3C. El procedimiento Monte Carlo
Summary
TLDRLa clase magistral explica el método de Montecarlo, un procedimiento utilizado en sistemas de simulación con variables estocásticas. El objetivo es reducir la incertidumbre probabilística mediante la generación de distribuciones de probabilidad y la repetición del experimento un número determinado de veces. El método, desarrollado en los años 40, es esencial para aproximarse a la realidad en modelos donde existen muchas variables. Se ejemplifica con el 'ebrio aleatorio', un modelo que ilustra cómo la probabilidad se estabiliza tras múltiples repeticiones, mostrando la importancia de este enfoque en simulaciones complejas.
Takeaways
- 📊 El método de Montecarlo se aplica a sistemas de simulación con variables estocásticas, para reducir la incertidumbre probabilística.
- 📜 El método fue introducido en los años 40 por Von Neumann para resolver problemas matemáticos que no podían abordarse de forma algorítmica.
- 🎲 Se utiliza un generador de números aleatorios para crear distribuciones de probabilidad en simulaciones.
- 📉 La primera acepción del método Montecarlo es la generación de distribuciones de probabilidad.
- 📈 La segunda acepción es la reducción de la incertidumbre probabilística mediante la repetición del modelo.
- 📞 Un ejemplo es un sistema telefónico con probabilidades asignadas a la cantidad de llamadas recibidas en 10 minutos.
- 🔁 La clave para reducir la incertidumbre es repetir el experimento suficientes veces, como mínimo 500 repeticiones.
- 🧠 Un ejemplo simple de Montecarlo es el 'ebrio aleatorio', donde se simulan movimientos aleatorios de una persona hasta que llega a un destino.
- ⚖️ Al realizar muchas repeticiones, tanto la media como la varianza de los resultados se estabilizan, alcanzando valores confiables.
- ✔️ El método de Montecarlo es eficaz para aproximarse a la realidad en sistemas complejos con muchas variables estocásticas.
Q & A
¿Qué es el método de Montecarlo?
-El método de Montecarlo es un procedimiento que se utiliza en sistemas de simulación para manejar variables estocásticas, es decir, variables que involucran probabilidades. Su objetivo es reducir la incertidumbre probabilística mediante la generación de distribuciones de probabilidad y la repetición de experimentos.
¿Cuál es el propósito principal de la clase magistral sobre Montecarlo?
-El propósito de la clase es divulgar la aplicación del método Montecarlo, explicar cómo se puede aplicar a sistemas de simulación con variables probabilísticas y mostrar ejemplos prácticos para reducir la incertidumbre probabilística en modelos.
¿Cuál es la primera acepción del procedimiento Montecarlo mencionada en la clase?
-La primera acepción del procedimiento Montecarlo es su uso como generador de distribuciones de probabilidad, que permite simular sistemas en los que existen variables aleatorias con diferentes probabilidades de ocurrencia.
¿Cómo se aplica el método Montecarlo a un sistema de simulación telefónica?
-En el ejemplo de un sistema telefónico, se asume que en un periodo de 10 minutos puede haber un número de llamadas con diferentes probabilidades. El método Montecarlo genera números aleatorios que corresponden a estos eventos probabilísticos, permitiendo simular cuántas llamadas podrían ocurrir en ese periodo.
¿Qué relación tiene el método Montecarlo con la incertidumbre probabilística?
-El método Montecarlo ayuda a reducir la incertidumbre probabilística mediante la repetición de experimentos. Al realizar simulaciones múltiples veces, los resultados se estabilizan y se acercan a una representación más precisa de la realidad.
¿Por qué es necesario repetir los experimentos múltiples veces al usar Montecarlo?
-Es necesario repetir los experimentos varias veces para aproximarse a un valor estable y útil. Dado que los resultados individuales pueden variar debido a la aleatoriedad, repetir el experimento ayuda a estabilizar tanto la media aritmética como la varianza de los resultados.
¿Qué ejemplo sencillo se usa para ilustrar el método Montecarlo en la clase?
