Optimal Portfolio Choice, Portfoliotheorie von Harry Markowitz erklärt!
Summary
TLDRIn diesem Video erklären wir die optimale Portfolioauswahl gemäß der Markowitz-Portfoliotheorie. Diese Optimierung ist wichtig, da das CAPM annimmt, dass Marktakteure ihre Portfolios danach ausrichten. Das Verständnis dieser Auswahl hilft uns, das CAPM-Modell zu verstehen, welches zur Schätzung der Eigenkapitalkosten eines Unternehmens genutzt wird, entscheidend für die DCF-Bewertung. Wir erläutern die Entscheidungskriterien der Marktakteure, die als 'Mü-Sigma-Entscheider' bezeichnet werden, und zeigen, wie sie Portfolios anhand der erwarteten Rendite (Mü) und der Standardabweichung (Sigma) auswählen. Abschließend wird die Bedeutung der Diversifikation und die Wahl des optimalen Portfolios durch die Sharpe-Ratio erläutert.
Takeaways
- 📈 Das Video erklärt die optimale Portfoliowahl nach der Markowitz-Portfolio-Theorie, die für das Verständnis des CAPM wichtig ist.
- 🎯 Kapitalmarktakteure wählen nach dem MU-Sigma-Prinzip, das die erwartete Rendite (Müh) und die Standardabweichung (Sigma) als Entscheidungskriterien verwendet.
- 🤔 Die Nutzenfunktion eines Investors hängt von der erwarteten Rendite und der Standardabweichung ab und kann individuell nach dem Grad der Risikoaversion angepasst werden.
- 📊 Die Musika-Dominanz zeigt, wann ein Wertpapier ein anderes dominiert, basierend auf den Kriterien der erwarteten Rendite und Standardabweichung.
- 🔍 Der Begriff 'Portfolio' beschreibt die Gesamtheit der Wertpapiere, die ein Investor hält, und wird durch die Gewichte der einzelnen Wertpapiere beschrieben.
- ⚖️ Die Varianz eines Portfolios ist eine komplexe Berechnung, die die Kovarianzen zwischen den Wertpapieren im Portfolio berücksichtigt.
- 💡 Das Konzept der Effizienz bezieht sich auf die Auswahl der besten Portfolios, die nicht von anderen im Portfolio-Set dominiert werden.
- 🔄 Diversifikation kann das Risiko eines Portfolios reduzieren, vorausgesetzt die Wertpapiere im Portfolio haben nicht perfekte positive oder negative Korrelationen.
- 📉 Das Minimum-Varianz-Portfolio ist das Portfolio mit der geringsten möglichen Varianz, das durch Diversifikation erreicht werden kann.
- 🤝 Die optimale Portfoliowahl eines Investoren basiert auf der sogenannten Effizienzfrontier und berücksichtigt individuelle Risikopräferenzen.
- 💼 Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) kann verwendet werden, um die Eigenkapitalkosten eines Unternehmens zu schätzen, was für die Bewertung per DCF entscheidend ist.
Q & A
Was versteht man unter der optimalen Portfolio-Choice gemäß der Markowitz-Portfolio-Theorie?
-Die optimale Portfolio-Choice ist das Ergebnis der Markowitz-Portfolio-Theorie, bei der die Investoren ihre Portfolios so auswählen, dass eine höchstmögliche Erwartungsrendite bei gegebenem Risiko oder ein Mindestrisiko bei gegebener Rendite erreicht wird.
Was ist das CAPM und wie ist es mit der optimalen Portfolio-Choice verbunden?
-Das CAPM, Capital Asset Pricing Model, ist ein Modell zur Schätzung der erwarteten Rendite eines Wertpapiers. Es geht davon aus, dass Kapitalmarktakteure ihre Portfolios so auswählen, dass sie die höchste Rendite für das eingesetzte Risiko erzielen, was mit der optimalen Portfolio-Choice zusammenhängt.
Was bedeuten die Begriffe 'Müh' und 'Sigma' in der Markowitz-Portfolio-Theorie?
-In der Markowitz-Portfolio-Theorie steht 'Müh' für die erwartete Rendite und 'Sigma' für die Standardabweichung, also das Risiko, des Portfolios. Die Entscheidungen der Investoren basieren auf diesen beiden Faktoren.
Was versteht man unter dem Musiker-Prinzip in der Markowitz-Portfolio-Theorie?
-Das Musiker-Prinzip bezieht sich auf die Entscheidungsfindung der Investoren, die nur an den erwarteten Renditen (Müh) und der Risikomaßnahme (Sigma) ihrer Portfolios interessiert sind und nach einem höheren Mühe und einem niedrigeren Sigma streben.
