Integrales Trigonométricas Inversas #3
Summary
TLDREl video aborda el cálculo de integrales relacionadas con funciones trigonométricas inversas. Se explica cómo identificar cuándo una integral da como resultado una función trigonométrica inversa, detallando las tres fórmulas principales que resultan en arcoseno, arcotangente y arcosecante. Además, se discute por qué no se incluyen las otras tres funciones trigonométricas inversas (arccoseno, arcocotangente, arcocosecante) debido a sus formas negativas. El video incluye ejemplos prácticos y ejercicios para ilustrar la aplicación de estas fórmulas, destacando la importancia de la completación de cuadrados en la resolución de integrales más complejas.
Takeaways
- 📐 Se revisan las integrales que contienen funciones trigonométricas inversas, como arco seno y tangente inversa.
- 📊 Las integrales pueden dar como resultado funciones trigonométricas inversas aunque no estén inicialmente presentes.
- 📝 Existen tres fórmulas principales cuyas integrales resultan en funciones trigonométricas inversas.
- ✔️ La fórmula 1 es la integral de 1 sobre la raíz cuadrada de a² - x², que siempre resulta en arco seno.
- 🔢 La fórmula 2 es la integral de 1 sobre a² + x², que da como resultado tangente inversa.
- 📏 La fórmula 3 es la integral de 1 sobre x√(x² - a²), que da secante inversa.
- 🔄 No se incluyen las otras funciones trigonométricas inversas (coseno, cotangente, cosecante) porque sus formas son negativas y se simplifican.
- 💡 Para resolver integrales más complejas, se recomienda el uso de completación de cuadrados en ecuaciones cuadráticas.
- 🧮 Ejemplo de completación de cuadrados: transformar x² - 4x + 7 en (x - 2)² + 3 para simplificar la integral.
- 📚 Los ejercicios de trigonometría inversa se pueden resolver con cambio de variable, pero algunos permiten saltarse este paso si se conoce bien la técnica.
Q & A
¿Qué tipo de funciones se estudian en las integrales mostradas en el video?
-Se estudian integrales que tienen como resultado funciones trigonométricas inversas como el arco seno, arco tangente, entre otras.
¿Cuáles son las tres fórmulas principales para calcular integrales de funciones trigonométricas inversas?
-Las tres fórmulas principales son: 1) Integral de 1 sobre la raíz de 'a' al cuadrado menos 'x' al cuadrado, que da como resultado el arco seno. 2) Integral de 1 sobre 'a' al cuadrado más 'x' al cuadrado, que resulta en el arco tangente. 3) Integral de 1 sobre 'x' por la raíz de 'x' al cuadrado menos 'a' al cuadrado, que da como resultado la secante inversa.
¿Por qué no se incluyen otras funciones trigonométricas inversas en estas fórmulas?
-Las otras funciones trigonométricas inversas, como el arco coseno o la cotangente inversa, no se incluyen porque son equivalentes a las funciones presentadas, pero con un signo negativo. El signo negativo se puede sacar de la integral, simplificando el trabajo.
¿Qué significa cuando la integral tiene como resultado una función trigonométrica inversa?
-Esto significa que la función dentro de la integral está estructurada de tal forma que su resultado es una función trigonométrica inversa, como el arco seno o el arco tangente.
¿Cómo se puede identificar una integral que da como resultado una función trigonométrica inversa?
-Se puede identificar cuando la integral tiene la forma de una de las fórmulas principales (con una raíz o un denominador que involucra cuadrados), y no requiere un cambio de variable.
¿Qué es la completación de cuadrados y cómo se aplica en estos ejercicios?
-La completación de cuadrados es un método para reescribir expresiones cuadráticas en una forma factorizada o más manejable. Se utiliza cuando la función en el denominador de una integral no está en una forma reconocida, y ayuda a transformar la integral para aplicar las fórmulas trigonométricas inversas.
¿Por qué se usa la completación de cuadrados en algunos ejercicios?
-Se usa cuando el denominador de la integral tiene una expresión cuadrática que no es fácilmente reconocible. La completación de cuadrados permite transformar la expresión para aplicar una de las fórmulas de integrales de funciones trigonométricas inversas.
¿Qué se debe hacer si una integral no tiene una raíz o cuadrado reconocible?
-En esos casos, puede ser necesario usar la completación de cuadrados o reordenar los términos para que la integral se ajuste a una de las fórmulas trigonométricas inversas conocidas.
¿Cómo se relaciona la factorización con la completación de cuadrados?
-La completación de cuadrados es un paso previo a la factorización. Permite reescribir la expresión cuadrática en una forma factorizada que facilita el cálculo de la integral.
¿Por qué se recomienda memorizar las fórmulas de las integrales trigonométricas inversas?
