02. Modelo poblacional, población de bacterias, Ecuaciones Diferenciales
Summary
TLDREn este vídeo de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver un ejercicio utilizando el modelo de población simple. Se calcula la constante 'k' para una colonia bacteriana que duplica su población cada hora, partiendo de 1000 bacterias. Se determina la población a 1.5 horas y se calcula el tiempo para que la población alcance 4000 bacterias. El vídeo es una guía paso a paso para entender el crecimiento exponencial y sus aplicaciones prácticas.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre el uso del modelo de crecimiento poblacional exponencial para resolver ejercicios relacionados con bacterias.
- 🕵️♂️ Se presenta un ejercicio que comienza con una población inicial de 1000 bacterias y se duplica después de una hora.
- 🔍 Se calcula la constante de crecimiento k, encontrando que k es igual al logaritmo natural de 2.
- 📚 Se utiliza la fórmula P(t) = P_0 * e^{kt} para determinar la población en un tiempo t, donde P_0 es la población inicial y k es la constante de crecimiento.
- ⏱️ Se resuelve el inciso A del ejercicio, que pide calcular la población después de una hora y media, resultando en aproximadamente 2828 bacterias.
- 📉 Se redondea el resultado a 2828 bacterias, ya que se asume que el número de bacterias debe ser un número entero.
- 🔢 Se resuelve el inciso B del ejercicio, que busca el momento en que la población alcanza 4000 bacterias, y se encuentra que ocurre después de 2 horas.
- 🌐 Se menciona un ejercicio adicional sobre la población mundial, que se abordará en un próximo vídeo.
- 📈 Se invita a los espectadores a intentar resolver el ejercicio sobre la población mundial y a comentar sus dudas o sugerencias en el canal.
- 👍 Se anima a los espectadores a interactuar con el canal a través de likes, suscripciones y compartir el contenido.
Q & A
¿Cuál es la fórmula utilizada para calcular la población en el modelo simple de crecimiento poblacional?
-La fórmula utilizada es P(t) = P0 * e^(kt), donde P0 es la población inicial, e es la base del logaritmo natural, k es la constante de crecimiento y t es el tiempo.
¿Cómo se determina la constante k en el modelo de crecimiento poblacional?
-La constante k se determina al dividir el número de bacterias al final del periodo por el número de bacterias al inicio, elevado al poder del tiempo transcurrido. En este caso, k = ln(2000/1000) = ln(2).
¿Cuál es el valor de la constante k para el modelo de crecimiento poblacional descrito en el guion?
-El valor de la constante k es el logaritmo natural de 2, ya que la población se duplica cada hora.
¿Cuál es la población de bacterias después de una hora y media según el modelo?
-La población de bacterias después de una hora y media es de 2828 bacterias, redondeado al entero más próximo.
¿Cómo se calcula la población en el momento en que la cantidad de bacterias es de 4000?
-Se iguala la fórmula P(t) = 4000 y se resuelve para t, encontrando que t = 2 horas, lo que significa que la población alcanza los 4000 bacterias después de 2 horas.
¿Qué significa el logaritmo natural de 2 en el contexto del modelo de crecimiento poblacional?
-El logaritmo natural de 2 (ln(2)) representa la constante de crecimiento k en el modelo, indicando que la población se duplica cada hora.
¿Cuál es la importancia de redondear el número de bacterias al entero más próximo en el análisis del crecimiento poblacional?
-Redondear al entero más próximo es importante ya que el número de bacterias es un número entero y no puede tener fracciones en el contexto biológico real.
¿Cómo se relaciona el crecimiento poblacional de bacterias con la ecuación exponencial?
-El crecimiento poblacional de bacterias se relaciona con la ecuación exponencial ya que la población se duplica de manera constante en intervalos de tiempo regulares, lo que se ajusta a una función exponencial.
¿Qué método se utiliza para calcular el logaritmo natural de 2 en el análisis del guion?
-Se utiliza una calculadora científica para calcular el logaritmo natural de 2, aunque se sugiere dejar el resultado en forma de ln(2) para la constante k.
¿Cuál es la tasa de crecimiento poblacional en el ejemplo del crecimiento mundial de 1993?
-La tasa de crecimiento poblacional en el ejemplo de 1993 es de 250,000 personas por día.
¿Cómo se aplica el modelo de crecimiento poblacional al problema de la población mundial en el guion?
-Se aplica el modelo de crecimiento poblacional al problema de la población mundial asumiendo que las tasas de natalidad y mortalidad se mantienen constantes, y se calcula cuándo la población mundial alcanzaría el doble de la población de 1993.
