Cálculo Integral - Tutorial de Área bajo la curva
Summary
TLDREn este tutorial se explica cómo calcular el área bajo la curva de una función. Se utiliza la fórmula de la integral definida y se eligen los límites de integración [-1, 1]. Se muestra gráficamente que la función es una parábola que intersecta los ejes en -1 y 1. Se calcula el área utilizando la integración de la función \( x^3 - 1 \) y se tiene en cuenta que el área es negativa, ya que está debajo del eje X. Al sustituir los límites y resolver la integral, se obtiene un área de 4/3 de unidades cuadradas, lo que demuestra un resultado positivo y correcto para el problema planteado.
Takeaways
- 📚 Hoy se discute el cálculo del área bajo la curva utilizando la fórmula de la integral definida.
- 📐 Se utiliza la función y = x^3 - 1 para ilustrar el cálculo del área bajo la curva.
- 📈 La gráfica de la función es una parábola que intersecta los ejes en -1 y 1.
- ⏲ Los límites de integración son -1 (a) y 1 (b), que definen el intervalo para calcular el área.
- 🔢 La integral a calcular es ∫_{-1}^{1} (x^3 - 1) dx.
- ➡ La integral de x^3 es (x^4)/4 y la de -1 es -x, evaluadas en los límites.
- ❗ Se toma en cuenta que el área bajo la curva puede ser negativa, lo que afecta el resultado final.
- 🔄 Al sustituir los límites en la integral, se obtiene el área como una expresión algebraica.
- 🔢 El cálculo final da como resultado un área de 4/3 unidades cuadradas.
- ⚠ Es importante verificar que el área no sea cero o negativa, ya que esto indicaría un error en el cálculo.
Q & A
¿Qué es el área bajo la curva y cómo se calcula?
-El área bajo la curva se refiere a la cantidad de espacio que se encuentra debajo de una función y entre dos puntos en los ejes. Se calcula mediante la integral definida de la función entre los límites correspondientes.
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular el área bajo la curva?
-La fórmula utilizada es la integral definida de la función de X, del diferencial de X, entre los límites a y b.
¿Qué función se utiliza en el ejemplo del video para calcular el área bajo la curva?
-Se utiliza la función y = x^3 - 1 para calcular el área bajo la curva.
¿Cómo se determina visualmente el área bajo la curva en el ejemplo?
-El área se determina visualmente como la región cerrada debajo de la parábola y = x^3 - 1, entre los puntos donde la función intersecta los ejes en -1 y 1.
¿Cuáles son los límites de integración utilizados en el ejemplo?
-Los límites de integración utilizados son -1 (a) y 1 (b), que corresponden a los puntos de intersección de la función con los ejes.
¿Cómo se integran las funciones en el ejemplo para encontrar el área?
-Se integran las funciones mediante la sustitución de los límites y el uso de reglas de integración básicas, como la integración de una función polinomial.
¿Qué significa el término 'área negativa' en el contexto del vídeo?
-El término 'área negativa' se refiere a la región debajo del eje x, que se representa con un signo negativo al calcular el área.
¿Cómo se maneja el signo negativo al calcular el área en el ejemplo?
-El signo negativo se maneja multiplicando todo el resultado de la integral por -1, ya que la región está debajo del eje x.
¿Cuál es el resultado final del cálculo del área bajo la curva en el ejemplo?
-El área bajo la curva se calcula como 4/3 de unidades cuadradas.
¿Por qué es importante identificar si el área es positiva o negativa?
-Es importante identificar si el área es positiva o negativa para asegurarse de que el cálculo esté correcto y para interpretar adecuadamente el significado geométrico del área en el plano cartesiano.
Outlines
📘 Cálculo del Área Bajo la Curva
El primer párrafo explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando la fórmula de la integral definida. Se utiliza la función y = x^3 - 1 como ejemplo, y se muestra gráficamente cómo la parábola intersecta los ejes en -1 y 1. Se definen los límites de integración como -1 y 1, y se calcula el área entre los límites. Se resalta la importancia de considerar el signo negativo para el área que se encuentra debajo del eje x, y se muestra el proceso de integración y sustitución de límites para obtener el resultado final del área, que es -2/3, pero al interpretarlo como una área positiva, se obtiene 4/3 de unidades cuadradas.
🔢 Significado y Consideraciones del Área Calculada
El segundo párrafo enfatiza la importancia de interpretar el área calculada y sus posibles significados. Se menciona que el área nunca debe ser cero o negativa, ya que esto indicaría un error en el cálculo. Se explica que el área negativa indica que la región está debajo del eje x y cómo se debe manejar el signo negativo al evaluar los límites. Finalmente, se resalta la importancia de comprender cuándo el área es positiva y cuándo es negativa, y se concluye con el resultado del área bajo la curva, que es 4/3 de unidades cuadradas, y se invita a los espectadores a seguir aprendiendo en el próximo tutorial.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo la curva
💡Integral definida
💡Límites
💡Función
💡Diferencial de X
💡Parábola
💡Área negativa
💡Regla de sustitución
💡Resultado de la integral
💡Tutorial
Highlights
Hoy hablaremos sobre el área bajo la curva.
