Aproximaciones trapzoidales del area bajo la curva

Summary

En este video, se explica cómo aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6] utilizando el método de los trapecios. Se utilizan 5 trapecios de igual largo, calculando el ancho de cada uno como 1. Se describe paso a paso cómo dibujar y calcular el área de cada trapecio, desde el degenerado en el punto (1,0) hasta el quinto trapecio que abarca desde f(5) hasta f(6). Finalmente, se suman las áreas de los trapecios para obtener una aproximación del área total, que se evalúa y simplifica para dar un resultado numérico aproximado de 7.26.

Takeaways

• 😀 El objetivo es aproximar el área bajo la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6].
• 📏 Se utilizan 5 trapecios para realizar la aproximación, cada uno con el mismo largo.
• 🔢 El largo de cada trapecio se calcula como (6 - 1) / 5, resultando en un delta x de 1.
• 📐 Se describe cómo dibujar los 5 trapecios, cada uno con alturas correspondientes a las funciones evaluadas en los puntos clave.
• 📉 El primer trapecio es en realidad un triángulo degenerado, ya que una de sus alturas es cero.
• 📊 Se explica cómo calcular el área de cada trapecio utilizando la fórmula de área de trapecio, incluso para el caso degenerado.
• 🧮 Se suman las áreas de los trapecios individuales para obtener la aproximación total del área bajo la curva.
• 🔢 Se simplifica la fórmula general para el área de trapecios, destacando la importancia de los valores de la función en los puntos de corte.
• 📘 Se menciona que la fórmula general para el área de trapecios se puede encontrar en libros de texto, pero se aconseja una comprensión visual para una mejor entendimiento.
• 💡 Se calcula el valor numérico aproximado del área utilizando la fórmula simplificada y los valores de la función, resultando en aproximadamente 7.26.

Q & A

¿Cuál es la función f(x) que se utiliza para aproximar el área en el intervalo [1, 6]?

La función f(x) utilizada para aproximar el área es f(x) = √x.

¿Cuál es el método de aproximación utilizado para calcular el área debajo de la gráfica de la función?

El método de aproximación utilizado es el método de los trapecios, específicamente con 5 trapecios de igual longitud.

¿Cómo se determina el largo de cada uno de los 5 trapecios utilizados en la aproximación?

El largo de cada trapecio se determina dividiendo la diferencia entre el intervalo [1, 6], que es de 5 unidades, entre los 5 trapecios, resultando en 1 unidad de largo cada uno.

¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular el área de un trapecio en este caso?

La fórmula utilizada para calcular el área de un trapecio es (base1 + base2) / 2 * altura, donde la base es el largo de los lados paralelos y la altura es la distancia entre los lados.

¿Cómo se calcula el área del primer trapecio, considerando que uno de sus lados es cero?

El área del primer trapecio, que es en realidad un triángulo degenerado, se calcula como la mitad del producto de su base (que es f(2) - f(1)) y su altura (que es f(2)).

¿Cuál es la altura del segundo trapecio y cómo se calcula?

La altura del segundo trapecio es f(3) - f(2), que se calcula evaluando la función f(x) en x = 2 y x = 3.

¿Cómo se determina el área del quinto y último trapecio en la aproximación?

El área del quinto trapecio se determina tomando el promedio de las alturas f(5) y f(6), multiplicándolo por la distancia entre los lados paralelos (delta x).

¿Cuál es la fórmula general para calcular el área aproximada con n trapecios?

La fórmula general para calcular el área aproximada con n trapecios es (delta x / 2) * (f(x0) + 2*(f(x1) + f(x2) + ... + f(x(n-1))) + f(xn)).

¿Cuál es el resultado numérico aproximado del área debajo de la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6] utilizando 5 trapecios?

El área aproximada es 7.26, obtenida al evaluar la fórmula general con los valores de f(x) correspondientes al intervalo [1, 6].

¿Qué significa el resultado numérico obtenido y cómo se interpreta en el contexto del problema?

El resultado numérico de 7.26 representa una aproximación del área que queda debajo de la gráfica de la función f(x) = √x en el intervalo [1, 6]. Es importante recordar que esto es solo una aproximación y no el valor exacto.