Vectores propios y valores propios | Esencia del álgebra lineal, capítulo 10
Summary
TLDREl guión de este video trata sobre valores propios y vectores propios, un tema que a menudo parece poco intuitivo para los estudiantes. Se discute la importancia de entender las matrices como transformaciones lineales y cómo los vectores propios permanecen en su propio subespacio generado durante la transformación. Se ilustra cómo los valores propios y vectores propios son útiles para visualizar y simplificar problemas en álgebra lineal, como encontrar el eje de rotación en una transformación. Se enfatiza la necesidad de una sólida comprensión visual y conocimientos previos en determinantes, sistemas de ecuaciones y cambio de base para entender completamente este concepto.
Takeaways
- 😀 Los valores propios y vectores propios son conceptos que a menudo parecen poco intuitivos para los estudiantes.
- 🔍 Es importante tener una comprensión visual sólida para entender estas ideas, incluyendo la interpretación de matrices como transformaciones lineales.
- 📚 Se recomienda estar familiarizado con determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y el cambio de base antes de abordar vectores propios y valores propios.
- 🎯 Los vectores propios son aquellos que permanecen en su propio subespacio generado durante una transformación lineal.
- 📏 El valor propio asociado a un vector propio es el factor por el cual el vector se estira o encoge durante la transformación.
- 🌀 En el caso de rotaciones en tres dimensiones, los vectores propios son los ejes de rotación, donde los valores propios son 1, ya que no alteran la longitud del vector.
- 🔢 El cálculo de vectores propios y valores propios implica resolver una ecuación donde la matriz menos lambda por la identidad resulta en un vector nulo.
- 📉 El determinante de la matriz lambda menos la matriz original es clave para encontrar los valores propios, ya que debe ser cero para que haya soluciones no triviales.
- 📚 El ejemplo dado muestra cómo se pueden calcular los valores propios y vectores propios para una matriz específica, encontrando raíces del polinomio resultante.
- 🔄 Las transformaciones que no tienen vectores propios, como una rotación de 90 grados, rotan todos los vectores fuera de su propio subespacio generado.
- 📊 Una base propia es un sistema de coordenadas donde los vectores de la base son vectores propios, lo que simplifica la multiplicación de matrices y el cálculo de potencias.
Q & A
¿Por qué los valores propios y vectores propios pueden ser difíciles de entender para los estudiantes?
-Los valores propios y vectores propios pueden ser difíciles de entender porque a menudo se dejan preguntas sin respuesta y se enfocan en cálculos numéricos sin una comprensión visual sólida. Esto se debe a que se necesita estar cómodo con conceptos como las transformaciones lineales, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y el cambio de base.
¿Qué es una transformación lineal y cómo se relaciona con los vectores propios?
-Una transformación lineal es una función que mantiene las operaciones de adición y escalado en un espacio vectorial. Los vectores propios son aquellos que, bajo una transformación lineal, permanecen en su propio subespacio generado, lo que significa que solo se estiran o encogen por un factor escalar.
¿Qué es un vector propio y cómo se relaciona con su valor propio?
-Un vector propio es un vector que, tras ser transformado por una matriz, se mantiene en su propio subespacio generado. Su valor propio es el factor por el cual el vector se estira o encoge durante la transformación.
¿Cómo se relacionan los vectores propios con las rotaciones en tres dimensiones?
-En el caso de una rotación en tres dimensiones, si se encuentra un vector propio, este representa el eje de rotación. Los vectores propios se mantienen en su propio subespacio generado sin ser girados fuera de él.
¿Por qué es útil encontrar vectores propios y valores propios para entender una transformación lineal?
-Encontrar vectores propios y valores propios ayuda a entender la esencia de lo que hace una transformación lineal, ya que muestra cómo se escalan los vectores en lugar de depender de un sistema particular de coordenadas.
¿Cómo se calcula simbólicamente un vector propio y su valor propio para una matriz dada?
-Se calcula buscando vectores b y escalares λ que cumplan con la expresión Av = λb, donde A es la matriz de transformación, v es el vector propio y λ es el valor propio asociado.
¿Qué implica que un vector no sea un vector propio para una transformación lineal?
