Logaritmos: definición y ejemplos prácticos
Summary
TLDREl guión de video explica la definición de logaritmo y su aplicación a diversos ejemplos. Se describe cómo calcular el logaritmo de un número dado, utilizando la fórmula base elevado a la x igual a n, donde 'a' es la base, 'n' es el número del logaritmo y 'x' es el resultado. Se ilustran casos específicos como el logaritmo en base 3 de 9, que es 2, y se discuten situaciones donde no es posible calcular un logaritmo, como con números negativos o cero. Además, se exploran propiedades de potencias para resolver ejemplos más complejos y se desafía al espectador con una pregunta final sobre la existencia de logaritmos en ciertas bases.
Takeaways
- 🔢 La definición de logaritmo es que el logaritmo en base a de un número n es igual a x si a^x = n.
- 📈 El número a representa la base del logaritmo y debe ser un número positivo distinto de uno.
- 📉 El número n es el número del cual se calcula el logaritmo y debe ser positivo.
- 🎯 El resultado x es el valor que se busca al calcular el logaritmo, es decir, a qué potencia elevar la base para obtener n.
- ✅ El ejemplo del logaritmo en base 3 de 9 muestra que 3^2 = 9, por lo que el logaritmo vale 2.
- 🔄 Al calcular el logaritmo en base 6 de un sexto, se utiliza la propiedad de las potencias para transformar un sexto en 6^{-1}, resultando en x = -1.
- 📌 Cuando no se especifica la base en un logaritmo, por defecto se toma como 10 (logaritmo común).
- 🚫 No se puede calcular el logaritmo de un número negativo, ya que no existe una potencia de un número positivo que resulte en un número negativo.
- ❌ No existe el logaritmo de cero en cualquier base, ya que no hay un exponente x que haga que a^x = 0 para ninguna base a.
- 💡 El logaritmo en cualquier base de uno siempre es cero, ya que cualquier número elevado a la cero es uno.
Q & A
¿Qué es un logaritmo según la definición proporcionada en el guion?
-Un logaritmo en base a de un número n es igual a x si a elevado a la x es igual a n, donde a es la base del logaritmo, n es el número del cual se está calculando el logaritmo y x es el resultado de la operación.
¿Cuál es la condición que debe cumplir la base 'a' del logaritmo?
-La base 'a' del logaritmo debe ser un número positivo y distinto de uno.
Si se desea calcular el logaritmo en base 3 de 9, ¿qué valor toma x?
-Al calcular el logaritmo en base 3 de 9, x toma el valor de 2, ya que 3 elevado al cuadrado (3^2) es igual a 9.
¿Cómo se calcula el logaritmo en base 6 de un sexto utilizando la definición del logaritmo?
-Al aplicar la definición, se entiende que 6 elevado a la x debe ser igual a un sexto. Al transformar un sexto en potencias, se obtiene 6^(-1), por lo que x es igual a -1.
¿Por qué no se puede calcular el logaritmo de un número negativo?
-No se puede calcular el logaritmo de un número negativo porque elevar una base positiva a cualquier número entero no puede dar como resultado un número negativo.
Si no se especifica la base en un logaritmo, ¿cuál se considera por defecto?
-Cuando no se especifica la base en un logaritmo, se considera por defecto que la base es 10.
¿Cuál es el resultado del logaritmo en base 10 de un millón?
-El logaritmo en base 10 de un millón es 6, ya que 10 elevado a la sexta (10^6) es igual a un millón.
Si el resultado de un logaritmo es -1, ¿cuál sería la base si el resultado del logaritmo es 0.5?
-Si el resultado del logaritmo es 0.5 y el resultado del logaritmo es -1, la base sería 2, ya que 2 elevado a -1 da como resultado 0.5.
¿Por qué no existe el logaritmo en base a de cero?
-No existe el logaritmo en base a de cero porque no hay ningún número x tal que a elevado a x sea igual a cero, ya que cualquier base elevada a cero es igual a 1, excepto cuando la base es cero, lo que no es definido en los reales.
¿Cuál es el resultado del logaritmo en cualquier base de 1?
-El resultado del logaritmo en cualquier base de 1 siempre es 0, ya que cualquier base elevada a la cero es igual a 1.
