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Summary
TLDREn este vídeo se explican las propiedades fundamentales de los límites en matemáticas. Se aborda desde la definición formal hasta ejemplos gráficos para comprender mejor los conceptos. Se enseñan propiedades como el límite de una función constante, la suma/resta de funciones, el producto, la división y las potencias y raíces. Cada propiedad se ilustra con ejemplos y se demuestra su validez gráficamente, facilitando la comprensión del análisis de tendencias en lugar de evaluaciones directas de funciones.
Takeaways
- 📚 Hoy se discuten las propiedades fundamentales del límite en matemáticas.
- 🔗 Se recomienda ver el video anterior para entender los conceptos básicos de los límites.
- 🎥 Se presenta la idea de que el límite de una función constante es igual al valor constante mismo.
- 📈 Se explica con un ejemplo gráfico la razón por la cual el límite de una función constante es el valor constante.
- 🧮 Se menciona la propiedad de que el límite de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de sus límites individuales.
- 📐 Se ilustra con un ejemplo cómo calcular el límite de una suma de funciones gráficamente.
- 📝 Se destaca la importancia de que ambos límites existan para poder usar la propiedad de la suma o resta.
- 🔢 Se explica que el límite de un producto de funciones es igual al producto de sus límites individuales.
- 📊 Se usa un ejemplo gráfico para demostrar cómo calcular el límite de un producto de funciones.
- ➗ Se discute la propiedad del límite de una división de funciones y la necesidad de que el denominador no sea cero.
- 📉 Se muestra con un ejemplo cómo calcular el límite de una división de funciones gráficamente.
- 🔢 Se presenta la propiedad del límite de una potencia, explicando que es igual al límite de la función elevado al mismo exponente.
- 📊 Se usa un ejemplo gráfico para ilustrar cómo calcular el límite de una potencia de una función.
- 🚫 Se advierte que para calcular el límite de una raíz enésima, la función debe ser siempre positiva si el índice de la raíz es par.
- 📈 Se muestra con un ejemplo gráfico cómo calcular el límite de una raíz enésima de una función.
- 🔑 Se enfatiza que los límites son un análisis de tendencia y no simplemente evaluar la función en un punto específico.
- 👩🏫 Se invita a los espectadores a suscribirse y apoyar el canal para ayudar a difundir el contenido educativo.
Q & A
¿Qué es un límite en matemáticas y cómo se define formalmente?
-Un límite en matemáticas es un concepto que describe el comportamiento de una función cuando el argumento se acerca a un cierto valor. Formalmente, el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, se define como el valor que toma la función cuando x se hace arbitrariamente cercano a a, manteniendo x diferente de a.
¿Qué es una función constante y cómo se determina su límite?
-Una función constante es una función que toma el mismo valor fijo para cualquier entrada. Su límite cuando x tiende a un valor a es simplemente igual al valor constante que la función devuelve.
Explicar la propiedad del límite para la suma o resta de funciones.
-La propiedad del límite para la suma o resta de funciones establece que el límite de la suma o resta de dos funciones cuando x tiende a un valor a, es igual a la suma o resta de los límites de cada función individual cuando x tiende al mismo valor a, siempre que ambos límites existan.
¿Cómo se determina el límite de una función cuando x tiende a un valor específico, como en el ejemplo de x^2 + x cuando x tiende a 2?
-Para determinar el límite de una función como x^2 + x cuando x tiende a 2, se aplica la propiedad del límite para la suma de funciones, lo que significa que se calcula el límite de x^2 cuando x tiende a 2 y el límite de x cuando x tiende a 2, y luego se suman estos límites.
¿Qué propiedad se utiliza para calcular el límite de un producto de funciones?
-Para calcular el límite de un producto de funciones, se utiliza la propiedad del límite del producto, que indica que el límite de la multiplicación de dos funciones cuando x tiende a un valor a, es igual al producto de los límites de cada función individual cuando x tiende al mismo valor a.
¿Cómo se determina el límite de una función al cubo, como en el ejemplo de (2x - 1)^3 cuando x tiende a 2?