-Si un vector no es un vector propio, significa que durante la transformación lineal, el vector se rota fuera de su propio subespacio generado y no solo se estira o encoge por un factor escalar.
¿Cómo se relaciona el determinante con la existencia de vectores propios distintos de cero?
-El determinante de una matriz se relaciona con la existencia de vectores propios distintos de cero, ya que la única manera de que el producto de una matriz con un vector distinto de cero sea cero es si la transformación asociada reduce el espacio a una dimensión inferior, lo que corresponde a un determinante cero.
¿Qué sucede si se intenta calcular los vectores propios de una rotación de 90 grados?
-Al calcular los vectores propios de una rotación de 90 grados, se observa que no hay vectores propios reales, ya que su matriz tiene columnas que representan números imaginarios, lo que indica que todos los vectores son rotados fuera de su propio subespacio generado.
¿Qué es una base propia y cómo se relaciona con las matrices diagonales?
-Una base propia es un sistema de coordenadas donde los vectores de la base son también vectores propios de la transformación. Esto resulta en una matriz diagonal, donde los valores propios están en la diagonal y los vectores de la base se escalan por estos valores en lugar de ser transformados de manera más compleja.
Outlines
😕 Comprensión intuitiva de valores propios y vectores propios
El primer párrafo aborda la dificultad que muchos estudiantes enfrentan para entender intuitivamente los valores propios y vectores propios, temas que a menudo quedan sin respuestas claras en medio de cálculos matemáticos. Se argumenta que la clave para entender estos conceptos es tener una sólida comprensión visual, especialmente en el contexto de las transformaciones lineales y conceptos relacionados como determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y cambio de base. Se ilustra cómo algunos vectores se mantienen en su propio subespacio durante una transformación lineal, lo que los convierte en vectores propios, y cómo estos tienen asociados valores propios que representan el factor de estiramiento o compresión.
🔍 Vectores propios y valores propios: una visión conceptual
El segundo párrafo profundiza en la idea de vectores propios y valores propios, presentando una aproximación conceptual y simbólica para su cálculo. Se describe el proceso de encontrar vectores propios y valores propios como la búsqueda de vectores que, cuando se multiplican por una matriz, resultan en un escalar múltiplo del mismo vector. Se utiliza la matriz identidad y el valor propio 'lambda' para representar esta relación, y se discute cómo la condición de que el determinante de la matriz (A - lambda * I) sea cero es crucial para encontrar estos valores. Se enfatiza la importancia de comprender la reducción de espacio y la relevancia de los determinantes en el contexto de sistemas de ecuaciones lineales con soluciones no triviales.
📚 Ejemplos y aplicaciones de vectores propios y valores propios
El tercer párrafo presenta ejemplos concretos de cómo calcular los valores propios y vectores propios, utilizando matrices con columnas específicas y resolviendo el determinante para encontrar posibles valores de 'lambda'. Se exploran casos como la rotación de 90 grados, que no tiene vectores propios, y la inclinada que tiene vectores propios en el eje x con un valor propio de 1. Se destaca la posibilidad de tener una base propia, donde los vectores de la base son también vectores propios, lo que simplifica enormemente las operaciones con matrices diagonales.
🌐 Cambio de base y la importancia de las bases propias
El último párrafo concluye la serie de videos sobre espacios vectoriales y transformaciones lineales, enfocándose en el cambio de base y la creación de una base propia utilizando vectores propios. Se explica cómo la representación de una transformación en una base propia resulta en una matriz diagonal con los valores propios en la diagonal. Esto simplifica enormemente el cálculo de potencias de matrices y se presenta como una herramienta poderosa para problemas avanzados en álgebra lineal.
Mindmap
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💡Subespacio generado
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💡Matriz diagonal
💡Cambio de base
Highlights
Valores propios y vectores propios son temas que a menudo parecen poco intuitivos para los estudiantes.
La comprensión visual es crucial para entender el significado de los valores y vectores propios.
Se debe estar cómodo con conceptos como determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y cambio de base para entender los vectores propios.
Las transformaciones lineales pueden ser vistas como cambios en los vectores de la base.
Algunos vectores permanecen en su propio subespacio generado durante la transformación lineal.
