Derivada de u a la n (derivada de la potencia de una función)

Summary

Este video enseña cómo derivar funciones algebraicas utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\). Se explica paso a paso el proceso de derivación para funciones como \(3x^2 - 2^3\), \(x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{4}{3}}\) y \(\frac{4}{x^2 - 2}\), entre otras. Se destacan las reglas de derivación para potencias y productos, así como la manipulación de exponentes fraccionarios para facilitar el proceso.

Takeaways

• 📘 La derivada de una función algebraica se calcula utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, donde la derivada de u^n respecto a x es n · u^{n-1} · u'.
• 📗 Para derivar una constante elevada a una potencia, se multiplica la constante por el exponente y se reduce el exponente en 1.
• 📙 La derivada de una constante es cero, ya que no varía con respecto a la variable independiente.
• 📒 Al derivar una potencia fraccionaria, se convierte en una potencia entera y se aplica la fórmula de la derivada de una potencia.
• 📕 La derivada de una fracción se calcula multiplicando el numerador por el denominador elevado a la potencia correspondiente y descomponiendo el exponente.
• 📔 Al derivar una función que contiene un binomio elevado a un exponente, primero se desarrolla el binomio y luego se multiplica por el exponente correspondiente.
• 📓 La derivada de una raíz cuadrada se obtiene pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.
• 📔 Al derivar una función con un exponente negativo, se pasa el exponente al denominador y se cambia su signo.
• 📒 La simplificación de una expresión algebraica después de derivar puede incluir la cancelación de factores comunes.
• 📐 La derivada de una función que contiene una raíz cúbica se calcula pasando la raíz al exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.

Q & A

¿Cuál es la fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n?

La fórmula para derivar una función algebraica de la forma f(x) = ax^n es f'(x) = n*a*x^(n-1).

¿Cómo se deriva la función f(x) = 3x^2 - 2^3?

La derivada de f(x) = 3x^2 - 2^3 es f'(x) = 6x.

¿Qué es la derivada de una constante y por qué es cero?

La derivada de una constante es cero porque la constante no cambia con respecto a la variable, por lo que su tasa de cambio (derivada) es nula.

¿Cuál es la derivada de x^3 con respecto a x?

La derivada de x^3 con respecto a x es 3x^2.

¿Cómo se calcula la derivada de una potencia fraccionaria de una variable?

Para calcular la derivada de una potencia fraccionaria, se utiliza la fórmula (a^(m/n))' = (m/n)*a^(m/n - 1)*lna.

¿Qué significa el exponente fraccionario en una función y cómo se maneja al derivar?

El exponente fraccionario indica que la función está elevada a una potencia que no es un entero. Al derivar, se pasa al numerador y se cambia el signo del exponente fraccionario.

¿Cómo se derivan funciones que tienen un binomio elevado a un exponente?

Para derivar funciones con un binomio elevado a un exponente, se aplica la fórmula (uv^n)' = n*u*v^(n-1)*v'.

¿Qué es la fórmula para derivar una función que está en la forma de una fracción?

La fórmula para derivar una función en forma de fracción es (f/g)' = (f'g - fg')/g^2.

¿Cómo se simplifica la derivada de una función que contiene un término con exponente negativo?

La derivada de un término con exponente negativo se simplifica pasando el término al denominador y cambiando el signo del exponente a positivo.

¿Cuál es la derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2)?

La derivada de f(x) = (x^2 - 2)^(-2) es f'(x) = -8/(x^2 - 2)^3.

¿Cómo se calcula la derivada de una función que contiene una raíz cúbica?

Para derivar una función que contiene una raíz cúbica, se pasa el exponente fraccionario a la raíz correspondiente, y se aplica la fórmula de derivación para potencias fraccionarias.

Outlines

00:00

📚 Derivación de Funciones Algebraicas

En este segmento se explica cómo derivar funciones algebraicas. Se comienza con la función f(x) = 3x^2 - 2^3, y se utiliza la fórmula de la derivada de una potencia, que es n * x^(n-1). La derivada de f(x) resulta ser f'(x) = 6x * (3x^2 - 2). Además, se menciona que para derivar una constante, la derivada es cero. Se procede a derivar otra función, f(x) = (x^3 - 3x^4)^(1/3), utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, obteniendo f'(x) = (1/3) * (4x^3 - 3x^4) * (x^3 - 3x^4)^(-2/3).

