1. Ecuación diferencial de variables separables
Summary
TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate Fácil', se resuelve una ecuación diferencial separable paso a paso. Se explica cómo separar las variables y manipular la ecuación para integrar ambos lados, obteniendo una solución en términos de una constante por x. Luego, se despeja la variable y se verifica la solución sustituyendo en la ecuación original. Se anima a los espectadores a practicar resolviendo ecuaciones similares y se invita a dejar comentarios para dudas o sugerencias.
Takeaways
- 📘 La ecuación diferencial que se resuelve es una ecuación separable.
- 🔄 Se reescribe la ecuación para separar las variables, colocando todas las 'x' en un lado y todas las 'y' en el otro.
- ✏️ Se utiliza la propiedad de que 'y' prima (la derivada de 'y') es igual a 'y' dividido por 'x'.
- 🔄 Se multiplica por 'x' para alinear los términos y se obtiene una nueva ecuación.
- 🧮 Se integran ambos lados de la ecuación para encontrar la función 'y'.
- 📐 Se recuerdan las integrales inmediatas para resolver la ecuación, utilizando el logaritmo natural.
- 📉 Se despeja la constante de la ecuación para encontrar 'y' en función de 'x'.
- 🔢 Se menciona que las constantes resultantes pueden ser cualquier número y se les puede asignar una sola constante para simplificar.
- 🔄 Se pasa el logaritmo natural al otro lado de la ecuación como una exponencial para despejar a 'y'.
- ✅ Se verifica la solución sustituyendo la función 'y' en la ecuación diferencial original y se confirma que la solución es correcta.
- 📚 Se invita a los espectadores a practicar resolviendo ecuaciones diferenciales similares para mejorar su comprensión.
Q & A
¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una ecuación diferencial separable.
¿Cómo se identifica una ecuación diferencial como separable?
-Una ecuación diferencial es separable si se puede organizar de tal manera que todas las variables 'x' están en un lado y todas las variables 'y' en el otro lado.
¿Qué significa 'y prima' en el contexto del vídeo?
-'y prima' representa la derivada de la función 'y' con respecto a 'x'.
¿Cómo se convierte 'y prima' en una fracción en el vídeo?
-Se escribe 'y prima' como 'dy/dx', la cual se interpreta como una fracción donde 'dx' es el denominador.
¿Cuál es la estrategia para separar las variables en la ecuación diferencial mostrada?
-Se multiplica todo lo que está a la derecha por 'dx' y se pasa todo lo que está a la izquierda por 'dy', para que las 'x' queden en un lado y las 'y' en el otro.
¿Qué operaciones se realizan después de separar las variables?
-Se integran ambos lados de la ecuación, lo que implica encontrar las integrales inmediatas de 'dy/y' y 'dx/x'.
¿Cuál es la integral inmediata de 'dy/y'?
-La integral inmediata de 'dy/y' es 'ln|y| + C1', donde 'C1' es una constante de integración.
¿Cómo se despeja 'y' en la solución obtenida en el vídeo?
-Se isola 'y' eliminando las constantes del lado derecho de la ecuación y utilizando las propiedades de los logaritmos.
¿Qué significa 'despejar y' en el contexto de la solución de ecuaciones diferenciales?
-Despejar 'y' significa aislar 'y' en el lado izquierdo de la ecuación para obtener una expresión que represente la solución.
¿Cómo se verifica que la solución obtenida es correcta?
-Se verifica sustituyendo la solución en la ecuación diferencial original y asegurándose de que los dos lados de la ecuación sean iguales.
¿Cuál es la importancia de hacer ejercicios al final de cada vídeo mencionada en el guion?
-La importancia de hacer ejercicios es para que los estudiantes prueben y apliquen lo que han aprendido, lo que ayuda a fortalecer su comprensión y habilidades para resolver ecuaciones diferenciales.
Outlines
📘 Resolución de una ecuación diferencial separable
En este primer párrafo, se explica cómo resolver una ecuación diferencial separable. Se comienza por escribir la ecuación y separar las variables, dejando todas las 'x' en un lado y todas las 'y' en el otro. Luego, se integran ambos lados de la ecuación para obtener una expresión en términos de 'y' y 'x'. Se destacan las integrales inmediatas y cómo se manejan las constantes al despejar la variable 'y'. Finalmente, se sugiere que la constante resultante puede ser simplificada a una sola constante, y se ofrece una forma alternativa de escribir la solución utilizando las propiedades de los exponentes y los logaritmos.