-Se recomienda memorizar estas fórmulas porque simplifican el proceso de resolver integrales y permiten identificar rápidamente si una integral corresponde a una función trigonométrica inversa sin hacer cambios innecesarios de variable.
Outlines
🧮 Integrales con Funciones Trigonométricas Inversas
En este párrafo, se introduce el concepto de integrales que no contienen funciones trigonométricas inversas de forma explícita, pero cuyo resultado se expresa como una. Se mencionan tres fórmulas clave que generan estas integrales y se explica por qué no se utilizan todas las funciones trigonométricas inversas, limitándose a solo tres por conveniencia. Se discuten las integrales resultantes de arco seno, tangente inversa, y secante inversa con ejemplos claros.
📝 Completación de Cuadrados y su Aplicación en Integrales
Aquí, se presenta un caso donde la integral no es directamente trigonométrica inversa, y se necesita hacer una completación de cuadrados. Se explica paso a paso cómo realizar este proceso para convertir una expresión cuadrática en una forma factorizada adecuada para aplicar la fórmula de trigonometría inversa. Se usa un ejemplo detallado con x² - 4x + 7, mostrando cómo agregar y restar un término adecuado para completar el cuadrado.
🔄 Ejemplo Complejo con Cambio de Variable
Este párrafo presenta un ejemplo más complicado que involucra un cambio de variable después de realizar la completación de cuadrados. El enfoque es similar al ejemplo anterior, pero con una raíz en la integral. Se destaca cómo la reorganización del trinomio y el uso de la factorización son esenciales para aplicar correctamente la fórmula de la trigonometría inversa. El cambio de variable se muestra como un método formal para obtener el resultado final.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Funciones trigonométricas inversas
💡Fórmula directa
💡Completar el cuadrado
💡Cambio de variable
💡Producto notable
💡Derivadas
💡Raíz cuadrada
💡Suma de cuadrados
💡Factorización
Highlights
Identificación de integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas.
Primera fórmula principal: Integral de 1 sobre la raíz de a^2 - x^2 resulta en arco seno inverso.
Ejemplo directo de la fórmula: Integral de dx sobre la raíz de 3 - x^2 resulta en arco seno inverso de x entre raíz de 3.
Segunda fórmula principal: Integral de 1 sobre a^2 + x^2 resulta en tangente inversa.
Aplicación de la fórmula de tangente inversa con un ejemplo: Integral de dx sobre 4 + x^2 da como resultado tangente inversa de x/2.
Tercera fórmula principal: Integral de 1 sobre x^2 - a^2 resulta en secante inversa.
Explicación de por qué no se consideran las otras tres funciones trigonométricas inversas (coseno inverso, cotangente inversa, y cosecante inversa) debido a que son negativas.
La clave para resolver integrales complejas con trigonometría inversa es reconocer cuándo se necesita una completación de cuadrados.
Ejemplo de completación de cuadrados: Transformación de x^2 - 4x + 7 en (x - 2)^2 + 3.
Aplicación de la fórmula de tangente inversa después de la completación de cuadrados: Resultado tangente inversa de (x - 2) sobre raíz de 3.
Segundo ejemplo similar que involucra completación de cuadrados: Transformación de 5 - x^2 - 2x en 6 - (x + 1)^2.
Explicación detallada sobre cómo completar cuadrados para facilitar el uso de fórmulas trigonométricas inversas.
El uso de cambio de variable es opcional en algunos casos, dependiendo de la habilidad del estudiante para identificar la fórmula aplicable.
La importancia de memorizar las fórmulas básicas de integrales que resultan en trigonometría inversa para ahorrar tiempo y esfuerzo en la resolución.
Resumen de las tres principales fórmulas de integrales que resultan en arco seno inverso, tangente inversa y secante inversa.