-El límite de una función al cubo se determina aplicando la propiedad del límite de una potencia, que establece que el límite de una función elevada a un exponente n cuando x tiende a un valor a, es igual al límite de la función cuando x tiende a a, elevado al mismo exponente n.
¿Qué restricciones se deben tener en cuenta al calcular el límite de una raíz de una función?
-Al calcular el límite de una raíz de una función, se debe tener en cuenta que si el índice de la raíz es par, la función dentro de la raíz debe ser siempre no negativa, ya que las raíces pares de números negativos no son definidas en los números reales.
¿Cómo se determina el límite de una función dividida por otra función?
-El límite de una función dividida por otra cuando x tiende a un valor a, se determina como el límite de la función numeradora cuando x tiende a a, dividido por el límite de la función denominadora cuando x tiende a a, siempre y cuando el denominador no sea cero.
¿Por qué es importante no confundir el cálculo de un límite con la evaluación de una función en un punto específico?
-Es importante no confundir el cálculo de un límite con la evaluación de una función en un punto específico porque el límite es un análisis de tendencia y no necesariamente el valor que la función toma en ese punto. Esto es especialmente relevante cuando la función no está definida en el punto de evaluación.
¿Cuáles son algunos ejemplos de casos especiales de límites que se analizarán en futuras videos?
-En futuras videos se analizarán casos especiales de límites donde aparecen indeterminaciones, como 0/0 o ∞/∞, que requieren técnicas adicionales para su resolución.
Outlines
📘 Propiedades fundamentales del límite
El vídeo comienza explicando las propiedades fundamentales del límite en matemáticas. Se recuerda que en el vídeo anterior se abarcaron conceptos desde lo intuitivo hasta la definición formal de límite. Se habla de la función constante, que siempre devuelve el mismo valor y se ejemplifica con una función que es constante y se analiza su gráfico, que es una línea horizontal. Se explica que el límite de una función constante es igual al valor de la constante misma. Además, se explora la propiedad de los límites para la suma y la resta de funciones, demostrando que el límite de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de sus límites individuales, siempre que estos límites existan. Se utiliza el ejemplo de la función x^2 + x para ilustrar este concepto, mostrando gráficamente cómo se calcula el límite y cómo se cumple la propiedad.
📗 Límites de producto y división de funciones
En este segmento, se discute la propiedad de los límites para el producto y la división de funciones. Se explica que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites individuales, y lo mismo ocurre con la división. Se hace hincapié en que ambos límites deben existir para que esta propiedad se aplique. Se ejemplifica con la función x^2 * x, donde se calcula su límite al cuadrado cuando x tiende a 2. Se analiza gráficamente y se demuestra que el resultado es coherente con la propiedad del producto de límites. También se menciona la necesidad de que el denominador en una división no sea cero, ya que la división por cero no está definida. Se ejemplifica con la función seno(x) / coseno(x) y se calcula su límite cuando x tiende a π/3 radianes, mostrando que el límite es igual a la tangente de x en ese punto.
📙 Límites de potencias y raíces de funciones
Este párrafo se enfoca en las propiedades de los límites para las potencias y las raíces de funciones. Se explica que el límite de una función elevada a un número n es igual al límite de la función elevado a ese número n. Se ejemplifica con la función (2x - 1)^3, donde se calcula su límite cuando x tiende a 2, obteniendo como resultado 27. Se grafican las funciones para ilustrar cómo se calcula el límite y se demuestra que la propiedad es válida. Además, se aborda el cálculo del límite de una raíz enésima de una función, poniendo especial atención en que si la raíz es de índice par, la función dentro de la raíz debe ser siempre positiva. Se ejemplifica con la función (-x)^(1/4) y se calcula su límite cuando x tiende a -1, obteniendo como resultado 1. Se grafican las funciones para mostrar la tendencia y se demuestra que la propiedad es coherente.