Los vectores propios son aquellos que se estiran o encogen por un factor escalar durante la transformación.
Los valores propios representan el factor por el cual un vector propio se estira o encoge.
Las rotaciones en 3D pueden ser vistas en términos de un eje de rotación y un ángulo, facilitando su comprensión.
La comprensión de vectores propios y valores propios puede simplificar la visualización de transformaciones lineales.
La matriz que representa una transformación lineal puede ser factorizada en términos de vectores propios y valores propios.
Los vectores propios y valores propios se calculan buscando vectores que no sean nulos y que cumplan con la ecuación de transformación.
El determinante de una matriz relacionada con los valores propios es clave para encontrar los vectores propios.
Las matrices diagonales son más fáciles de trabajar debido a que sus vectores de base son vectores propios.
Una base propia es una base en la que los vectores de la base son también vectores propios de la transformación.
El cambio a una base propia puede simplificar cálculos de potencias de matrices.
Las matrices que no tienen suficientes vectores propios para generar todo el espacio no pueden tener una base propia.
Las transformaciones con una gran cantidad de vectores propios facilitan el cálculo de potencias de matrices.
El concepto de base propia se puede aplicar para simplificar cálculos en álgebra lineal.
La búsqueda de vectores propios y valores propios es una herramienta poderosa en el análisis de transformaciones lineales.
Transcripts
[Música]
valores propios y vectores propios es
uno de esos temas que a muchos de los
estudiantes les parece particularmente
poco intuitivo
a menudo las preguntas como por qué
estamos haciendo esto y qué significa
esto realmente son dejadas en el aire
sin respuesta en medio de un mar de
cálculos numéricos y cuando puse los
vídeos de la serie muchos de ustedes han
comentado acerca de la visualización de
este tema en particular sospecho que la
razón de esto no es tanto que las cosas
propias sean particularmente complicadas
o mal explicadas de hecho es
relativamente sencillo y creo que la
mayoría de los libros hacen un buen
trabajo al explicarlo la cuestión es que
en realidad este tema sólo tiene sentido
si tienes una sólida comprensión visual
para muchos de los temas anteriores lo
más importante aquí es que sepas cómo
pensar en matrices como transformaciones
lineales pero también tienes que estar
cómodo con cosas como determinantes
sistemas de ecuaciones lineales y el
cambio de base la confusión acerca de
las cosas propias por lo general tiene
más que ver con una base inestable de
conocimientos en uno de estos temas que
con los vectores propios y valores
propios por sí mismos para empezar
considera una transformación lineal en
dos dimensiones como la que se muestra
aquí se mueve el vector de la base y
sombrerito alas de nada 30 y jota
sombrerito a 12 por lo cual se
representa con una matriz cuyas columnas
son 30 y 12 céntrate en lo que hace a un
vector particular y piensa en el sub
espacio generado de ese vector la línea
que está pasando por el origen y su
punta la mayoría de los vectores van a
ser anulados de su sub espacio generado
durante la transformación es decir sería
bastante coincidencia si el lugar donde
aterrizó el vector también fuera a estar
en algún lugar de esa línea sin embargo
algunos vectores especiales si
permanecen en su propio sub espacio
generado y significa que el efecto que
tiene la matriz en tal vector es sólo
para estirarlo aplastarlo como una
escalar
para este ejemplo específico el vector
de la base y sombrerito es un vector
especial el sub espacio generado del
sombrerito es el eje x y de la primera
columna de la matriz podemos observar
que y sombrerito se mueve tres veces su
longitud siguiendo en el eje x lo que es
más debido a la forma en que funcionan
las transformaciones lineales cualquier
otro vector en el eje x se encuentra
simplemente estirado por un factor de 3
y por lo tanto se mantiene en su propio
sub espacio generado un vector
ligeramente más sigiloso que permanece
en su propio sub espacio generado
durante esta transformación es menos 1 1
el cual termina siendo estirado por un
factor de 2
y de nuevo la linealidad va a implicar
que cualquier otro vector en la línea