-Un ejemplo sencillo es el 'ebrio aleatorio', que simula el movimiento aleatorio de una persona ebria que puede desplazarse hacia cualquier dirección en una ciudad. El objetivo es calcular la probabilidad de que termine a dos calles de donde empezó, utilizando el método Montecarlo.
¿Cuál es el número mínimo de repeticiones sugerido para estabilizar un modelo Montecarlo?
-La literatura recomienda realizar al menos 500 repeticiones para estabilizar un modelo de Montecarlo. Sin embargo, el número exacto puede variar dependiendo de la complejidad del modelo y el número de variables involucradas.
¿Qué condiciones se deben cumplir para decir que un modelo ha sido estabilizado?
-Un modelo se considera estabilizado cuando tanto la media aritmética como la varianza de los resultados obtenidos se estabilizan dentro de un rango definido, lo que indica que los resultados ya no varían significativamente con más repeticiones.
¿Cuál es la importancia de los números aleatorios en el método Montecarlo?
-Los números aleatorios son fundamentales en el método Montecarlo porque permiten simular eventos con probabilidades específicas. Dependiendo del valor de los números generados, se determina qué eventos ocurren y se ajusta la simulación para reflejar la realidad probabilística.
Outlines
📊 Introducción al método Montecarlo y su complejidad
El video comienza con una introducción al procedimiento de Montecarlo, destacando que, aunque es muy mencionado, es difícil de aplicar en sistemas específicos. El objetivo de la clase magistral es divulgar cómo utilizar el método Montecarlo en sistemas de simulación con variables estocásticas, para reducir la incertidumbre probabilística. Se menciona que el método tiene dos acepciones principales: la generación de distribuciones de probabilidad y la reducción de la incertidumbre.
📚 Historia del método Montecarlo
Se da una breve historia del método Montecarlo, que surgió en los años 40 con Von Neumann, siendo utilizado en modelos matemáticos complejos. Su uso inicial fue en simulaciones relacionadas con la probabilidad, y se revitalizó en un experimento del Departamento de Defensa de EE. UU. Se destacan sus dos acepciones principales: como generador de números aleatorios y como herramienta para reducir la incertidumbre al trabajar con estos números.
📞 Ejemplo: Simulación de llamadas telefónicas
Se presenta un ejemplo en el que el método Montecarlo se aplica a un sistema telefónico. En este sistema, se analiza la probabilidad de que un número de clientes haga llamadas en un período de 10 minutos, con probabilidades acumuladas para 0, 1, 2 y 3 llamadas. Se ilustra cómo se generan distribuciones de probabilidad utilizando números aleatorios generados por un ordenador y cómo estas distribuciones reflejan la probabilidad de eventos en sistemas estocásticos.
🔢 Reducción de la incertidumbre probabilística
El video explica cómo reducir la incertidumbre en experimentos probabilísticos, como el lanzamiento de una moneda, en el que es necesario realizar múltiples repeticiones para obtener resultados estables. Se menciona que en la literatura se recomiendan al menos 500 repeticiones en modelos simples, pero en casos complejos con más variables, pueden requerirse miles de repeticiones para lograr estabilidad en los resultados, utilizando la media aritmética y la varianza como indicadores clave.
🚶 Ejemplo: El Ebrio Aleatorio
Se presenta el ejemplo del 'Ebrio Aleatorio', en el que una persona borracha se mueve aleatoriamente por una cuadrícula de calles. Se utiliza Montecarlo para determinar la probabilidad de que, después de 10 movimientos aleatorios, termine a dos calles de su punto de partida. A través de múltiples simulaciones, se muestra cómo fluctúan las probabilidades y cómo el valor de la media y la varianza se estabilizan tras suficientes repeticiones.
🧮 Estabilización de resultados y conclusión
El video concluye explicando cómo, tras suficientes repeticiones del experimento, tanto la media como la varianza se estabilizan, proporcionando una solución confiable al problema. Se destaca la importancia de la estabilización de los resultados para garantizar la precisión del método Montecarlo en la resolución de problemas estocásticos complejos. Finalmente, se agradece a los espectadores su atención y se les invita a la próxima clase magistral.
