Explicación del Teorema de Bolzano
Summary
TLDREn este video se explica de manera sencilla el teorema de Bolzano y cómo aplicarlo en funciones continuas. El presentador utiliza ejemplos visuales y claros para demostrar que si una función es continua en un intervalo y sus valores en los extremos tienen signos opuestos, entonces la función debe cruzar el eje X al menos una vez en ese intervalo. A través de un ejemplo práctico, el video muestra cómo encontrar el intervalo y verificar la continuidad, lo que facilita la comprensión del concepto para los estudiantes de matemáticas.
Takeaways
- 😀 El tema principal es la aplicación del teorema de Bolzano en funciones continuas.
- 📏 Se explica que una función debe ser continua en un intervalo cerrado para aplicar el teorema.
- 🟢 La función tiene que cambiar de signo en los extremos del intervalo para que el teorema sea aplicable.
- 🔄 El teorema garantiza que la función cruzará el eje X al menos una vez dentro del intervalo, si cumple con las condiciones.
- 📊 Se presenta un ejemplo donde la función es f(x) = x + seno(x), y se busca si corta el eje X.
- 💡 Las funciones que se suman, como x y seno(x), son continuas por separado, por lo que su suma también lo es.
- ✅ Se escoge un intervalo, en este caso [-10, 0], y se demuestra que la función cambia de signo en dicho intervalo.
- 🔍 Se utiliza el valor cero, que da un resultado positivo, y el valor -10, que da un resultado negativo, demostrando el cambio de signo.
- 📝 El teorema de Bolzano concluye que en el intervalo [-10, 0] la función debe cruzar el eje X al menos una vez.
- ✏️ La explicación incluye un recordatorio para utilizar números fáciles al escoger intervalos y calcular los signos.
Q & A
¿Cuál es el tema principal del video?
-El tema principal del video es la explicación del teorema de Bolzano y cómo aplicarlo para encontrar puntos donde una función continua corta el eje X.
¿Qué condiciones deben cumplirse para aplicar el teorema de Bolzano?
-Las condiciones son: 1) La función debe ser continua en un intervalo cerrado, y 2) Los signos de la función en los extremos del intervalo deben ser diferentes.
¿Qué dice el teorema de Bolzano acerca de las funciones continuas?
-El teorema de Bolzano establece que si una función es continua en un intervalo y toma valores de signo opuesto en los extremos de dicho intervalo, entonces debe haber al menos un punto en el que la función corta el eje X, es decir, donde la función es igual a cero.
¿Qué ejemplo se utiliza para ilustrar el teorema de Bolzano?
-Se utiliza el ejemplo de la función f(x) = x + sin(x) para demostrar cómo se aplica el teorema de Bolzano y encontrar un intervalo donde la función corta el eje X.
¿Por qué la función f(x) = x + sin(x) es continua?
-La función es continua porque es la suma de dos funciones continuas: x, que es una función lineal, y sin(x), que es una función trigonométrica continua.
¿Qué intervalo se elige para aplicar el teorema de Bolzano en el ejemplo?
-Se elige el intervalo [-10, 0] porque al evaluar la función en estos puntos, se obtiene un valor negativo en -10 y un valor positivo en 0, lo que cumple con la condición de signos opuestos.
¿Cómo se sabe que la función corta el eje X en el intervalo [-10, 0]?
-Dado que la función es continua y los signos de la función en los extremos del intervalo son opuestos, el teorema de Bolzano garantiza que hay al menos un punto en el intervalo donde la función es igual a cero, es decir, corta el eje X.
¿Es necesario conocer el valor exacto donde la función corta el eje X?
-No es necesario conocer el valor exacto. El teorema de Bolzano solo garantiza que existe un punto donde la función corta el eje X, pero no proporciona el valor exacto de ese punto.
¿Por qué es importante escoger intervalos donde la función cambie de signo?
-Es importante porque el teorema de Bolzano solo se aplica si los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos. Esto asegura que hay un cruce por el eje X.
¿Qué recomendación se da al escoger los intervalos para aplicar el teorema de Bolzano?
-Se recomienda escoger números fáciles de manejar, como 0 o números enteros cercanos, para facilitar los cálculos y verificar rápidamente los signos de la función en los extremos del intervalo.