📕 Conclusión y agradecimientos
El vídeo concluye con un agradecimiento al público por su atención y se menciona que en futuras entregas se analizarán casos especiales de límites con indeterminaciones. Se recalca que el cálculo de límites no implica simplemente evaluar la función en un punto específico, sino analizar la tendencia. Se invita al público a apoyar el proyecto educativo del canal de YouTube mediante likes, comentarios y suscripciones, y se menciona la posibilidad de convertirse en patrocinador para obtener acceso a un curso exclusivo de creación de animaciones matemáticas. Se agradece nuevamente la visualización y compartición de los videos y se despide al público con la promesa de verlos en el próximo vídeo.
Mindmap
Keywords
💡límite
💡función constante
💡suma y resta de funciones
💡producto de funciones
💡raíz enésima
💡potencia
💡continuidad
💡indeterminación
💡gráfico
💡tendencia
Highlights
Hoy hablaremos sobre las propiedades fundamentales del límite en matemáticas.
En el vídeo anterior aprendimos sobre los límites desde ideas intuitivas hasta su definición formal.
Señalamos la importancia de entender el concepto de límite antes de adentrarnos en sus propiedades.
Explicamos que el límite de una función constante es igual al mismo valor constante.
Analizamos gráficamente el límite de una función constante para un valor específico de X.
Presentamos la propiedad de los límites para la suma o resta de funciones.
Ejemplificamos cómo calcular el límite de una suma de funciones gráficamente.
Expusimos la propiedad de los límites para el producto de funciones.
Calculamos el límite de un producto de funciones usando una gráfica para ilustrar el proceso.
Abordamos la propiedad de los límites para una división de funciones, teniendo en cuenta que el denominador no debe ser cero.
Calculamos el límite de una función dividida por otra, usando gráficas para su comprensión.
Exploramos la propiedad de los límites para una potencia de una función.
Calculamos el límite de una función elevada a un exponente, demostrando la propiedad gráficamente.
Aclaramos la importancia de que la función sea positiva para calcular raíces pares.
Calculamos el límite de una raíz de una función, teniendo en cuenta las restricciones mencionadas.
Analizamos gráficamente el límite de una raíz de una función para comprobar la propiedad.
Resaltamos la importancia de estas propiedades para calcular límites de funciones más complejas.
Anunciamos que en próximos videos se analizarán casos especiales de límites con indeterminaciones.
Recordamos que evaluar directamente en la función no siempre es posible y que se verá en futuras explicaciones.
Agradecemos la atención y explicamos cómo los espectadores pueden apoyar el proyecto educativo.
Transcripts
el día de hoy hablaremos sobre las
propiedades fundamentales del límite en
el vídeo anterior aprendimos todo lo
necesario sobre los límites abarcando
desde ideas muy intuitivas hasta la
definición formal y rigurosa de Límite
voy a dejar el enlace a ese video por
aquí en la pantalla y sin más empecemos
[Música]
hablando acerca del límite de una
función constante recordando que una
función constante es una función que
nunca cambia es decir para cualquier
valor de X que le des la función te
devolverá siempre el mismo valor un
valor fijo que no cambia supongamos que
tenemos el límite de c cuando x tiende
al valor de a este límite es simplemente
igual al mismo valor de la constante es
decir el límite de una función constante
es igual a la misma constante Pero por
qué y para entender el porqué veamos un
ejemplo supongamos que graficamos la
función constante FX es igual a 2 cuya
gráfica Es simplemente una recta
horizontal debido a que para cualquier
valor de X que se le asigne la función
siempre nos devolverá el valor de 2 muy
bien analicemos por ejemplo el límite de
esta función constante cuando el valor
de X tiende al de 3 al tomar ambos
límites podemos ver claramente que la
función nos devolverá exactamente el
valor de 2 es decir el límite de esta
función constante es igual siempre a la