Mindmap
Keywords
💡Procedimiento Montecarlo
💡Simulación
💡Variables estocásticas
💡Probabilidad
💡Reducción de incertidumbre
💡Generador de distribuciones de probabilidad
💡Números aleatorios
💡Media aritmética
💡Varianza
💡Ebrio aleatorio
Highlights
El método Montecarlo se utiliza para reducir la incertidumbre probabilística en sistemas con variables estocásticas.
El procedimiento Montecarlo tiene dos acepciones principales: la generación de distribuciones de probabilidad y la reducción de la incertidumbre.
El método fue desarrollado en los años 40 por Von Neumann y fue aplicado inicialmente en experimentos clasificados del Departamento de Defensa de EE. UU.
La primera acepción del método Montecarlo es la generación de números aleatorios a partir de una distribución de probabilidad específica.
Se puede aplicar el método Montecarlo en un sistema telefónico para predecir el número de llamadas que se realizarán en un periodo determinado, utilizando probabilidades acumuladas.
Un generador de números aleatorios en un ordenador puede simular distribuciones de probabilidad, permitiendo aproximaciones más precisas.
La segunda acepción del método es la repetición de experimentos estocásticos hasta que se estabilicen la media y la varianza, lo que permite reducir la incertidumbre.
El número de repeticiones aconsejadas en simulaciones estocásticas es generalmente de al menos 500, aunque puede superar las 20,000 o 30,000 dependiendo de la complejidad del modelo.
El método Montecarlo se estabiliza cuando la media aritmética y la varianza de los resultados no cambian significativamente tras varias repeticiones.
Ejemplo práctico: Se plantea el problema del 'Ebrio Aleatorio', donde se predice la probabilidad de que una persona ebria llegue a su casa después de un número de movimientos aleatorios.
En el ejemplo del Ebrio Aleatorio, se utilizan números aleatorios para determinar la dirección en que se moverá la persona, y se repite el experimento varias veces para obtener una probabilidad.
El proceso de Montecarlo permite ver cómo las probabilidades fluctúan a lo largo de múltiples experimentos y cómo se estabilizan con el tiempo.
Un experimento aislado no es representativo de la realidad; es necesario repetir el experimento varias veces para obtener datos fiables.
El proceso de Montecarlo se puede aplicar a modelos más complejos con múltiples variables, pero esto requiere más repeticiones para alcanzar resultados estables.
El procedimiento es útil para simular sistemas con incertidumbre y ayudar a obtener aproximaciones cercanas a la realidad en diversos contextos científicos y matemáticos.
Transcripts
Bienvenidos a la clase magistral sobre
el procedimiento Montecarlo eh la verdad
es que es un procedimiento que mucha
gente escucha sobre él pero en realidad
el llevarlo a la práctica o el poder
aplicarlo en determinados sistemas pues
es complejo y no sabe uno cómo hacerlo
el el objetivo de esta clase magistral
es intentar
divulgar la aplicación de este
procedimiento e intentar
plasmándolo
eh que es un procedimiento que se aplica
a sistemas de simulación en las cuales
existen variables de tipo estocástico es
decir se aplican probabilidades y es
necesario aplicarlo para intentar
reducir la incertidumbre probabilística
eh de ese modelo de manera que podamos
saber cómo lo podemos aproximar a la
realidad Una vez que se haya trabajado
con él un número determinado de
veces vamos a introducir un poco de
historia sobre lo que ha sido ese
procedimiento Montecarlo y algo
importante un par de acepciones del
procedimiento en realidad son las dos
acepciones o acciones dentro del
procedimiento las que hay que llevar
adelante cuando se va a aplicar el
procedimiento Montecarlo dentro de un
sistema de simulación
eh Cuando veamos esa definición nos
vamos a introducir en cada una de ellas
la primera como generador de
distribuciones de probabilidad y en la
segunda como reducción de esa
incertidumbre probabilística y al final