Outlines
📚 Explicación del Teorema de Bolzano
Este párrafo introduce el teorema de Bolzano, que se aplica a funciones continuas en un intervalo cerrado. Se explica que si una función es continua y tiene diferentes signos en los extremos de un intervalo, entonces existe un punto intermedio donde la función cruza el eje x, es decir, el valor de la función es cero. Se describe una gráfica de ejemplo y se enfatiza la importancia de entender este teorema para resolver problemas de matemáticas fácilmente en exámenes.
🧮 Aplicación del Teorema de Bolzano en una Función
Aquí se presenta un ejemplo práctico del teorema de Bolzano usando la función f(x) = x + seno(x). Se demuestra que esta función es continua y que en el intervalo [-10, 0], los signos de la función cambian, cumpliendo así las condiciones del teorema. Esto implica que la función debe cruzar el eje x al menos una vez en ese intervalo. Se menciona que el proceso de encontrar el intervalo es sencillo, y se concluye la explicación con una invitación a dejar comentarios en el próximo video.
Mindmap
Keywords
💡Teorema de Bolzano
💡Función continua
💡Intervalo cerrado
💡Signos opuestos
💡Eje x
💡Función seno
💡Dominio de la función
💡Intervalo de aplicación
💡Cruce con el eje x
💡Funciones elementales
Highlights
El teorema de Bolzano dice que si una función es continua en un intervalo cerrado y los signos de los extremos son diferentes, entonces existe un punto donde la función cruza el eje X.
Es importante que la función sea continua para poder aplicar el teorema de Bolzano.
El signo de los valores en los extremos del intervalo debe ser diferente para aplicar correctamente el teorema.
Un ejemplo gráfico demuestra que una función continua en un intervalo debe cruzar el eje X al menos una vez si los signos de los extremos son diferentes.
La función continua no puede tener saltos bruscos o discontinuidades.
Para aplicar el teorema de Bolzano, se debe verificar que los signos en los puntos extremos del intervalo sean opuestos.
El ejemplo de función usado es f(x) = x + sin(x), una suma de funciones continuas.
La continuidad de la función en todo el dominio se confirma por la suma de funciones continuas.
El intervalo usado para demostrar el teorema se selecciona estratégicamente para asegurar que los signos en los extremos sean diferentes.
La función en x = 0 es positiva, y al probar con x = -10, se obtiene un valor negativo, lo que cumple con las condiciones del teorema.
Bolzano garantiza que existe al menos un valor c en el intervalo dado donde f(c) = 0, es decir, la función cruza el eje X.
El teorema de Bolzano no especifica cuántas veces la función puede cruzar el eje X, pero asegura que lo hará al menos una vez.
El proceso de encontrar un intervalo donde se cumple el teorema es esencial para aplicar correctamente el método.
Es importante escoger números fáciles para evaluar los signos de la función en los extremos del intervalo.
El ejemplo muestra que una función continua como f(x) = x + sin(x) cruzará el eje X en el intervalo seleccionado, lo que demuestra el teorema de Bolzano en acción.
Transcripts
hola qué tal cómo estamos hoy el día 16
y yo os vamos a enseñar a aplicarlo
entender el tren árbol
generalmente esto lo abre decisión del
bachillerato es un tema muy fácil para
no pasar a la historia por decir en
blanco y en botella es leche básicamente
pero suele caer de vez en cuando los
exámenes si es importante que lo
entendáis lo que quiere decir
primero todo vamos a ver qué nos cuenta
gozando bolsa no denunciar el siguiente
teorema vale dice que si una función
si una función
es continuo
en un intervalo cerrado a ver
es la primera hipótesis vale la primera
condición que necesita para poder
aplicarse
el signo
de fedea es decir tenemos una función
hacemos eje de este valor y nos da un
signo diferente al hacer es el cdb
es decir son dos hipótesis con un lado
que sea continua y por el otro lado que
los signos de federal y de cdb sean
diferentes a partir de ahí cuando la
conclusión que saca bozano con una
práctica lo vais a ver es bastante
sencillo imaginar que tenemos la
siguiente gráfica y decimos que ya está
aquí expresar vale
y esto es el cda y luego tenemos aquí ve
y por aquí el cdm
entonces una ingestión del valor la
función según bouza no está siendo
continuo es decir me pega saltones así
todas mis cosas es decir como una
sección en tercera eso no podemos
levantar el poder y de la del papel vale
para unir los puntos entonces le dice
botones que por narices entre medias de
ahí debe la función tendrá que cortar al
menos una vez
al eje x por lo menos una vez lo igual