📗 Verificación de la solución y desafío para el espectador
En el segundo párrafo, se describe cómo verificar la solución de la ecuación diferencial obtenida en el párrafo anterior. Se explica que se debe derivar la solución para sustituirla en la ecuación original y comparar ambos lados para confirmar la corrección de la solución. Además, se invita a los espectadores a intentar resolver una ecuación diferencial simple por sí mismos como ejercicio, prometiendo que en el siguiente vídeo se resolverá dicho ejercicio para verificar sus resultados. Se cierra el vídeo pidiendo likes, suscripciones y compartir los videos, y se invita a los espectadores a dejar comentarios con preguntas o sugerencias.
Mindmap
Keywords
💡ecuación diferencial
💡separable
💡integrar
💡logaritmo natural
💡constante
💡despejar
💡exponencial
💡funciones inversas
💡condiciones impuestas
💡solución final
Highlights
El vídeo de 'Mate Fácil' presenta cómo resolver una ecuación diferencial.
La ecuación diferencial es separable, lo que permite agrupar términos con 'x' de un lado y términos con 'y' del otro.
Para separar la ecuación, se escribe la derivada 'y'' como 'dy/dx'.
Se considera 'dy/dx' como una fracción para facilitar la separación de variables.
Después de separar, se integra ambos lados de la ecuación para encontrar la solución.
Las integrales son inmediatas y se resuelven utilizando propiedades de logaritmos y fracciones.
La solución inicial incluye constantes que se diferencian por su contexto en la ecuación.
Se despeja 'y' para encontrar la solución en términos de 'x' y constantes.
Se utiliza la propiedad de que la resta de constantes sigue siendo una constante.
Para simplificar, se combina las constantes en una sola constante 'C3'.
Se explica cómo despejar completamente 'y' utilizando propiedades de exponentes y logaritmos.
La solución final se escribe en términos de 'c' multiplicado por 'x'.
Se verifica la solución sustituyendo en la ecuación diferencial original.
Se propone un ejercicio para que el espectador pruebe a resolver una ecuación diferencial similar.
El vídeo enfatiza la importancia de hacer ejercicios para comprender mejor las ecuaciones diferenciales.
Se invita a los espectadores a suscribirse, compartir y comentar sus dudas o sugerencias.
Transcripts
hola y bienvenidos a un nuevo vídeo de
mate fácil en este vídeo vamos a
resolver la siguiente ecuación
diferencial x x prima igual hay esta
ecuación diferencial es una ecuación
separable eso significa que podemos
dejar todas las x de un lado y todas las
del otro lado primero hay que escribir y
prima como de ella sobre de x esto es lo
mismo que ye prima
ahora este de ayer sobre de x vamos a
imaginarlo como si fuera una fracción
que podemos separar o sea como si éste
de x estuviera dividiendo como está
dividiendo lo podemos pasar
multiplicando al lado derecho y nos va a
quedar de esta manera
xdg igual hay x de x que pasamos
multiplicando lo que nosotros queremos
hacer es dejar todas las de un lado y
todas las x del otro lado aquí donde
aparece de y es donde vamos a dejar las
10 y donde aparece de x es donde vamos a
dejar todas las x entonces tenemos que
quitar esta aquí que está aquí
multiplicando y la vamos a pasar
dividiendo de este lado y lo mismo vamos
a hacer con esta x que está aquí
multiplicando la pasamos dividiendo al
lado derecho y entonces nos va a quedar
de esta manera de y entre y igual a de x
/ x ya que tenemos todas las llaves del
lado izquierdo todas las x de lado
derecho vamos a integrar ambos lados de
la ecuación
entonces vamos a integrar de entre y
y vamos a integrar tx entre x estas
integrales son muy sencillas de hacer
son integrales inmediatas la integral de
de entre y es recordemos el logaritmo
natural de i + una constante porque
estas son integrales indefinidas esto va
a ser igual a la integral de x / x que
es el logaritmo natural de x más otra
constante para distinguir las constantes
le ponemos a una la constante 1 y a la
otra la constante 2
bueno lo que vamos a hacer ahora ya
cuando hemos llegado a una solución es
tratar de despejar y si eso es posible y
en este caso si es posible hacerlo para
despejar y primero tenemos que quitar
esta constante que vamos a pasarla
restando al lado derecho y nos va a
quedar el logaritmo de ye igual a
logaritmo de x más de 2 que teníamos
aquí menos el c1 ahora noten que aquí
tenemos una resta de constantes no