veremos un pequeño ejemplo de aplicación
del método un tanto genérico pero que
puede dar una idea de cómo se están
aplicando las dos acepciones la de
generación de distribuciones de
probabilidad y la de reducción de esa
incertidumbre
probabilística Bueno pues el método
surge en los años 40 eh de la mano de
Von Newman
y la idea era eh aplicarlo a
determinadas soluciones que desde el
punto de vista matemático formal pues
tenían cierta problemática no es decir
no podíamos expresar de manera
algorítmica eh determinadas eh
situaciones o sistemas eh se aplicaban
métodos de simulación y aparecían
determinados eh elementos
probabilísticos que era necesario
eh ordenar adecuadamente no Bueno pues
este método es revivido en un
experimento del departamento de defensa
americano un experimento clasificado eh
Y tiene dos acepciones puesto que
inicialmente se encuadra dentro de lo
que es la simulación y se encuadra como
solución a modelos que utilizan
probabilidades No pues la primera
acepción fundamental es la de generador
de números aleatorios usando una
distribución específica de probabilidad
veremos ahora un pequeño ejemplo y la
segunda es que cuando estamos utilizando
números aleatorios eh Para aproximarnos
a la realidad al resultado bueno
tendríamos que ir esa secuencia un
número infinito de veces pero claro un
número infinito de veces nos vamos a
cansar o no vamos a estar cuando termine
la serie infinita no tenemos que ver
cómo podemos acotar ese número de
repeticiones que hagamos del modelo de
manera que obtengamos una un dato
estable y útil y que ya se parezca al
dato que teníamos que obtener en la
realidad Vámonos a la primer acepción o
la primera acción que tiene el
procedimiento Montecarlo la primera es
la de generador de esos distribuciones
de probabilidad supongamos que tenemos
un sistema eh de tipo telefónico en el
cual Pues en un periodo de 10 minutos un
número de clientes requieren un servicio
con una probabilidad determinada no Pues
resulta que en esos 10 minutos en la
probabilidad de que cero clientes o sea
ningún cliente haga ninguna llamada no
llame Eh pues su probabilidad es del
40% que en esos 10 minutos llame uno
pues su probabilidad es del
25% que en esos 10 minutos llamen dos
pues la probabilidad es del 20 y que en
esos minutos en esos 10 minutos llamen
tres pues la probabilidad es del 15% no
Bueno pues las probabilidades acumuladas
no estarían dando que para el primer
caso de cero clientes es 40 para el el
de un cliente es del 65 de dos clientes
del 85 de tres clientes del 100%
prácticamente entonces eh En realidad Eh
Esto lo podemos plasmar en una
distribución de probabilidad que tenemos
a la derecha en la cual pues el que haya
cero llamadas tiene una probabilidad del
40 el que haya una llamada tiene una
probabilidad del 65 el que haya dos
llamadas una probabilidad del 85 que
haya tres llamadas Pues el acumulado es
una probabilidad del del 100% no lo que
estamos haciendo es es conseguir lo que
es esa distribución de probabilidad con
lo cual si en un ordenador
generátor comprendidos entre el 0 el 1 a
la hora de intentar resolver Este modelo
y si la distribución que obtenemos del
ordenador es una distribución
equiprobable es decir todos los números
que salen tienen la misma probabilidad
si suponemos que
eh sale por ejemplo el el el el 05 Pues
resulta que correspondería que ha habido
una llamada es el evento que estamos
generando o si sale el 08 que ha habido
dos llamadas o si sale por ejemplo el el
095 pues ha habido tres llamadas no con
esto estamos generando las
distribuciones de probabilidad a partir
de un generador que podemos utilizar en
cualquier ordenador
bien esas generaciones como hemos visto
como ejemplo generaciones de
distribuciones de probabilidad podemos
generarlas bien acotarlos bien
manualmente o bien el sistema es
bastante útil cuando se utilizan
distribuciones de tipo teórico es decir
que yo haya eh observado una serie de
datos y sea capaz de asimilarlo a una eh
