02. Modelo poblacional, población de bacterias, Ecuaciones Diferenciales

MateFacil

9 Mar 201807:13

Summary

TLDREn este vídeo de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver un ejercicio utilizando el modelo de población simple. Se calcula la constante 'k' para una colonia bacteriana que duplica su población cada hora, partiendo de 1000 bacterias. Se determina la población a 1.5 horas y se calcula el tiempo para que la población alcance 4000 bacterias. El vídeo es una guía paso a paso para entender el crecimiento exponencial y sus aplicaciones prácticas.

Takeaways

😀 El vídeo trata sobre el uso del modelo de crecimiento poblacional exponencial para resolver ejercicios relacionados con bacterias.
🕵️‍♂️ Se presenta un ejercicio que comienza con una población inicial de 1000 bacterias y se duplica después de una hora.
🔍 Se calcula la constante de crecimiento k, encontrando que k es igual al logaritmo natural de 2.
📚 Se utiliza la fórmula P(t) = P_0 * e^{kt} para determinar la población en un tiempo t, donde P_0 es la población inicial y k es la constante de crecimiento.
⏱️ Se resuelve el inciso A del ejercicio, que pide calcular la población después de una hora y media, resultando en aproximadamente 2828 bacterias.
📉 Se redondea el resultado a 2828 bacterias, ya que se asume que el número de bacterias debe ser un número entero.
🔢 Se resuelve el inciso B del ejercicio, que busca el momento en que la población alcanza 4000 bacterias, y se encuentra que ocurre después de 2 horas.
🌐 Se menciona un ejercicio adicional sobre la población mundial, que se abordará en un próximo vídeo.
📈 Se invita a los espectadores a intentar resolver el ejercicio sobre la población mundial y a comentar sus dudas o sugerencias en el canal.
👍 Se anima a los espectadores a interactuar con el canal a través de likes, suscripciones y compartir el contenido.

Q & A

¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular la población en el modelo simple de crecimiento poblacional?
-La fórmula utilizada es P(t) = P0 * e^(kt), donde P0 es la población inicial, e es la base del logaritmo natural, k es la constante de crecimiento y t es el tiempo.
¿Cómo se determina la constante k en el modelo de crecimiento poblacional?
-La constante k se determina al dividir el número de bacterias al final del periodo por el número de bacterias al inicio, elevado al poder del tiempo transcurrido. En este caso, k = ln(2000/1000) = ln(2).
¿Cuál es el valor de la constante k para el modelo de crecimiento poblacional descrito en el guion?
-El valor de la constante k es el logaritmo natural de 2, ya que la población se duplica cada hora.
¿Cuál es la población de bacterias después de una hora y media según el modelo?
-La población de bacterias después de una hora y media es de 2828 bacterias, redondeado al entero más próximo.
¿Cómo se calcula la población en el momento en que la cantidad de bacterias es de 4000?
-Se iguala la fórmula P(t) = 4000 y se resuelve para t, encontrando que t = 2 horas, lo que significa que la población alcanza los 4000 bacterias después de 2 horas.
¿Qué significa el logaritmo natural de 2 en el contexto del modelo de crecimiento poblacional?
-El logaritmo natural de 2 (ln(2)) representa la constante de crecimiento k en el modelo, indicando que la población se duplica cada hora.
¿Cuál es la importancia de redondear el número de bacterias al entero más próximo en el análisis del crecimiento poblacional?
-Redondear al entero más próximo es importante ya que el número de bacterias es un número entero y no puede tener fracciones en el contexto biológico real.
¿Cómo se relaciona el crecimiento poblacional de bacterias con la ecuación exponencial?
-El crecimiento poblacional de bacterias se relaciona con la ecuación exponencial ya que la población se duplica de manera constante en intervalos de tiempo regulares, lo que se ajusta a una función exponencial.
¿Qué método se utiliza para calcular el logaritmo natural de 2 en el análisis del guion?
-Se utiliza una calculadora científica para calcular el logaritmo natural de 2, aunque se sugiere dejar el resultado en forma de ln(2) para la constante k.
¿Cuál es la tasa de crecimiento poblacional en el ejemplo del crecimiento mundial de 1993?
-La tasa de crecimiento poblacional en el ejemplo de 1993 es de 250,000 personas por día.
¿Cómo se aplica el modelo de crecimiento poblacional al problema de la población mundial en el guion?
-Se aplica el modelo de crecimiento poblacional al problema de la población mundial asumiendo que las tasas de natalidad y mortalidad se mantienen constantes, y se calcula cuándo la población mundial alcanzaría el doble de la población de 1993.

Outlines

00:00

🔬 Análisis de crecimiento poblacional de bacterias

En este segmento, se presenta un ejercicio de modelado de crecimiento poblacional aplicado a una colonia de bacterias. Se describe el proceso de calcular la constante de crecimiento 'k', basado en la duplicación de la población cada hora. Se establece que la población inicial es de 1000 bacterias y se utiliza la fórmula P(t) = P0 * e^(kt) para determinar la población en un tiempo t, donde P0 es la población inicial y e es la base del logaritmo natural. Se calcula el valor de 'k' utilizando la condición de que la población es el doble después de una hora, lo que resulta en k = ln(2). Posteriormente, se aplica esta constante para predecir la población después de una hora y media, obteniendo aproximadamente 2828 bacterias, redondeando el número a un valor entero.