sabemos cuánto valen las constantes lo
que sabemos es que son números por
ejemplo ese 2 podría hacer quizá un 5 y
se 1 podría ser un 1 eso ya dependerá si
del problema si tenemos alguna otra
condición impuesta sobre esta ecuación
diferencial más adelante veremos
ejemplos en los que tengamos condiciones
impuestas pero en este caso no hay
ninguna condición entonces estas
constantes pueden valer cualquier cosa
cuando nosotros estamos dos constantes
el resultado sigue siendo una constante
sigue siendo un número así que en lugar
de escribirse 2 - eeuu no podemos esto
juntarlo en una sola constante y
escribir una constante ese 3 se 2 menos
que 1 sigue siendo una constante así que
la ponemos como c3 para no estar
escribiendo las dos constantes
ahora sí vamos a continuar despejando y
nos falta quitar el logaritmo natural
para dejar la iv del lado izquierdo que
quede sola para quitar un logaritmo
natural lo que hacemos es pasarlo al
lado derecho como exponencial
entonces logaritmo natural pasa como
exponencial de lo que se encuentre del
lado derecho o sea ponemos que es igual
a la exponencial de logaritmo dxc3 o sea
lo que estaba del lado derecho que era
como exponente de la exponencial de esta
forma ya despejamos pero aún podemos
escribir este resultado de una manera un
poco diferente
notemos que tenemos la exponencial de
una suma
por leyes de exponentes esto lo podemos
separar como una multiplicación de
exponenciales o sea lo podemos poner de
esta manera la exponencial del logaritmo
de x por la exponencial de c3 porque
recordemos que cuando nosotros
multiplicamos dos cosas de la misma base
los exponentes se suman bueno entonces
si tenemos algo con una suma de
exponentes podemos separarlo como una
multiplicación
ahora la exponencial y el logaritmo
natural son funciones inversas eso
significa que podemos cancelar aquí el
logaritmo con la exponencial y nada más
nos va a quedar la equis
entonces nos va a quedar igual a equis
que es esta parte por la exponencial de
ese 3
aquí también noten lo siguiente c3 es
una constante
también es una constante cuando nosotros
elevamos un número a otro número el
resultado sigue siendo un número sigue
siendo una constante así que esto lo
podemos escribir como otra constante
podemos ponerlo digamos como se ve a la
c3 como es una constante lo ponemos
simplemente como se para no estar
escribiendo de esta manera queda mejor
escrito
de esta forma entonces y es igual a x x
c o lo que es lo mismo y es igual a c
por x las constantes se suelen escribir
al principio antes que las variables y
esta de aquí es la solución final de
nuestra ecuación diferencial y es igual
a una constante por x ahora podemos
nosotros comprobar nuestro resultado si
sustituimos en nuestra ecuación
diferencial original vamos a hacer eso
nuestra ecuación diferencial es x porque
prima igual allí y obtuvimos que es
igual a c x para poder sustituir aquí
necesitamos también derivar que y
entonces la derivada de y prima es igual
a la derivada de cx o sea si simplemente
sigue prima es igual a c sustituimos en
nuestra ecuación y tenemos entonces que
x x prima
o sea x x c es igual allí o sea igual
hace por x
esto de aquí efectivamente es una
igualdad o sea lo que tenemos del lado
izquierdo si es igual a lo que tenemos
del lado derecho por lo tanto nuestra
solución si es correcta si en cambio nos
hubiera dado aquí una cosa diferente de
lo que teníamos el lado derecho que
decir que nuestra solución no es
correcta y entonces habría que verificar
en qué nos equivocamos pero en este caso
bueno si quedo correcta la solución
bueno ahora les propongo que ustedes
realicen la siguiente ecuación
diferencial y prima igual allí es una
ecuación muy sencilla y esto es para
apenas sin empezando el curso de
ecuaciones para que vayan ustedes
entendiendo poco a poco es importante
que hagan ejercicios entonces al final
de cada vídeo yo les voy a estar dejando
un ejercicio proponiéndoles que lo
resuelvan y de esta manera es cómo van a
aprender mucho mejor entonces intenten
resolver este ejercicio y en el
siguiente vídeo se lo resuelvo para que
ustedes verifiquen su resultado si les
gustó este vídeo apoyen me regalando me
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mis vídeos y si tienen cualquier
pregunta o sugerencia pueden dejarla en
los comentarios y yo les contestaré en
cuanto me sea posible hacerlo
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