función eh específica teórica no y Y si
esto lo hago así y utilizo esta función
de distribución de probabilidades lo que
s tengo que hacer es aplicar reglas
aplicar procedimientos que nos permitan
ver cuál es el ajuste y cuál es la
realidad en la cual estamos viendo que
esta serie de datos que obtengo es
semejante a la distribución de
probabilidad que voy a utilizar Bueno
pues esta sería la primera acción La
segunda es la de reducción de la
incertidumbre probabilística y tiene que
ver con el número de repeticiones que
tengo que hacer en el procedimiento como
he dicho anteriormente siempre que tengo
números aleatorios no puedo hacer el
experimento una vez imagínense ustedes
que tenemos una moneda y lanzamos la
moneda el que yo la Lance una vez y
salga cara no quiere decir que siempre
va a salir cara unas veces saldrá cara
otra Cruz cuando yo lo haga un número si
la moneda está bien equilibrada no está
tarrada lo hago un número elevado de
veces nos iremos aproximando a lo que va
a ser un valor cierto y ese valor cierto
es que será el 50% de veces cara 50% de
veces Cruz Bueno pues este es un ejemplo
sencillo que cuando nos vamos a ejemplos
complejos en los cuales tenemos más
variables no solamente una un número
grande de variables Pues habrá que
repetir el experimento de lanzar la
moneda ya no
solamente 10 veces sino las veces que
haga falta dependiendo de la complejidad
del experimento
normalmente en la literatura aparece el
número 500 como número que se aconseja
no menos de 500 repeticiones ha de tener
un modelo por experiencia ya les digo
que depende dependerá mucho del el
número de variables y del Rango en el
cual se están moviendo esas variables no
es lo mismo que tengamos un modelo de
tipo estocastico en el cual tenemos dos
variables que un modelo en el cual hay
250 variables el número de repeticiones
que vamos a tener que hacer para
estabilizarlo pues normalmente va a ser
bastante diferente y posiblemente
superen los 500 no hay veces que hay que
repetir modelos a la hora de aplicar
Montecarlo Pues de de las 20.000 o
30.000 ciclos para intentar aproximar lo
que va a ser un valor
estable Cuándo se dice que se alcanza
ese valor estable cuando tanto la media
aritmética como la varianza de los
valores que estamos obteniendo se
estabiliza y se estabiliza dentro de un
entorno eh dependiendo del problema no
si el entorno que estamos hablando del
problema está hablando de de centésimas
Pues será dentro de ese entorno si está
hablando de de décimas o o o más pues
Tendremos que hablar dentro del entorno
en el cual estemos definiendo ese ese
ese valor de los datos ese Rango de los
datos no entonces Entonces siempre hay
que buscar la estabilización de los dos
tanto de la media aritmética como de la
varianza cuando haya un número
determinado de una secuencia determinada
de resultados que no exceda de ese valor
de ese límite podemos decir que ya
estamos dentro de la solución correcta y
la serie está ha sido
estabilizada Vámonos a la aplicación del
método con un ejemplo sencillo veamos el
ejemplo de lo que se denomina en la
literatura eh científica el Ebrio
aleatorio es decir aquella persona que
está ebria que está borracha sale de un
bar y resulta que tiene eh capacidad
para moverse Eh Pues un número de
manzanas desde donde se encuentra
Imagínese ustedes que está eh situado en
este punto central y puede moverse pues
hasta 10 manzanas hacia arriba hacia
abajo hacia la derecha hacia la
izquierda de manera equiprobable es
decir no sabe Hacia dónde va
solo sabe que vive a dos manzanas del
origen a dos manzanas de donde está el
bar eh Y va a empezar a moverse y a las
10 movimientos que haga pues se va a
caer al suelo nuestra pregunta es cuál
es la probabilidad de que termine a dos
calles de donde empezó que supuestamente
en esa cercanía debería estar su casa no
Bueno pues ese es el ejemplo simple que
vamos a intentar desarrollar aplicando
el procedimiento Montecarlo por un lado
Tendremos que eh
