Cálculo de la velocidad y aceleración de un móvil usando derivadas.

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5 May 201503:41

Summary

TLDRDans ce script, l'enseignant explique comment calculer la vitesse et l'accélération d'un objet en mouvement, en utilisant la dérivée de la fonction de position par rapport au temps. La première dérivée représente la vitesse, tandis que la deuxième dérivée correspond à l'accélération. L'exemple donné implique une équation de mouvement linéaire avec une fonction de position en fonction du temps. L'enseignant montre les étapes pour dériver cette fonction, calculer la vitesse et l'accélération, et finalement évaluer ces deux quantités à un instant spécifique (t=3 secondes). L'exercice sert à renforcer la compréhension des concepts de dérivée et leur application dans la physique du mouvement.

Takeaways

📚 Le script traite du calcul de la vitesse et de l'accélération d'un mobile.
🔍 La vitesse est définie comme la première dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
🔎 L'accélération est la deuxième dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
📘 L'exercice donné implique une équation de mouvement de particule donnée en fonction du temps, T.
📉 L'équation de mouvement est \( 16t^3 + 6t + 12 \).
✏️ La première dérivée de l'équation donne la vitesse: \( 32t^2 + 6 \).
📌 La deuxième dérivée de l'équation donne l'accélération: \( 64t \).
🕒 Pour trouver la vitesse et l'accélération à un instant spécifique, on remplace T par 3 secondes.
📐 Lorsque T est 3, la vitesse est \( 32 \times 3^2 + 6 = 306 \) mètres par seconde.
🚀 L'accélération, étant une constante, est de \( 64 \times 3 = 192 \) mètres par seconde carré.
📝 La vitesse et l'accélération sont calculées pour l'instant T=3, montrant une accélération constante.

Q & A

Quelle est la définition de la vitesse d'un mobile?
-La vitesse est la première dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
Quelle est la définition de l'accélération d'un mobile?
-L'accélération est la deuxième dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
Quel est le mouvement de la particule décrit dans le script?
-Le mouvement de la particule est régi par l'équation 16t^3 + 6t + 12, où t est le temps en secondes.
Comment calculer la première dérivée de l'équation de mouvement de la particule?
-Pour calculer la première dérivée, on dérive chaque terme séparément : 16 * 3 * t^2 + 6 * 1 * t + 0, ce qui donne 48t^2 + 6t.
Quel est le résultat de la première dérivée de l'équation de mouvement de la particule?
-La première dérivée de l'équation de mouvement, qui représente la vitesse, est 48t^2 + 6t.
Comment calculer la deuxième dérivée de l'équation de mouvement de la particule?
-Pour obtenir la deuxième dérivée, on dérive à nouveau la première dérivée : 48 * 2 * t + 6, ce qui donne 96t + 6.
Quel est le résultat de la deuxième dérivée de l'équation de mouvement de la particule?
-La deuxième dérivée de l'équation de mouvement, qui représente l'accélération, est 96t + 6.
Quelle est la vitesse de la particule au temps t=3 secondes?
-Au temps t=3 secondes, la vitesse de la particule est 48*3^2 + 6*3 = 432 + 18 = 450 mètres par seconde.
Quelle est l'accélération de la particule au temps t=3 secondes?
-Au temps t=3 secondes, l'accélération de la particule est 96*3 + 6 = 288 + 6 = 294 mètres par seconde carré, une accélération constante.
Quelle est l'erreur dans le calcul de la première dérivée présentée dans le script?
-L'erreur dans le script est que la première dérivée a été calculée comme 32t + 6 au lieu de 48t^2 + 6t.
Quelle est l'erreur dans le calcul de la deuxième dérivée présentée dans le script?
-L'erreur dans le script est que la deuxième dérivée a été calculée comme 32 au lieu de 96t + 6.
Comment la vitesse et l'accélération calculées peuvent-elles être utilisées pour comprendre le mouvement de la particule?
-La vitesse nous donne l'information sur la quantité de distance parcourue par la particule en une unité de temps, tandis que l'accélération nous indique comment cette vitesse change avec le temps, ce qui est essentiel pour comprendre les changements de vitesse et les forces agissant sur la particule.

Outlines

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📚 Calcul de la vitesse et de l'accélération

Le paragraphe explique comment calculer la vitesse et l'accélération d'un mobile en utilisant les dérivées de la fonction de position par rapport au temps. La vitesse est la première dérivée et l'accélération est la seconde dérivée. L'exercice donné consiste à déterminer la vitesse et l'accélération d'une particule dont le mouvement est régi par une expression dépendant du temps T en secondes. L'auteur guide à travers le calcul des dérivées première et seconde de l'équation de mouvement 16t^3 + 6t + 12, pour ensuite évaluer ces dérivées au temps spécifique de 3 secondes.

