) = x^2 + 3x + 2 en el punto x = 3 es de 9.
Outlines
📘 Introducción a la tasa de variación instantánea
El primer párrafo explica la tasa de variación instantánea en matemáticas. Se menciona que esta tasa permite saber cuánto cambia una función en un instante específico, en lugar de un intervalo de tiempo. Se hace referencia a un vídeo anterior donde se explicó cómo calcular la tasa de variación media y se proporciona un enlace para comprender mejor el tema. Se describe el proceso de acercar dos puntos en una gráfica para encontrar la tasa de variación en un solo punto, utilizando el límite cuando la diferencia entre estos puntos tiende a cero. Se introduce la derivada como la tasa de variación instantánea y se explica que es el cambio en un punto específico de una función.
📐 Cálculo de la tasa de variación instantánea de una función
El segundo párrafo se centra en el cálculo de la tasa de variación instantánea para la función f(x) = x^2 + 3x + 2 en el punto x = 3. Se indica que se debe reemplazar x por 3 en la función y calcular el límite cuando h tiende a 0 de la expresión (f(3+h) - f(3))/h. Se procede a evaluar la función en los puntos 3+h y 3, y se sustituyen estos valores en la expresión para simplificarla. Se explica paso a paso el proceso de simplificación algebraica, incluyendo la eliminación de términos comunes y la aplicación de propiedades distributiva, hasta llegar a una expresión más simple que se resuelve al reemplazar h por 0, dando como resultado una tasa de variación instantánea de 9 en el punto x = 3.
🎉 Conclusión del tutorial
El tercer párrafo concluye el tutorial y invita al espectador a interactuar con el contenido, pidiendo 'me gusta' y suscripciones al canal. Se cierra el vídeo con un deseo de bienestar para los espectadores y se anuncia el próximo vídeo.
Mindmap
Keywords
💡tasa de variación
💡tasa de variación instantánea
💡límite
💡derivada
💡recta tangente
💡delta de x
💡función
💡valor específico
💡límite cuando h tiende a 0
💡pendiente
Highlights
Explicación de la tasa de variación y cómo calcularla.
Enlace al vídeo anterior para entender la tasa de variación media.
Fórmula para encontrar la tasa de variación media entre dos instantes de tiempo.
Importancia de la tasa de variación instantánea para entender cambios en un punto específico.
Cómo acercar el punto b hacia a para calcular la tasa de variación en un instante específico.
La pendiente de la recta tangente como aproximación a la tasa de variación instantánea.
Definición de la tasa de variación instantánea y su relación con el límite cuando el tiempo tiende a cero.
Cambio de la notación de b a a+h para acercarse al punto de interés.
Fórmula para calcular la derivada y su equivalencia con la tasa de variación instantánea.
La derivada como la razón de cambio en un punto específico.
Definición de la tasa de variación instantánea de una función en un punto dado.
Condición de existencia del límite para calcular la tasa de variación instantánea.
Ejercicio práctico para determinar la tasa de variación instantánea de una función dada en un punto específico.
Sustitución del punto específico en la función para calcular la tasa de variación instantánea.
Evaluación de la función en el punto de interés para simplificar la expresión.
Pasos para simplificar la expresión y encontrar el límite cuando h tiende a 0.
Eliminación de términos semejantes y factorización para simplificar la expresión.
Aplicación del principio de sustitución para encontrar el límite y la tasa de variación instantánea.
Resultado final de la tasa de variación instantánea de la función en el punto x=3.
Conclusión del tutorial con una invitación a suscribirse y dejar un like si el contenido fue útil.
