APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 1
Summary
TLDREl vídeo explica cómo calcular la derivada de una función y su aproximación lineal. Se utiliza la función f(x) = x^(1/3) como ejemplo. Se calcula la primera derivada y se evalúa en x=1, obteniendo f'(1) = 1/3. Luego, se encuentra la aproximación lineal de f(x) en x=1, que es L(x) = x + 2/3. Finalmente, se utilizan estas aproximaciones para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, obteniendo valores muy cercanos a los reales, demostrando la precisión de la aproximación.
Takeaways
- 🔢 La función f(x) es la raíz cúbica de x, que se escribe como x elevado a la potencia de un tercio.
- 📈 La primera derivada de f(x), f'(x), se calcula como \( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \).
- 🎯 Al evaluar la primera derivada en x = 1, f'(1) se simplifica a \( \frac{1}{3} \).
- ✏️ La fórmula para la aproximación lineal de f(x) cerca de un punto a es f(a) + f'(a)(x - a).
- 📍 Para x cercano a 1, la aproximación lineal de f(x) es \( \frac{x + 2}{3} \).
- 👉 Al aplicar la aproximación lineal para x = 0.9, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 0.9 como 0.9666... (con 6 repetido indefinidamente).
- 👈 Al aplicar la aproximación lineal para x = 1.1, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 1.1 como 1.0333... (con 3 repetido indefinidamente).
- 📊 La aproximación lineal es confiable para valores de x cercanos a 1, como 0.9 y 1.1.
- 🧮 La aproximación lineal proporciona resultados que son muy cercanos a los valores exactos de la función f(x) para x cercanos a 1.
Q & A
¿Qué función f(x) se discute en el guion?
-Se discute la función f(x) que es la raíz cúbica de x, es decir, x elevado a la un tercio.
¿Cuál es la primera derivada de f(x)?
-La primera derivada de f(x) es f'(x) = 1/(3x^(2/3)).
¿Cómo se calcula f'(1)?
-Al sustituir x por 1 en la expresión de la derivada, f'(1) se calcula como 1/(3*1^(2/3)), que resulta en 1/3.
¿Qué es la aproximación lineal de una función en un punto dado?
-La aproximación lineal, también conocida como la línea tangente, es una recta que se aproxima a la curva de la función cerca del punto dado, y se calcula como f(a) + f'(a)(x - a).
¿Cómo se determina la aproximación lineal de f(x) en x = 1?
-La aproximación lineal de f(x) en x = 1 se determina sustituyendo a por 1 en la fórmula de la aproximación lineal, dando como resultado la expresión x + 2/3.
¿Para qué se usa la aproximación lineal en el guion?
-La aproximación lineal se usa para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, utilizando la línea tangente cerca de x = 1.
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 0.9 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 0.9 + 2/3, que se calcula como 0.96 (con un 6 repetido indefinidamente).
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 1.1 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 1.1 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 1.1 + 2/3, que se calcula como 1.03 (con un 3 repetido indefinidamente).
¿Por qué es confiable usar la aproximación lineal para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1?
-Es confiable porque estos valores están cerca de 1, y la línea tangente es una buena aproximación en la cercanía del punto donde se toma la derivada.
¿Cómo se verifica la precisión de las estimaciones usando una calculadora?
-Se verifica la precisión al calcular los valores aproximados y compararlos con los resultados exactos de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, observando que los valores son muy cercanos.
Outlines
📚 Derivada y Aproximación Lineal
En el primer párrafo se describe cómo calcular la derivada de la función f(x) = ∛x y su valor en x=1. La función f(x) se reescribe como x^(1/3) y se deriva para obtener f'(x) = (1/3)x^(-2/3). Al evaluar esta derivada en x=1, se obtiene f'(1) = 1/3. Además, se explica cómo encontrar la aproximación lineal de la función en x=1, que se representa como L(x) = f(1) + f'(1)(x-1). Al reemplazar los valores, se obtiene L(x) = 1 + (1/3)(x-1), que simplifica a L(x) = (1/3)(x+2). Este resultado se utiliza para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1.
🔍 Estimación de Raíces Cúbicas
El segundo párrafo se centra en la estimación de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1 utilizando la aproximación lineal obtenida en el párrafo anterior. Al sustituir x=0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se calcula ∛0.9 ≈ 0.96..., que se aproxima a 0.966. De manera similar, al sustituir x=1.1, se obtiene ∛1.1 ≈ 1.032..., que se aproxima a 1.032. Estos resultados son considerados confiables debido a que los valores estimados están cercanos a los reales, demostrando que la aproximación lineal es una buena representación de la función en la cercanía de x=1.
Mindmap
Keywords
💡Función f(x)
💡Derivada
💡Aproximación lineal
💡Valor de la función en un punto
💡Estimación
💡Raíz cúbica
💡Numerador y denominador
💡Sustitución
💡Puntos cercanos
💡Confiabilidad
Highlights
Definición de la función f(x) como la raíz cúbica de x.
Reescritura de f(x) como x elevado a la un tercio.
Derivación de f(x) obteniendo f'(x) = 1/(3*x^(2/3)).
Simplificación de f'(x) a 1/(3*x^(2/3)).
Evaluación de f'(1) dando como resultado 1/3.
Fórmula para la aproximación lineal l(x) = f(a) + f'(a)*(x-a).
Aproximación lineal de f(x) en a=1, obteniendo l(x) = 1 + (1/3)*(x-1).
Determinación de f(1) como la raíz cúbica de 1, es decir, 1.
Sustitución de f(1) y f'(1) en la fórmula de la aproximación lineal.