🔍 Détails du calcul différentiel

Dans ce paragraphe, l'auteur se concentre sur le processus de calcul des dérivées nécessaires pour obtenir la vitesse et l'accélération. Il explique pas à pas comment dériver la fonction de position, en commençant par la première dérivée qui donne la vitesse (32t + 6) et ensuite la seconde dérivée qui donne l'accélération (32). Il insiste sur l'importance de bien comprendre le processus mathématique et de vérifier les calculs à chaque étape.

🕒 Évaluation au temps spécifique

L'auteur conclut l'exercice en évaluant la vitesse et l'accélération de la particule au moment T=3 secondes. Il remplace la variable de temps dans les expressions de la vitesse et de l'accélération calculées précédemment. Il obtient ainsi une vitesse de 102 m/s et une accélération constante de 32 m/s² à cet instant précis, soulignant que ces valeurs sont spécifiques au temps T=3 secondes.

Mindmap

Keywords

💡Vitesse

La vitesse est définie comme la première dérivée de la fonction de position par rapport au temps. Dans le contexte de la vidéo, elle est utilisée pour déterminer la vitesse d'une particule en mouvement selon une fonction de position donnée. Par exemple, la vitesse est calculée en dérivant la position par rapport au temps et en évaluant cette dérivée à un instant spécifique, comme les 3 secondes mentionnées dans le script.

💡Accélération

L'accélération est la deuxième dérivée de la fonction de position par rapport au temps, qui mesure le changement de vitesse d'un objet. Dans le script, l'accélération est déterminée en prenant la dérivée seconde de la fonction de position et en l'évaluant pour un moment donné, illustrant ainsi la variation de la vitesse de la particule au fil du temps.

💡Dérivée

La dérivée est un concept mathématique qui représente le taux de changement d'une fonction. Dans la vidéo, les dérivées sont utilisées pour passer de la position à la vitesse et de la vitesse à l'accélération. Par exemple, la première dérivée de la position donne la vitesse, tandis que la seconde dérivée donne l'accélération.

💡Fonction de position

La fonction de position est une relation mathématique qui décrit la position d'un objet en fonction du temps. Dans le script, la fonction de position est donnée par l'équation '16t^3 + 6t + 12', qui est utilisée pour calculer la vitesse et l'accélération de la particule.

💡Particule

Dans le script, la particule fait référence à un objet en mouvement dont la trajectoire est étudiée mathématiquement. L'analyse de sa vitesse et de son accélération à un moment donné est essentielle pour comprendre son comportement physique.

💡Temps

Le temps est un paramètre clé dans l'analyse cinématique, représentant l'intervalle écoulé. Dans le script, le temps est mesuré en secondes et est utilisé pour évaluer la vitesse et l'accélération de la particule à un instant spécifique, comme les 3 secondes.

💡Mouvement

Le mouvement fait référence à un changement de position dans le temps. Dans le contexte de la vidéo, le mouvement est régi par une fonction de position qui dépend du temps, et l'étude de cette fonction permet de déterminer la vitesse et l'accélération de la particule.

💡Constante

Dans le script, une constante est une valeur qui ne change pas au fil du temps. Lors de la dérivation, les constantes sont traitées séparément et leur dérivée est zéro, ce qui simplifie les calculs de vitesse et d'accélération.

💡Identité (fonction)

La fonction identité est une fonction mathématique où l'entrée et la sortie sont les mêmes, représentée par f(x) = x. Dans le script, la dérivée de la fonction identité est mentionnée comme étant 1, ce qui est important pour le calcul de la dérivée seconde.

💡Calcul différentiel

Le calcul différentiel est une branche des mathématiques qui étudie les dérivées et les variations infiniment petites des fonctions. Dans le script, le calcul différentiel est utilisé pour trouver la vitesse et l'accélération en calculant les dérivées successives de la fonction de position.

Highlights

El cálculo de la velocidad y aceleración de un móvil es fundamental en física.

La velocidad es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo.

La aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

El movimiento de una partícula está descrito por una función de tiempo.

Se presenta un ejercicio para calcular la velocidad y aceleración en un momento específico.

La ecuación de movimiento dada es de la forma 16t^3 + 6t + 12.

Se procede a calcular la primera derivada de la ecuación para obtener la velocidad.

La primera derivada es 48t^2 + 6, representando la velocidad.

Seguidamente, se calcula la segunda derivada para determinar la aceleración.

La segunda derivada es 96t, que representa la aceleración.

Se enfatiza la importancia de reemplazar t con el tiempo específico para obtener los valores.

En este caso, se busca la velocidad y aceleración a los 3 segundos.

Al reemplazar t=3 en la ecuación de velocidad, se obtiene 144 + 6, que es 150 m/s.

La aceleración, al reemplazar t=3, se mantiene constante en 96 m/s².

La aceleración es una constante, lo que indica un movimiento uniformemente acelerado.

Se concluye que la partícula tiene una velocidad de 102 m/s y una aceleración constante de 96 m/s² a los 3 segundos.