¿Qué es la derivada? ¿De donde sale?
Summary
TLDREn este video educativo, el presentador explica de manera sencilla el concepto de derivada en matemáticas. Se inicia con la definición de la pendiente de una recta entre dos puntos y luego se relaciona con la función f(x). Seguidamente, se introduce la recta secante y cómo, al aproximar los puntos, se transforma en una tangente. El vídeo profundiza en el uso de límites para encontrar la pendiente de la tangente, esencial para definir la derivada. Finalmente, se ejemplifica con la función f(x) = 12x, demostrando cómo calcular su derivada, culminando en la fórmula general para derivar funciones algebraicas.
Takeaways
- 📘 La derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva de una función.
- 📐 Se define la pendiente de una recta entre dos puntos como la diferencia en y dividida por la diferencia en x (Δy/Δx).
- 🔍 La recta secante es una línea que une dos puntos de una función y se acerca a la recta tangente cuando los puntos se acercan indefinidamente.
- 🌐 La derivada se calcula tomando el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo entre los puntos tiende a cero (Δx → 0).
- 📉 El concepto de límite es fundamental para evitar que la función se vuelva infinita o indefinida al calcular la derivada.
- 🔢 Se puede encontrar la derivada de una función sustituyendo x por x + Δx y evaluando el límite cuando Δx tiende a cero.
- 📚 El proceso de derivación se conoce como la regla de los cuatro pasos, que es una metodología para calcular derivadas.
- 📈 Se ejemplifica cómo derivar la función f(x) = 12x, mostrando que la derivada es 12, independientemente del valor de x.
- 🔑 La derivada de una constante multiplicada por una función es igual al producto de la constante y la derivada de la función (regla de la constante).
- 🎓 La derivada de una función algebraica, trigonométrica o cualquier otra, se puede encontrar aplicando el concepto del límite y se obtiene una fórmula general de derivación.
Q & A
¿Qué es una derivada en términos sencillos?
-Una derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva de una función.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta que está entre dos puntos en geometría?
-La pendiente se calcula como (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos dados.
¿Qué es una recta secante y cómo se relaciona con la derivada?
-Una recta secante es la línea que une dos puntos de una función. Cuando la distancia entre estos puntos tiende a cero, la recta secante se convierte en la recta tangente, y su pendiente en ese punto es la derivada.
¿Qué es el concepto del límite y cómo se relaciona con la derivada?
-El concepto del límite se utiliza para encontrar el valor de una función cuando una variable se acerca a un punto específico. En el caso de la derivada, se utiliza para encontrar la pendiente de la tangente cuando el incremento de x tiende a cero.
¿Cómo se calcula la derivada de una función f(x) = 12x?
-La derivada de la función f(x) = 12x se calcula tomando el límite cuando Delta x tiende a cero de [f(x + Delta x) - f(x)] / Delta x, lo que resulta en 12, ya que la constante se multiplica por Delta x y se cancela en la fracción.
¿Qué significa que la derivada es la 'regla de los cuatro pasos' para derivar?
-La 'regla de los cuatro pasos' es un método para calcular la derivada de una función, que incluye identificar el incremento Delta x, evaluar la función en un punto x + Delta x, restar la función evaluada en x, y dividir todo por Delta x, tomando el límite cuando Delta x tiende a cero.
¿Qué sucede cuando Delta x es muy pequeño en la recta secante?
-Cuando Delta x es muy pequeño, los puntos se acercan más y más, hasta que la recta secante se convierte en la recta tangente en el punto de la función.
¿Cómo se relaciona la derivada con la tasa de cambio de una variable respecto a otra?
-La derivada representa la tasa de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Por ejemplo, en la función f(x), la derivada f'(x) muestra cómo cambia la función f(x) instantáneamente en el punto x.
¿Cuál es la fórmula general para derivar una función de la forma f(x) = ax, donde a es una constante?
-La derivada de una función de la forma f(x) = ax, donde a es una constante, es igual a a, ya que la constante se cancela al dividir por Delta x.
¿Por qué es importante el concepto de límite en el cálculo de derivadas?
-El concepto de límite es crucial en el cálculo de derivadas porque permite evaluar la pendiente de la tangente en un punto sin tener que considerar valores infinitos o indeterminados, lo que ocurre cuando Delta x se acerca a cero.
