Projeto e Análise de Algoritmos - Aula 09 - Limite inferior para o problema de ordenação
Summary
TLDRThis video script delves into the concept of upper and lower bounds in algorithm analysis, particularly for sorting algorithms. It explains how upper bounds, or the maximum time an algorithm could take, are often improved upon with new discoveries. The script emphasizes the importance of lower bounds, the minimum number of operations required to solve a problem, and their role in determining an algorithm's efficiency. Using decision trees to represent sorting algorithms, the video illustrates the process of comparison-based sorting and concludes with a mathematical proof that any comparison-based sorting algorithm must perform at least omega(n log n) comparisons in the worst case.
Takeaways
- 📊 The video discusses the concept of lower bounds in algorithm analysis, specifically focusing on the problem of sorting.
- 🔢 A lower bound, or lower limit, is the minimum number of operations an algorithm must perform to solve a given problem.
- 🌐 The video introduces the idea of decision trees to represent sorting algorithms, which can be binary or even ternary.
- 🌳 Decision trees are used to visualize the sequence of comparisons made by a sorting algorithm during its execution.
- 📉 The height of a decision tree corresponds to the worst-case number of comparisons an algorithm must make, which is a key factor in determining its efficiency.
- 📚 The video explains that any comparison-based sorting algorithm must perform at least \( \Omega(n \log n) \) comparisons in the worst case.
- 🔄 The script uses the example of insertion sort to demonstrate how a decision tree represents the sorting process and the number of comparisons made.
- 🔢 It is shown that the number of leaves in a decision tree must be at least \( n! \) (n factorial) for it to be able to sort any arbitrary sequence of n elements.
- 📘 The video derives the formula \( n! \leq 2^n \) to establish a relationship between the number of comparisons and the height of the decision tree.
- 🎓 The conclusion is that any comparison-based sorting algorithm must perform at least \( \Omega(n \log n) \) comparisons in the worst case, which is a fundamental result in the analysis of sorting algorithms.
Q & A
What is the main topic discussed in the script?
-The main topic discussed in the script is the concept of upper and lower bounds in algorithm analysis, specifically in relation to sorting algorithms.
What are the two types of bounds mentioned in the script?
-The two types of bounds mentioned are the upper bound, which indicates the worst-case scenario for an algorithm, and the lower bound, which represents the minimum number of operations necessary for any algorithm to solve a given problem.
What is the significance of comparing algorithms to their upper and lower bounds?
-Comparing algorithms to their upper and lower bounds helps in evaluating the efficiency of the algorithms, determining if they are optimal, and understanding their performance limits.
Why are decision trees used to represent sorting algorithms in the script?
-Decision trees are used to visually represent the sequence of comparisons made during the execution of a sorting algorithm, which helps in analyzing the number of operations performed.
What does the height of a decision tree signify in the context of sorting algorithms?
-The height of a decision tree represents the number of comparisons made in the worst-case scenario of a sorting algorithm.
How are the concepts of 'Big O' notation and factorial related in the script?
-The script relates 'Big O' notation to factorial by establishing that the number of comparisons in a sorting algorithm must be at least factorial (Ω(n!)), and at most 2 to the power of the height of the decision tree.
What is the significance of the number of leaves in a decision tree for a sorting algorithm?
-The number of leaves in a decision tree corresponds to the number of possible permutations of the elements being sorted, which must be considered for the algorithm to be able to sort any input sequence.
What is the lower bound for the number of comparisons in a sorting algorithm based on the script?
-The lower bound for the number of comparisons in a sorting algorithm is ω(n log n), which means that any comparison-based sorting algorithm must perform at least this number of comparisons in the worst case.
How does the script demonstrate that all possible permutations must be considered for a sorting algorithm to be complete?
-The script demonstrates this by showing that if all leaves (representing all permutations) are present in the decision tree, then the algorithm can sort any input sequence.
What is the relationship between the height of a binary decision tree and the number of comparisons in the worst case?
-The relationship is that the number of comparisons in the worst case is equal to the height of the binary decision tree, which is why minimizing the height is important for optimizing sorting algorithms.