Wie wird die individuelle Risikoaversion in der Markowitz-Portfolio-Theorie dargestellt?
-Die individuelle Risikoaversion wird durch den Einsatz eines Parameters Alpha in der Nutzenfunktion ausgedrückt, der die Standardabweichung mit einem individuellen Faktor multipliziert und von der erwarteten Rendite abzieht, um unterschiedliche Grade der Risikoaversion auszudrücken.
Was ist das Konzept der Dominanz in der Markowitz-Portfolio-Theorie?
-Das Konzept der Dominanz besagt, dass ein Wertpapier S1 ein anderes Wertpapier S2 dominiert, wenn S1 sowohl eine höhere erwartete Rendite (Müh) als auch ein gleiches oder niedrigeres Risiko (Sigma) hat und die beiden Wertpapiere nicht identisch sind.
Was ist ein Portfolio und wie wird es in der Markowitz-Portfolio-Theorie beschrieben?
-Ein Portfolio ist die Gesamtheit der Wertpapiere, die ein Investor hält. In der Markowitz-Portfolio-Theorie wird ein Portfolio durch die Gewichte (xi) der einzelnen Wertpapiere beschrieben, die die Anteile am Gesamtportfolio darstellen.
Was versteht man unter einem 'effizienten' Portfolio in der Markowitz-Portfolio-Theorie?
-Ein effizientes Portfolio ist ein Portfolio, das innerhalb des Portfolio-Sets nicht von einem anderen Portfolio dominiert wird, also kein anderes Portfolio das gleiche oder eine höhere Rendite bei einem niedrigeren Risiko bietet.
Wie wird die Varianz des Portfolios in der Markowitz-Portfolio-Theorie berechnet?
-Die Varianz des Portfolios wird durch eine Formel berechnet, die eine doppelsumme über alle Paare von Wertpapieren im Portfolio enthält, wobei jedes Paar mit den Gewichten (xi, xj) und der Kovarianz der beiden Wertpapiere multipliziert wird.
Was ist das Minimum-Variance-Portfolio und wie wird es bestimmt?
-Das Minimum-Variance-Portfolio ist das Portfolio innerhalb des Portfolio-Sets, das das niedrigste Risiko (Sigma) hat. Es wird bestimmt, indem man die möglichen Gewichte der Wertpapiere variiert, um die Varianz zu minimieren.
Was ist die Effizienzfrontier und wie wird sie im Musiker-Diagramm dargestellt?
-Die Effizienzfrontier ist die Gruppe von Portfolios, die keine anderen Portfolios im Portfolio-Set dominieren. Im Musiker-Diagramm wird sie als Linie dargestellt, die die Portfolios mit der höchsten erwarteten Rendite (Müh) für ein gegebenes Risiko (Sigma) verbindet.
Was ist der Unterschied zwischen dem Set der Portfolios mit und ohne Short-Selling?
-Der Unterschied liegt in den zulässigen Gewichten der Wertpapiere. Ohne Short-Selling (in roh SSI) dürfen die Gewichte zwischen 0 und 1 liegen, was Short-Selling ausschließt. Mit Short-Selling (in roh) können die Gewichte unter 0 (für Short-Positionen) oder über 1 sein (für Leerverkäufe).
Was ist das Tangentialportfolio und wie wird es bestimmt?
-Das Tangentialportfolio ist das Portfolio, das die höchste Sharpe-Ratio hat und die Capital Market Line (CML) bildet. Es wird bestimmt, indem man die Steilste Linie von einem risikofreien Asset zum Punkt auf der Effizienzfrontier findet, die den risikofreien Zinssatz (RF) berücksichtigt.
Was ist die Sharpe-Ratio und wie wird sie berechnet?
-Die Sharpe-Ratio ist eine Kennzahl, die das Verhältnis der Rendite eines Portfolios über dem risikofreien Zinssatz (RF) zur Standardabweichung des Portfolios (Sigma) misst. Sie wird berechnet als (Müh des Portfolios - RF) / Sigma.
Was ist das Thomas-Separation-Theorem und was besagt es?
-Das Thomas-Separation-Theorem ist ein Konzept, das besagt, dass jeder Investor das gleiche riskante Portfolio, nämlich das Tangentialportfolio, hält und es lediglich mit dem risikofreien Asset in Abhängigkeit zu seinen Risikopräferenzen kombiniert.
Wie kann das CAPM zur Schätzung der Eigenkapitalkosten eines Unternehmens verwendet werden?
