Pendule simple : équation différentielle et formule de Borda

Summary

Cette vidéo explore en profondeur le mouvement du pendule simple, un concept fondamental en mécanique. Le script explique la dérivation de l'équation du mouvement en utilisant la deuxième loi de Newton, ainsi que les approximations pour de petits angles d'oscillation. Il présente également la formule de Borda pour les grandes oscillations et décrit une expérience visant à valider théoriquement et expérimentalement la période d'oscillation du pendule. En combinant théorie et pratique, cette vidéo offre une compréhension complète du comportement d'un pendule simple, tant dans le cadre linéaire que non linéaire.

Takeaways

• 😀 Le pendule simple est un système mécanique avec une masse suspendue à un fil de longueur L, oscillant autour d'un axe formant un angle θ avec la verticale.
• 😀 L'analyse du mouvement du pendule peut se faire à l'aide de la deuxième loi de Newton, mais peut aussi être abordée par les méthodes énergétiques et du moment.
• 😀 Le mouvement du pendule simple est non linéaire lorsque les amplitudes d'oscillation sont grandes, ce qui complique la résolution de l'équation du mouvement.
• 😀 La tension du fil et le poids de la masse sont les deux forces principales agissant sur le pendule, mais la tension est difficile à isoler pour trouver l'équation différentielle.
• 😀 En supposant que les angles d'oscillation sont faibles, l'approximation θ ≈ sin(θ) permet de linéariser l'équation du mouvement du pendule simple.
• 😀 L'équation différentielle linéarisée du pendule simple donne une solution oscillatoire simple : θ(t) = θ₀ sin(ω₀ t + φ), où ω₀ = √(g / L) est la pulsation et T₀ = 2π√(L / g) est la période.
• 😀 La formule de Borda est utilisée pour des oscillations de grandes amplitudes, permettant de corriger la période théorique en fonction de l'angle maximal d'oscillation.
• 😀 L'énergie mécanique du système est conservée en l'absence de frottements, et est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
• 😀 L'énergie potentielle du pendule est maximale lorsque l'angle est maximal (θ_max), et l'énergie cinétique est nulle à cet instant.
• 😀 Une expérience pratique avec un pendule simple et un potentiomètre permet de mesurer la période d'oscillation et de comparer les résultats expérimentaux avec la théorie, confirmant la validité des modèles.
• 😀 La formule pour la période du pendule simple, T₀ = 2π√(L / g), est vérifiée expérimentalement en mesurant la fréquence propre d'oscillation à l'aide de la transformée de Fourier, et elle correspond bien à la longueur du pendule mesurée.

Q & A

Qu'est-ce qu'un pendule simple et comment fonctionne-t-il ?

Un pendule simple est constitué d'une masse suspendue à un fil de longueur L, capable de se déplacer autour d'un axe vertical. Lorsqu'il oscille, il forme un angle θ avec la verticale et peut être modélisé comme un mouvement harmonique simple dans certaines conditions.

Quelles sont les approches pour établir l'équation du mouvement du pendule simple ?

Il existe plusieurs approches pour établir l'équation du mouvement, telles que la méthode énergétique, la méthode des moments, et la méthode des forces. Dans ce cas, l'équation est dérivée à partir de la deuxième loi de Newton.

Pourquoi le pendule simple est-il non linéaire à grandes amplitudes ?

Le pendule simple est non linéaire lorsqu'il oscille avec de grandes amplitudes car l'équation du mouvement contient un terme trigonométrique sinus(θ), ce qui rend la relation entre l'angle et la force non linéaire.

Quel est le rôle de la base de Frenet dans l'analyse du mouvement du pendule ?

La base de Frenet permet de décomposer le mouvement du pendule en deux composantes : l'accélération normale, dirigée vers le centre de la trajectoire, et l'accélération tangentielle, qui est perpendiculaire à la trajectoire.

Quel est l'effet de la tension du fil sur le mouvement du pendule ?

La tension du fil agit comme une force centripète et est responsable de maintenir la masse du pendule sur une trajectoire circulaire. Cependant, dans l'analyse, on se concentre sur la projection des forces et l'accélération, et on néglige les frottements de l'air.

Pourquoi peut-on utiliser une approximation du sinus(θ) par θ pour des petites oscillations ?

Pour de petites oscillations, l'angle θ est faible, ce qui permet d'approximer le sinus(θ) par θ. Cela simplifie l'équation du mouvement, la rendant linéaire et facilitant sa résolution analytique.

Quelle est la solution de l'équation différentielle pour un pendule simple à petites oscillations ?

La solution de l'équation différentielle pour des petites oscillations est de type sinusoïdal, avec une fonction θ(t) = θ₀ sin(ω₀ t + φ), où ω₀ est la pulsation, donnée par √(g / L), et la période d'oscillation est T₀ = 2π√(L / g).

Qu'est-ce que la formule de Borda et quand est-elle utilisée ?

La formule de Borda permet de corriger l'approximation linéaire du pendule simple pour de plus grandes amplitudes. Elle est utilisée lorsque les oscillations ne sont plus petites, et permet de calculer la période du pendule avec des angles plus grands que ceux pouvant être approximés par θ.

Comment est calculée la période d'oscillation du pendule simple expérimentalement ?

Expérimentalement, la période d'oscillation est mesurée en enregistrant les variations de l'angle au cours du temps à l'aide d'un potentiomètre connecté à un système d'acquisition de données. On peut ensuite utiliser la transformée de Fourier pour obtenir la fréquence d'oscillation.

Quelle est l'importance des incertitudes dans les mesures expérimentales du pendule simple ?

Les incertitudes sont prises en compte dans les mesures pour obtenir des résultats plus précis. Par exemple, la longueur du pendule peut être mesurée avec une incertitude, ce qui influence le calcul de la période, mais cette incertitude reste relativement faible dans les expériences de pendule simple.