Transcripts
ya vimos integrales con funciones
trigonométricas inversa que están dentro
de la integral el arco seno tangente
inversa acotamiento inversa se
encontraban dentro de vitoria le
llamamos uss essex al estar parte ehlers
es ahora qué tal si la integral no tiene
la trigonometría inversa sino que va a
resultar el o va a dar ese resultado
como trigonometría inversa como lo
podemos identificar este otro tipo de
ejercicio donde el resultado en donde se
espera esta función
vamos a mostrar primero las tres
fórmulas principales cuyas integrales
resultan en la estribera métricas de
inversas principales y veremos por qué
no son seis trigonométricas inversas
como las derivadas que son seis
primero fórmula número 1 integral de
sobre la raíz de al cuadrado menos un
cuadrado si quieren está integral en
cualquier parte del ejercicio eso va a
ser siempre el arco se no puede ser
inverso de a que la raíz cuadrada de la
variable entre a que la raíz cuadrada es
posible número que está allí al cuadrado
una constante más y como siempre para
que me puedan entender es mejor verlo
como un ejemplo a la derecha integral
sus cortes que tienen de x sobre la raíz
tiene que ser el número menos la
variable al cuadrado 3 - x cuadrado en
este caso eso ya es una integral directa
hay que memorizar esa forma para
personas que están en este mundo tiene
que ser que es integral no es por cambio
variable ni por ningún otro es
directamente el sen inverso es una
fórmula directa
esa integral será el inverso de x que la
raíz cuadrada de la variable entre raíz
de 3 porque es la raíz del número si
estrenos de 365 reyes 5 si dices el 4 25
5 más de esa forma es que pueden usar la
integral 1 es una fórmula directa y se
aplica de esa manera
con número 2 integral de arma y raíz al
cuadrado más al cuadrado que integral
será esa es la tangente inversa o arco
está miente pero tiene una entrega cosa
que no tiene es el inverso 1 entre la
raíz del número también está inversa de
uva entre a base de la raíz del número
que se encuentra en el denominador un
pequeño ejemplo a la derecha tendremos
integral de entre un cuadrado más 4
supongamos que te enfrentas a este tipo
de ejercicio no se hace por cambia
variable ninguno es directamente inversa
como esta 4 la raíz de cuatro dedos o
que sería un medio primero uno sobre la
raíz también te inversa de eeuu sobre
dos más
y listo el ejemplo vamos con la tercera
y última
integral de un sobre o raíz cuadrada del
cuadrado menos al cuadrado como se ha
visto integral hay que memorizar esa
forma exacta una entrega se canta
inversa de o entre ambas
estas son las tres formas principales
porque no están las otras tres como lo
es el coso en inverso la cota gente
inversa la cosa que ante inversión
porque esa forma son negativas si se dan
cuenta estas tres formas se parece mucho
a las derivadas pero si yo te digo que
pongo negativo puedo sacarlo de la
integral y se usaron sola forma por eso
es que no vamos a hacer no vamos a hacer
cosa en inverso con tamientos con
secante inversa para reducir el trabajo
normalmente ese menos se saca de la
integral y se dejan estas tres formas
principales falta el último ejemplo nos
hemos olvidado a la derecha tendremos
integral de zetas sobre zeta raíz
cuadrada es eta cuadrado menos 5 de 50
en el denominador es la variable tiene
que estar primero después el número en
el ser inverso al revés primero el
número y luego la variable
en cambio la tarjeta inversa como es
suma no importa aquí en este primero
esa última integral de ejemplo será 1
sobre la raíz del número 5 secante
inversa está sobre 10 5 más
ahora sí lista las tres fórmulas
conceptos ejemplos vamos hacer algunos
ejercicios para ver cómo se puede
aplicar esto
integral número 1 integral de x sobre x
cuadrado menos 47 ese ejercicio no puede
usar cambio variable porque se llama
well de iluminador arriba no tiene nada
que sustente la derivada por lo tanto
este tipo de ejercicio pertenece al
mundo las trigonométricas inversa dice
pero que yo no veo la trigonometría
inversa y tampoco veo los fórmulas que
me acabas de decir es porque hay que
hacer completación de cuadrados de este
ejercicio cuando tengan en el
denominador ecuaciones de segundo grado
sin raíz o con raíz también pueden ser
normalmente se hacen por completación de
cuadra hay que saberla identificar
vamos a tomar este trinomio y aparte
vamos a hacer la completación tenemos x
cuadrado menos 4 x + 7 en pantalla como
es una complicación de cuadrados la
compactación de cuadro de agregar un
término necesario para que se complete
un producto notable o él siente que éste
tiene que estar de último también se
puede tomar los números necesarios pero
en este caso vamos dejar el 7 un lado
vamos a tomar x cuadrado menos 4 x más
siempre es el suma no importa que sea
menos en el segundo término la mitad del
segundo al cuadrado la mitad de 4 x 2
al cuadrado de 4 pero quiero porque lo
ven en cámara lenta 4 entre 2 que la
mitad del segundo al cuadrado menos 4 se
