Il TEOREMA di LAGRANGE, spiegato per BENE - Road to Maturità
Summary
TLDRThis video explores Lagrange's Theorem, part of a series on Fermat's Last Theorem and related concepts. It explains the conditions for a function to be continuous and differentiable between two points, A and B, within a closed interval. The theorem states that there exists at least one point where the tangent line is parallel to the secant line connecting A and B. The video also covers the theorem's hypotheses and corollaries, illustrating how a function's derivative being zero implies it is a constant function, and how two functions with the same derivative differ only by a constant.
Takeaways
- 📚 The video discusses Lagrange's Theorem, part of a series on Fermat's and Rolle's Theorems.
- 🔍 The theorem requires a function that is both continuous and differentiable between two precise points, A and B.
- 🚫 The function must not extend infinitely to the left or right, nor have discontinuities or vertical asymptotes within the interval [A, B].
- 📐 The function should be defined on a closed and bounded interval, meaning it should be a single piece with no gaps and include the endpoints.
- 📉 The theorem states that there exists at least one point in the interval [A, B] where the tangent line is parallel to the secant line connecting points A and B.
- 📝 The mathematical formula for Lagrange's Theorem is given by f'(x_0) = (f(B) - f(A)) / (B - A), which represents the slope of the tangent line at x_0.
- 🔑 The slope of the tangent line is crucial, as it must match the slope of the secant line connecting the endpoints of the interval.
- 🔍 The first corollary of the theorem states that if the derivative of a function is zero for all x in [A, B], then the function is constant.
- 🔄 The second corollary indicates that if two functions have the same derivative for all x in [A, B], they are the same function up to a constant difference.
- 📈 The video provides examples to illustrate the theorem and its corollaries, emphasizing the importance of the function's continuity and differentiability.
- 👍 The video concludes by encouraging viewers to support the channel if the content is useful.
Q & A
What is the main topic of the video?
-The main topic of the video is the Lagrange's Theorem, which is part of a series on Fermat's, Rolle's, and Lagrange's Theorems.
What are the conditions for a function to be applicable for Lagrange's Theorem?
-For a function to be applicable for Lagrange's Theorem, it must be continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b).
Why can't a function with discontinuities be used for Lagrange's Theorem?
-A function with discontinuities cannot be used for Lagrange's Theorem because it requires the function to be continuous on the interval [a, b], without any breaks or gaps.
What does it mean for a function to be differentiable on an interval?
-A function is differentiable on an interval if it has a derivative at every point within that interval, meaning there are no sharp corners or cusps.
What is the geometric interpretation of Lagrange's Theorem?
-The geometric interpretation of Lagrange's Theorem is that there exists at least one point on the graph of the function where the tangent line is parallel to the secant line connecting the points (a, f(a)) and (b, f(b)).
What is a secant line in the context of the video?
-A secant line is a straight line that touches the function at two points, in this case, the points (a, f(a)) and (b, f(b)).
What is the mathematical formula that represents the conclusion of Lagrange's Theorem?
-The mathematical formula representing the conclusion of Lagrange's Theorem is f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a), where f'(x) is the derivative of the function at some point x in the interval (a, b).
What does the first corollary of Lagrange's Theorem state?
-The first corollary of Lagrange's Theorem states that if the derivative of a function is zero for every x in the interval [a, b], then the function is constant.
What does the second corollary of Lagrange's Theorem imply about two functions with the same derivative?
-The second corollary implies that if two functions have the same derivative for every x in the interval [a, b], then the functions are the same up to a constant difference.
How can the video help students with exercises related to Lagrange's Theorem?
-The video provides a detailed explanation of the theorem, its conditions, and its implications, along with examples and exercises that can help students understand and apply the theorem.
Outlines
📚 Introduction to Lagrange's Theorem
This paragraph introduces the concept of Lagrange's Theorem as part of a series on theorems, including Fermat's and Rolle's Theorems. It sets the stage by explaining the prerequisites for the theorem: a function that is continuous and defined on a closed interval [a, b], where a and b can be any real numbers. The function should not extend to infinity in either direction and must be continuous without discontinuities or vertical asymptotes within the interval. The paragraph also emphasizes the need for the function to be derivable between points A and B, excluding any 'sharp turns' or 'cusps'. The main idea is that there must be at least one point on the graph where the tangent line is parallel to a given secant line, as illustrated with an example.