Transcripts
nada
la planta
ya no
[Música]
[Música]
hola en el vídeo anterior les expliqué
en qué consistía la tasa de variación
media si no has visto este tutorial en
la destrucción de este vídeo traigo el
enlace para que lo puedas ver y así
entiendas sin problema lo que voy a
explicar ahora vamos entonces con la
tasa de variación instantánea en el
vídeo anterior llegamos a que la forma
para hallar la tasa de variación media
en dos instantes de tiempo diferentes se
hacía mediante esta fórmula es aquella
que nos permite calcular la pendiente de
la recta que pasa por estos dos puntos
entonces en pocas palabras esto nos
decía en promedio cuánto se varió desde
el instante de tiempo al instante de
tiempo para como vemos este tiempo puede
estar muy alejado resulta que llega un
momento en el que yo quiero saber cuánto
varió en este instante de tiempo
específico no desde el tiempo uno en
este caso hasta el tiempo dos alguien me
pregunta cuánto iba variando su gráfica
en la hora 1
entonces lo que debemos hacer es tratar
de que este punto b esté cada vez más
cerca de ann recuerden que a esta
distancia que encontramos acá la
llamamos delta de ella y hasta distancia
de acá la llamamos delta de x luego si
el segundo punto lo acercamos cada vez
más nos vamos a acercar bastante al
instante que queremos en este caso la
obra número uno entonces aquí la
pendiente ya estaría muy cerca del punto
1 pero todavía no es entonces tenemos
que acercar y acercar y acercar más el
punto hasta que esté uno encima del otro
así que paremos en esta fórmula para
hallar la tasa de variación en un
instante determinado necesitamos que se
acerca tal como lo hicimos acá que esté
cada vez más cerca de si vamos a ese
límite si nos acercamos mucho mucho
mucho mucho cuando ve tienda de esta
fórmula podremos encontrar entonces
la tasa de variación en este instante
determinado ya no en dos instantes de
tiempo sino en un solo instante
ahora parémonos en este segundo punto ya
no lo llamemos b sino que le vamos a
nombrar en términos de a lo llamaremos a
más h
es decir partimos del punto a y nos
alejamos cierta distancia luego la
imagen ya no sería fpv sino que sería fd
a más h es decir la imagen de como
nombramos este punto así que nuestra
fórmula cambiaría cambiaríamos a b x a
más h y acb por efe de hamás h llegando
hacia esta fórmula entonces vamos a
buscar el límite cuando h que es esta
distancia que tenemos acá si así cada
vez más pequeña
tanto que tiende a cero de esa formulita
fíjense la diferencia de las 10 a efe de
ambas h le quitó de fedea y la
diferencia de las x sea más h le quitó
la pues se cancela la cola y simplemente
me queda h
resulta que esta es exactamente la misma
fórmula que vimos cuando buscábamos la
pendiente de la recta tangente a una
curva en un punto y como vieron en este
vídeo a esto lo que llamamos la derivada
la derivada en la razón de cambio en un
punto específico como está variando este
punto específico y no en un tramo de
tiempo en el primer vídeo de este curso
llegamos a esta idea con la recta
tangente y en este con la tasa de
variación instantánea la fórmula es la
misma ahora que ya entendimos esas ideas
si vamos con la definición decimos que
la tasa de variación de una función en
un instante dado se obtiene al
considerar delta de x osea la variación
en el eje x cada vez más pequeño y eso
fue lo que hicimos en nuestro ejemplo
anterior por tanto la tasa de variación
instantánea de una función en un punto
en x igualada se define como
el límite cuando ve tienda de esta
expresión esa fue la primera fórmula a
la que llegamos y esto pasa siempre que
el límite exista ahora cuando re
nombramos a b ya no queremos que se
llame b sino a más h como vieron en la
última parte del ejemplo anterior se
tiene que la variación instantánea de f
es el límite cuando h tiende a 0 de esta