ver cuál es la primera acepción Y esa
primera acepción No es otra que como
hemos dicho el generador o de
distribución de tipo de probabilidad No
pues aplicaríamos un esquema como este
en el cual eh si es x probable que se
mueva hacia el norte hacia el sur hacia
el este o hacia el oeste pues lanzando
números aleatorios generando números
aleatorios si es valor su valor es menor
de 25 entre esos números aleatorios los
hemos lanzado entre el 1 y el 100 Pues
si es menor de 25 Pues resulta que
añadiríamos en el eje de las x un valor
una calle si es menor de 50 y mayor de
25 pues iríamos hacia la izquierda nos
movíamos en el eje de aisas pues hacia
la izquierda si está si comprendido ese
número entre 75 50 pues iríamos hacia el
norte y si está entre 75 y 100 iríamos
hacia al sur aquí estamos ya poniendo la
primera acción de Monte Carlo puesto que
realmente estamos generando los números
aleatorios atendiendo a una distribución
lógica de probabilidad Bueno pues este
experimento lo realizaremos un número
determinado de
veces Vámonos ahora entonces a la
segunda acepción vamos a ver ese número
determinado de veces en qué consistiría
imaginemos que hacemos el experimento
una vez y entonces lo que hacemos Es eh
sacar números aleatorios eh sale el 73
el 73 hace que vayamos hacia el norte
volvemos a movernos eh en esos 10 eh
pasos que puede dar o en esas 10 calles
que puede moverse este hombre pues eh
resulta que ahora sale el 21 con lo cual
nos estamos moviendo hacia la derecha y
así sucesivamente al final terminamos eh
después de los 10 movimientos en el
menos menos 1 men1 que concretamente
está a dos calles de donde estaba el
origen por tanto tanto la respuesta
sería que sí que ha llegado a dos calles
después del origen si esto lo lo
traducimos en probabilidades número de
veces que hemos hecho el experimento una
resultado positivo 1 100% de
probabilidad diríamos que estamos en el
100% pero claro esto es igual que lanzar
la moneda si la hemos lanzado solo una
vez pues no es sinónimo de que estemos
dando con la clave hacemos el
experimento una segunda vez y en este
segundo experimento gener los números
aleatorios y resulta que terminamos en
el 0 -4 no está cerca de lo que va a ser
en las dos calles en las cuales se
encuentra su domicilio por tanto ahora
tenemos un sí de la vez anterior un no
de esta podríamos decir que estamos en
el
50% de probabilidades no nos encontramos
en el 50% seguimos haciendo el
experimento lo hacemos una tercera vez
esta vez nos vuelve a salir un 4-2 Al
final nos sale un No pues ahora resulta
que la probabilidad pues está ía en
entorno Del 33 por. lo realizamos una
cuarta vez Ahora resulta que la
probabilidad es sí está en en el 2
cuando termina el último experimento
Pues resulta que estaríamos en una
probabilidad del
50% así sucesivamente lo seguiríamos
haciendo un número determinado de veces
hasta obtener lo que es el valor de la
probabilidad
eh el más acercado a lo que puede ser la
realidad siempre siempre y cuando este
valor eh que vamos obteniendo eh Como
ven ustedes va viendo va fluctuando
llegará un momento que empiece a
estabilizarse y ya no solamente el valor
de la media que estamos calculando sino
también el de la varianza también se
vaya estabilizando Bueno pues con este
ejemplo sencillo les he quiero
transmitir lo que es la aplicación del
procedimiento Montecarlo dentro como
resolución a modelos en los cuales se
aplica la incertidumbre probabilística
es decir están
están aplicando variables de tipo
estocástico Muchas gracias por su
atención y espero volver a verles en la
próxima clase magistral gracias
Weitere ähnliche Videos ansehen
Definición de Probabilidad y sus enfoques: Clásico, Frecuentista y Subjetivo.
Progresión 3. Pensamiento matemático 1. DGETI 2023 MCCEMS
Método Simplex
Pensamiento Matemático I – Progresión 3
ESTADÍSTICA: TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS EXPERIMENTACIÓN
15 Variable aleatoria y función de distribución acumulativa
5.0 / 5 (0 votes)