Outlines
📘 Definición y ejemplos de logaritmos
Este párrafo introduce la definición de logaritmo y lo aplica a varios ejemplos. Se explica que el logaritmo en base 'a' de un número 'n' es igual a 'x' si 'a' elevado a la potencia 'x' es igual a 'n'. Se enfatiza que 'a' debe ser un número positivo distinto de uno, 'n' debe ser un número positivo y 'x' es el resultado de la operación. Se proporcionan ejemplos para calcular logaritmos en base 3 y 6, demostrando cómo encontrar el valor de 'x' para que las potencias correspondan. Además, se discute la imposibilidad de calcular logaritmos de números negativos y se introduce la idea de que la base por defecto es 10 cuando no se especifica.
🔢 Aplicaciones y propiedades de los logaritmos
En este párrafo, se exploran más aplicaciones y propiedades de los logaritmos. Se calcula el logaritmo de un millón en base 10, lo que resulta en un exponente de 6, y se discute cómo se calcula el logaritmo cuando la base es 'x' y el resultado es 0.5, lo que lleva a una base de 2. También se menciona que no se pueden calcular logaritmos de números negativos, ya que no hay un exponente que eleve un número positivo a un resultado negativo. Se aborda un ejemplo donde se conoce la base y se busca el número 'n' cuyo logaritmo es conocido, y se concluye que no se puede calcular el logaritmo de cero en ninguna base.
🚫 Limitaciones en la definición de los logaritmos
Este párrafo finaliza la explicación sobre los logaritmos destacando sus limitaciones. Se plantea la pregunta de si existe un logaritmo en cualquier base para el número cero, a lo que se responde que no, ya que no hay ningún exponente que eleve cualquier base a cero. Se remarca que, según la definición de logaritmo, el logaritmo de uno en cualquier base siempre es cero, ya que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a uno. Se cierra el vídeo con una recapitulación de los conceptos clave y se invita a los espectadores a los próximos contenidos.
Mindmap
Keywords
💡Logaritmo
💡Base
💡Exponente
💡Propiedades de las potencias
💡Número positivo
💡Resultado
💡Fracción
💡Raíz cuadrada
💡Desigualdad de bases
💡Logaritmo en base 10
Highlights
Definición de logaritmo: el logaritmo en base a de un número n es igual a x si a^x = n.
La base a del logaritmo debe ser un número positivo y distinto de uno.
El número n representa el número del cual se calcula el logaritmo y debe ser positivo.
El resultado x es el valor al que se eleva la base a para obtener n.
Ejemplo: logaritmo en base 3 de 9, donde 3^x = 9, resulta que x = 2.
Cuando no se indica la base en un logaritmo, por defecto es 10.
Ejemplo: logaritmo en base 10 de un millón, donde 10^x = 1,000,000, resulta que x = 6.
Ejemplo: logaritmo en base x de 0.5, donde x^y = 0.5, y se resuelve como x = 2.
No se pueden calcular logaritmos de números negativos.
Ejemplo: no se puede calcular logaritmo en base 10 de -100, ya que no existe en los reales.
Ejemplo: logaritmo en base 7 de 1/49, donde 7^x = 1/49, resulta que x = -2.
Ejemplo: logaritmo en base 27 de un número desconocido, donde 27^y = x, y resulta que x = 1/27.
Se explica que no existe logaritmo en base a de 0, ya que no hay x que satisfaga a^x = 0.
Se aclara que el logaritmo en cualquier base de 1 siempre dará 0, ya que cualquier base elevada a la 0 es 1.
Se enfatiza la importancia de descomponer números en factores primos al trabajar con logaritmos.
Se resalta la utilidad de las propiedades de las potencias para resolver problemas de logaritmos.