diagonal generada por este vector solo
va a quedar estirado en un factor de 2
y para esta transformación esos son
todos los vectores con esta propiedad
especial de que permanecen en sus v
espacio generado aquellos en el eje x
siendo estirados por un factor de 3
hilos de esta línea diagonal siendo
estirados por un factor de 2 cualquier
otro vector será girado de alguna manera
durante la transformación saliendo de la
línea que genera
como ya habrás adivinado por ahora estos
vectores especiales son los llamados
vectores propios de la transformación y
cada vector propio tiene asociado con él
lo que se llama un valor propio que es
solo el factor por el cual se estira o
encoge durante la transformación
por supuesto no hay nada de especial
sobre estirarse o encogerse o del hecho
de que estos valores propios resultan
ser positivos en otro ejemplo podrías
tener un vector propio con el valor
propio menos un medio lo que significa
que el vector se voltio y encogió por un
factor de un medio
pero la parte más importante aquí es que
se mantienen en la línea que generan sin
ser girados fuera de ella
para tener una visión de por qué esto
podría ser una cosa útil para pensar
considera alguna rotación en tres
dimensiones
si puedes encontrar un vector propio
para esa rotación un vector que se
mantiene en su suyo espacio generado lo
que habrás encontrado es el eje de
rotación
y es mucho más fácil pensar en una
rotación en 3-d en términos de algún eje
de rotación y un ángulo por el cual se
está rotando en lugar de pensar en la
matriz de tres por tres completa a
sociedad con esa transformación
en este caso por cierto el valor propio
correspondiente tendría que ser 1 puesto
que las rotaciones nunca estiran no
encoge nada dado que la longitud del
vector seguiría siendo la misma
este patrón aparece muchas veces en el
álgebra lineal con cualquier
transformación lineal descrita por una
matriz podrías entender lo que está
haciendo si lees las columnas de esta
matriz como los puntos de llegada para
los vectores de la base pero a menudo
una mejor manera de llegar al corazón de
lo que la transformación lineal en
realidad hace que depende menos de tu
sistema particular de coordenadas es
encontrar los vectores propios y valores
propios
no voy a cubrir todos los detalles sobre
los métodos para calcular los vectores
propios y valores propios pero voy a
tratar de dar una visión general de las
ideas para calcular qué son más
importantes para una comprensión
conceptual simbólicamente esto es algo
que se parece la idea de un vector
propio a es la matriz que representa
alguna transformación con ve como el
vector propio y lambda es un número es
decir el correspondiente valor propio lo
que esta expresión está diciendo es que
el producto matriz vector a por b da el
mismo resultado que simplemente escalar
el vector propio b por algún valor
lambda por lo que encontrar los vectores
propios y los valores propios de la
matriz a se reduce encontrar los valores
de b y lambda que hacen que esta
expresión sea verdadera
al principio es un poco incómodo
trabajar con esto debido a que el lado
izquierdo representa la multiplicación
de una matriz por un vector pero el lado
derecho es la multiplicación de una
escalar por un vector así que vamos a
empezar reescribiendo ese lado de la
derecha como una especie de
multiplicación de matriz vector
utilizando una matriz que tenga el
efecto de multiplicar cualquier vector
por un factor escalar lambda las
columnas de dicha matriz representarán
lo que sucede a cada vector de la base y
cada vector de la base simplemente x
lambda por lo que esta matriz tendrá el
número lambda en su diagonal y ceros en
cualquier otro sitio
la forma más común de escribir esto es
factor izando lambda y escribir todo
como lambda por donde es la matriz
identidad con unos en su diagonal
teniendo ambos lados como una
multiplicación de matriz por vector
podemos restar de ese lado de la derecha
y factorizar la b
así que lo que tenemos ahora es una
nueva matriz a menos lambda por iu y
estamos buscando un vector b tal que
esta nueva matriz multiplicada por b da
el vector 0
ahora bien esto siempre será cierto si
ves el vector 0 pero eso es aburrido lo
que queremos es un vector propio que no
sea cero y si has visto los capítulos 5
y 6 sabrás que la única manera que es
posible que el producto de una matriz