-Das CAPM kann verwendet werden, um die erwartete Rendite des Eigenkapitals zu schätzen, die dann als Discount-Rate in der DCF-Bewertung (Discounted Cash Flow) verwendet wird, um den Wert des Unternehmens zu berechnen.
Outlines
📈 Optimale Portfoliowahl in der Markowitz-Theorie
Dieses Absatz beschäftigt sich mit der optimalen Portfoliowahl gemäß der Markowitz-Portfolio-Theorie. Es erklärt, dass das_CAPM davon ausgeht, dass Kapitalmarktakteure ihre Portfolios entsprechend auswählen. Die optimale Portfoliowahl hilft, das CAPM-Modell zu verstehen, das für die Schätzung der Eigenkapitalkosten entscheidend ist, zum Beispiel in der Bewertung per DCF. Der Absatz stellt die Entscheidungskriterien der Kapitalmarktakteure dar, die nach dem Musiker-Prinzip handeln, also zwischen der erwarteten Rendite (Müh) und der Standardabweichung (Sigma) entscheiden. Es werden auch Beispiele für Nutzenfunktionen gegeben, die die Präferenzen der Investoren reflektieren, und das Konzept der Dominanz wird erläutert, um zu zeigen, welche Wertpapiere oder Portfolios vorteilhafter sind.
📊 Berechnung von Mühe und Sigma für Portfolios
Der zweite Absatz erläutert, wie man die erwartete Rendite (Mühe) und die Standardabweichung (Sigma) eines Portfolios berechnet. Mühe wird als gewichteter Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere definiert, während Sigma die Varianz des Portfolios widerspiegelt, die unter Berücksichtigung der Kovarianzen zwischen den Wertpapieren berechnet wird. Die Absatz spricht auch die Notwendigkeit an, diese Kennzahlen für die Bestimmung von effizienten Portfolios zu verwenden, die nicht von anderen im Portfolio-Set dominiert werden.
🔗 Einfluss von Korrelationskoeffizienten auf Portfolio-Möglichkeiten
Dieser Absatz behandelt die Auswirkungen von Korrelationskoeffizienten auf die Gestalt des Portfolio-Sets in einem Markowitz-Diagramm. Es wird erklärt, dass bei perfekter positiver Korrelation die Portfolio-Set eine Gerade darstellt, während bei perfekter negativer Korrelation das Risiko durch eine Kombination beider Wertpapiere eliminiert werden kann. Der Absatz veranschaulicht, wie die Form des Portfolio-Sets von den Korrelationskoeffizienten abhängt und wie diese für die Diversifikation von Risiko genutzt werden können.
🤔 Bestimmung des optimalen Portfolios unter Risikoasymmetrien
Der vierte Absatz erklärt, wie ein Musikmehr-Entscheider das optimale Portfolio unter Berücksichtigung von Risikoasymmetrien auswählt. Es wird beschrieben, dass ein Investor niemals ein dominiertes Portfolio wählen wird und stattdessen ein Portfolio auf der Effizienzfrontier wählt, das seinen individuellen Risikopräferenzen entspricht. Der Absatz führt auch den Begriff der Sharpe-Ratio ein, die als Maß für die Risiko-Rendite-Effizienz eines Portfolios dient und zeigt, wie ein Investor das beste Portfolio aus dem Set auswählt und wie er dieses mit einem risikofreien Asset kombiniert, um sein optimales Portfolio gemäß seinen Risikopräferenzen zu erstellen.
Mindmap
Keywords
💡Markowitz Portfolio Theory
💡CAPM
💡Optimale Portfoliowahl
💡Mühe (Erwartete Rendite)
💡Sigma (Standardabweichung)
💡Music Man Decision Makers
💡Dominanz
💡Effizienter Portfolioset
💡Kovarianz und Korrelationskoeffizient
💡Sharpe Ratio
💡Tangentialportfolio
Highlights
Das Video erklärt die optimale Portfoliowahl basierend auf der Markowitz Portfolio Theorie.
Die optimale Portfoliowahl ist entscheidend für das Verständnis des CAPM, das für die Unternehmensbewertung per DCF verwendet wird.
Kapitalmarktakteure wählen nach dem Mu-Sigma Prinzip, das die erwartete Rendite (Mu) und die Standardabweichung (Sigma) betrifft.
Markowitz' Portfoliotheorie geht von 'Music Man' Decision Makers aus, die nur Muhe und Sigma berücksichtigen.
Der Nutzen eines Portfolios wird als Funktion des Erwartungswerts und der Standardabweichung der Rendite dargestellt.
Es werden verschiedene Risikopräferenzen durch den individuellen Parameter Alpha in der Risikopräferenzfunktion modelliert.