05:03

🔍 Detallando la Derivada de una Función Algebraica

Este párrafo profundiza en el proceso de derivación de la función del párrafo anterior, explicando paso a paso cómo se calcula la derivada de cada término. Se detalla el uso de la fórmula de la derivada de una potencia y cómo se maneja la constante dentro de una función al derivarla. Finalmente, se simplifica la expresión obtenida para la derivada de f(x) = (x^3 - 3x^4)^(1/3), destacando la importancia de factorizar y simplificar los términos.

10:03

📐 Aplicación de la Fórmula de la Derivada de una Potencia

Se describe el proceso de derivación de la función f(x) = 4(x^2 - 2), pasando el término del denominador al numerador y cambiando el signo del exponente. Se aplica la fórmula de la derivada de una potencia para obtener f'(x) = 4 * (2x - 8) / (x^2 - 2)^3. Se enfatiza la importancia de recordar las fórmulas de derivación y cómo se maneja la derivada de una constante.

15:05

🔢 Derivación de una Función con Exponente Fraccionario

En este párrafo se muestra cómo derivar la función f(x) = √(12x^3 + 6x), transformando la raíz en un exponente fraccionario y aplicando la fórmula de la derivada de una potencia. Se obtiene f'(x) = (3/2) * (2x^3 + 6x)^(1/2) * (6x^2 + 6). Se explica la importancia de factorizar y simplificar la expresión antes de pasar el exponente fraccionario a una raíz.

20:07

📘 Derivación de una Función con Exponente Negativo

Se aborda la derivación de la función f(x) = 3 / √(x^2), pasando el exponente negativo al denominador y cambiando el signo. Se aplica la fórmula de la derivada de una potencia para obtener f'(x) = -5/3 * (2x + 4)^(-5/3). Se destaca cómo se maneja el exponente negativo y se pasa al denominador, cambiando el signo y utilizando la raíz correspondiente.

Keywords

💡derivada

La derivada es una operación matemática que determina la pendiente de la tangente a una curva en un punto específico. En el vídeo, se utiliza para encontrar la derivada de diferentes funciones algebraicas, como parte del proceso de diferenciación. Por ejemplo, la derivada de una función f(x) = 3x^2 - 2^3 se calcula utilizando la fórmula de la derivada de una potencia, donde la derivada de x^n es n*x^(n-1).

💡potencia

Una potencia es un número elevado a un cierto exponente. En el vídeo, las potencias se utilizan al describir funciones algebraicas, como en f(x) = 3x^2. La derivada de una potencia se calcula con la fórmula n*x^(n-1), donde n es el exponente de la potencia.

💡constante

Una constante en matemáticas es un valor que no cambia. En el contexto del vídeo, la derivada de una constante siempre es cero, como se menciona al derivar la función f(x) = 3x^2 - 2^3, donde la derivada de la constante 2 es 0.

💡exponente

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica un número base por sí mismo. En el vídeo, los exponentes se mencionan al aplicar la fórmula de la derivada de una potencia, como en la derivada de x^n, donde n es el exponente.

💡binomio

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos separados por un signo más o menos. En el vídeo, se menciona el binomio en la derivación de funciones como f(x) = (x^3 - 3x^4), donde se aplica la regla de la derivada de un binomio.

💡factor común

Un factor común es un número o variable que se multiplica por cada término de una suma o expresión. En el vídeo, se menciona la simplificación de factores comunes al derivar funciones, como en la derivada de f(x) = 4/3*x^3 - 3x^4, donde se simplifica el factor común 3.

💡fracción

Una fracción es una expresión que muestra una cantidad dividida en partes iguales. En el vídeo, las fracciones se utilizan al derivar funciones con exponentes fraccionarios, como en f(x) = sqrt(12x^3 + 6x), donde se pasa la fracción al exponente fraccionario.

💡exponente fraccionario

Un exponente fraccionario indica una raíz. En el vídeo, se utilizan exponentes fraccionarios al derivar funciones que involucran raíces, como en f(x) = sqrt(12x^3 + 6x), donde el exponente fraccionario se convierte en una raíz.