Transcripts
Hola y bienvenidos hoy explico la
definición de logaritmo y lo aplico a
diferentes ejemplos
el logaritmo en base a de un número n
va a ser igual a x
si esa base a que acabamos de escribir
elevado a la x es igual a n esto que
acabo de escribir es la definición del
logaritmo el número a representa la base
del logaritmo este número va a ser un
número positivo y distinto de uno n va a
representar el número del cual estamos
calculando el logaritmo este número n va
a ser un número positivo y x que lo
tenemos aquí va a ser el resultado de la
operación
observad que cuando estoy calculando el
logaritmo en base a de n lo que voy a
estar calculando es a Qué valor x tengo
que Elevar esa base para poder obtener n
Por ejemplo si yo quiero calcular Cuánto
vale el logaritmo en base 3 de 9 y lo
hago aplicando la definición lo que
estamos buscando es esa base del
logaritmo que es 3
A qué número la voy a tener que Elevar 3
a la x para que el resultado me dé igual
a 9 A qué número tengo que Elevar 3 para
obtener 9 3 al cuadrado es 9 luego
cuánto va a valer x x va a ser igual a 2
estamos diciendo que el logaritmo en
base 3 de 9 vale 2
de nuevo Mirad
esta base yo lo voy a tener que Elevar
al cuadrado para poder obtener 9 eso es
el logaritmo esta base a Yo la voy a
Elevar a un número para obtener n esta
base a la elevo a x para obtener n Esta
es la definición veamos otro ejemplo
suponer que ahora
aplicamos esta definición para calcular
el logaritmo en base 6 de un sexto esto
es igual a x queremos calcular ese valor
de X
si aplicamos la definición estamos
diciendo que a que en este caso vale 6 6
elevado a la x va a ser igual a n va a
ser igual a un sexto
Este ejemplo es un poquito más
complicado que el anterior porque Mirad
tenemos una igualdad pero aquí tenemos
una potencia base 6 y aquí
necesitaríamos tener esto como una
potencia en base 6 Cómo ponemos un sexto
como potencia en base 6 aplicando las
propiedades de las potencias Mirad en
este denominador el 6 es como si llevara
un 1 yo puedo pasar
esta potencia al numerador cambiándole
el signo al exponente Esto es lo mismo
un sexto es lo mismo que 6 a la menos 1
si ahora aquí sustituimos ese un sexto
como 6 a la menos uno
Qué valor va a tener x Mirad las bases
ya son iguales para que dos potencias
sean iguales deben de ser iguales sus
bases y sus exponentes las bases ya son
iguales Son seis luego para que sean
iguales los exponentes deben de ser
iguales x va a ser igual a -1 eso quiere
decir que este logaritmo que estamos
calculando el logaritmo en base 6 de un
sexto va a ser igual a -1 ese es el
valor de la x que estamos buscando este
valor de aquí Esto va a ser igual a
menos 1
ya veis que la definición de logaritmo
me va a permitir calcular logaritmos
más adelante veremos que además de
calcular logaritmos por la definición
según sea logaritmo según sea el
ejercicio nos resulta muchísimo más
sencillo calcular el logaritmo
utilizando propiedades una vez que hemos
introducido el vídeo con la definición
de logaritmo ya la hemos entendido vamos
a resolver los ejemplos que os propongo
en este primer ejemplo Mirad que la x
está como resultado del logaritmo
observar que en este logaritmo no
aparece la base cuando no aparece la
base quiere decir que esa base es el 10
luego tenemos que calcular el logaritmo
en base 10 de un millón
aplicando la definición tendríamos lo
siguiente la base hemos dicho que la
base es 10
elevado a x
Esto va a ser igual a un millón
poniendo este un millón como potencia en
base 10 Mirad que tenemos 1 2 3 4 5 y 6
ceros luego me va a quedar que un millón
es 10 elevado a la sexta y tenemos ahora
esta igualdad entre dos potencias son
dos potencias de la misma base las bases
son iguales luego para que se cumpla la
igualdad los exponentes serán también
iguales de forma que x es igual a 6
acabamos de calcular que el logaritmo de
un millón va a ser 6
en este segundo ejemplo
Mirad que la x es ahora la base del
logaritmo
aplicando la definición tenemos que la
base que es x elevado al resultado del
logaritmo va a ser igual a cero coma
cinco
tenemos de aquí que despejar el valor de
X Pero cuidado porque x Mirad que está
elevada
a un exponente Negativo si este
exponente lo ponemos positivo de nuevo
voy a utilizar la propiedad de potencias
si yo intercambio una potencia entre
numerador y denominador lo puedo hacer
cambiando el signo Mirad aquí x está a
la menos 1 si yo lo paso sx al
denominador me va a quedar como x a la 1
este 1 ya sabéis que no se pone y Esto
va a ser igual a cero coma cinco si de
aquí ahora despejáis el valor de X X es
igual a 1 dividido entre 0.5 que es
igual a 2 en este ejercicio Cuánto tiene
que valer la base para que al calcular
el logaritmo de 0,5 nos dé menos uno la
base esta base x va a tener que va a ser
igual a 2 seguramente cuando he empezado
a decir la definición y os he dicho