Outlines
📐 Introduction to Algorithm Analysis
This paragraph introduces the concept of upper and lower bounds in algorithm analysis. It discusses how these bounds are used to evaluate the efficiency of sorting algorithms. The upper bound, or 'ceiling', represents the worst-case scenario for an algorithm, while the lower bound, or 'floor', is the minimum number of operations required to solve a problem. The paragraph also touches on the importance of comparing algorithms to find the most efficient one, and how decision trees can represent the steps an algorithm takes to sort a sequence of numbers.
🌳 Decision Trees and Sorting Algorithm Analysis
The second paragraph delves into the use of decision trees to analyze sorting algorithms. It explains how each node in the tree represents a comparison between elements, and how the structure of the tree can indicate the efficiency of the sorting process. The paragraph provides an example using the insertion sort algorithm with a set of three elements, demonstrating how the algorithm compares and orders the elements step by step, as represented by the decision tree.
🔢 Lower Bound Calculation for Sorting Algorithms
This paragraph focuses on calculating the lower bound for the number of comparisons needed by any sorting algorithm. It explains that the number of leaves in a decision tree corresponds to the number of permutations that must be considered to ensure the algorithm can sort any given input sequence. The paragraph also discusses the relationship between the height of the decision tree and the number of comparisons, leading to the conclusion that the lower bound for any comparison-based sorting algorithm is at least the factorial of the number of elements being sorted.
📉 Conclusion on Sorting Algorithm Complexity
The final paragraph concludes the discussion on the complexity of sorting algorithms. It reinforces the idea that any comparison-based sorting algorithm must perform at least omega(n log n) comparisons in the worst case. The paragraph summarizes the key points made in the previous sections, emphasizing the importance of understanding both the upper and lower bounds when analyzing the efficiency of sorting algorithms.
Mindmap
Keywords
💡Algorithm Analysis
💡Upper Bound
💡Lower Bound
💡Decision Tree
💡Sorting Algorithm
💡Comparison-Based Algorithm
💡Insertion Sort
💡Permutations
💡Big O Notation
💡Optimality
💡Worst-Case Scenario
Highlights
Introduction to upper and lower bounds in algorithm analysis, specifically for sorting algorithms.
Explanation of upper bounds as the worst-case scenario for algorithm performance.
Lower bounds represent the minimum number of operations required by any algorithm to solve a problem.
The concept of asymptotically optimal algorithms that reach the lower bounds of complexity.
Sorting algorithms that can achieve the upper bound, such as QuickSort and MergeSort.
Discussion on whether there are faster algorithms based on comparisons than those currently known.
Comparison-based sorting algorithms must perform at least omega(n log n) comparisons.
Illustration of sorting algorithms using decision trees to represent the sequence of comparisons.
Example of Insertion Sort using a decision tree to demonstrate the process of element comparisons.
Observation that the number of leaves in a decision tree corresponds to the number of permutations.
Explanation that an algorithm must perform at least n factorial comparisons to ensure all permutations are covered.
Derivation of the lower bound for the height of decision trees and its relation to the number of comparisons.
Calculation of the lower bound for the number of comparisons in the worst case for sorting algorithms.
Use of logarithms to derive the lower bound for sorting algorithms based on the number of leaves in a decision tree.
Final conclusion that any comparison-based sorting algorithm must perform at least omega(n log n) comparisons in the worst case.
Practical applications and implications of understanding upper and lower bounds in algorithm design and analysis.
Closing remarks summarizing the importance of the lecture on sorting algorithms and their theoretical foundations.