Outlines
🔬 Análisis de crecimiento poblacional de bacterias
En este segmento, se presenta un ejercicio de modelado de crecimiento poblacional aplicado a una colonia de bacterias. Se describe el proceso de calcular la constante de crecimiento 'k', basado en la duplicación de la población cada hora. Se establece que la población inicial es de 1000 bacterias y se utiliza la fórmula P(t) = P0 * e^(kt) para determinar la población en un tiempo t, donde P0 es la población inicial y e es la base del logaritmo natural. Se calcula el valor de 'k' utilizando la condición de que la población es el doble después de una hora, lo que resulta en k = ln(2). Posteriormente, se aplica esta constante para predecir la población después de una hora y media, obteniendo aproximadamente 2828 bacterias, redondeando el número a un valor entero.
⏱ Cálculo del tiempo para una población específica
Este párrafo se centra en el cálculo del tiempo que tarda una colonia bacteriana en alcanzar una población de 4000 bacterias, a partir de la fórmula de crecimiento poblacional ya establecida. Se establece una ecuación donde la población deseada (4000 bacterias) se iguala a la fórmula de crecimiento, y se resuelve para encontrar el valor de 't'. Al igualar 4000 a P(t) = 1000 * e^(kt), se simplifica la ecuación y se calcula que t = 2 horas, lo que indica que la población alcanza los 4000 bacterias después de dos horas. Este punto se utiliza para demostrar la rapidez con la que la población bacteriana puede crecer bajo condiciones ideales.
Mindmap
Keywords
💡Población
💡Modelo de población
💡Constante k
💡Duplicación
💡Ecuación
💡Tiempo t
💡Logaritmo natural
💡Ejercicio
💡Cálculo
💡Redondeo
Highlights
Introducción al vídeo sobre el modelo de población simple.
Explicación del ejercicio de la colonia bacteriana con una población inicial de 1000.
La población de bacterias se duplica cada hora.
Fórmula para calcular la población en cualquier tiempo t a partir de la población inicial.
Cálculo de la constante k utilizando la fórmula de crecimiento exponencial.
Determinación de la constante k a partir de la población duplicada en una hora.
Cálculo del logaritmo natural de 2 para encontrar el valor de k.
Aplicación de la fórmula para calcular la población después de una hora y media.
Resultado de la población después de 1.5 horas, redondeando al número entero más cercano.
Cálculo del momento en el que la población alcanza 4000 bacterias.
Ecuación para encontrar el tiempo cuando la población es de 4000 bacterias.
Uso del logaritmo natural para resolver la ecuación y encontrar el tiempo t.
Resultado de que la población es de 4000 bacterias después de 2 horas.
Anuncio de un próximo vídeo sobre el crecimiento de la población mundial.
Invitación a los espectadores a intentar resolver el ejercicio antes de ver la solución en el próximo vídeo.
Solicitud de likes, suscripciones y comparticiones de los vídeos.
Oportunidad para los espectadores de hacer preguntas o sugerencias en los comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver el
siguiente ejercicio con el modelo simple
de población no dice que la población de
una determinada colonia de bacterias es
de 1000 si el número de batería se
duplica después de una hora hay que
calcular el valor de la constante k la
población que habrá cuando ha
transcurrido hora y media y en qué
momento la población es de 4 bacterias
vamos a empezar con el inciso A y para
eso vamos a recordar la fórmula que
obtuvimos en el vídeo anterior que está
fórmula de aquí la cual nos dice la
población para bueno pues cualquier
tiempo t a partir de la población
inicial así que primero vamos a escribir
los datos que nos está dando el problema
la población inicial es con la que
empezamos el estudio de la población en
este caso es de 1000 así que pese 0 =
1000
y nos dice que el número de bacterias se
duplica después de una hora eso
significa que cuando te = 1 suponiendo
que te lo medimos en horas pues entonces
P en uno va a ser igual a 2000 por qué
nos dice que la población transcurrida
una hora es el doble de la inicial o sea
el doble de 1000 que es 2000 bueno a
partir de esto podemos calcular el valor
de la constante K y lo que vamos a hacer
es en esta fórmula sustituir T = 1 y de
esa forma obtenemos que P en 1 =
P0 qué es 1000 como ya dijimos por e
elevado a K x 1
y esto tiene que ser igual a 2000 por
hipótesis entonces aquí ponemos que esto
es igual a 2000 si nos fijamos entonces
aquí tenemos una ecuación en la cual la
única incógnita es acá así que
simplemente tenemos que despejar k
primero este 1000 que está multiplicando
pasa dividiendo y nos queda entonces que
he elevado a K = 2000 sobre 1000 fíjense