se monta que una montaña rusa y sube y
baja 15 mil veces pero como poco una vez
porque como por ciento continua no
tenemos ninguna manera de llegar de aquí
hasta aquí sin pasar por por el eje de
las x es decir visto matemáticamente si
una función es continua nave y el signo
de cda es diferente del signo de f debe
entonces
existen
existe un c dentro del intervalo ave con
ofrece igual a cero es decir
se está cortando a deja de las x parece
es el punto donde la función corta al
eje de las x yo creo que lo que dice es
bastante sencillo vamos a abrir un
ejemplo en el que os voy a mostrar cómo
se aplica valerme a mover un poquito con
las circulares ver así lo que es el
enunciado de bolsa naval y algo que pone
un ejemplo para que veáis que aplicando
es bastante sencillo
y bueno aquí
y vamos a aplicar el tener avanzan a la
siguiente función
imaginar esta función el ceder x
es igual a que es más seno de x
esta función corta el eje x es decir si
pasa por algún punto
del eje x
es decir por aquí
mírate la voz hay que demostrar dos
cosas la función sea continua en el
intervalo que vamos a usar y que además
los signos también vale para poder
describir directamente la conclusión
entonces esto es básicamente como decir
grande embotellador perfecto manzana
dice que es leche pues el 2 mismo
entonces tenemos que buscar que la
función sea continuo por un lado y por
el otro en parte que los signos en el
intervalo que nosotros escojamos que no
tenemos que inventar sean diferentes
lo primero de todo generalmente no
generalmente las funciones que nos van a
dar es gonzalo son funciones con dominio
todos los reales sólo tienen pocos
problemas salen entonces si te das
cuenta esto es una suma de funciones
continuas porque la función x a secas es
una función continua porque es la línea
esta bisectriz y por el otro lado la
función seno de x que es la de la
función honda también es continua así
que al sumarlas no pasamos a afectar la
continuidad y podemos decir
la primera condición se cumple siempre
es decir fx es continua
en todo el reino
y ya tenemos la primera condición que
tenemos que es blanco y la segunda
condición nos pide que en el intervalo
que escojamos que vemos comentar alguna
manera en plan inteligentemente sea los
signos también vale el truco que yo uso
realmente es primero piar en 0 por el 0
es paciente que alguna siempre verdad de
hecho ahora estoy pensando en esta
dejación válida demasiado fácil vamos a
añadir aquí en 1 vale si no me lo
permitís con el tercero será el
resultado de golpe entonces ejercicio no
tenía mucho uniste que vale no pasa nada
la síntesis de continuas y ese también
años no vale entonces a lo que íbamos
para escoger el intervalo porque
solamente lo que nos piden se encuentra
un intervalo donde se cumpla gonza no
hay que números fáciles vale para
intentar cómo conseguir que el signo
también se rebajó siempre es primero
hablar con el cero que es fácil de
sustituir entonces lo que hacemos es
pruebo con el cero
si la x 0
efe de cero
nos está dando 0 más en el 011 verdad
vale pues ya tenemos que en el 0 es
positiva
ahora que creo que debemos encontrar una
equis que al meter la función me saqué
un número negativo en este caso por
ejemplo viendo que el seno de x como
muchos nuestro valores entre menos uno y
uno para contaros que el seno el seno de
cualquier números nos devuelve números
que como mucho están como poco entre
menos uno y como mucho es muy no vale
entonces si cogemos un número muy
negativo por ejemplo el menos 10
lo que nos va a suceder es que el f10 va
a ser negativo casi seguro porque si no
se le dará menos 10 19 más el seno del
-10 que ni siquiera hace falta calcular
los valores tienen menos 10 como mucho
valdrá 1 y al sumar será menos 9 si
estando negativo entonces ya hemos
encontrado mi intervalo
según bolzano
existe un c que pertenece al intervalo
menos 10 0 con fcc igual a 0 si os dais
cuenta gonzalo nos dice cuánto enlace es
que entre menos 10
y 0 la función seguro que corta al menos
una vez y bueno es este el dibujo igual
hace otra cosa pero seguro que hay un c
pues como poco en el que la función
corta de feval como veis es bastante
sencillo la amiga complicación
finalmente se encontraría intervalo pero
bueno al fondo también se hace la cuenta
de la vieja precisamente él numerosos
cables para que no encontráis un número
positivo determinante igual y nada con
eso terminaba la explicación de
agredirnos sobre dónde estaba que la
camiseta ya nos despedimos para el
siguiente vídeo y lo de siempre
comentarios creencias hablan
describirías abajo un saludo
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