💡raíz

Una raíz es una cantidad que, al elevarse a un cierto poder, resulta en un número específico. En el vídeo, las raíces se mencionan al derivar funciones con raíces, como en f(x) = sqrt(12x^3 + 6x), donde se aplica la fórmula de la derivada de una raíz.

💡numerador

El numerador es la parte superior de una fracción. En el vídeo, se menciona el numerador al derivar funciones con fracciones, como en f(x) = 4/(x^2 - 2), donde el numerador se pasa al denominador al derivar.

💡denominador

El denominador es la parte inferior de una fracción. En el vídeo, se menciona el denominador al derivar funciones con fracciones, como en f(x) = 4/(x^2 - 2), donde el denominador se eleva al cubo al derivar.

Highlights

Derivación de funciones algebraicas utilizando la fórmula de la derivada de una potencia n.

Derivada de la función f(x) = 3x^2 - 2^3 utilizando la fórmula de potencias.

Explicación de cómo aplicar la fórmula de derivada de una potencia para funciones con exponentes enteros.

Derivada de 3x^2 - 2^3 obtenida como 6x.

Proceso de derivación paso a paso para la función f(x) = (1/3)x^3 - 3x^4.

Uso de la fórmula de derivada para funciones con exponentes fraccionarios.

Derivada de la función f(x) = (1/3)x^3 - 3x^4 obtenida como 4x^2 - 3x^3.

Explicación detallada de la simplificación de términos durante la derivación.

Derivación de la función f(x) = 4/(x^2 - 2) utilizando la fórmula de derivada de una fracción.

Cambio de signo del exponente al pasar de denominador a numerador en la derivación de fracciones.

Derivada de f(x) = √(12x^3 + 6x^2) obtenida como 9x^(3/2) + 1/√(2x^3 + 6x).

Proceso de pasar la raíz a exponente fraccionario para facilitar la derivación.

Derivación de la función f(x) = 3/(2x^(4/3)) utilizando la fórmula de derivada de una potencia fraccionaria.

Manejo de términos con exponentes negativos durante la derivación.

Derivada de f(x) = 3/(2x^(4/3)) obtenida como -5/3 * (2x + 4)^(5/3).

Proceso de pasar exponentes fraccionarios a radicales durante la derivación.