sumó 4 y resto 4 la mitad de 42 al
cuadrado 4 se suman 4 y se resta 4 +7
eso que está en rojo es lo que estoy
agregando como tengo que sumar un
término se lo restó inmediatamente para
que se equilibre
en el siguiente paso tener x corado
menos 4 x 4 que acaba de agregar cierro
paréntesis ya fuera 7 menos 4 será más 3
o podían también para que fuese más
fácil del mismo 7 separarlo en 4 y 3
como está allí o sea que pueden ir
directamente a ese paso claro para eso
había que saber que 4 en el término
necesario para completar el primero
perfecto y sobrarían 3 ya que también se
puede usar el número presente
vamos con el producto notable se toma la
primera variable que x el primer signo
que menos la raíz cuadrada del último
que es 42 o la mitad del segundo pero
sin elevar queda x menos 2 todo al
cuadrado más 3
recuerden que esto es factorización es
completa acciones para factorización es
recuerden que tengo un curso completo
factorización en esta plataforma
disponible para aquellas personas que
quieren reforzar este tema
lo cierto es que si desarrollar este
producto notable +3 te va a dar el
trinomio original
regresamos a la integral integral de x
lo colocaron en rojo porque sobre ahora
x menos 2 al cuadrado más 3
este ejercicio hay profesores que lo
hacen ya directo y por ende una de estar
gente inversa yo lo quiero hacer con el
cambio ahora el primero para que
aprendan luego si te lo permiten puedes
saltarte el cambio variable
se llama es el x2 dentro del cuadrado en
pantalla x2 la derivada de vdv y la
ayuda de x
cuando volvemos al integral de x dvi
abajo de un cuadrado más 3 esa forma es
de la fórmula 2 o el tipo 2 porque es
suma de cuadrado en el denominador no
importa aquí en este primero es
totalmente inverso sin duda alguna
1 sobre la raíz del número 3 esta gente
inversa de uso de red de 3g pero como
vimos un cambio variable lo regresamos
en pantalla de respuesta definitiva unas
obras de tratamiento inversa es x menos
2 en paréntesis todo está en el ángulo
sobreviviente de marzo
tome nota
vamos con el número 2
un caso bastante similar integral de x
sobre raíz
5 - x cuadrado menos 2 x como pueden ver
se parece mucho al anterior pero tiene
raíz pero eso no importa porque podemos
averiguar la complicación del cuadrado
ahora como yo sé que el nuevo cambio
variable directo allí porque arriba no
tengo una equis o términos que me
sustente un cambio vamos a hacer el tiro
mejorado perfecto el 5 - x core a menos
de que está desordenado vamos a ordenar
lo primero - x cuadrado menos 2 x y
luego más 5 en orden el trinomio
pero para hacer complete acción de
cuadrado la equis cuadrado debería estar
positiva preferiblemente vamos a hacer
entonces previamente un factor común de
menos
al ser factor común de menos todos los
signos cambian que x cuadrado positivo
el 2x positivo del 5 que da negativo el
menos vamos a dar los fuera durante todo
el proceso y al final es regresar a
menos abrir un corchete completo
eric orr ahumado x hay que sumar siempre
la mitad del segundo al cuadrado la
mitad de 12 es uno al cuadrado uno por
eso que sumó 1 cierro paredes y resto 1
vean que el 1 que sume en rojo se
equilibra con el 1 que se resta en todo
lo que sume lo tienen que restar esa
revista va afuera del paréntesis porque
va a enfrentarse al menos 5
hagamos ahora el trinomio sacamos el
menos corchetes
tendremos x + 1 todo el cuadro recuerden
cuando tienen el mismo tono perfecto
tomar la variable principal que x más la
mitad del segundo sin elevar al cuadrado
o la raíz del tercero todo eleva al
cuadrado menos 6 que menos 15 luego el
menos regresa e invierte los signos
quedan menos por menos 6 lo puede
colocar el primero 6 positivo y menos el
producto notable queda de segundo 6 - x
para una escuadra este está completa
ción es importante por eso que en cada
ejercicio tengo que explicarlo
nuevamente para que tomen nota muchas
personas se equivocan haciendo la
competición al cuadrado por lo tanto no
tendrán bien el ejercicio regresamos a
la integral de x sobre raíz de 6 - x 1
al 4 eso es el inverso para la persona
que ya tiene un nuevo experto y lo puede
identificar pero vamos hacer un cambio
de reales para que tenga toda la
formalidad del caso
siempre que llamar a dentro del
paréntesis igual x1 derivamos derivada
de voz de eeuu y derivada de x mauro de
x
vamos a la integral de x de buen rojo y
en la raíz 6 menos o al cuadrado
claramente es el inverso porque está el
número primero y luego la variable al
cuadrado y no hay más términos afuera
sería un inverso recuerden que arranque
durante una inversión o tienen términos
delante o que la raíz cuadrada de la
variable del cuadrado y 6 sería raíz de
6 entonces parece que la raíz del número
más
como viene un cambio durable y regresa a
lo que era antes ser inverso igual x 1
que era sobre reyes 6 más
tomen nota detengan el vídeo no olviden
dejarme sus comentarios y consulta en la
sección de preguntas
pero espero en el número 3
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