畳み込みの仕組み | Convolution

Summary

このビデオでは、数のリストや関数の組み合わせ方として、畳み込みという少し話題に上がることの少ない方法に焦点を当てています。畳み込みは画像処理や確率分布、微分方程式の解析など、多様な分野で応用される重要な概念です。具体的な例を通して、畳み込みの基本的な考え方や計算方法、さらには高速フーリエ変換（FFT）を利用した効率的な計算アプローチまでを解説しています。視聴者は、畳み込みがどのようにして多式の掛け算や確率分布の足し合わせ、画像処理におけるぼかし効果などに応用されるのかを学びます。また、この概念がなぜ数学やコンピュータサイエンスで広く利用されるのかについての理解も深められるでしょう。

Takeaways

• 😀 2つのリストや関数を組み合わせて新しいリストや関数を作る方法を考える
• 😊 ダイスを投げて出目のペアの確率を求める問題では畳み込みの考え方が使える
• 🧐 畳み込みは2つのリストの各要素を組み合わせて新しいリストを作る操作
• 😯 FFTを使うと畳み込みを高速に計算できる(計算量がN^2からNlogNに)
• 😲 畳み込みは画像処理や確率など様々な分野で現れる汎用的な操作
• 🤔 多項式の掛け算をするときにも畳み込みの考え方を使える
• 🤯 FFTで2つの大きな数の掛け算も高速にできる可能性がある
• 😀 小学生が習う大きな数の掛け算も各桁での畳み込みといえる
• 👍 適切に選んだ入力の繰り返しパターンを使うと計算が楽になる
• 💡 畳み込みの定義から逆方向の高速アルゴリズムまで数学的に導出できる

Q & A

畳み込みとは数学的にどのように定義されているのでしょうか?

純粋な数学の文脈では、2つの関数や数列の畳み込みは、一方の関数や数列を反転させた上で、移動平均的に掛け合わせ足し合わせていく操作として定義されます。コンピュータ上の実装では反転することなく計算していることもありますが、この定義が自然に導出される背景があります。

なぜ画像処理で畳み込みがよく使われるのでしょうか?

画像をフィルタリングする際に、画像の各ピクセルの周囲の値を考慮することが多く、このとき窓関数的な小さな配列を画像と畳み込みを取る操作が発生します。ぼかしやエッジ検出など、様々な画像処理効果を畳み込みで実現できます。

畳み込みを高速に計算するアルゴリズムとは何でしょうか?

畳み込みを直接計算すると計算量が二乗オーダーとなりますが、フーリエ変換を利用することで線形オーダーのアルゴリズムを構築できます。これが高速フーリエ変換(FFT)です。畳み込み定理に基づいて導出されます。

畳み込みはなぜニューラルネットに現れるのでしょうか?

畳み込みは、画像認識などの分野で有効なニューラルネットワークの構造の一つです。そこではカーネルがニューラルネットが学習によって最適化されるため、特定のタスクに適したフィルタリング効果を持たせる事ができます。

2つの多項式を掛け算することと畳み込みにはどのような関係がありますか?

2つの多項式を掛け算することは、それぞれの係数の畳み込みと同値です。つまり、多項式の係数を配列として表現すれば、配列同士の畳み込み演算を行うことができます。これに基づいて畳み込みの効率的な計算法が構築されています。

移動平均との関係はどのようなものでしょうか?

1を足して1となる短い配列と長い配列の畳み込みを取れば、その出力は元の長い配列の滑らかなバージョン、つまり移動平均となります。画像処理でのぼかしもこの仕組みを利用しています。

確率分布の足し算と畳み込みにはどのような関係がありますか?

2つの確率変数の確率分布関数を足し算することは、その確率質量関数同士の畳み込みを取ることと等価です。ダイスなどの例で、各出目の確率を配列にしておき、畳み込みを取れば、和の確率分布が得られます。

畳み込みの長さはなぜ元の2つの長さより大きくなるのでしょうか?

純粋に数学的な操作としては、移動平均的な窓関数を動かすイメージの畳み込みではなく、あくまで2つの関数の合成演算と捉えられます。その性質上、出力は入力より大きくなることが起こり得ます。具体的な計算機上の実装では切り取るなどの操作が入ります。

畳み込みを計算する効率的なアルゴリズムの概要を教えてください。

まず入力の数列それぞれに対して高速フーリエ変換(FFT)で周波数空間に変換します。これらを係数のようにしてから成分ごとに掛け合わせます。最後に逆フーリエ変換して時間空間に戻せば、畳み込みが得られます。これにより計算量が二乗オーダーから線形オーダーに改善されます。

小学校で整数の掛け算を習うアルゴリズムと畳み込みにはどのような関係がありますか?

小学校で習う整数の桁ごとの掛け算と桁ごとの足し算をする計算は、各桁での畳み込み演算を行っていると見る事ができます。これに基づいて大きな整数に対しても線形オーダーで実行可能な掛け算アルゴリズムが理論的に存在する事が分かります。