Das Konzept der Mu-Sigma-Dominanz wird erläutert, bei dem ein Wertpapier ein anderes dominiert, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.
Ein Portfolio ist definiert als die Gesamtheit der Wertpapiere, die ein Investor hält, beschrieben durch die Gewichte der Wertpapiere.
Die Summe aller Portfoliogewichte (XI) muss immer eins betragen, unabhängig vom absoluten Wert des Portfolios.
Das Set aller möglichen Portfolios, die man aus n Wertpapieren konstruieren kann, wird als 'Set of Portfolios' bezeichnet.
Ein effizientes Portfolio ist eines, das nicht von einem anderen Portfolio im Set dominiert wird.
Die Berechnung des Erwartungswerts und der Varianz eines Portfolios erfordert die Kenntnis der Gewichte und der Kovarianzen der Wertpapiere.
Die Kovarianzmatrizen werden verwendet, um die Varianz der erwarteten Rendite eines Portfolios zu berechnen.
Das Minimum-Varianz-Portfolio ist nicht notwendigerweise das mit der geringsten Standardabweichung, sondern die Kombination, die das Risiko minimiert.
Das Set of Portfolios für zwei Wertpapiere ist eine Linie im Mu-Sigma-Diagramm, die durch die Korrelationskoeffizienten der Wertpapiere bestimmt wird.
Für ein reales Portfolio aus n Wertpapieren wird eine ausgefüllte Fläche im Mu-Sigma-Diagramm beobachtet, die durch Diversifikation entsteht.
Das Minimum-Varianz-Portfolio kann durch weitere Diversifikation nicht zu einer Varianz von 0 reduziert werden, da das systematische Risiko verbleibt.
Die Wahl des optimalen Portfolios hängt von den Risikopräferenzen des Investors ab und wird auf der Effizienzfront des Portfolios getroffen.
Der Einbezug eines risikofreien Assets ermöglicht es, das optimale Portfolio durch Kombination mit dem risikofreien Asset anzupassen.
Die Sharpe-Ratio ist ein wichtiges Kriterium zur Bewertung der Attraktivität eines Portfolios und wird durch die Differenz zwischen dem Erwartungswert des Portfolios und dem risikofreien Zinssatz dividiert.
Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) wird zur Schätzung der Eigenkapitalkosten und damit zur Unternehmensbewertung verwendet.
Das Thomas-Separation-Theorem besagt, dass jeder Investor das gleiche riskante Portfolio hält und es mit dem risikofreien Asset gemischt, um seinen individuellen Risikomerkmalen zu entsprechen.
Die Capital Market Line (CML) stellt alle möglichen Kombinationen aus dem risikofreien Asset und dem Tangentialportfolio dar und hat eine Steigung, die der Sharpe-Ratio des Tangentialportfolios entspricht.
Transcripts
in diesem Video möchten wir die optimale
portfolio choice aus Markowitz Portfolio
Theorie erklären die optimiert portfolio
choice ist deswegen so interessant weil
das CAPM davon ausgeht dass die
kapitalmarktakteure ihre Portfolios hier
nach auswählen diese optimal portfolio
choice zu verstehen hilft uns also das
Cap ein Modell zu verstehen welches wir
wir in unseren anderen Videos seht zum
Beispiel dazu benutzen können die
Eigenkapitalkosten eines Unternehmens zu
schätzen was für die Bewertung per DCF
entscheidend ist um jetzt also die Frage
wie kapitalmarktakteure Ihr optimales
Portfolio auswählen zu beantworten
müssen wir erstmal die
Entscheidungskriterien der
kapitalmarktakteure kennen und wissen
was ein Portfolio ist
die kapitalmarktakteure in Markowitz
portfolio-theorie ihr wählen nach dem
sogenannten Musiker Prinzip und sind
daher sogenannte Music Man decision
makers ein solcher Entscheider
interessiert sich ausschließlich für
zwei Sachen nämlich Mühe und Sigma wobei
Müh die erwartete Rendite und Sigma die
Standardabweichung dieser Rendite ist
der Nutzen für einen solchen Entscheider
ergibt sich also als Funktion aus dem
Erwartungswert und der
Standardabweichung der Rendite des
Portfolios hier seht ihr mögliche
beispiele für solche Funktionen nämlich
einmal einfach den Erwartungswert minus
die Varianz dies ist dann für alle
Entscheider gleich und dann haben wir
hier noch eine andere Funktion bei der