expresión con cualquiera de las dos
podemos calcularlo solamente que los
libros de cálculo la más utilizada es
esta en pocas palabras la definición de
derivada esta fórmula nos permitirá
encontrar la tasa de variación de una
función en un instante dado
veamos el siguiente ejercicio nos dice
determinar la tasa de variación
instantánea para la siguiente función en
el valor indicado nuestra función es x
al cuadrado más 3 x + 2 en x igual a 3
tenemos una curva y en un punto
específico nos preguntan cómo está
variando cuál es su variación
instantánea en el punto específico x
igual a 3 para esto tenemos nuestra
fórmula lo que debemos hacer es
sustituir en ella en este caso nuestro
punto específico es x igual a 3 luego
este nuestro valor a va a tomar el valor
de 3 entonces debemos encontrar el
límite cuando h tiende a 0 de la
expresión
efe de 3 + h
- efe de 3
sobre h
listos ya reemplazamos en nuestra
expresión ahora debemos buscar efe de 3
+ h cf3 y esto aparece muy complicado
pero no lo es para ello tenemos que
saber evaluar una función si no lo saben
en la descripción del vídeo les dejo un
enlace a un tutorial donde les enseñó
cómo evaluar una función cuando entró el
paréntesis tenemos letras entonces
hagámoslo tendríamos el límite
cuando h tiende a 0
y en el numerador vamos a buscar f 3 + h
sería en toda nuestra función sustituir
por 3 + h
entonces tenemos x al cuadrado pero x va
a ser reemplazado por 3 + h
+ 3 por equis pero x estrés más h
+ 2
y de esta manera sustituimos en lugar de
x pues 3 + h
a esto le debemos restar el resultado de
sustituir 3 en la función sería 3 al
cuadrado más 3 por x es decir 3 x 3 + 2
y todo esto nos queda sobre h vamos a
continuar así que escribimos este mismo
límite y tendríamos
tres masas al cuadrado entonces no van a
cometer el error de hacer distributivo
acá no se cumple esto es el primero al
cuadrado que es 9
as dos por el primero por el segundo dos
por 36 por h sería 6h más el segundo al
cuadrado que es h al cuadrado aquí
tendríamos tres por 39 aquí se aplica
mosley distributiva y 3 por hm área 3 h
+ 2
- en el segundo corchete tendríamos 3 al
cuadrado que es 9 + 3 x 3 que es 9 2
y todo esto sobre h hagamos un poco de
espacio y sigamos operando tendríamos
este mismo límite y vamos a resolver
términos semejantes entonces tenemos h
al cuadrado
6 h 3 h nos daría 9 h positivo aquí
tendríamos 9 y 9 18 y 2 nos daría 20
- en este corchete tendríamos 99 que 18
+ 2 que nos da 20
y esto sobre h seguimos simplificando
así que tendríamos igual al límite
cuando h tiende a cero y que nos queda
en el numerador si rompemos corchete
este 20 positivo se iría con este 20
negativo ya que lo afecta a este menos
luego nos quedaría al cuadrado más 9 h
y esto sobre h ahora podemos notar que
tenemos un factor común en el numerador
entonces tendríamos el límite cuando h
tiende a 0 y el factor en común es la h
abro paréntesis porque multiplico h para
que me eche cuadrado sería simplemente
por h más porque multiplico h para que
me dé 9 h por 9 y esto sobre la letra h
ahora gracias a que h se acerca
muchísimo a 0 pero no toma este valor
podemos simplificar sin problema y nos
quedaría el límite cuando h tiende a 0
de la expresión h más 9 y calcular este
límite es muy fácil podemos aplicar
principios de sustitución como ya vamos
a sustituir no hay necesidad de escribir
el límite entonces reemplazamos a h por
0 y le sumamos 9 esto nos daría el valor
9 de esta manera encontramos la tasa de
variación instantánea de esta función en
x igual a 3 quiere decir que en este
instante determinado se está variando a
una tasa de 9
espero hayas entendido el tema que
tratamos de explicar en este tutorial
si te gustó nuestro vídeo no olvides
darle me gusta y suscribirte a nuestro
canal espero que estés muy bien hasta un
próximo vídeo
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