con un vector distinto de 0 sea 0 es si
la transformación asociada con esa
matriz reduce el espacio a una dimensión
inferior
y esa reducción se corresponde con un
determinante cero de la matriz
para hacer concretos digamos que tu
matriz tiene columnas 21 y 23 y piensa
en restar una cantidad variable lambda
de cada entrada en la diagonal
ahora imagina ajustar el valor de la
cndh a poco a poco
a medida que el valor de la onda cambia
la propia matriz cambia y por lo tanto
el determinante de la matriz cambia
el objetivo aquí es encontrar un valor
de lambda que haga que ese determinante
sea 0 lo cual significa que la
transformación ajustada reduce el
espacio a una dimensión inferior en este
caso el punto justo se da cuando lambda
es igual a 1 por supuesto si hemos
elegido otra matriz el valor propio
podría no ser necesariamente 1 el punto
justo podría ser en algún otro valor de
lambda todo esto es demasiado pero vamos
a desentrañar lo que nos está diciendo
esto cuando holanda es igual a 1 la
matriz a menos lambda por y reduce el
espacio en una línea esto significa que
hay un vector no nulo b tal que a menos
lambda por y por b es igual al vector 0
y recuerda la razón por la que nos
importa eso es porque significa que
apure es igual a lambda por b
que se puede leer diciendo que el vector
b es un vector propio de a que se queda
en su propio sub espacio generado
durante la transformación y en este
ejemplo el valor propio correspondiente
es 1 por lo tanto en realidad b sólo se
mantiene fijo en su lugar hace una pausa
y reflexión así necesitas asegurarte que
esta línea de razonamiento se siente
bien
este es el tipo de situación que
mencionaba en la introducción si no
tienes un buen entendimiento de los
determinantes y por qué se relacionan
con los sistemas de ecuaciones lineales
que tienen soluciones diferentes a cero
entonces una expresión como ésta se
sentiría completamente inesperada para
ver esto en acción volvamos al ejemplo
del principio dada la matriz cuyas
columnas son 3 0 y 12 para encontrar sin
lambda es un valor propio resta lo de
las diagonales de esa matriz y calcula
el determinante
al hacer esto obtenemos un cierto
polinomio cuadra tico en lambda 3 menos
lambda por dos menos lambda como holanda
sólo puede ser un valor propio si este
determinante resulta ser 0 se puede
deducir que los únicos valores propios
posibles son dando igual a 2 y lambda
igual a 3
para averiguar cuáles son los vectores
propios que tienen uno de estos valores
propios digamos landa igualados y evalúa
ese valor de lambda en la matriz y luego
encuentra para qué vectores esta matriz
modificada en su diagonal arroja cero
si calculas esto de la forma en que
harías con cualquier otro sistema lineal
verías que las soluciones son todos los
vectores en la línea diagonal generada
por menos 11 esto corresponde al hecho
de que la matriz inalterada 3 012 tiene
el efecto de estirar todos aquellos
vectores en un factor de 2
ahora una transformación donde no tiene
por qué tener vectores propios por
ejemplo considera una rotación de 90
grados esta no tiene ningún vector
propia ya que rota cada vector fuera de
su propio sub espacio generado
si en realidad intentas calcular los
vectores propios de una rotación como
esta observa lo que ocurre su matriz
tiene columnas 0 1 y menos 10
restaurando de los elementos de la
diagonal y busca cuando es determinante
sea cero
en este caso se obtiene el polinomio
blanda cuadrada más 1
las únicas raíces de ese polinomio son
los números imaginarios y menos y
el hecho de que no haya soluciones de
números reales indica que no existen
vectores propios
otro ejemplo muy interesante que vale la
pena tener en cuenta es una inclinada
está deja fija y sombrerito y mueve aj
sombrerito un lugar de modo que esta
matriz tiene columnas 10 y 11 todos los
vectores en el eje x son vectores
propios con valor 1 ya que permanecen
fijos en su sitio
de hecho estos son los únicos vectores
propios cuando se resta lambda de las
diagonales y se calcula el determinante
lo que se obtiene es 1 - lambda cuadrada
y la única raíz de esta expresión es
lambda igual a 1
esto concuerda con lo que vemos
geométricamente que todos los vectores
propios tienen valor propio 1 ten en
cuenta sin embargo que es posible tener
un solo valor propio pero con algo más
que una línea completa de vectores
