ERM: 1.2. Tensor de tensiones

Summary

Este video explica el concepto de tensor de tensiones y cómo se utiliza para obtener el valor del vector tensión en un punto de un sólido, independientemente del plano de corte. Se describe cómo al cortar un sólido por distintos planos perpendiculares se generan componentes normales y tangenciales del vector tensión. Aplicando el equilibrio de momentos y fuerzas, se demuestra que el tensor de tensiones tiene solo seis componentes independientes. Además, se presenta un ejemplo práctico para ilustrar cómo calcular tensiones normales y tangenciales utilizando el tensor de Cauchy.

Takeaways

• 🔧 El tensor de tensiones proporciona toda la información necesaria para describir las tensiones en un punto de un sólido.
• 🔪 El vector tensión depende del plano de corte, y el tensor de tensiones permite calcularlo para cualquier plano.
• 🔍 Al cortar un sólido por planos perpendiculares a los ejes x, y, y z, se obtienen componentes normales y tangenciales de las tensiones.
• 📐 El tensor de tensiones contiene nueve componentes, pero debido a su simetría, solo se necesitan seis valores para definirlo.
• ⚖️ Las tensiones tangenciales deben cumplir el equilibrio de momentos, lo que simplifica la cantidad de incógnitas en el sistema.
• 🔄 Las ecuaciones de equilibrio aseguran que las tensiones tangenciales sean iguales en valor y opuestas en sentido para evitar la rotación del sólido.
• 💡 El teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales permite reducir el número de componentes necesarias para definir el tensor.
• 🧮 Al multiplicar el tensor de tensiones por un vector unitario perpendicular a un plano, se obtiene el vector tensión en ese plano.
• 📊 El tensor de tensiones de Cauchy, nombrado en honor al matemático Augustin-Louis Cauchy, es fundamental en la teoría de la elasticidad.
• 🔍 El tensor de tensiones permite determinar tanto la componente normal como la componente tangencial del vector tensión en cualquier plano.

Q & A

¿Qué es el vector tensión y por qué depende del plano de corte?

El vector tensión describe la fuerza por unidad de área que actúa sobre un plano dentro de un sólido. Depende del plano de corte porque el valor de las tensiones puede variar según la orientación del plano respecto al sólido.

¿Cuál es la ventaja de usar un tensor de tensiones en lugar de un vector de tensión?

El tensor de tensiones contiene toda la información sobre el estado de tensión en un punto y permite calcular el vector tensión para cualquier plano que pase por ese punto, independientemente de su orientación.

¿Cómo se divide el vector tensión en un plano perpendicular al eje X?

Al cortar por un plano perpendicular al eje X, el vector tensión se divide en una componente normal (tensión en dirección X) y dos componentes tangenciales, una en dirección Y (tau XY) y otra en dirección Z (tau XZ).

¿Qué significa el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales?

El teorema de reciprocidad establece que las tensiones tangenciales en un punto infinitesimal deben ser iguales en magnitud pero en sentido contrario, para mantener el equilibrio de momentos y evitar que el punto rote.

¿Cuántos valores diferentes tiene el tensor de tensiones y por qué?

El tensor de tensiones tiene nueve componentes, pero en realidad solo seis valores diferentes, ya que es un tensor simétrico. Esto significa que las tensiones tangenciales en direcciones opuestas son iguales.

¿Cómo se calcula el vector tensión a partir del tensor de tensiones y un plano dado?

Para calcular el vector tensión, se define un vector unitario perpendicular al plano deseado y se multiplica el tensor de tensiones por ese vector unitario. Esto da el vector tensión correspondiente a ese plano.

¿Qué representa gráficamente el cubo infinitesimal en el contexto del tensor de tensiones?

El cubo infinitesimal es una representación visual que ayuda a entender cómo actúan las tensiones normales y tangenciales en un punto del sólido. Aunque se dibuja grande, representa un punto infinitesimal en el espacio.

¿Cómo se representa una tensión de tracción y una tensión de compresión en un sólido?

Una tensión de tracción se representa con un vector que sale del punto infinitesimal (positivo), mientras que una tensión de compresión se representa con un vector que entra al punto (negativo).

¿Cómo se obtiene la componente tangencial de un vector tensión?

Para obtener la componente tangencial, se resta el cuadrado de la componente normal del cuadrado del vector tensión total y se toma la raíz cuadrada del resultado.

¿Qué importancia tiene el tensor de tensiones de Cauchy en la teoría de elasticidad?

El tensor de tensiones de Cauchy es fundamental en la teoría de la elasticidad, ya que permite describir el estado tensional en cualquier punto de un sólido y calcular las tensiones en cualquier plano, independientemente de su orientación.