Qué es un arco capaz. Cómo dibujar un arco capaz de un ángulo de 90º y de otro ángulo cualquiera

Arturo Geometría

14 May 201405:15

Summary

TLDREl video explica el concepto geométrico del arco capaz, que es el lugar de los puntos desde los cuales un segmento se ve con un mismo ángulo. Se detalla su uso en problemas de navegación, tangencias y resolución de triángulos. Se ejemplifica con el caso más común, un ángulo de 90 grados, usando el teorema de Tales. Luego, se realiza un ejercicio práctico para hallar el arco capaz dado un segmento y un ángulo beta, empleando la mediatriz y el transporte del ángulo mediante un compás. Finalmente, se calcula el arco capaz simétrico al original.

Takeaways

🎯 El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento se ve con un mismo ángulo.
📐 En el caso de un segmento, el arco capaz de un ángulo alfa es un par de arcos de circunferencia simétricos a cada lado del segmento.
🔵 Los puntos en los arcos azul y rojo, unidos con los extremos del segmento, forman un ángulo alfa igual.
📏 El arco capaz tiene múltiples aplicaciones, como la resolución de triángulos y problemas de tangencia.
🔄 El caso más utilizado es el del arco capaz con un ángulo alfa de 90 grados, relacionado con el segundo teorema de Thales.
🟢 Cualquier punto de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento forma un ángulo recto de 90 grados con sus extremos.
✏️ Para calcular un arco capaz con un segmento y un ángulo beta, el primer paso es hallar la mediatriz del segmento.
🎛️ El ángulo beta puede ser trasladado usando el método del compás o herramientas como escuadra, cartabón o transportador.
🔺 El siguiente paso es dibujar el ángulo complementario al ángulo beta, que sumado da un ángulo de 90 grados.
🔁 Para completar, se dibuja un arco simétrico, formando dos arcos capaces que generan un ángulo beta con los extremos del segmento.

Q & A

¿Qué es el arco capaz en geometría?
-El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento se ve con el mismo ángulo.
¿Cómo se representa gráficamente un arco capaz para un segmento AB y un ángulo alfa?
-El arco capaz se representa como un par de arcos de circunferencia simétricos a cada lado del segmento AB, que contienen todos los vértices del ángulo alfa cuyos lados están unidos con los extremos A y B del segmento.
¿Cuáles son las aplicaciones principales del arco capaz?
-El arco capaz se utiliza en la resolución de triángulos, problemas de navegación, y en la resolución de tangencias, ya que muchas tangencias complejas se basan en tangencias más sencillas que usan el teorema del arco capaz.
¿Qué caso específico del arco capaz se menciona como el más utilizado?
-El caso más utilizado es el arco capaz con un ángulo alfa de 90 grados, que corresponde con el segundo teorema de Tales.
¿Cómo se relaciona el arco capaz de 90 grados con el segundo teorema de Tales?
-El arco capaz de 90 grados es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB. Cualquier punto de esa circunferencia unido con los extremos del segmento forma un ángulo recto de 90 grados.
¿Cuál es el primer paso para calcular un arco capaz dado un segmento AB y un ángulo beta?
-El primer paso es hallar la mediatriz del segmento AB, dibujando dos arcos con igual radio desde los extremos del segmento, que se cortan en dos puntos que forman la mediatriz.
¿Cómo se traslada un ángulo beta a partir de un segmento AB?
-Se utiliza el método del compás, dibujando dos arcos de igual radio desde el vértice y el extremo del segmento, para luego trasladar la amplitud del arco de un punto a otro.
¿Qué se hace después de trasladar el ángulo beta?
-El siguiente paso es dibujar el ángulo complementario, es decir, 90 grados menos beta, hacia el lado opuesto del segmento AB.
¿Cómo se determina el centro del arco capaz que forma el ángulo beta?
-El centro del arco capaz se obtiene al cortar el ángulo complementario con la mediatriz del segmento, formando un punto llamado O, que será el centro del arco capaz.
¿Cómo se obtiene el arco capaz simétrico al original?
-Para hallar el arco simétrico, se pincha con el compás en el punto X, se abre hasta O, y se dibuja una media circunferencia hasta cortar la mediatriz en otro punto, llamado O', que será el centro del segundo arco capaz.