Transcripts

a continuación vamos a hallar la

derivada de algunas funciones

algebraicas

en primer lugar tenemos fx igual a 3x

cuadrada menos 2 elevado al cubo para

derivar esta función

vamos a utilizar esta fórmula está

derivada de uva la n con respecto a x es

igual a n por 1 a la n 1 por la derivada

de un

y corresponde a lo que está dentro del

paréntesis y n al exponente entonces

tenemos que f prima de x está esta

comida simple indica la primera derivada

de la función f prima de x es igual a 3

que es n n por 1 y es igual a 3x

cuadrada menos 2 a la n 13 menos uno por

la derivada de la derivada de lo que

está entre paréntesis

esto es igual a

3

3x cuadrada

- 2

cuyo exponente es 312 por la derivada de

3x cuadrada es igual a

6x la derivada de 20 ya que la derivada

de toda constante es igual a 0 para

derivar 3x cuadrada se utiliza la

siguiente fórmula

derivada

con respecto a x de c x a la n

es donde se es la constante es igual a

la constante

pero

m x x a la n 1

y esto es igual a c por n por equis a la

n 1 entonces

la constante estrés

3

por dos

por equis

a la 2 - 1 esto es igual a 3 por 2 6 x 2

11 el exponente uno no lo escribimos

entonces así es como obtuvimos 6x

ahora

efe prima de x

es igual

a 3 x 6 x

18 x

3x cuadrada menos 2 elevado al cuadrado

este es el resultado o esta es la

derivada de esta función este 18 x no

puede multiplicar a 3x cuadrado menos 2

ya que este binomio este elevado al

cuadrado para poder multiplicar este 18

x a este binomio primero se tendría que

desarrollar el binomio al cuadrado y

posteriormente multiplicar por 18 x

a continuación vamos a derivar la

siguiente función

esta función también la podemos expresar

de la siguiente manera el binomio

tiene como coeficiente 1 por lo tanto

vamos a poner o vamos a escribir como

factor el un tercio

fx

es igual

a un tercio

de x kubica

- 3x

a la cuarta potencia

esta es la función que vamos a derivar

y para derivar la vamos a utilizar la

fórmula

derivada de uva la n

con respecto a x es igual a n por a la n

1 por la derivada de u

entonces tenemos que

efe prima de x

es igual a un tercio sacamos la

constante

por la derivada

d

x cúbica menos 3x a la cuarta potencia

con respecto a x

desarrollamos efe prima de x

es igual a un tercio abrimos corchete la

derivada de este binomio a la cuarta

potencia es igual a n por n por lo que

está entre paréntesis vamos a indicarlo

de esa manera 4 por equis cúbica menos

3x

y el exponente del binomio será 4

- 1

porque porque la fórmula dice n 1

por la derivada

de uno o es lo que está dentro del

paréntesis la derivada de x cúbica menos

3x

con respecto a x

esto es igual a

un tercio

4 x x cúbica menos 3 x

el exponente 4 13 por la derivada de x

kubica es igual a 3x cuadrada como

obtuvimos su derivado

para derivar x cúbica utilizamos la

fórmula derivada de x a la n con

respecto a x esto es igual a n por x a

la n 1

3 por 1

3

x 3 1 2

menos la derivada de 3x es igual a 3

como obtuvimos su derivada

derivada de una constante por x con

respecto a x es igual a la constante

en este caso la constante es 3 con su

signo negativo

ahora efe de x es igual a

un tercio por cuatro es igual a cuatro

tercios

x cúbica menos 3x elevado al cubo x

3x cuadrada

- 3

aquí hay un factor común

qué estrés vamos a simplificar efe prima

de x

es igual

a cuatro tercios por equis cúbica menos

3x al cubo por sacamos el factor común 3

y queda x cuadrada menos 1

3 se está multiplicando y este 3 se está

dividiendo se cancelan y el resultado es

4 x x cúbica menos 3 x elevado al cubo

x

x cuadrada

- 1

este es el resultado la siguiente

función a derivar en fx igual a 4 entre

el cuadrado de x cuadrada menos 2

fx

también lo podemos escribir de la

siguiente manera lo que está en el

denominador de esta fracción lo vamos a

pasar al numerador y al pasar al

numerador el exponente del binomio

cambia de signo

esto es igual a 4 x

x cuadrada menos 2 y su exponente ahora

es menos 2

si está en el denominador con signo

positivo al pasar el numerador pasa con

signo negativo ahora sí ahora ya podemos

aplicar la fórmula

derivada de la n con respecto a x es

igual a n por 1 a la n 1 por la derivada

de donde v

es lo que está dentro del paréntesis y

el exponente corresponde a n entonces

efe prima de x

es igual a 4

la derivada

de x cuadrada menos 2

al menos 2 con respecto a x

y esto es igual

a 4

abro corchetes y aquí aplicamos la

fórmula

n por 1 - 2 x

x cuadrada menos 2

y su exponente será o es menos dos menos

uno

así lo indica la fórmula n1 n2

-1 entonces por la derivada de la

derivada de x cuadrada menos 2 con

respecto a x

efe prima de x que corresponde a la

primera derivada es igual

4 x - 2 - 8

por equis cuadrada menos 2

- 2 - 1 - 3

por la derivada de x cuadrada

2x la derivada de dos es cero

la derivada para derivar x cuadrada no

se les olvide que se utiliza la fórmula

derivada de x a la n con respecto a x es