🔍 Detailed Explanation of Lagrange's Theorem
This paragraph delves deeper into the conditions and implications of Lagrange's Theorem. It clarifies that the theorem requires the function to be continuous on the interval [a, b] and derivable on the open interval (a, b). The importance of the function not having any non-derivable points within the interval is highlighted, with the exception that the function may not be derivable at the endpoints a and b. The paragraph then presents the theorem's conclusion in the form of a formula, which translates the graphical explanation into a mathematical one. It explains how the slope of the tangent line (the derivative at a certain point) is related to the slope of the secant line connecting points A and B. The corollaries of the theorem are also briefly introduced, stating that if the derivative is zero for all x in [a, b], the function is constant, and if two functions have the same derivative for all x in [a, b], they are the same function up to a constant difference.
📘 Examples and Further Exploration of Lagrange's Theorem
The final paragraph provides examples to illustrate the application of Lagrange's Theorem and its corollaries. It uses the example of two functions with the same derivative to show that they differ by a constant. The paragraph also encourages viewers to find exercises related to the theorem in the video description and to explore the complete playlist on related theorems. It ends with a reminder to support the channel if the content is found to be useful.
Mindmap
Keywords
💡Lagrange's Theorem
💡Function
💡Continuity
💡Derivative
💡Closed Interval
💡Open Interval
💡Secant Line
💡Tangent Line
💡Slope
💡Constant Function
💡Corollary
Highlights
The video discusses the Lagrange Theorem, part of a series on Fermat's Last Theorem, Rolle's Theorem, and Lagrange's Theorem.
The Lagrange Theorem aims to understand the behavior of a function between two precise points without extending to infinity in either direction.
For the theorem to apply, the function must be continuous and defined within a closed and bounded interval.
The function should not have discontinuities or vertical asymptotes within the interval for the theorem to hold.
The theorem requires the function to be derivable between the interval points, without sharp turns or cusps.
The theorem states that there must be at least one point where the tangent line is parallel to a given secant line.
The theorem's hypothesis requires the function to be defined and continuous on a closed interval, and derivable on an open interval.
The theorem's formula translates the graphical explanation into a mathematical expression, relating the slope of the tangent to the secant line.
The first corollary of the theorem states that if the derivative is zero for every point in the interval, the function is constant.
A constant function with a derivative of zero at all points implies a horizontal line.
The second corollary indicates that if two functions have the same derivative over an interval, they differ by a constant.
Examples are provided to illustrate functions that are the same except for a constant difference.
The video includes exercises related to the theorem and links to a playlist of related theorems.
The video encourages viewers to support the channel if the content is useful.
The transcript provides a detailed explanation of the conditions and implications of the Lagrange Theorem.
The theorem and its corollaries are explained in the context of their mathematical significance and practical applications.
The video aims to clarify the theorem's hypotheses and demonstrate its proof through graphical and mathematical representations.
Transcripts
Questo è il video sul Teorema di
Lagrange E fa parte della serie sui
teoremi di Fermat roll Lagrange coscie
trovi la playlist completa qui in alto a
destra o sotto in descrizione Per gli
esercizi sul Teorema di Lagrange trovi
il link a fine video oppure qui sotto in
descrizione il teorema di Lagrange
cerchiamo di capire in soldoni cosa ci
dice prima cosa dobbiamo avere una
funzione che parte da un punto ben
preciso e arriva un altro punto ben
preciso se avete visto anche il video
sul Teorema di Rol e sul Teorema di
Fermat è sempre la stessa storia cioè vi
serve una funzione che parta da un punto
a arrivi a un punto b ma non volete una
funzione che vada avanti all'infinito a
destra o torna indietro a meno infinito
a sinistra quindi per intenderci non vi
va bene una funzione fatta che ne so
così questa roba a sinistra a destra
continua all'infinito Non soddisfa le
ipotesi se proprio proprio volete avere
una funzione del genere dovete limitarvi
a guardarla in un intervallo delimitato
cioè dovete fermare voi mettere delle