que aquí multiplique por 1 está así que
por eso queda así nada más ahora podemos
dividir 2000 entre 1000 eso es dos y
ahora para despejar k quitamos la
exponencial de aquí la pasamos al otro
lado como logaritmo natural y nos queda
que es igual al logaritmo natural de 2
podemos tomar una calculadora científica
y calcular el valor de logaritmo natural
de 2 pero lo recomendable es dejarlo
indicado de esta forma cuando se trata
de la constante k entonces ya tenemos
resuelto el inciso vamos al inciso b
hospi de la qué habrá cuando ha
transcurrido hora y media desde el
inicio del estudio para el inciso b
vamos a utilizar también está fórmula
pero de una vez vamos a sustituir aquí
los valores que ya conocemos ya
conocemos P0 y ya conocemos acá así que
al sustituir nos queda que vete = P0 qué
es 1000 x elevado a K qué es logaritmo
natural de 2 * t extra es la fórmula que
usaremos para inciso
entonces en el inciso b queremos la
población cuando te =
1.5 por qué hora y media pues eso
significa
1.5 horas entonces vamos a calcular P de
1.5 y simplemente sustituimos en esta
expresión el valor de t qué es 1.5 y nos
queda todo esto de aquí ahora esto lo
podemos calcular pues en una calculadora
en un solo paso o podemos hacerlo paso a
paso voy a mostrarles aquí paso a paso
cómo es que se hace quieren ir haciendo
todos los pasos lo primero que tienen
que hacer es multiplicar logaritmo
natural de 2 por 1.5 entonces primero
calculan logaritmo de dos el resultado
los multiplican por 1.5 y les queda
1.03 97 solamente estoy tomando 4
decimales podríamos tomar más pero con 4
es suficiente y ahora elevamos
ea10 397 y nos queda 2.82 hay tres
finalmente multiplicamos por 1000 qué es
lo mismo que recorre el punto decimal 3
posiciones y nos queda
2828.3 este es el número de bacterias
que hay después de una hora y media pero
fíjense que aquí estamos diciendo
2828.3 bacterias en este caso no tiene
sentido tener un punto decimal cuando se
trata de bacterias por qué pues es un
número entero así que redondeamos al
entero más próximo y nos quedamos
simplemente con
2828 este es entonces el número de
bacterias después de una hora y media
vamos ahora al inciso c
en el instituto se nos pide calcular el
momento en el que la población es de
4000 bacterias o sea encontrar el valor
de t para el cual la población es de
4000 así que lo que vamos a hacer es
escribir esta expresión y la vamos a
igualar a 4000 porque lo que queremos es
que la población sea igual a 4000 y
entonces si nos fijamos obtenemos así
una ecuación en la cual nuestra
incógnita este y la forma de resolver
está ecuación es muy similar a la que
hicimos hace un momento para encontrar
acá lo primero que hacemos es este mail
que está multiplicando pasarlo
dividiendo hacemos esta división 4000
entre 1000 es 4 ahora quitamos la
exponencial de aquí la pasamos al otro
lado como logaritmo natural nos queda
entonces que logaritmo de dos porte es
igual a logaritmo natural de 4 ahora
logaritmo natural de 2 que está
multiplicando pasa dividiendo
y ahora hacemos esta división en la
calculadora y nos queda en este caso un
valor exacto nos queda que te = 2 eso
significa que cuando han transcurrido 2
horas desde el inicio la población ya es
de 4000 entonces cómo podemos ver pues
la población va aumentando bastante
rápido
bueno en el siguiente vídeo vamos a
resolver otro problema sobre poblaciones
nos dice que en mayo de 1993 la
población mundial alcanzó los 5 puntos
cinco mil millones de personas y en ese
momento la tasa de crecimiento era de
250000 personas por día nos dice que
supongamos que las tasas de natalidad y
mortalidad se mantienen constantes y nos
pregunta para cuando se esperaría que la
población fuera de 11000 millones o sea
el doble que el
1993 este ejercicio es bonito porque es
aplicar el modelo que obtuvimos para un
problema que resulta interesante que es
el estudio de la población mundial igual
que siempre los invito a que ustedes
intenten resolver este ejercicio y de
cualquier manera en el siguiente vídeo
les voy a mostrar paso a paso cómo es
que se resuelve si les gustó este vídeo
apoyenme regalándome un like suscríbanse
a mi canal y compartan mis vídeos y
recuerden que si tienen cualquier
pregunta o sugerencia pueden en los
comentarios
تصفح المزيد من مقاطع الفيديو ذات الصلة
03. Modelo poblacional, ¿En qué año la población mundial será de 11 mil millones?
2019 SM P37 G11 003
01. Modelo simple de población, Ecuaciones Diferenciales
Problema de APLICACIÓN DE LÍMITES / Ejercicio N° 1 / (Nivel: Medio)
96. Ecuación del plano que contiene una recta
Tamaño de Muestra para Variables Cuantitativas con Población Finita
5.0 / 5 (0 votes)