propios
un ejemplo sencillo es una matriz que
escala todo por dos el único valor
propio es dos pero cada vector en el
plano llega a ser un vector propio con
ese valor propio
ahora es un buen momento para hacer una
pausa y reflexionar sobre esto antes de
pasar al último tema
quiero terminar aquí con la idea de una
base propia que se basa principalmente
en las ideas del último vídeo
echa un vistazo a lo que sucede si
nuestros vectores de la base fueran
vectores propios por ejemplo tal vez y
sombrerito es escalado por menos uno y
jota sombrerito se escala por dos
escribiendo sus nuevas coordenadas como
las columnas de una matriz nos damos
cuenta que esos múltiplos escalares
menos 1 y 2 que son los valores propios
del sombrerito y jota sombrerito se
quedan en la diagonal de nuestra matriz
y todas las demás entradas son 0
siempre que una matriz tiene ceros por
todas partes excepto en la diagonal se
le llama lógicamente una matriz diagonal
y la forma de interpretar esto es que
todos los vectores de la base son
vectores propios con las entradas
diagonales de esta matriz siendo sus
valores propios
hay un montón de cosas que hacen que las
matrices diagonales sean mucho más
agradables para trabajar con ellas una
razón es que es más fácil de calcular lo
que ocurriera si se multiplica esta
matriz por sí misma un montón de veces
puesto que todas estas matrices lo que
hacen es multiplicar por un escalar cada
vector de la base por algún valor creo
que la aplicación de esta matriz muchas
veces digamos 100 veces simplemente va a
corresponder con escalar cada vector de
la base por la potencia 100 del valor
propio correspondiente por el contrario
intenta calcular la potencia haciendo
una matriz no diagonal en serio prueba
por un momento es una pesadilla
por supuesto rara vez tendrás la suerte
de tener los vectores de la base y que
también sean vectores propios pero si tu
transformación tiene una gran cantidad
de vectores propios como la del
principio de este vídeo los suficientes
para que puedas elegir un conjunto que
se genere por todo el espacio entonces
podrías cambiar tu sistema de
coordenadas de manera que estos vectores
propios sean los vectores de la base
hablé de cambio de base en el último
vídeo pero voy a realizar un
recordatorio muy rápido aquí sobre la
manera de expresar la transformación
actualmente escrita en nuestro sistema
de coordenadas en un sistema diferente
tomar las coordenadas de los vectores
que deseas utilizar como una nueva base
que en este caso significa que hay dos
vectores propios a continuación hace
esas coordenadas las columnas de una
matriz conocida como la matriz de cambio
de base cuando dejas en medio la
transformación original poniendo la
matriz de cambio de base a su derecha y
la inversa de la matriz de cambio de
base a su izquierda el resultado será
una matriz que representa esa misma
transformación pero desde la perspectiva
de los nuevos vectores de la base del
sistema de coordenadas
el punto de hacer esto con vectores
propios es que esta nueva matriz se
garantiza que sea diagonal con sus
correspondientes valores propios en esa
diagonal
esto es debido a que representa trabajar
en un sistema de coordenadas de dónde y
lo que ocurre con los vectores de la
base es que se escalan durante la
transformación
al conjunto de vectores de la base que
también son vectores propios se le llama
razonablemente una base propia así que
si por ejemplo necesitarás calcular la
potencia del número 100 de esta matriz
sería mucho más fácil cambiar a una base
propia calcular la potencia 100 en ese
sistema y luego convertir de nuevo a
nuestro sistema estándar no se puede
hacer eso con todas las transformaciones
una inclinada por ejemplo no tiene
suficientes vectores propios para
generar todo el espacio pero si puedes
encontrar una base propia hace que las
operaciones de la matriz sean realmente
adorables para aquellos de ustedes
dispuestos a trabajar en un buen
problema para apreciar cómo se ve esto
en acción y la forma en que se puede
utilizar para producir algunos
resultados sorprendentes voy a dejar un
texto aquí en la pantalla se necesita un
poco de trabajo pero creo que lo
disfrutarás
el siguiente y último vídeo de esta
serie para tratar de espacios
vectoriales abstractos hasta entonces
[Música]
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