Outlines

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📐 Explicación del arco capaz y su importancia

El arco capaz es un concepto geométrico que describe el lugar geométrico de los puntos desde los cuales un segmento se ve con un ángulo constante. En el caso del segmento AV, el arco capaz con un ángulo alfa se compone de dos arcos simétricos que contienen todos los vértices con ángulo alfa, cuyos lados están unidos a los extremos A y V. Estos puntos forman siempre un ángulo igual a alfa. Este concepto tiene diversas aplicaciones, como en la resolución de triángulos, problemas de navegación y tangencias, donde el teorema del arco capaz juega un rol fundamental. Un caso común es cuando el ángulo es de 90 grados, lo que corresponde al segundo teorema de Thales. En este caso, el arco capaz es una circunferencia con el segmento AV como diámetro, y cualquier punto de esta circunferencia unido a A y V forma un ángulo recto de 90 grados.

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🧮 Cálculo del arco capaz dado un ángulo beta

El ejercicio práctico consiste en calcular el arco capaz a partir del segmento AV y un ángulo beta. El primer paso es trazar la mediatriz del segmento, para lo cual se dibujan dos arcos con radios iguales desde los extremos A y V que se cortan en dos puntos, los cuales unidos forman la mediatriz. A continuación, se traslada el ángulo beta desde el extremo A hacia abajo usando el método del compás, o utilizando una escuadra o transportador si el ángulo es conocido. Luego, se dibuja el ángulo complementario, 90 grados menos beta, hacia arriba, el cual corta la mediatriz en un punto O, que es el centro del arco capaz. Uniendo cualquier punto de este arco con A y V se obtiene un ángulo de beta grados. Para encontrar el arco simétrico, se repite el proceso en la parte inferior, obteniendo el segundo arco capaz con el mismo ángulo beta.

✅ Finalización del ejercicio del arco capaz

Se concluye el ejercicio con la construcción del arco capaz simétrico al anterior, el cual también es un lugar geométrico de los puntos que, unidos con los extremos A y V, forman un ángulo beta. Con esto, se completa el cálculo del arco capaz para un ángulo beta dado, utilizando métodos geométricos precisos.

Mindmap

Keywords

💡Arco capaz

El 'Arco capaz' es un concepto geométrico que se refiere a un par de arcos de circunferencia simétricos que contienen todos los puntos desde los cuales un segmento se ve con un mismo ángulo. En el vídeo, se menciona que el arco capaz de ángulo alfa es un par de arcos que se encuentran en los lados del segmento y que cada punto de estos arcos forma un ángulo alfa con los extremos del segmento. Este concepto es fundamental para entender cómo se resuelven ciertos problemas geométricos y de navegación.

💡Ángulo alfa

El 'Ángulo alfa' es el ángulo fijo con el que se ven los puntos en el arco capaz desde los extremos del segmento. En el guion, se habla de que el arco capaz de ángulo alfa es simétrico respecto al segmento y que cada punto en el arco forma un ángulo de magnitud alfa con los extremos del segmento. Este ángulo es clave para determinar la posición de los arcos en el arco capaz.

💡Segmento

Un 'Segmento' es una parte de una línea que se encuentra entre dos puntos específicos. En el vídeo, el segmento se menciona como el elemento desde el cual se ven los puntos en el arco capaz con un ángulo alfa. Es el segmento AVE, que se utiliza para construir el arco capaz y que se ve cortado por la media triz en el punto X.

💡Media triz

La 'Media triz' es una línea que divide un segmento en dos partes iguales. En el vídeo, se indica que se dibujan dos arcos con radios iguales y se encuentran en dos puntos que forman la media triz del segmento AVE. Esta media triz es crucial para localizar el centro del arco capaz.