Outlines
📘 Introducción a las derivadas
El primer párrafo introduce el concepto de derivada de una manera sencilla, comparándola con la pendiente de una línea recta entre dos puntos. Se explica que la pendiente de una recta es la diferencia en y dividida por la diferencia en x (Δy/Δx). Se utiliza un ejemplo de una función f(x) para demostrar cómo se calcula la pendiente de la recta secante entre dos puntos p y q en la gráfica de la función. Además, se menciona que al acercar los puntos p y q, la recta secante tiende a convertirse en la recta tangente, y se sugiere que el límite de la pendiente cuando Δx tiende a cero nos dará la derivada.
🔍 Cómo encontrar la derivada
Este párrafo profundiza en el proceso de encontrar la derivada, utilizando el concepto de límite. Se describe cómo, al hacer que el incremento de x (Δx) sea muy pequeño, podemos encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico de la función. Se da un ejemplo práctico con la función f(x) = 12x, mostrando cómo calcular la derivada paso a paso utilizando el límite cuando Δx tiende a cero. Se resalta que la derivada representa la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, y se menciona la regla de los cuatro pasos para derivar.
📚 Fórmula de derivación de una constante
El tercer párrafo presenta la fórmula de derivación para una función que es una constante multiplicada por x. Se demuestra que la derivada de una función de la forma Ax, donde A es una constante, es igual a A. Se explica que este resultado se obtiene al aplicar el concepto de límite y se sugiere que este patrón se repite para cualquier constante, lo que lleva a la fórmula general de derivación. Finalmente, se anima a los espectadores a suscribirse y se menciona que se explorarán más fórmulas de derivación en futuros videos.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Pendiente
💡Recta Secante
💡Recta Tangente
💡Límite
💡Incremento
💡Función
💡Regla de los cuatro pasos
💡Constante
💡Trigonométrica
Highlights
Explicación de la derivada de la forma más sencilla.
La pendiente de una recta entre dos puntos es m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
La función f(x) se representa en el eje y con x en el eje x.
La recta secante entre dos puntos p y q dentro de una curva se define por la pendiente (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).
La recta tangente es la límite de la recta secante cuando los puntos p y q se acercan infinitesimalmente.
La derivada se define como el límite de la pendiente de la recta secante cuando Delta x tiende a cero.
La derivada representa la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
Se introduce la regla de los cuatro pasos para derivar funciones.
Ejemplo práctico de derivación de la función f(x) = 12x.
La derivada de una constante multiplicada por una variable es igual al valor de la constante.
La derivada de AX, donde A es una constante, es igual a A.
La derivada de una función se obtiene aplicando el concepto del límite.
Las fórmulas de derivación surgen de la aplicación del concepto del límite a diferentes funciones.
La derivada es fundamental para entender cómo varía una función en relación con sus variables.
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Transcripts
Hola qué tal Bienvenidos en esta ocasión
voy a explicar
Qué es una derivada
de manera
lo más sencillo
que sabemos de geometría que la
pendiente de una recta
que está entre dos puntos
el punto a y el punto B es G2 menos y
uno sobre x2 - x 1 este es x1 y uno el
punto x uno y uno y este es el punto x2
y 2 esto define la pendiente de
cualquier recta con esta fórmula la
encontramos muy bien Nosotros tenemos
una función como esta puede ser
cualquier otra no nos importa Nosotros
sabemos que es una función F de X donde
aquí tenemos
una eje x y aquí tenemos nuestra ye o lo
que también conocemos como nuestra F de
X muy bien
Si nosotros
tenemos el punto p
Y tenemos
el punto
el punto p obviamente va a estar
en x1 y con su correspondiente
función evaluada en el punto
punto y el punto q va a estar en el
punto x2
evaluada en la función
cuando
x vale 2 okay
muy bien nosotros ya sabemos que tenemos
estos
dos si nosotros unimos
el punto p
y el punto q lo que nosotros tenemos es
exactamente una
una recta como esta recta está entre por
dentro de la curva de la función a esta
recta se le conoce como la recta