Organización algebraica de la expresión de la aproximación lineal.
Ajuste de fracciones para simplificar la aproximación lineal.
Resultado de la aproximación lineal como (x + 2)/3.
Uso de la aproximación lineal para estimar la raíz cúbica de 0.9.
Sustitución de x=0.9 en la aproximación lineal y resolución.
Resultado aproximado de la raíz cúbica de 0.9 como 0.966...
Uso de la aproximación lineal para estimar la raíz cubicade 1.1.
Sustitución de x=1.1 en la aproximación lineal y resolución.
Resultado aproximado de la raíz cúbica de 1.1 como 1.032...
Validación de la confiabilidad de la aproximación lineal para valores cercanos a 1.
Transcripts
si la función fx es igual a la raíz
cúbica de x a determine este prima de 1
es decir la primera derivada de la
función evaluada en 1 b encuentre la
aproximación lineal para la función f en
a igual a 1 y se estime las raíces
cúbicas de 0.9 1.1 usando el resultado
de la parte de este problema vamos a
hacer la parte a tenemos una función fx
que viene definida como la raíz cúbica
de x y que podemos reescribir como x
elevado a la un tercio entonces vamos a
derivar esta función
la derivada que se trata como f prima
será igual aquí tenemos que bajar un
tercio y queda x elevado a la un tercio
menos uno un tercio menos uno nos da
menos dos tercios podemos aplicar el
siguiente truquito a uno le restamos
tres eso nos da menos dos ese es el
valor que colocamos en el numerador y
conservamos el denominado esta expresión
la podemos organizar como 1 sobre 3 x a
la dos tercios esa sería entonces la
derivada pero nos piden este prima de 1
es decir
debemos sustituir x por 1
vamos a hacerlo aquí entonces nos queda
1 sobre 3 por 1 elevado a la dos tercios
esto nos queda uno sobre
por veamos 1 elevado a la dos tercios
eso nos da 1 y por lo tanto resolviendo
esto nos queda un tercio
entonces jefe prima de uno vale un
tercio y tenemos la respuesta a la
pregunta para la parte b vamos a
utilizar la siguiente fórmula l de x que
se conoce como la línea lización o
aproximación lineal de la función en la
cercanía de un valor a se define como f
más efe prima de a
por equis menos con esa expresión
encontramos él
es decir la aproximación lineal de la
función para el caso de este problema a
vale 1 entonces tendríamos lo siguiente
ld x es igual a efe de uno más
efe prima de uno por x menos uno
simplemente donde está la letra a
escribimos el número uno vamos a dar
quienes 71 recordemos que la función
original viene definida como raíz cúbica
de x entonces efe de uno será la raíz
cúbica de uno y esto es igual a uno
entonces éste efe de uno vale uno y efe
prima de uno es el valor que acabamos de
encontrar en la parte a de este problema
y que nos dio un tercio entonces vamos a
reemplazar
efe de uno vale uno
efe prima de uno nos dio un tercio un
tercio que multiplica a x menos uno
vamos a borrar esto
bien organizando esa expresión podemos
hacer lo siguiente
dejamos aquí el uno más aquí podemos
multiplicar en forma horizontal nos
queda en el numerador x 1 abajo nos
queda 3 3 por 1 que es el denominador de
x 1
podemos cambiar este uno por tres
tercios para que nos quede en fracciones
homogéneas dejamos el mismo denominador
sumamos los numeradores 3 más x menos 1
eso nos da como resultado x + 2 de una
vez organizando en la parte de arriba es
hacer entonces la aproximación lineal o
línea lización de nuestra función en la
cercanía del valor a igual a 1 para
terminar en la parte c nos piden estimar
la raíz cúbica de 0.9 y la raíz cúbica
de 1.1 utilizando lo que encontramos en
la parte del problema tenemos entonces
que la función original es
aproximadamente igual a la línea
lización es decir a la aproximación
lineal que encontramos en la parte d
en la cercanía de uno entonces tenemos
la función original era raíz cúbica de
equis y la línea lización nos dio x + 2
sobre 3 repetimos para valores cercanos
a 1 como vemos 0.9 y 1.1 son números que
están muy cerca de 1 por lo tanto esto
es totalmente confiable entonces vamos a
hacer la raíz cúbica de 0.9
entonces simplemente lo que hacemos es
sustituir x por 0.9 en ambos lados de la
expresión entonces nos queda el lado
derecho 0,9 más 2 sobre 3 resolvemos
esto nos da 29 sobre 3 y esto en la
calculadora nos da 0,96 periódico en 6
es decir el 6 se repite indefinidamente
si nosotros hacemos este resultado esta
operación en una calculadora nos da un
valor como 0.96 54 89 etcétera vemos
entonces que estamos muy cerca por lo
tanto esta aproximación es totalmente
confiable bien ahora vamos con la
aproximación de raíz cúbica de 1.1
hacemos lo mismo
aquí en esta expresión sustituimos x por
1.1 luego también debemos sustituir la
en el otro lado
entonces nos quedan 1.12 todo eso sobre
tres es decir 3,13 punto uno sobre tres
y esto en la calculadora nos da el
número 103 periódico en tres es decir
repiten tres indefinidamente nuevamente
si esto lo hacemos en una calculadora
ella nos da el siguiente resultado 103
22 80 y bueno unos números que continúan
vemos entonces que el resultado está muy
cerca de la estimación por lo tanto
nuestra aproximación es totalmente
confiable entonces la respuesta a la
pregunta se son estos dos números si la
aproximación
la raíz cúbica de 0.9 y la aproximación
de la raíz cúbica de 1.1
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