logaritmo en base a de n es igual a x y
la definición es que a la x tiene que
ser n cuando he dicho que este valor
tenía que ser un número positivo seguro
que alguno se habrá preguntado pero yo
puedo calcular el logaritmo de un número
negativo vamos a verlo si aplicamos la
definición como no pone nada la base es
un 10 estamos diciendo que 10 elevado a
la x me va a dar igual a menos 100 aquí
ya se ve algo raro Por qué Porque yo
Elevar 10 a la x
es multiplicar 10 por sí mismo x veces
como multiplicando 10 varias veces entre
sí voy a obtener un número negativo pues
es imposible Esto es para que veáis que
yo no voy a poder calcular el logaritmo
de un número negativo
tampoco es de extrañar ya hay
operaciones Matemáticas que habéis visto
en cursos anteriores en los que no
podíais hacer la operación si el número
era negativo aquí estamos diciendo
logaritmo de menos 100 Pero si yo os
hubiera dicho que me calculareis la raíz
cuadrada de -100
me diríais que no existe este valor
dentro de Los Reales seguimos vamos a
hacer ahora un ejemplo en el que el
valor de X es la n sabemos la base y
sabemos el resultado del logaritmo
aplicando la definición la base
elevado al resultado tiene que ser igual
a x de qué número estamos calculando el
logaritmo de 2 elevado a la quinta 2
elevado a la quinta es 2 por 2 por 2 por
2 5 veces que es 32 luego el resultado
de X va a ser igual a 32 si yo quiero
calcular el logaritmo en base 7 de 1
dividido entre 49 la base que es 7
elevado a la x me tiene que dar igual a
n que es un 49avo
si lo Expreso como potencias 7 elevado a
la x va a ser igual a 1 dividido entre 7
al cuadrado para que ambos lados sean
potencias en la misma base este 7 al
cuadrado lo voy a subir al numerador
Cómo cambiando el signo del exponente
voy a obtener que 7 elevado a la x es
igual a 7 a la menos 2 si ahora tengo
una igualdad de dos potencias de la
misma base puedo igualar sus exponentes
Cuál va a ser el resultado que x es
igual a -2 luego el logaritmo en base 7
de un 49avo va a ser igual a menos 2 en
este último caso
x el valor desconocido es el valor de n
yo no sé aquí de Qué valor estoy
calculando el logaritmo lo que sí sé es
que el logaritmo en base 27 de ese
número que busco va a valer menos un
tercio
aplicando la definición tendríamos que
la base que es 27 elevado al resultado
que es menos un tercio va a ser igual a
x voy a descomponer el 27
en factores primos recordad que Siempre
os digo consejo cuando trabajáis con
logaritmos
descomponer siempre en factores este 27
lo voy a poner
como 3 elevado al cubo Ese es el 27 que
está elevado al menos un tercio y este
es el valor de X
aplicando las propiedades de potencias
La potencia de otra potencia
recordar que se multiplican los
exponentes luego Aquí lo que nos va a
quedar va a ser 3 elevado a 3 por menos
un tercio que esto es menos tres tercios
que es -1 estamos diciendo que x es
igual a 3 a la menos uno no dejamos una
potencia un resultado con un exponente
negativo que vamos a hacer ponerlo
positivo como cambiando el signo al
pasarlo al denominador luego como
resultado final de este ejercicio la x
va a ser igual a un tercio
vale para terminar este vídeo os voy a
hacer una pregunta final para saber si
habéis entendido la explicación de la
definición de logaritmo y la pregunta es
existe el logaritmo en cualquier base
voy a poner en base a de cero la
pregunta que os estoy haciendo es vale
Yo he dicho que n en la definición tenía
que ser positiva y ahora en Mi pregunta
es vale Pero y por qué Por qué no puede
la n-0 existe o no se puede esto se ve
muy claramente se aplicáis ahí la
definición
si a mí me dijera por ejemplo que
calcule el logaritmo en base 10 de 0
vamos a suponer este ejemplo logaritmo
de Cero y esto es x aplicando la
definición yo diría vale la base que va
a ser 10 elevado a la x va a ser igual a
cero y la cuestión ahora es a Qué valor
tengo que Elevar el 10 para que me dé
cero Mirad que es imposible que esto no
se puede cumplir no hay ningún número x
que elevando 10 a ese valor me de Cero y
esto se puede generalizar a cualquier
base a si en vez de base 10 yo digo en
cualquier base a que ha elevado a la x
es cero es que no existe este valor de X
y existen logaritmo en base a de 1
claro aquí ya hemos hablado antes que n
tiene que ser positivo Entonces por lo
que ya he dicho estáis diciendo Sí sí
porque hemos dicho que si n era un
número positivo y el uno es positivo
existe vamos a comprobarlo aplicando la
definición
la base a elevado a la x tiene que ser
uno Qué valor a Qué valor elevo yo la a
para que me dé uno ya sabéis que
cualquier base elevada a la cero es
igual a 1 luego Aquí x sería igual a
cero Y sí que tiene solución
resumiendo el logaritmo en cualquier
base de uno nos va a dar siempre 0
Espero que lo hayáis entendido y nos
vemos pronto
[Música]
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