La fórmula para el área bajo la curva es la integral definida de la función de X entre los límites a y b.
Vamos a calcular el área bajo la curva de la función y = x^3 - 1.
La función y = x^3 - 1 intersecta los ejes en -1 y 1.
El área a evaluar está entre los límites -1 y 1.
Los límites de integración son -1 (a) y 1 (b).
La función a integrar es x^3 - 1 diferencial de X.
El área bajo la curva es negativa, lo que significa que está debajo del eje X.
La integral de x^3 sobre 3 menos la integral de 1, evaluada entre -1 y 1.
Sustituimos los límites en la integral para encontrar el área.
El cálculo incluye la sustitución de -1 y 1 en la función y la consideración del signo negativo.
El resultado final del área bajo la curva es 4/3 de unidades cuadradas.
El área no puede ser cero o negativo; si lo es, algo está mal.
Es importante identificar cuando el área es positiva o negativa.
El área fue negativa debido a que está debajo del eje X.
El signo negativo se incluye para reflejar que el área está debajo del eje X.
La resolución final del problema muestra un área de 4/3 unidades cuadradas.
El próximo tutorial será sobre el área entre curvas.
Transcripts
Hola amigos el día de hoy vamos a hablar
acerca del área bajo la
curva para hablar de área bajo la curva
nosotros vamos a ocupar la siguiente
fórmula el área va a ser igual a la
integral definida de a y b de la función
de X del diferencial de X a y b
simplemente son unos límites Como por
ejemplo y = x cu - 1 bien Vamos a hacer
el área bajo la curva de esa de esa
fórmula de esa ecuación vamos a verlo
gráficamente
esta esta función tiene la siguiente
gráfica nos queda que es una parábola Y
si nos damos cuenta intersecta esa
parábola en -1 y en uno así que el área
que vamos a nosotros a evaluar es
precisamente
esta Espero que sí puedan visualizar Por
qué Porque es justamente el área cerrada
que tenemos en nuestra función Esta es
el área que vamos a sacar y si se dan
cuenta esta área está definido por el -1
y por el 1o Así que esos van a ser
nuestros límites es decir eso va a ser
mi a y b
por lo que entonces escribimos que mi
función a es -1 y b es = a 1 el -1 que
corresponde a esto y esto que es B que
es 1 b y a por lo tanto nosotros podemos
definir entonces que el área va a ser
igual a la integral de -1 y 1 de mi
función y cuál es mi función es esta x
cu - 1 diferencial de X
ahora ya que tenemos esto pues esto lo
podemos integrar fácilmente de acuerdo
al tutorial de integración básica área
va a ser igual a la integral de x
cuadrada es x cúbica sobre 3 menos la
integral de 1 es x pero está definida
por los límites de -1 y
1 pero algo muy importante que debemos
de considerar
es como es un área negativa es decir
todo lo que está aquí abajo es
negativo Entonces vamos nosotros a
poner que Esto va a ser
negativo entonces este signo va a
afectar a todo lo que yo tenga aquí
dentro por lo que nos va a quedar - x c
sobre 3 + x x definida con 1 y
-1 ahora bien qué hacemos con estos
límites estos límites los vamos a
sustituir en x es decir en mis
incógnitas Primero sustituimos este un
en todas las x para que nos quede que el
área es igual a
-1 cubo sobre 3 + 1 Esta es una parte
Pero qué pasa con este otro -1 lo
dejamos olvidado a ese otro -1 también
lo vamos a incluir Pero va a est
sustituido por un signo menos este signo
menos siempre debe ser así Es por regla
por
fórmula menos
Entonces ahora sustituimos este -1 en
nuestra en las x que nos quedaría menos
de este menos
Sí - 1 C sobre
3 -
1 Ahora lo único que nos queda por hacer
es resolver esto que tenemos área
entonces va a ser igual -1 cu - 1 sobre
3 +
1
menos -1 cub es - 1 por menos nos queda
positivo nos quedaría 1 sobre 3
-
1
ahora -
1/3 +
1 son
2/3 menos
1/3 +
1
es
también - 2/3 nos quedaría esto como -
2/3 entonces o sea esto se hace
positivo y finalmente 2/3 por 2/3 nos da
4/3 de unidades cuadradas porque es
área quiere decir que este pedacito este
Cachito que nosotros elegimos vale 4/3
de
unidades
cuadradas algo muy importante es de que
el área
nunca puede dar cer0 y nunca puede dar
negativo en caso de que nos diera cero o
negativo significa que algo hicimos mal
es muy importante también que
identifiquen cuando el área es positiva
y cuando el área es negativa aquí el
área fue negativa porque está abajo de
mi coordenada de las x y como fue
negativa entonces por eso incluimos este
signo menos que afecta toda mi función y
y únicamente evaluamos los límites en
las x y lo separamos por un signo menos
que siempre debe ser menos siempre es
por regla únicamente resolvimos todo y
nos queda el resultado como
4/3 Espero que no haya quedado ninguna
duda y nos vemos en el siguiente
tutorial de área entre curvas hasta
luego
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