barriere in un in un punto b e andare a
osservare soltanto il pezzetto in mezzo
a e b possono essere numeri entrambi
positivi entrambi negativi un positivo
negativo non importa altra condizione è
che FX quindi che la funzione sia
continua quindi non volete una funzione
fatta a pezzi con delle discontinuità
facciamo un esempio una roba del genere
non va bene per il teorema di Lagrange
perché va bene che parte da un punto
Avio impresciso e arriva un punto B ben
preciso Però rimane il fatto che è
spezzata quindi non soddisfa questa
condizione per il tema della grunge
questa roba Non va bene allo stesso modo
non volete una funzione che abbia che ne
so un asintoto verticale una roba del
genere Anche se parte da un punto a ben
preciso e arriva in B che è un altro
punto ben preciso ha una discontinuità
non va bene per il teorema di Lagrange
altra cosa fondamentale volete che la
funzione sia derivabile tra A e B Che
significa non volete che ci siano dei
punti angolosi o delle cuspidi tra Ebbi
che ne so una funzione fatta così non va
bene per il teorema di Lagrange perché
parte da un punto a arriva in B e anche
continua Peccato che qua in cima abbia
un punto angoloso e quindi non è
derivabile e di conseguenza non soddisfa
questa condizione altro esempio non
potete avere una funzione che ha una
cuspide che ne so una roba del genere
non va bene questa è una cuspide anche
qui la funzione sarebbe anche continua
definita su un intervallo a b ma non è
derivabile in quel punto lì e quindi
invalida automaticamente tutto il
teorema queste robe non funzionano
Quindi ammesso che sia continua tra e B
derivabile tra e B quello che vi dice
era granché prendete il punto di
partenza il punto di arrivo e uniteli
con una retta a questo punto siete
sicuri che c'è almeno un punto sul
grafico che ha la retta tangente
parallela alla retta blu per esempio se
vi mettete qui da qualche parte il punto
non è esattamente preciso Però l'idea è
lì in zona c'è la retta tangente che
passa per questo punto qui che è
parallela alla retta blu non è credo sia
una sola nella funzione che ho disegnato
infatti c'è un altro punto che ha la
retta tangente parallela a quella blu
che a questo punto qua la realtà blu Mi
raccomando è quella che ho tracciato
unendo partenza e arrivo non è una retta
tangente quella blu tecnicamente è una
secante perché tocca la funzione almeno
in due punti Le altre due sono tangenti
l'agrario vi dice Guarda sicuramente c'è
almeno un punto dove puoi disegnare la
retta Viola parallela quella blu adesso
che abbiamo visto che cosa significa in
soldoni il teorema E voi state pensando
tutto molto bello ma non è cosa vi serve
facciamo le ipotesi Perché queste
perlomeno vi servono per gli esercizi
prima ipotesi del teorema di Lagrange
avete bisogno che FX sia definita e
continua su un intervallo chiuso e
limitato del tipo ab con le parentesi
quadre Cosa vuol dire intervallo chiuso
e limitato vuol dire che non deve essere
fatto dall'Unione di più intervalli cioè
deve essere un pezzo unico e deve avere
le parentesi quadre per indicare che
prendendo anche i bordi Che significa
che FX è definita su AB vuol dire che
l'intervallo AB deve essere contenuto
nel dominio della funzione poi il
dominio di FX può essere diverso
dall’intervallo A B che state
considerando L'importante è che questo
intervallo sia all'interno del dominio
che tutti i punti dell'intervallo
caschino all'interno del dominio della
funzione Cosa significa che deve essere
Continua su a b vuol dire che gli
eventuali punti di discontinuità di FX
non devono stare all'interno
dell'intervallo AB quindi perché dico
eventuali perché la funzione potrebbe
avere dei punti di discontinuità Ma
potrebbe anche non averne seceriale
importante che stiano fuori
dall'intervallo a B poi FX secondo
ipotesi deve essere
derivabile
sull'intervallo attenzione a b questa
volta con le parentesi tonde Cosa
significa questa cosa qua che gli
eventuali punti di non possibilità
devono stare o su A e B oppure proprio
fuori dall'intervallo cioè la funzione
potrebbe non essere derivabile in A e B
ma l'importante è che lo sia nel mezzo
eventuali cuspidi Flash tangente
verticale punti angolosi non devono
stare nelle X che stanno tra A e B
Queste sono le ipotesi del teorema di
Lagrange Adesso vediamo qual è la tesi
esiste almeno un X con zero quindi un
valore di X appartenente all'intervallo
AB tale che e qui arriva il formulone F
primo di X con zero è uguale a f di B -
fda fratto B - a e uno dice Matteo Ma
cosa c'entra tutta questa roba con
quello che dicevi prima e la retta
secante blu e le rette tangenti Viola
adesso vi faccio vedere subito che
questa formula qui in realtà è la
traduzione matematica di quello che ho
spiegato prima con un grafico Rifaccio