misma constante y ahora veamos la
propiedad para el límite de la suma o la
resta de funciones en este caso tenemos
límite cuando x tiende al valor de a de
F de X más o menos G de X es decir F de
X + G de x o si no F de X menos G de x o
sea la suma o resta de ambas funciones y
este límite es igual al límite cuando x
tiende al valor de a de F de X más menos
límite cuando x tiende al valor de a de
G de x y es importante tener en cuenta
que para hacer un uso correcto de esta
propiedad ambos límites tienen que
existir cumpliendo las condiciones que
vimos en el vídeo pasado y ahora veamos
un ejemplo supongamos que queremos
Hallar el límite cuando x tiende al
valor de 2 de la función x al cuadrado +
x utilizando la propiedad mencionada
anteriormente Esto será igual a límite
de X al cuadrado cuando x tiende el
valor de 2 más límite de x cuando x
tiende al valor de 2 para entender mejor
la idea analizaremos estos límites
gráficamente y para ello tomemos en
cuenta que la función FX será igual a x
al cuadrado la función G de X será igual
a x y la función x al cuadrado + X La
designaremos por hdx muy bien empecemos
analizando el límite de la función x al
cuadrado cuando x tiende al valor de 2
la Gráfica de esta función es una
parábola como vemos aquí en la Gráfica
si tomamos el límite cuando x tiende a 2
vemos como la función tiende hacia de 4
es decir el límite de esta función es 4
pero recordemos que cuando la función es
continua como en este caso podríamos
hacerlo de simplemente evaluar el valor
de X en la función es decir 2 elevado al
cuadrado Pero ten en cuenta que el
límite no significa evaluar en la
función sino más bien es hacer el
análisis de tendencia sin embargo
podemos realizar este proceso para
obtener una respuesta más inmediata muy
bien Ahora veamos el otro límite el
límite de x cuando x tiende al valor de
2 si graficamos esta función veremos que
su gráfica es una línea recta como vemos
aquí al tomar el límite cuando x tiende
a 2 podemos ver gráficamente que la
función tiende hacia el valor de 2
también de manera directa podríamos
haber reemplazado el valor de 2
directamente la función lo cual nos dará
el valor de 2 luego Tendremos que el
límite de X al cuadrado más cuando x
tiende a 2 debe ser igual a la suma de
cuatro más dos es decir igual a 6 y
podemos comprobar gráficamente la
validez de este resultado al graficar la
función hdx que es igual a x al cuadrado
+ x obtenemos lo siguiente al tomar el
límite cuando x tiende a 2 de esta
función podemos ver gráficamente que
esta nueva función tiende hacia el valor
de 6 por lo que sí el límite de una suma
o resta de funciones Es simplemente
igual a la suma o resta de límites y
ahora veamos la propiedad para el límite
de un producto de funciones en este caso
tenemos lo siguiente límite cuando x
tiende al valor de a de FX multiplicado
por GX Y esto es igual a lo siguiente
límite de FX cuando x tiende al valor de
a multiplicado por límite de G de x
cuando x tiende al valor de a o sea el
de un producto de funciones Es
simplemente igual al producto de cada
uno de los límites tomando en cuenta que
ambos límites deben existir veamos un
ejemplo y supongamos que queremos Hallar
el límite cuando x tiende a 2 del
producto de X al cuadrado por x usando
la propiedad esto es igual a límite de X
al cuadrado cuando x tiende hacia el
valor de 2 por límite de x cuando x
tiende al valor de 2 bien empecemos
analizando el primer límite de manera
gráfica tenemos que la Gráfica de la
función x al cuadrado es una parábola
como vemos aquí tomando el límite cuando
x tiende al valor de 2 podemos ver que
la función tiende hacia el valor de 4 de
manera algebraica como la función es
continua podemos hacerlo de evaluar en
la función es decir 2 elevado al
cuadrado que nos da 4 por otro lado
veamos el otro límite gráficamente la
Gráfica de esta función es una línea
recta cuando el límite cuando x tiende a
2 podemos ver gráficamente como la
función tiende hacia el valor de 2 de
manera directa podemos sustituir el
valor al cual tiende X en la función y
obtuvimos lo mismo es decir el valor de
