Ecuaciones Cuadraticas
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas utilizando dos métodos principales: la inspección y la fórmula general. La inspección implica encontrar dos términos que, al multiplicarse, den el término cuadrático y cuyos productos diagonales sumados den el término linear. Se ejemplifica con la ecuación 12x^2 - 5x - 3 = 0, obteniendo dos soluciones: x = -1/3 y x = 3/4. La fórmula general, que requiere el cálculo del discriminante, se aplica para determinar si las soluciones son reales o complejas, y se muestra que la misma ecuación tiene soluciones coincidentes con el método de inspección.
Takeaways
- 📚 Se discuten ecuaciones cuadráticas y sus métodos de resolución, destacando la importancia de recordar los métodos de factorización de polinomios de grado 2.
- 🔍 El método de inspección se presenta como una técnica para resolver ecuaciones cuadráticas, buscando dos términos que, multiplicados, den el término cuadrático y cuyos productos diagonales sumen el término medio.
- 🧐 Se ejemplifica el proceso de inspección con la ecuación 12x² - 5x - 3 = 0, mostrando cómo encontrar los factores adecuados y resolver la ecuación.
- 🔄 Se muestra cómo, al no coincidir el término medio, es necesario cambiar el signo de uno de los factores para que los productos diagonales sumen el término medio correcto.
- 📝 Se resuelve la ecuación 12x² - 5x - 3 = 0 utilizando el método de inspección, obteniendo los factores (3x + 1) y (4x - 3).
- ✅ Se aplica la propiedad multiplicativa del cero para encontrar las soluciones de la ecuación factorada, resultando en x = -1/3 y x = 3/4.
- 🔢 Se introduce el concepto del discriminante (Δ = b² - 4ac) para determinar el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.
- 🤔 Se utiliza la fórmula general para ecuaciones cuadráticas (x = (-b ± √Δ) / 2a) para resolver la misma ecuación, obteniendo soluciones consistentes con el método de inspección.
- 📉 Se explica que si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales; si es cero, tiene una solución real; y si es positivo, tiene dos soluciones reales.
- 📌 Se desafía a los espectadores a verificar el conjunto de soluciones y a comprobar si las soluciones obtenidas son parte del conjunto solución de la ecuación cuadrática dada.
Q & A
¿Qué es una ecuación cuadrática y cómo se resuelven utilizando la inspección?
-Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado que generalmente tiene la forma ax² + bx + c = 0. Para resolverla por inspección, se buscan dos términos que, multiplicados, den el término cuadrático y cuyos productos en diagonal sumados den el término linear.
¿Cómo se identifican los términos para la resolución de ecuaciones cuadráticas por inspección en el script?
-Se identifican dos términos que, al multiplicarse, den el término cuadrático (en este caso, 12x²) y cuyos productos en diagonal sumados den el término medio (-5x). Por ejemplo, 3x y 4x son los términos propuestos en el script.
¿Por qué no coincide el término medio en la primera tentativa de factorización por inspección en el script?
-La primera tentativa no coincide porque el producto en diagonal de 3x y 4x, sumados, resulta en un término positivo (5x), mientras que en la ecuación original es negativo (-5x). Esto indica que se debe cambiar el signo de uno de los términos.
¿Cómo se corrige el signo para que coincida con el término medio en la ecuación cuadrática?
-Para que coincida con el término medio, se cambia el signo del término 3x a -3x, lo que resulta en -3x y 4x, y al multiplicar en diagonal, se obtiene -5x, que coincide con el término medio de la ecuación original.
¿Cuál es la ecuación cuadrática que se resuelve en el script?
-La ecuación cuadrática que se resuelve es 12x² - 5x - 3 = 0.
¿Cómo se utiliza la propiedad multiplicativa del cero para resolver la ecuación factorizada en el script?
-La propiedad multiplicativa del cero establece que si un producto de dos números es cero, entonces al menos uno de los números debe ser cero. Esto se aplica a la ecuación factorizada (3x + 1)(4x - 3) = 0, lo que nos da dos ecuaciones sencillas: 3x + 1 = 0 y 4x - 3 = 0.
¿Cuáles son las soluciones para la ecuación cuadrática resuelta en el script?
-Las soluciones para la ecuación 12x² - 5x - 3 = 0, obtenidas por inspección, son x = -1/3 y x = 3/4.
¿Qué es el discriminante y cómo se relaciona con las soluciones de una ecuación cuadrática?
-El discriminante es una expresión matemática, D = b² - 4ac, que revela la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática. Si D < 0, no hay soluciones reales; si D = 0, hay una solución real única; y si D > 0, hay dos soluciones reales.
¿Cómo se calcula el discriminante para la ecuación cuadrática dada en el script?