un attimo il disegno quindi avevamo una
funzione fatta così avevamo tracciato
questa retta blu partiva dal punto di
inizio e arrivava al punto di fine e poi
avevamo pescato un punto di tangenza qua
dove la tangente era parallela quella
blu nella formulona che c'è qua sotto
cioè quella che c'è all'interno della
tesi vi viene detto che avete a che fare
prima di tutto con f primo di X con zero
F per X con zero Che cos'è Visto che
questa è la derivata calcolata in X con
zero questo non è altro che il
coefficiente angolare della retta
tangente in X con zero cioè
l'inclinazione della retta Viola è la
derivata calcolata in X con zero Che
cos'è Invece questo mostro qua a
sinistra questa roba qua non è altro che
il coefficiente angolare invece della
retta che parte da il punto A arriva il
punto B e uno mi dice Matteo Ma come fai
a sapere sta roba cioè perché quello è
il coefficiente angolare della retta blu
non ne ho idea questa roba qua viene
semplicemente dalla formula del
coefficienti angolari quando vi dicono
calcola il coefficiente angolare di una
retta una formula sarete il coefficiente
angolare è il del ragazzi non fratto il
Delta X di due punti da cui passa la
retta la retta blu noi sappiamo che
passa dal punto che ha X uguale AA e Y
fda e dal punto che AB ed FB Quindi per
la retta blu il Delta Y è la Y del punto
in B meno la y nel punto in a fratto la
x del punto in B meno la x del Puntone
la potete anche invertire A e B non
succede niente Chi è la Y del punto in B
e FTP che è la Y del punto in a e fda
che è la x del punto B proprio B che è
la x del punto uninae proprio a Ecco
perché nel formulone c'è quella roba lì
perché sono messi uguali Cioè va bene
che adesso abbiamo capito che quella
sinistra è il coefficiente angolare
della retta Viola a quella destra
coefficiente angolare della retta
Azzurra sono uguali perché se due rette
hanno lo stesso coefficiente angolare
Allora sono parallele questo vi dice il
teorema che se calcolate il coefficiente
angolare della retta Azzurra con quel
metodo normale il fascino Delta Y su
Delta X Allora è riuscito a trovare un X
con zero per cui vale l'uguaglianza Cioè
per cui la retta tangente è
effettivamente parallela in realtà il
teorema di Lagrange è il più infame dei
quattro teoremi dell'apocalisse roll
fermà Lagrange Cauchy perché c'è pure il
corollari che sono dei mini teoremini
derivati da Quello principale il primo
corollario del teorema di Lagrange vi
dice questa cosa qua se F primo di x è
uguale a zero per ogni x appartenente ad
AB Allora FX è una funzione costante Che
significa questa cosa qua significa che
se avete una funzione che ha sempre la
derivata che vale 0 non importa quale X
Scegliete tra il punto di partenza e il
punto di arrivo l'unica funzione che può
soddisfare questa condizione è una retta
orizzontale cioè una funzione che ha
sempre la derivata uguale a zero è solo
una retta orizzontale Che significa una
retta orizzontale e una funzione del
tipo FX uguale a un numero Diciamo che
ne so FX uguale a 2 Questa è una retta
orizzontale F di X uguale a -5 una retta
orizzontale quando scrivo FX uguale a
una costante intendo dire FX uguale a un
numero in questo senso qua Questo è il
primo corollario il secondo corollario
invece vi dice che se due funzioni FX e
GX anno la stessa derivata per ogni x
appartenente ad AB solita roba
intervallo chiuso illimitato Allora sono
la stessa funzione ma possono differire
di una costante che significa questa
roba qua facciamo subito un esempio y
uguale a x alla terza + 1 y = x ^ 3 - 4
se vi calcolate la derivata di queste
due la prima derivata 3x alla seconda
l'altra derivata 3x alla seconda uguale
identica perché tanto la derivata del +1
del -4 si cancella durante la
derivazione fa 0 quindi le due funzioni
hanno la stessa deriva fa sì sono la
stessa funzione Sì nel senso che sono
entrambe x alla terza ma differiscono di
una costante nel senso che la prima a
sinistra è uguale a quella a destra
semplicemente per passare dalla prima
alla seconda Basta che fate meno 5 in
questo senso differiscono di una
costante cioè la differenza tra due
funzioni è un numero posso farvi
tranquillamente un altro esempio con dei
numeri un po' più assurdi che ne so y
uguale a l n di x meno 100 e y uguale a
LN di X + e sono la stessa funzione No
differiscono però di una costante me ne
accorgo perché la derivata è uguale la
prima derivata è uno su X la seconda
derivata è uno su X Cosa devo fare per
passare dalla prima alla seconda devo
sommare 100 più e fa schifo Sì però è
una costante la differenza tra le due È
una costante
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affrontato in questo video in
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