2 al realizar esta operación 2 al
cuadrado es 4 y multiplicado por 2 nos
dará igual a 8 y ahora podemos graficar
la función hdx que es igual a x al cubo
tomar el límite cuando x tiende al valor
de 2 y podemos ver cómo esta función x
al cubo tiende a acercarse hacia el
valor de 8 y de esta forma probamos la
validez de esta fórmula y ahora veamos
el límite cuando x tiende al valor de a
de la función FX entre la función gdx y
esto es igual a límite de la función F
de x cuando x tiende al valor de a
dividido sobre el límite de la función G
de x cuando x tiende al valor de a y
para este tenemos que tomar en cuenta
una pequeña aclaración el denominador
debe ser diferente de cero ya que la
división por cero no está definida en
matemática por lo que se tiene que tomar
en cuenta Esta restricción y supongamos
que queremos Hallar el límite cuando x
tiende al valor de pi tercios radianes o
sea 60 grados sexagesimales de la
función seno de x entre coseno de X
usando esta última propiedad esto es
igual a lo siguiente límite de la
función seno de x cuando x tiende al
valor de pi tercios radianes sobre
límite de la función coseno de x cuando
x tiende a pi/3 radianes Y nuevamente
llamemos fdx a la función seno de x y G
de X a la función coseno de X por otro
lado la división de seno entre coseno
será igual a hdx y empecemos analizando
el límite de la función seno de x cuando
x tiende a pi tercios radianes de manera
gráfica al tomar el límite cuando De Api
tercios podemos ver que la función se
acerca al valor de raíz de 3 sobre 2 de
manera directa también podemos
reemplazar el valor al cual tiende X en
la función es decir seno de pi tercios
radianes que es igual a raíz de 3 sobre
2 y ahora pasemos al otro límite límite
de coseno de x cuando x tiende al valor
de Epi tercios radianes gráficamente
podemos ver que este límite tiende hacia
el valor de un medio y de manera directa
podemos reemplazar el valor al cual
tiende la función es decir este límite
es coseno de epitercios que nos da un
medio y al realizar Esta división
obtendremos que simplemente raíz de 3 de
otro lado la división de seno entre
coseno es igual a la tangente de X que
si graficamos la tangente y tomamos el
límite cuando x tiende a pi tercios
radianes podremos ver que este límite
tiende a raíz de 3
igual de manera directa también se puede
hacer simplemente evaluando la función
tangente de x cuando x es igual Api
tercios que también nos dará raíz de 3
por lo tanto aquí podemos ver que la
propiedad es válida ya que la igualdad
siempre se cumple Cómo podemos ver aquí
en la animación y ahora veamos la
propiedad para el límite de una potencia
en este caso tendremos lo siguiente
límite de la función F de X elevado a n
cuando el valor de X tiende al valor de
a y Esto será igual a límite de la
función F de x cuando x tiende al valor
de a y todo esto elevado al exponente n
y para poder entenderlo mejor veamos un
ejemplo y calculemos el límite de la
función 2x - 1 elevado al cubo cuando x
tiende al valor de 2 por la propiedad
esto es igual al límite de la función 2x
- 1 cuando x tiende a 2 y todo esto
elevado al cubo ahora hallamos el valor
de Límite dentro de los corchetes que de
manera directa será igual a sustituir el
valor de X en la función es decir 2
multiplicado por 2 - 1 y toda esta
expresión elevado al cubo operando
tenemos que 2 * 2 - 1 es igual a 3 y
todo esto elevado al cubo que nos da 3
al cubo igual a 27 por lo tanto el
límite de la función 2x - 1 al cubo es
27 y ahora veamos este último ejemplo
pero de manera gráfica muy bien primero
grafiquemos la función 2x - 1 que es una
función lineal cuya gráfica simplemente
es una línea recta Cómo podemos ver aquí
en la animación si tomamos el límite
cuando x tiende al valor de 2 podemos
ver como la función tiende hacia el
valor de 3 por lo tanto el límite de la
función 2x - 1 cuando x tiende a 2 es
igual a 3 y ahora veamos la Gráfica de
la otra función que llamaremos H y que
era igual a 2x - 1 elevado al cubo es
decir una función cúbica cuya gráfica
podemos ver aquí en la animación al