05:00

⏱ Cálculo del tiempo para una población específica

Este párrafo se centra en el cálculo del tiempo que tarda una colonia bacteriana en alcanzar una población de 4000 bacterias, a partir de la fórmula de crecimiento poblacional ya establecida. Se establece una ecuación donde la población deseada (4000 bacterias) se iguala a la fórmula de crecimiento, y se resuelve para encontrar el valor de 't'. Al igualar 4000 a P(t) = 1000 * e^(kt), se simplifica la ecuación y se calcula que t = 2 horas, lo que indica que la población alcanza los 4000 bacterias después de dos horas. Este punto se utiliza para demostrar la rapidez con la que la población bacteriana puede crecer bajo condiciones ideales.

Mindmap

Keywords

💡Población

La palabra 'población' se refiere al número total de individuos de una especie en un área determinada. En el video, la población se refiere a la cantidad de bacterias en una colonia, que es el tema central de la explicación matemática. El guion menciona que la población inicial es de 1000 bacterias y se duplica después de una hora, lo que es crucial para entender el crecimiento exponencial de la población.

💡Modelo de población

El 'modelo de población' es una representación matemática utilizada para describir cómo crece una población a lo largo del tiempo. En el video, se utiliza un modelo simple para resolver un ejercicio sobre la duplicación de una colonia bacteriana, lo que muestra cómo los modelos pueden predecir cambios en la población.

💡Constante k

La 'constante k' es un término en la ecuación del modelo de crecimiento poblacional que representa la tasa de crecimiento de la población. En el guion, se calcula el valor de k para determinar la tasa a la que la población de bacterias se duplica cada hora, lo cual es fundamental para entender el modelo exponencial.

💡Duplicación

La 'duplicación' es el proceso por el cual una cantidad se multiplica por dos. En el contexto del video, la duplicación se refiere al crecimiento de la población bacteriana que se duplica cada hora, lo que es un ejemplo de crecimiento exponencial y es clave para resolver el ejercicio matemático presentado.

💡Ecuación

Una 'ecuación' es una fórmula matemática que expresa la relación entre diferentes cantidades. En el video, se utiliza una ecuación para modelar la población bacteriana y para calcular la constante k, mostrando cómo las ecuaciones son esenciales en la resolución de problemas matemáticos relacionados con la población.

💡Tiempo t

El 'tiempo t' representa el intervalo de tiempo que se está considerando en el estudio de la población. En el video, el tiempo t se utiliza para calcular la población en diferentes momentos, como después de una hora y media, y para determinar cuándo la población alcanzará un número específico, como 4000 bacterias.

💡Logaritmo natural

El 'logaritmo natural' es una función matemática que se utiliza para transformar una cantidad en su exponente en una base de e (la constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). En el video, se aplica el logaritmo natural para despejar la constante k y para resolver la ecuación que relaciona la población con el tiempo.

💡Ejercicio

Un 'ejercicio' es una tarea o problema práctico diseñado para ejercitar la mente o aprender una habilidad. En el video, el ejercicio se refiere al problema presentado para resolver la duplicación de una colonia bacteriana, que sirve para ejercitar las habilidades matemáticas y la comprensión del crecimiento poblacional.

💡Cálculo

El 'cálculo' es una rama de las matemáticas que estudia la variación de las cantidades. En el video, el cálculo se aplica para resolver el ejercicio de la población bacteriana, utilizando técnicas como la descomposición de ecuaciones y el uso de logaritmos para encontrar soluciones numéricas.

💡Redondeo

El 'redondeo' es el proceso de aproximar un número a un valor entero más cercano. En el video, se menciona el redondeo al final del cálculo de la población bacteriana después de una hora y media, lo que ilustra la necesidad de simplificar los resultados matemáticos para que tengan sentido en el contexto real.

Highlights

Introducción al vídeo sobre el modelo de población simple.

Explicación del ejercicio de la colonia bacteriana con una población inicial de 1000.

La población de bacterias se duplica cada hora.

Fórmula para calcular la población en cualquier tiempo t a partir de la población inicial.

Cálculo de la constante k utilizando la fórmula de crecimiento exponencial.

Determinación de la constante k a partir de la población duplicada en una hora.

Cálculo del logaritmo natural de 2 para encontrar el valor de k.

Aplicación de la fórmula para calcular la población después de una hora y media.

Resultado de la población después de 1.5 horas, redondeando al número entero más cercano.

Cálculo del momento en el que la población alcanza 4000 bacterias.

Ecuación para encontrar el tiempo cuando la población es de 4000 bacterias.

Uso del logaritmo natural para resolver la ecuación y encontrar el tiempo t.

Resultado de que la población es de 4000 bacterias después de 2 horas.

Anuncio de un próximo vídeo sobre el crecimiento de la población mundial.

Invitación a los espectadores a intentar resolver el ejercicio antes de ver la solución en el próximo vídeo.

Solicitud de likes, suscripciones y comparticiones de los vídeos.

Oportunidad para los espectadores de hacer preguntas o sugerencias en los comentarios.