Transcripts
[Música]
ah
[Música]
hola pesos beijing 2 nos habla número 9
del proyecto y análisis de algoritmos en
esa ola vamos a ver un límite inferior
pero el problema de ordenanza
como siento mostrar una introducción a
una cuota superior y una cota inferior
con más representación de árboles de
decisión para algoritmos de ordenación y
finalmente a cota inferior para
ordenación
las notas son normalmente utilizada para
indicar un límite superior o llamada
también de cota superior de problemas la
cota superior de un problema posibilidad
si alguien descubrir un auto algoritmo
mejor a cotas superiores como si fuese
un recorrido mundial es un recurso
mundial por ejemplo por acogida el link
mejorado tal vez cada momento un mismo
conteste aparece un nuevo algoritmo el
mejor o el hípico mayor la cota superior
puede simular
a cota superior el tiempo de un mejor
algo mismo algoritmo conocido para el
problema
y hago lo que queda cota inferior a cota
inferior un número de operaciones mínimo
que es necesario facer por cualquier
algoritmo para resolver un determinado
problema
vamos por aquí a que esa cota inferior
y aunque para un problema está bien
propuso un algoritmo nuevos que supone
que el yate es el momento de un mejor
entonces esa cuota superior más después
llegó bien que mejoro aínda máis
algoritmo así como experto dakota
inferior llegó otro que fui como experto
llegó otro que sí como experto hace que
uno consiguió un algoritmo que atinxe a
cota inferior cuando tenemos un
algoritmo que tiene a ti ya cuota
inferior dice mosqueo algoritmo
asintóticamente 8
ya vimos las aulas anteriores varios
algoritmos de ordenación
existen y vimos que existen algoritmos
que pueden ordenar en en números
no tiempo de en el oído
por ejemplo un verso gibson alcanzan ese
límite superior no vio el caso ellison
da orden en el lobby del to quit son
alcanzan a media hembra en que el ítem
un peor caso en ese caso el líder de
orden cuadra chica
todos estos algoritmos que vivimos las
aulas anteriores hipster merzouk week
short el listón algoritmos vaciados en
comparaciones
la pregunta es será que existen
algoritmos mayores que pasan y son más
rápido
la respuesta en su algoritmo se basa en
comparaciones aunque que un algoritmo
basado en comparación es un algoritmo
básico de comparaciones elite en un
flujo de control y que apenas depende de
los resultados las comparaciones entre
los elementos del vector
vamos mostrarte coke de algoritmo basado
en comparación escoger algoritmo de
ordenación basado en comparaciones debe
efectuar omega de enél o idn
comparaciones no vio el caso eso implica
como ya vimos antes que un mentor y un
short son asintóticamente óptimos porque
ellison da orden en el orden
para demostrar la cota inferior de los
algoritmos de ordenación vamos a
representar esos algoritmos por marboré
binaria decisión podría ser ternario
también en este caso vamos a mostrar con
árbol binario
vamos a representar un árbol binaria de
decisión un algoritmo a
de ordenación arbitrario cualquier y
vamos tener los elementos de s
del vector que va a ser ordenado mucho
más de a un adn esa va a ser la
secuencia arbitraria de números que
vamos a la entrada de algoritmo
aunque quedemos ternada alborear me va a
ser más o menos de ese tipo de aquí
vamos a ser pues nos unos internos de
arborización ser rotulados por pares de
elementos la secuencia entre voltaire
cada no fighter un par ahí hay otro con
los elementos la secuencia hacer y
representa una comparación que fey tapes
por ese algoritmo de ordenación como por
ejemplo aquí tenemos uno en que estás
hablando que estamos comparando aún con
a dos
cada una las aristas de uno eso tú la da
por menor o igual o mayor
entonces aquí tenemos por ejemplo menor
igual y aquí mayor
cada follan de sangre rotulada por una
permutación de una tn que sería
permutación producida pero algoritmo
como salida cuando esa falla ha tenido
todo aquí tenemos un ejemplo hasta ahí