💡Ángulo beta

El 'Ángulo beta' es otro ángulo que se menciona en el vídeo y que se traslada desde el segmento AVE. Se utiliza para dibujar el arco capaz simétrico, ya que se necesita trasladar este ángulo desde el extremo A hacia abajo para formar parte del arco capaz. Este proceso de traslado es esencial para completar el ejercicio geométrico.

💡Compás

Un 'Compás' es una herramienta utilizada para dibujar círculos o arcos con un radio constante. En el vídeo, se menciona el uso del compás para dibujar los arcos que se encuentran para hallar la media triz y para trasladar el ángulo beta. Es una herramienta fundamental en la construcción geométrica del arco capaz.

💡Ángulo complementario

Un 'Ángulo complementario' es un ángulo que, sumado a otro ángulo, da un total de 90 grados. En el vídeo, se menciona que se debe dibujar el ángulo complementario al ángulo beta, que es 90 grados menos beta, para encontrar el centro del segundo arco capaz. Este concepto ayuda a completar la simetría del arco capaz.

💡Teorema de Thales

El 'Teorema de Thales' es un principio geométrico que establece que si un semicírculo se inscribes en un triángulo, los lados del triángulo opuestos al ángulo recto son paralelos entre sí. En el vídeo, se menciona que el caso más utilizado de arco capaz es cuando el ángulo alfa es de 90 grados, correspondiendo a este teorema, donde el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento.

💡Resolución de triángulos

La 'Resolución de triángulos' es el proceso de determinar la medida de uno o más lados o ángulos de un triángulo cuando se conocen algunos de ellos. En el vídeo, se menciona que el arco capaz tiene aplicaciones en la resolución de triángulos, ya que permite calcular ángulos y lados basándose en la visión de segmentos desde puntos en arcos capaces.

💡Navegación

La 'Navegación' es el proceso de desplazarse de un lugar a otro, generalmente en el mar o en el aire, utilizando señales y métodos para orientarse. En el vídeo, se menciona que el arco capaz tiene aplicaciones en la navegación, probablemente debido a su utilidad en problemas de orientación y cálculo de rutas basándose en ángulos fijos.

Highlights

El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento se ve con un mismo ángulo.

En el caso del segmento A-B, el arco capaz de ángulo alfa es un par de arcos de circunferencia simétricos.

El arco capaz tiene múltiples aplicaciones, como en la resolución de triángulos y navegación.

El caso más utilizado de arco capaz es cuando el ángulo alfa es de 90 grados, correspondiente al segundo teorema de Thales.

Para hallar la mediatriz de un segmento, se utilizan dos arcos de igual radio y se encuentran sus puntos de intersección.

El ángulo beta se traslada desde el segmento A-B hacia abajo utilizando el método del compás.

El ángulo complementario al ángulo beta se dibuja a partir del segmento A-B hacia arriba.

El ángulo complementario forma 90 grados sumado con el ángulo beta.

La mediatriz intersecta el ángulo complementario en un punto que será el centro del arco capaz.

Se busca el simétrico del arco capaz mediante el trazado de una media circunferencia.

El arco capaz simétrico es también un lugar geométrico de puntos que forman un ángulo de magnitud beta con los extremos del segmento.

La resolución de tangencia es una aplicación práctica del arco capaz.

El arco capaz puede ayudar en la resolución de problemas más complejos basados en el teorema del arco capaz.

El método del compás es una técnica útil para trasladar ángulos en la construcción del arco capaz.

El uso de la escuadra y el cartabón puede facilitar la medición de ángulos específicos en la construcción del arco capaz.

El transporte de ángulos es una técnica que puede ser aplicada para construir el arco capaz.

La construcción del arco capaz implica la intersección de arcos y la identificación de puntos críticos.

El ejercicio práctico de calcular el arco capaz con un segmento y un ángulo beta se describe paso a paso.

Transcripts

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[Música]

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