wie die Standardabweichung mit einem
individuellen Parameter Alpha
multiplizieren und dieses Produkt von
dem Mühe abziehen dieses Alpha erlaubt
ist und somit unterschiedliche Grade der
Risiko Aversion für verschiedene
Personen auszudrücken je höher Alpha ist
desto risikoverse ist die Person sprich
desto stärker wird der Nutzen dieser
Person von einem steigenden Risiko
negativ beeinflusst dies waren jetzt nur
zwei einfache Beispiele möglicher Musik
mehr Funktionen und manche erstmal
Funktionen können durchaus sehr komplex
werden es gelten jedoch für alle diese
Funktionen zwei grundlegende Annahmen
nämlich erstens der Musik mehr
Entscheider ist nicht zu sättigen er
bevorzugt also immer ein höheres Mühe
gegenüber einem geringeren Mühe und
außerdem ist er risikoervers erzielt
also ein geringeres Sigma immer ein
höheren Sigma vor hieraus ergibt sich
das Konzept der musikma Dominanz ein
Wertpapier S1 dominiert ein anderes
Wertpapier S2 wenn die folgenden drei
Bedingungen erfüllt sind erstens das
myphon S1 ist größer gleich die Mühe von
S2 zweitens das Sigma von das 1 ist
kleiner gleich dem Sigma von S2 und
drittens die beiden dürfen nicht
identisch sein das ganze kann man anhand
eines musikmann-diagramms sehr schön
veranschaulichen in diesem Musik mein
Diagramm seht ihr fünf verschiedene
Wertpapiere S1 bis S5 S1 dominiert S2 da
ist ein geringeres Sigma bei gleichem
Mühe hat S2 dominiert S3 das bei
gleichem Sigma ein höheres Müll hat es
drei dominiert S4 das sowohl ein höheres
Mühe als auch ein geringeres Thema hat
S4 dominiert S5 nicht das zwar ein
geringeres Sigma dafür aber auch ein
geringeres Mühe hat und andersrum
dominiert S5 S4 auch nicht dass zwar ein
höheres Mühe aber dafür auch ein höheres
Sigma hat jeder Musik mehr Entscheider
würde sich hier also für S1 entscheiden
das am weitesten links oben ist und
damit die höchste Indifferenz
stünden S1 bis S3 nicht zur Wahl wäre
die Wahl zwischen S4 und S5 nicht so
klar und würde von der persönlichen
Risiko Aversion das Entscheiders
abhängen
wir wissen jetzt also noch welchen
Kriterien die Akteure entscheiden und
können uns jetzt der Frage widmen was
ein Portfolio ist und wie wäre es
beschreiben können ein Portfolio ist die
Gesamtheit an assassin Akteur hält und
kann damit aus einem einzigen aber auch
aus vielen verschiedenen Wertpapieren
bestehen um ein Portfolio zu beschreiben
nutzen wir die Gewichte XI also die
Anteile der einzelnen Wertpapiere se am
Gesamtportfolio dadurch sind alle
Überlegungen unabhängig vom absoluten
Wert des Portfolios mit Nutzung dieser
Notation gilt automatisch einher dass
die Summe aller XI immer eins ist und
manchmal fügen wir auch die Bedingungen
hinzu dass jedes XI zwischen 0 und 1
sein muss wir erlauben in diesem Fall
also kein short selling und nennen diese
Bedingung daher auch shortsell
konstruant wenn wir Shorts erlauben kann
XI auch unter Null sein nämlich bei
Aktien die wir geschaltet haben und
entsprechend auch über eins wenn wir die
Erlöser aus den lehrverkäufen nutzen um
in eine andere Aktie mehr als die
Gesamtsumme unseres Portfolios zu
investieren durch die verschiedenen
möglichen Gewichte gibt es also sehr
sehr viele Portfolios ohne Schutz sogar
verständlich viele Portfolios die man
aus n-wertpapieren konstruieren kann die
Gesamtheit aller möglichen Portfolios
die man mit n-wertpapieren bauen kann
nennen wir set off Portfolios und
bezeichnen wir mit groß roh mit groß P
bezeichnen wir dann immer ein einzelnes
Portfolio aus diesem Set analog zu den
eben genannten Bedingungen haben wir
also zwei Portfolios Sets einmal groß
roh für das nur die Bedingung gilt dass
die Summe aller XI 1 sein muss welches
also short selling erlaubt und dann das
zweite Set groß roh SSI welches
zusätzlich noch die Bedingungen einfügt
dass jedes XI zwischen 0 und 1 sein muss
also welches kein short selling erlaubt
eine wichtige Überlegung bezüglich der
verschiedenen Portfolios in einem