las vais en un 32 11 ella primero va a
estar aún después a tres y después a dos
esa va a ser a orden
final
esto lo ordenado va a tener esa
secuencia
o que que va a indicar a arbolé árbol
indica orden en que use elementos de
secuencias son comparados durante la
ejecución de ese algoritmo a un rótulo
deja isla árboles va a corresponder a
primera comparación efectuada pero
algoritmo a yacía superior izquierda
baja y se describe las comparaciones
subsecuentes supongo que eso de aquí fue
verdad que el elemento ahí fue menor o
igual que elementos j
ahora sí veamos un ejemplo particular de
esa figura de aquí mostrará algo de
binaria decisión su algoritmo orden de
ordenación por inserción visto a las
aulas anteriores para un conjunto de
tres elementos entonces usted a un add
ons
y atrás
demostréis elementos ciento
i
suponga que tenemos sus siguientes tres
elementos 55 75 y 31 s a1 a2 y a3 co que
la primera comparación frita pero
algoritmos de ordenación la primera
comparación feita va a ser un 55 con un
75
comparamos los 55 puntos 75 voy a
preguntar si es menor o igual en menor o
igual a ok no ahí por ese lado
por un lado izquierdo de loja mosquera
después de eso vamos a comparar un 75
punto 31
vale preguntar 75 el menor igual o mayor
que 31 a gente ve que 75 es mayor que 31
entonces por ese camino de aquí
l'ebre en qué algoritmo de ordenación
por inserción el iva ya empujando los
elementos en modo de dejan un lugar
cierto un elemento que está utilizando
no tiene en ese caso va a intentar
colocar un lugar sede toalla ve y guagua
31.75 la próxima comparación que el ifai
fase
verificar si 55 es menor o igual o mayor
que 31 en ese caso 55 es mayor que 30 y
aumentan va a ir por ese lado árbol
el hombre en que ese 31 verdad o
elemento a través de esa secuencia
lo que podéis hacer va a empujar un 55
para hacer espacio para el 31 y
finalmente para colocarlo algoritmo
orden autorización va a colocar un 31 en
un lugar 70 water 31 que es un elemento
a 3s secuencia 55 elemento a 1 275 que o
elemento a 2 veis aquí quien apoya
exactamente tenemos esa secuencia
mostrada aquí primero estado a triste
pues aún y después shadows tal vez ya
que un árbol y también agentino un
modelo no coloca a esas cosas laborismo
internas de cada empuje o elemento
empuje u otro elemento apenas las
comparaciones fechas durante la
ejecución del algoritmo
una observación importante es ver
cuantas joyas existen en esa árbol si
hallamos todas las joyas tenemos seis
joyas que serían la verdad y tres
actores talento cada una de las tres
factorías que iguala seis permutaciones
de ses tres elementos aparecen las joyas
espera sé que un mismo contesta para un
n arbitrario ser tanto para vinci como
usted 20 factorial debemos tener 20
factorial folias
si una permutación no aparece en todo
algoritmo no conseguiría ordenar la
correspondencia y secuencia de entrada
hacerte es importante notar como primero
sabemos que ten que ter n factoría o
fobias pero menos
en toda labor y que representa un
algoritmo de ordenación debe tener por
lo menos en el factor ya fallas que
acabéis de fallar
una u otra cosa importante
porque va a ser un número de
comparaciones que el algoritmo vai facer
si observamos a árbol en el peor de los
casos exactamente a la altura del árbol
de decisión en este caso cuántas
comparaciones lo peor casos son feitas
28,23 mayor número de comparaciones 3
que es altamente altura de árboles et
veis en que la cantidad de joyas de un
árbol de altura 32 elevado a 36 árboles
se completa en la teoría
2 468 voy a ser 2 elevado a altura
si es la serie completa
continuando con a nosa unos o cálculo de
cuán cuánto de un número de
comparaciones no peor caso
y ya dijimos que un número de
comparaciones está muy relacionada con
altura da árbore decisión así si
calculamos un limitante inferior para
altura de árboles decisión lo algoritmo
también tenemos un limitante inferior
para complejidad y tu peor caso de
algoritmo
entonces vamos a probar que la cuota