tomar el límite de esta función cuando x
tiende al valor de 2 podemos ver que la
función tiende al valor de 27 y esto a
su vez se relaciona con el límite
anterior ya que 27 es igual a 3 elevado
al cubo y por lo tanto la propiedad que
usamos es válida Cómo podemos comprobar
Aquí también gráficamente Y por último
veamos el límite de una raíz supongamos
que tenemos que calcular el límite de la
función raíz enésima de F de x cuando x
tiende al valor de a y este límite es
igual a la raíz enésima del límite de la
función F de x cuando x tiende al valor
de a en esta propiedad debemos tener
cuidado con lo siguiente si el índice n
de la raíz es un número par que puede
ser 2 4 6 etcétera
lo que tiene que pasar es que FX tiene
que ser siempre positiva es decir FX
debe ser mayor o igual a cero siempre ya
que como estamos trabajando con números
reales la raíz de índice par de números
negativos no existe por lo tanto tenemos
que tomar en cuenta Esta condición y
para entender mejor veamos un ejemplo
calculemos el límite de la función raíz
cuarta de -x cuando x tiende al valor de
-1 aplicando la propiedad Esto es lo
mismo que calcular la raíz cuarta del
límite de la función menos x cuando x
tiende al valor de -1 ahora hallamos el
valor de Límite dentro de la raíz para
este caso podemos de manera directa
sustituir el valor de X en la función es
decir menos por menos 1 operando esto
obtenemos que este límite es igual a la
raíz cuarta de uno que es igual a 1
y veamos este último ejemplo pero de
manera gráfica primero empezamos
graficando la función F de X es igual a
menos x cuya gráfica es una línea recta
al tomar el límite cuando x tiende al
valor de -1 la función tiende al valor
de 1 por lo tanto límite de la función
menos x cuando x tiende al valor de -1
es igual a 1 y luego graficamos la
función raíz a la cual llamamos hdx es
igual raíz cuarta de -x al tomar el
límite cuando x tiende a -1 podemos ver
gráficamente que la función tiende al
valor de uno también por lo tanto límite
de la función raíz cuarta de -x cuando x
tiende al valor de -1 es igual a 1 y
como vemos gráficamente la propiedad es
válida y estas propiedades canalizamos
el día de hoy son muy importantes ya que
nos permitirán poder calcular límites de
funciones mucho más complejas la
intención con este vídeo fue Simplemente
presenta estas propiedades y también
ejemplos sencillos acompañados de sus
respectivas gráficas para poder
visualizar mejor así los cálculos que
hemos realizado Y también ver
gráficamente que los resultados
obtenidos son coherentes en los próximos
vídeos estaremos analizando otros casos
especiales de límites cuando aparecen
indeterminaciones Recuerda que un límite
no consiste simplemente en evaluar la
función en un determinado valor de X
sino que es un análisis de tendencia
como vimos en los ejemplos del vídeo
anterior donde realizamos el análisis
mediante una tabla lo cual no es muy
práctico y solo con el fin de hacer los
cálculos más rápidos y sin necesidad de
realizar la Gráfica es que podemos tomar
la idea de evaluar muy entre comillas en
la función siempre y cuando la función
lo permita habrá casos en los cuales
evaluar directamente no sea posible pero
Eso lo veremos en los próximos videos y
muchas gracias por tu atención Recuerda
que Para apoyar a mi proyecto educativo
puedes dejar un like en este vídeo dejar
un comentario suscribirte al Canal ya
que todo esto permite que YouTube pueda
recomendar mi contenido a más gente y
muchas más personas como tú también
podrán aprender matemática de manera
diferente y si está en tus posibilidades
puedes convertirte en un patrocinador de
este canal siendo un miembro de este
canal tendrás acceso exclusivo al curso
de Manning que estoy realizando para los
miembros donde aprenderás Cómo realizar
estas animaciones que ves en mi canal
también están los Súper Gracias pero sin
duda alguna con tu visualización y
compartiendo estos vídeos Y estás
ayudando muchísimo a este proyecto y
muchas gracias por tu atención y nos
vemos en el próximo video
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