Portfolio Set ist es jetzt welche
Portfolios aus dem Set Musik mehr
effizient sind hier kommt das Konzept
der Dominanz von eben wieder ins Spiel
ein Portfolio aus dem Set raus Musik
mehr effizient wenn es nicht von einem
anderen Portfolio aus dem Zelt dominiert
wird analog gilt das ganze auch für rohe
SSC dort ist ein Portfolio Musik mehr
effizient wenn es nicht von einem
anderen Portfolio aus roh SSC dominiert
wird und das ganze haben wir hier anhand
eines Musik mal Diagramms nochmal
veranschaulicht ihr seht ziemlich in der
Mitte das Portfolio P1 alle Portfolios
die im Quadranten links oben von P1 sind
dominieren P1 und alle Portfolios die im
Quadranten unten rechts von P1 liegen
werden von P1 dominiert die Bedingungen
sind dabei genau die gleichen wie bei
den einzelnen Wertpapieren von eben es
gibt jedoch einen Unterschied und bei
den einzelnen Wertpapieren hatten wir
Mühe und sieht man gegeben bzw können es
uns in der realen Welt ziemlich einfach
ausrechnen anders ist das ganze jetzt
bei den Portfolios hier müssen wir Mühe
und sieht mal der einzelnen Portfolios
anhand der Muse und der siegmaster viel
Wertpapiere im Portfolio und der
Portfolio Gewichte berechnen fangen wir
mit dem einfachen an das Mühe des
Portfolios können wir einfach als
gewichteten Durchschnitt der myster
einzelnen Wertpapiere im Portfolio
berechnen also XI mit Mühe ihm
multiplizieren und über alle i von 1 bis
n aufsummieren hier ist hier bei der
Indexe die Wertpapiere nummeriert XI ist
der Anteil vom Wertpapier i am gesamten
Portfolio und Mühe ist die erwartete
Rendite des Wertpapiers für Sigma ist
das Ganze leider nicht so einfach da wir
um die Varianz des Portfolios zu
ermitteln alle co-varianten zwischen den
einzelnen Wertpapieren berücksichtigen
müssen tun wir dies ergibt sich die
folgende Formel für die Varianz der
erwarteten Rendite des Portfolios
schauen wir uns die Formel an sehen wir
direkt das jetzt hier mit einer
doppelsumme zu tun haben und zwar
summieren wir für alle Pärchen an
Wertpapieren den Anteil des ersten
Wertpapiers des Pärchens XI
multipliziert mit dem Anteil des zweiten
Wertpapiers des Pärchens XJ und mit der
co-variante der beiden Wertpapiere wir
haben also zwei indizesi und J die
Wertpapier ein und Wertpapier 2 des
jeweiligen Pärchens zählen XI und XJ
sind die Gewichte des entsprechenden
Wertpapiers am Gesamtportfolio und Sigma
Iod ist die Kovarianz zwischen der
Rendite des ersten Wertpapiers i des
Pärchens und des zweiten Wertpapiers J
des Pärchens wir schauen uns das ganze
jetzt anhand einer co-varianz Matrix an
das so deutlich leichter zu verstehen
ist dazu nehmen wir diese Beispiele
Matrix für den Fall dass es drei
verschiedene Wertpapiere gibt also n = 3
wir haben jetzt unsere 3 x 3 Matrix und
wir wissen dass die co-varianz von einer
Aktie mit sich selber einfach die
Varianz der Aktie ist dadurch haben wir
in der Mitte eine Diagonale von links
oben nach rechts unten in der wir
einfach die Varianzen der einzelnen
Aktien stehen haben die Varianzen haben
die jeweils nur einmal in der Matrix
aber die Kurve Varianzen haben wir alle
zweimal da wir ein Feld haben mit der
co-varianz von Aktie 1 mit Aktien 2 und
ein Feld von der Kurve Varianz von Aktie
2 mit Aktie eins was das gleiche ist
analog ist das natürlich für alle
anderen Aktien Pärchen auch unsere
Matrix verteilt sich also in drei Teile
die Diagonale mit den Varianzen und zwei
identische Dreiecke mit den co-varianten
dadurch können wir uns den
Arbeitsaufwand erleichtern wenn wir
nämlich die Formel nehmen würden die wir
gerade gezeigt haben und beispielsweise
eine 10 mal 10 Matrix hätten müssen wir
sehr sehr viel Tippen mit dieser
folgenden Formel machen wir uns den
gerade erkannten Aufbau der Matrix zu
Nutze um uns die Arbeit zu erleichtern
wenn ihr euch diese Form hier anschaut
seht ihr dass sie aus zwei Teilen
besteht welche addiert werden wobei der
zweite Teil vorher noch mit zwei