-El discriminante se calcula sustituyendo en la fórmula D = b² - 4ac, donde en la ecuación 12x² - 5x - 3 = 0, a = 12, b = -5 y c = -3. El cálculo resulta en D = (-5)² - 4*12*(-3) = 169.
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general?
-Las soluciones, utilizando la fórmula general x = (-b ± √D) / 2a, para la ecuación 12x² - 5x - 3 = 0 y D = 169, son x1 = (-(-5) - √169) / (2*12) = -1/3 y x2 = (-(-5) + √169) / (2*12) = 3/4.
¿Cómo se verifica si las soluciones obtenidas son parte del conjunto solución de la ecuación cuadrática?
-Para verificar si las soluciones son parte del conjunto solución, se sustituyen los valores de x en la ecuación original y se comprueba si se cumple la igualdad. Si el resultado es cero, entonces la solución es válida.
Outlines
🔍 Método de Inspección para Ecuaciones Cuadráticas
El primer párrafo explica el método de inspección para resolver ecuaciones cuadráticas. Se menciona que este método se utiliza cuando no se pueden hallar dos términos que correspondan a cada uno un cuadrado perfecto y un tercer término que corresponda al doble del producto de los términos. Se ejemplifica con la ecuación 12x^2 - 5x - 3 = 0, buscando dos factores que multiplicados en diagonal y sumados den el término del medio. Después de un intento fallido, se corrige el signo y se encuentran los factores correctos, obteniendo la ecuación factorizada 3x + 1(4x - 3) = 0. A continuación, se utiliza la propiedad multiplicativa del cero para encontrar las soluciones x = -1/3 y x = 3/4. Se invita a los espectadores a verificar el conjunto solución sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.
📚 Fórmula General para Resolver Ecuaciones Cuadráticas
El segundo párrafo se enfoca en la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, que es útil cuando no se puede aplicar el método de inspección. Se describe el concepto del discriminante, que revela si una ecuación cuadrática tiene soluciones reales o complejas. Se detalla que si el discriminante es negativo, no hay soluciones reales; si es cero, hay una solución real; y si es positivo, hay dos soluciones reales. Se calcula el discriminante para la ecuación 12x^2 - 5x - 3 = 0, obteniendo un valor mayor que cero, lo que indica dos soluciones reales. Se aplican las fórmulas para encontrar las soluciones x1 y x2, que coinciden con las obtenidas por inspección. Se deja como ejercicio para los espectadores verificar que estas soluciones son parte del conjunto solución de la ecuación cuadrática dada.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones cuadráticas
💡Factorización
💡Inspección
💡Términos perfectos
💡Doble del producto
💡Propiedad multiplicativa del cero
💡Discriminante
💡Fórmula general
💡Soluciones reales y complejas
💡Conjunto solución
Highlights
El video trata sobre ecuaciones cuadráticas y la importancia de recordar los métodos de factorización de polinomios de grado 2.
Se menciona la inspección y la fórmula general como métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
La inspección implica buscar términos que, multiplicados, den el término cuadrático y que sumados, den el término del medio.
Se resuelve la ecuación 12x^2 - 5x - 3 = 0 utilizando el método de inspección.
Se sugiere suponer términos como 3x y 4x y calcular su producto y suma para encontrar los factores adecuados.
Se destaca la importancia de alternar el signo para encontrar los factores correctos de la ecuación.
Se obtienen los factores 3x + 1 y 4x - 3 para la ecuación dada.
Se aplica la propiedad multiplicativa del cero para resolver la ecuación factorada.
Se encuentran las soluciones x = -1/3 y x = 3/4 para la ecuación utilizando inspección.
Se presenta el concepto de conjunto solución y cómo verificarlo sustituyendo los valores encontrados.
Se introduce la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas y se explica el discriminante.
Se describen las condiciones para soluciones reales y complejas basadas en el discriminante.
Se calcula el discriminante para la ecuación 12x^2 - 5x - 3 = 0 y se determina que hay dos soluciones reales.
Se aplican las fórmulas para encontrar las soluciones x1 y x2 usando el discriminante.
Las soluciones obtenidas con la fórmula general coinciden con las encontradas por inspección.
Se deja como ejercicio para el espectador verificar si las soluciones son parte del conjunto solución.