igual a n por x a la n 1 esta es la

fórmula que se utiliza para derivar x

cuadrada

efe prima de x es igual a menos por más

menos 8 por 2 x 16 x

por equis cuadrada menos 2

al menos 3

esto es igual

a efe prima de x

este binomio tiene exponente negativo lo

vamos a pasar al denominador

menos

16 x

/

x cuadrada menos 2

al cubo

este es el resultado esta es la primera

derivada

de esta función

ahora vamos a hallar la derivada de fx

igual a la raíz cuadrada de 12 x cúbica

+ 6 x al cubo

vamos a pasar la raíz

la exponente fraccionario de tal manera

que el binomio contenga un exponente

fraccionario entonces

fx

es igual

a 2 x kubica

+ 6 x

ahora su exponente se conformará de la

siguiente manera

el numerador de la fracción

corresponde al exponente de la base que

en este caso es el binomio

3

y el denominador de la fracción

corresponde al índice de la raíz esta

raíz es raíz cuadrada entonces

aquí es 2

ahora la función queda de la siguiente

manera fx igual a 2 x cúbica + 6 x ^ a

la 3 medios

para hallar la derivada de esta función

utilizaremos la siguiente fórmula

derivada de uala n con respecto a x es

igual a n por 1 a la n 1 por la derivada

de uno

entonces aplicamos la fórmula

efe prima de x

es igual

a tres medios por dos x al cubo

+ 6 x

y su exponente n

1

tres medios

menos 1 por la derivada de eeuu por la

derivada de 2x kubica más 6x

con respecto a la variable x

ahora efe prima de x

es igual

a tres medios

por 2x kubica

+ 6 x

cuyo exponente 3 un entero un entero es

igual a dos medios tres medios menos 1

es equivalente a decir tres medios menos

dos medios es igual a un medio

por la derivada de 2x cúbica es igual a

6x cuadrada

más la derivada de 6x es igual a 6

en los ejercicios anteriores ya

mencionamos ya explicar cómo hallamos la

derivada de estos dos términos qué

fórmulas se utilizan para derivar estos

dos términos

efe prima de x

es igual a tres medios

por 2 x cúbica más 6 x

al a un medio por vamos a factorizar

aquí hay un factor común que es 6

sacamos el factor común y queda x

cuadrada más

ahora

en el siguiente paso

6 x 3 18 18 entre 2

9

9 x 2x kubica

+ 6 x

al a un medio por equis cuadrada

1

este binomio que está elevado a la

potencia un medio lo vamos a pasar a

raíz

entonces

efe prima de x

es igual

a 9 voy a escribir primero este factor

por equis cuadrada

+ 1

por la raíz que damos que el exponente

fraccionario este exponente está

compuesto de la siguiente manera el

numerador de esta fracción corresponde

al exponente del binomio o de la base y

el denominador corresponde al índice de

la raíz como el denominador es 2

entonces la raíz es raíz cuadrada

y este binomio 2x cúbica 6x su exponente

será 1 por lo tanto queda como 2x kubica

más 6x

ahora vamos a derivar en fx igual a tres

entre raíz cúbica del cuadrado de 2 x 4

esta expresión para para poderla derivar

vamos a pasar a exponente fraccionario

este binomio y posteriormente lo pasamos

al numerador

fx

es igual

a 3

/

2 x 4

y su exponente será fraccionario y se

conformará de la siguiente manera el

numerador de esa fracción corresponde al

exponente del binomio

qué es 2 y el denominador de esa

fracción corresponde al índice de la

raíz la raíz es cúbica entonces aquí es

3

ahora este binomio lo vamos a pasar el

numerador y cambiar el signo del

exponente esto es igual a 3 por 2 x + 4

y su exponente ahora es menos dos

tercios

esta es la función que vamos a derivar

la fórmula utilizar es derivada de uva

la n con respecto a x es igual a n por a

la n 1 por la derivada de

efe prima de x

es igual a

3

por la derivada de 2 x 4

a la menos dos tercios con respecto a x

esto es igual

a 3 se abre corchete aplicamos la

fórmula menos dos tercios por 2 x más 4

a la menos dos tercios

- 1 n 1 es lo que dice la fórmula por la

derivada de un la derivada de 2x más 4

con respecto a x

esto es igual

más x menos -3 por 26 entre 32

aquí también se puede resolver de la

siguiente manera 3 están multiplicando y

este 3 se está dividiendo se cancelan y

queda 2

2x

+ 4

menos dos tercios menos uno un entero es

igual a tres tercios menos dos tercios

menos tres tercios es igual a menos

cinco tercios

por la derivada de 2x es 2

porque porque utilizamos esta fórmula

derivada de una constante por x con

respecto a x es igual a la constante

ahora menos por más menos

2 x 2 4 x 2 x 4

al menos cinco tercios este binomio

tiene exponente negativo lo vamos a

pasar al denominador y pasará con

exponente positivo

efe prima de x es igual a menos

en el numerador se queda el 4 y en el

denominador se queda dos x + 4 a las 5

tercios

en el denominador vamos a pasar este

exponente fraccionario a raíz quedamos

que el numerador de la fracción es el

exponente de la base y el denominador es

el índice de la raíz por lo tanto es

raíz cúbica

d

2 x + 4

a la quinta

y tenemos que esta o este resultado es

la primera derivada

de esta función