inferior pero los algoritmos de ordenas
han vaciado en todas esas observaciones
anteriores un número de folios de un
árbol y binaria decisión de autor acá
debe ser menor o igual a 2 haga vimos y
en completa armonía fighter
doy saga folles allen hizo vimos que
toda agua que representa un algoritmo de
ordenación debe tener pelo - n factor
yanfon es ok entonces aunque estemos en
el final un número de fallas debe ser
mayor o igual a n factorial y debe ser
menor o igual a 2 elevado al set
ok tenemos exámenes de ecuación propia
de aquí resumiendo m factorial debe ser
menor o igual a 2 elevado a k
aplicando el login en ambos lados como
usted lo que tiene factorial en menor o
igual al logo de 2 elevado haga eso de
ahí nada esto es lo que tenemos aquí a
que haga debe ser mayor o igual al logo
idn factorial
ok maestro que tiene factorial a uno
quería demostrar que a cota inferior
para los algoritmos de ordenación de
omega de enero viene
yo no tengo aquí nada de en él o bien
tengo en el factor y aunque que facilitó
vamos ver un más de grilla que podemos
usar de modo a llegar en en él o bien
sabemos que en el factor de agua
cuadrado es igual a productor y adn - y
veces y más un desde igual a cero
n menos uno
y eso es mayor o igual a productor ya de
igual a una n dn o que igual a n elevado
a n para entender esa parte de aquí
vamos a hacer un exemplo simples supone
que yo quiero calcular un factor ya te
quiero calcular 6 factorial elevado al
cuadrado 6 factoría o elevado cuadrado
un mismo que 6 factoría 226 factorial es
cierto
aplicando esto de aquí hay en tipos y
ver una verdad ya se podría colocar aquí
6 astoria o que igual a 6 veces 5 veces
cuatro veces tres veces dos veces 1 y 6
factorial también igual a 1 veces dos
tres cuatro o cinco veces 6 hacer lo que
hace está colocando un de manera
decreciente y otro de manera creciente y
exactamente que está en esa fórmula de
aquí si igual a cero agency bayter n y
aquí vamos a hacer un pose ya que íbamos
a hacer seis veces un que esa primera de
aquí chihuahua un aquí para mostrar 6
menos uno
5 y aquí vamos tener 25 meses 20 días y
podrían y soy mayor o igual a productor
ya de igual a una nn si hay agency files
por separado si podría fallar que seis
meses son en mayor y guagua 65 meses
sois el mayor igual a 6
y si fuésemos a multiplicación de todas
ellas eso de equipo y dad says' elevado
a 6 que se han elevado a n
todo está más o menos la intuición de
esa fórmula
ok ahora que ya sabemos lo que significa
en el factorial podemos sustituir en esa
fórmula de aquí benefactor ya la gente
sabe que el factor ya va cuadrado es
mayor o igual que en elevado de n 11 ya
en el factorial es mayor o igual a n
elevado a n medios como sustituir eso
aquí un consumo de tiempo es mayor o
igual a los idn factor ya set y ese
mayor igual al lobby de n elevado n
medios estamos sustituyendo benefactor
lladó por en elevado a n / 2 ok y x
propiedades y tu blog y agentes point
colocan a frente vn medios y verificar
entonces en medios login
y llegamos una cosa similar o que hay en
si quería
o sea que tvn en mayor o igual
a nm ellos lo viven porque quiere decir
que tvn omega n login
creo que la conclusión de todo hizo que
todo algoritmo de ordenación basado en
comparaciones debe facer pelo - debe
facer por lo menos omega d en el lobby
de n comparaciones no peor caso
y todo eso fui a nosa aula número no
olvide proyecto y análisis y algoritmos
espero que no se estén y han gustado y
ya te aproxima hoy
[Música]
2
[Música]
[Música]
[Música]
y
関連動画をさらに表示
Algorithms Lesson 6: Big O, Big Omega, and Big Theta Notation
L-1.3: Asymptotic Notations | Big O | Big Omega | Theta Notations | Most Imp Topic Of Algorithm
Lecture 25 : Binary Search Tree (BST) Sort
Asymptotic Notation | Big O Notation | Omega Notation | Big Theta Notation | Most Imp. in Algorithm
Projeto e Análise de Algoritmos - Aula 10 - Ordenação em tempo linear
Quick Sort - Computerphile
5.0 / 5 (0 votes)