Transcripts
en este vídeo hablaremos sobre
ecuaciones cuadráticas es importante
recordar que cuando estuvimos trabajando
los métodos de factorización de
polinomios de grado 2 trabajamos ya con
inspección y fórmula general es un
método los vamos a heredar ahora para
resolver ecuaciones cuadráticas
recordemos entonces que inspección es si
se tiene una ecuación cuadrática
una ecuación cuadrática
la cual no puede hallarse dos términos
que corresponden a cada uno un cuadrado
perfecto y un tercer término que
corresponde al doble del producto
entonces recordemos que comúnmente
siempre es se descomponen en los
extremos de dos factores es decir Busco
dos términos que multiplicado menos
factores que multiplicados en diagonal y
sumados me den el término del medio Esto
es lo que corresponde a inspección
entonces
vamos a resolver la ecuación 12 x a la 2
- 5x menos 3 es igual a cero por el
método de inspección Entonces en este
caso voy a preguntarme dos términos que
multiplicados me den 12 x a la 2 en este
caso vamos a suponer que son 3x y
4x ahora dos términos que multiplicados
me den menos 3 en este caso vamos a
suponer que van a ser los siguientes
menos uno por tres qué voy a hacer ahora
una vez que encontré los términos que
multiplicados menos extremos multiplicó
en
diagonal y sumo los resultados observen
que entonces
3x por 3 9 x
4 x menos 1
por menos uno es menos 4x esto nos va a
dar 5x y notese que en este caso Este
término no no coincide con el del medio
de acuerdo por qué no coincide porque
vea que yo llega un 5 x positivo y el de
la ecuación es negativo Entonces estamos
cerca pero en este caso debo de alternar
el signo del menos
alternando Entonces en este caso voy a
pasar el menos
al 3 Entonces sería la combinación dos
términos que multiplicados me dan menos
3 1 por menos tres se cumple ahora voy
de nuevo no te sé que aquí entonces
multiplicó en diagonal voy a hacer 3x
por menos 3 sería menos 9 x y 4x por 1 +
4x esto es el equivalente a tener a
menos 5x coincide con el término del
medio sí es decir que ya encontré los
factores asociados a la ecuación qué voy
a hacer ahora entonces tengo
3x + 1 por 4x - 3 es igual a cero
reemplazo la ecuación cuadrática por los
factores y ahora utilizo la propiedad
multiplicativa del cero Cuál es esta
propiedad que si me dice que si yo tengo
a por B es igual a cero entonces o los
dos son cero o uno es cero Esto es lo
que voy a aplicar acá Entonces no te sé
que aquí tendría 3x + 1
= 0 o 4x menos 3 es igual a cero procedo
despejar la x en cada uno de estos
ecuaciones entonces
notese que el que el uno está sumando
entonces pasa a restar
el 3 está restando entonces pasa a sumar
el 3 está multiplicando entonces pasa a
dividir y el 4 está multiplicando
entonces pasa a dividir nótese que llego
entonces a dos valores x igual a menos
un tercio o x es igual a tres cuartos
les queda como ustedes como ejercicio
comprobar el conjunto solución y cómo se
comprueba el conjunto solución es
sustituir la X por el valor que encontré
Y aquel que cumple la igualdad va dentro
del conjunto solución
ahora hablaremos de fórmula general
para hablar de fórmulas general
recordemos lo siguiente que si yo tengo
si yo tengo en este caso una ecuación
cuadrática
de la forma x cuadrado más BX más igual
a cero lo que voy a proceder es obtener
a el discriminante que el discriminante
Recuerden que desvela 2 - 4 por a por c
si el discriminante es menor que cero no
tiene soluciones reales tiene soluciones
complejas si el discriminante es igual a
cero solamente tiene una solución en los
números reales si el discriminante Es
mayor que cero entonces tiene dos
soluciones en r y están dadas por x1
igual a menos B menos raíz discriminante
entre dos por a y la segunda solución
sería x2 igual a menos B más raíz de
discriminante entre 2 por
a con esto entonces vean que tenemos la
misma ecuación con la que resolvimos
utilizando inspección vamos a utilizar
fórmulas general por fórmula general
entonces voy a sacar el discriminante
Recuerden que el valor de B es el que
acompaña la x el valor de acel que
acompaña xela 2 y el valor de será
constante todos Va a ser menos 5 a la 2
menos 4 por 12 por menos 3 si hacemos el
cálculo de esto en este caso vamos a
tener lo siguiente que sería menos 5 a
la 2 - 4 por 12 por menos 13 esto nos va
a dar 169 como el discriminante Es mayor
que cero admite 2 soluciones
reales Cuál será la primera solución x1
es igual a menos B menos raíz
discriminante entre dos por a y x2 va a
ser menos B menos más raíz de
discriminante entre dos hacemos las
sustituciones entonces va a ser menos
menos cinco menos raíz de 169 entre 2
por 12
que esto es el equivalente a tener
lo siguiente
esto nos daría menos un tercio
y el siguiente nos daría 3 entonces
nótese que esto sería menos menos 5 más
raíz de 169 entre 2 por 12 esto sería
tener a tres cuartos no te sé que
coincide con las dos soluciones que
encontramos utilizando inspección
ustedes les queda como ejercicio
comprobar si son como parte del conjunto
solución de la ecuación cuadrática dada
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