multipliziert wird der Teil den wir
einzeln haben ist die Diagonale mit den
Varianzen und der den wir doppelt haben
ist eins der Dreiecke aus unserer Formel
vom Anfang wissen ja noch dass wir
hinter dem doppelsummenzeichen den
Anteil von Aktie eins mit dem Anteil von
Aktie 2 mit der co-varianz von Aktie 1
und 2 multiplizieren für unsere
Diagonale mit den Varianzen bedeutet das
dass wir das Gewicht der Aktie
quadrieren und mit der Varianz der Aktie
multiplizieren das summieren wir dann
über den Index II der alle Aktien zählt
auf für unser Dreieck benötigen wir
jetzt wieder eine doppelsumme der Index
i startet wie gewohnt bei 1 und läuft
bis n da wir jetzt aber nur ein Dreieck
berechnen wollen also ohne das andere
Dreieck und ohne die Diagonale mit den
Varianzen lassen wir den Index J jetzt
bei i+1 starten und bis nlaufen die
Diagonale bei der i gleich J und das
andere Dreieck bei der i größer J ist
haben wir damit jetzt ausgeschlossen der
Teil der Formel hinter dem
doppelsummenzeichen sieht dann wieder
aus wie eben also Gewicht Aktie 1 mal
Gewicht Aktie 2 mal kovariante Aktie 1
mit der Aktie 2
wir sind jetzt also in der Lage für
jedes einzelne Portfolio aus unserem
chatro nur und Sigma zu berechnen was
wir aber noch nicht wissen und was für
weitere Überlegungen sehr interessant
ist ist wie das Portfolio Set roh im
musikmadiagramm überhaupt aussieht wir
schauen uns das ganze jetzt erst einmal
am Beispiel von Portfolios aus zwei
Wertpapieren an und erweitern das ganze
dann auf n-wertpapiere bei zwei
Wertpapieren ist das Set an möglichen
Portfolios keine Fläche sondern ein
Strich der die beiden Wertpapiere
verbindet und der je nachdem
colulationskoeffizienten der beiden
Wertpapiere unterschiedlich geformt ist
liegt der Korrelationskoeffizient bei
plus eins also wenn wir eine perfekte
positive Korrelation haben entwickeln
sich die Erträge der beiden Wertpapiere
in allen möglichen Zuständen der Welt
gleich wir können also nicht unser
Risiko durch Diversifikation verringern
unser set of Portfolios ist also einfach
eine gerade die die beiden Wertpapiere
im Musik mehr Diagramm verbindet und mit
short sales auch über die beiden
Endpunkte hinausgeht das ganze sieht
dann so aus haben wir hingegen einen
korrelationskurffiz von -1 also eine
perfekte negative Korrelation sprich
genau umgekehrte Entwicklung der Erträge
von Wertpapier 1 und Wertpapier 2 in
jedem möglichen Zustand der Welt ist es
uns möglich durch einen Mix der beiden
das gesamte Risiko Weg zu
diversifizieren und wir erhalten dann
ein set of Portfolios was wie folgt
aussieht anders als eben ist das Minimum
varians Portfolio ohne short sales jetzt
nicht mehr die Aktie mit dem geringeren
Sigma sondern eine Kombination aus Aktie
1 und 2 bei der wir sogar Sigma gleich
null erreichen in der Realität haben wir
natürlich nie ein
Korrelationskoeffizienten von 1 oder -1
und dementsprechend müssen wir uns jetzt
anschauen wie das Ganze für andere
realistischere Korrelationskoeffizienten
aussieht dazu habe ich euch das ganze in
diesem music mal Diagramm mal für
verschiedene Korrelationskoeffizienten
skizziert die beiden Extremfälle -1 und
plus 1 kennt ihr von gerade eben und
dazwischen haben wir jetzt immer eine
gebogene Linie die je nachdem wie groß
oder klein der Korrelationskoeffizient
ist verschieden stark gebogen ist und
dadurch entweder mehr der einzelnen
gerade im kein roh plus 1 oder der
beiden Geraden im Fall kleinen Rom -1
ähnelt das Interessante daran ist jetzt
dass für Klein roh gleich 0 und auch
meistens für andere
Korrelationskoeffizienten ein Portfolio
existiert welches ein geringeres Sigma
hat als die beiden Einzelaktien wir
wissen jetzt also wie ein Portfolio Set
für ein Portfolio aus zwei Wertpapieren
aussehen kann und können das wissen
jetzt nutzen um zu verstehen wie das
Ganze dann für ein Portfolio aus
n-wertpapieren aussehen muss wir schauen
uns das ganze jetzt hier in einem