secante
entre dos puntos y obviamente
de acuerdo
que
esta tuvo un incremento del punto p al
punto q tuvo bueno esta sabemos que es F
de x 1
y x2 fx2 del punto
p al punto q tuvo un incremento de X
y del punto p al punto q también tuvo un
incremento en
OK Bueno pero dirán para qué veo la
pendiente si lo que yo tengo es una
curva y lo que quiero es encontrar la
derivada pues simple y sencillamente lo
que vamos a hacer fíjense
vamos a encontrar
la pendiente
del punto p
al punto
q como hallamos esa pendiente
y2 - y1
sobre x2 - x Cuál es el y2 fx2
cuál es y1 fd
x sobre
x2
- x
bien pero esta Delta x
es
x sale Por lo cual
podemos decir entonces
que la función
de x2 - la función de x1 sobre
el incremento de X porque x2 - x o no es
el incremento de
ahora qué pasaría
si nosotros hacemos que este incremento
de X sea tan pequeño que tienda a ser
cero estarán de acuerdo que estos dos
puntos se van a ir acercando cada vez
más hasta que se encuentren Por así
decirlo aquí
cuando la Delta de xc sea prácticamente
cero
Entonces
esta recta secante se va a convertir en
una recta
tangente
Pero cómo vamos a hallar ese valor si
nuestra Delta de X tiende a ser cero
bueno el concepto del límite
nos dice que vamos a encontrar un valor
evitando
que la función que estamos evaluando se
nos haga nada o infinito bien Entonces
qué Vamos a hacer Vamos a ver cómo
podemos encontrar
x2 a partir de este mismo incremento
si nosotros despejamos simplemente
x2 va a ser el incremento de X
Bueno podemos verlo como
x1 más el incremento de X Y entonces
vamos a hallar el límite de esta
pendiente cuando Delta x tiende a ser
cero pero vamos a sustituir esto ahí y
cómo nos va a quedar Entonces vamos a
decir el límite cuando Delta x
de qué de la función pero no evaluada en
x2 Bueno si en x2 pero
viéndola como x1 más
Delta x menos
la función
x1 y todo esto sobre
Delta x
Y esto es lo que realmente es una
derivada
Qué es lo que está para qué estamos
hallando el límite pues simplemente para
que no se nos haga indeterminado esto
pero en sí esto que tenemos aquí es
la pendiente de qué no de la secante
porque no estamos dentro sino de la
tangente en un punto de la curva por eso
es que se dice que la derivada es la
pendiente
la pendiente de la recta tangente en un
punto
de la curva de una función muy bien a
esto después se le conoce como la regla
de los cuatro pasos para derivar y yo
voy a derivar una función muy simple
vamos a ver esto prácticamente ya es
nuestra fórmula para derivar y de aquí a
partir de este Salen todas las fórmulas
que hay para derivar cómo lo vemos vamos
a decir que por ejemplo yo tengo voy a
hacerlo acá
la función
la función F de X igual a
Vamos a ponerle 12 x y yo quiero
encontrar la derivada de esta función la
f prima de X
bien si yo quiero encontrar la derivada
de esta función tengo que hallar este
límite eso va a ser igual
al límite de que cuando Delta x tiende a
ser cero de que de la función pero ya no
voy a poner esto sino simplemente voy a
poner los pasos
voy a poner 12 Y en lugar de X voy a
poner x más Delta x x
más Delta x menos
la función
y la x Pues la dejo normal porque no me
está diciendo que le ponga nada más a la
x
y todo esto sobre
Delta x a qué va a ser igual Esto bueno
entonces la primera derivada de esa
función va a ser igual al límite
cuando Delta x tiende a ser cero 12 por
x
12 x 12 por Delta x más 12 por Delta x
menos
2x y todo esto sobre
Delta x si se fijan
2x - 2x se va entonces Solo queda 12
Delta x sobre del dx
Delta x sobre Delta x y se va por lo
tanto
la primera derivada de esta función es
igual a
a 2 y si ustedes lo ven si cambian esta
constante para cualquier caso siempre
les va a dar el valor de la constante y
si se repite muchísimas veces Esto
entonces se llega a la fórmula de que la
derivada
de
AX donde a puede ser cualquier constante
con respecto a x va a ser igual a el
valor de la constante y de esta forma
sale la primera fórmula de derivación Y
si nosotros aplicamos el concepto del
límite y le metemos cualquier función
aquí algebraica trigonométrica y
calculamos el límite vamos a llegar a un
resultado como este y si ese resultado
se repite siempre Entonces vamos a poder
encontrar
lentes fórmulas de las derivadas bien
eso sería todo por hoy no olviden
suscribirse y nos vemos en el siguiente
video Hasta pronto
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