musikmediagramm am Beispiel N = 4 an die
schwarzen Punkte sind unsere vier
Einzelaktien von denen ich ein paar
mögliche Verbindungen also die möglichen
Portfolios aus den zwei verbundenen
Aktien eingezeichnet haben jeder Punkt
auf den Linien ist also ein mögliches
Portfolio so auch diese beispielhaft
gewählten roten Punkte wir können jetzt
die Portfolios wie zwei Einzelaktien
behandeln und miteinander oder auch mit
anderen Einzelaktien kombinieren um
weitere Portfolios zu erhalten das ganze
seht ihr hier in rot mit den daraus
entstehenden Portfolios können wir dann
wieder genau das gleiche tun wie hier in
grün seht machen wir das dann immer
weiter ergibt sich eine ausgefüllte
Fläche zwischen der äußeren schwarzen
und der äußeren blauen Linie für ein
größeres n könnte das zum Beispiel dann
so aussehen wir sehen anhand dieser
Darstellung auch schön dass es eindeutig
ein Portfolio gibt welches die geringste
Varianz hat wir können also durch
Diversifikation ein Portfolio bauen
welches eine deutlich niedrige Varianz
hat als die beiden Einzelaktien die wir
zum Bau des Portfolios benutzen die
Frage die sich dann ergibt ist ob wir
diese Varianz des Minimum varians
Portfolios durch weitere
Diversifikationen weiter verringern
können und ob es möglich ist eine
Varianz von 0 zu erreichen die Antwort
darauf lautet leider nein das liegt
daran dass die durchschnittliche Kurve
Varianz zwischen den Aktien als
systematisches Risiko verbleibt und sich
nicht weg diversifizieren lässt
entscheidend für die Frage welche Aktien
man also zum Portfolio dazu kauft um das
Risiko zu reduzieren ist also nicht die
Standardabweichung des returns der Aktie
sondern die co-varianz von return der
Aktie mit dem return das bestehenden
Portfolios
wir kommen jetzt endlich zu der
Leitfrage des Videos nämlich der Frage
danach wie die optimale portfolio-wahl
eines musikmanagers aussieht wir haben
hier wieder unser Musik mal Diagramm mit
unserem Set an Portfolios und stellen
uns jetzt die Frage welches der
Portfolios überhaupt für die Wahl des
optimalen Portfolios eines Musik mehr
Entscheiders in Frage kommt die Antwort
darauf lautet alle Portfolios auf der
assision frontier welche ich euch in
diesem Diagramm Geld markiert habe wir
haben ja eben gelernt dass ein Musik
mehr Entscheider sich niemals für ein
dominiertes Portfolio entscheiden wird
zu unserem Portfolio Set gehören unter
anderem alle Portfolios auf der Fischen
frontier zwischen dem Minimum variance
Portfolio und hier im Beispiel P2 alle
Portfolios die in einem musikmodiagramm
unten rechts von einem anderen Portfolio
liegen sind ja dominiert wenn wir also
jetzt die Fischen von Tier vom MVP zu P2
ablaufen und dabei ja ein Portfolio wie
z.B P1 vorbeikommen sehen wir dass diese
Portfolios alle anderen Portfolios im
Set dominieren ein Musik mehr
Entscheider wird also auf jeden Fall ein
Portfolio auf der Fischen frontier
wählen welches können wir aber jetzt
nicht genau sagen da es von den
risikopäferenzen des jeweiligen
Entscheiders abhängt verwerfen wir jetzt
die Annahme dass unser Entscheider nur
zwischen verschiedenen Portfolios aus
den verschiedenen riskanten Aktien
wählen kann und geben ihm die
Möglichkeit Geld zu einem risikofreien
Zinssatz RF anzulegen ändert sich das
Ganze jedoch dadurch hat der Entscheider
nämlich jetzt die Möglichkeit ungeachtet
seine risiko-konferenzen das
attraktivste Portfolio auf der Fischen
frontier zu wählen und es mit der
risikofreien Anlage zu mixen um es auf
seinen Risiko Präferenz anzupassen so
kann er beispielsweise ein Portfolio
wählen was für seine Präferenz
eigentlich ein bisschen zu riskant ist
aber dann halt nur 90% seines Budgets in
dieses Portfolie investieren und 10% in
die risikofreihe Anlage welches Mühe und
welches Sigma hat an seinen neuen
kreiertes Portfolio dazu müssen wir
erstmal wissen welche müsst und Sigmas
die beiden Komponenten haben der
risikofreie asset hat als nur die
risikofreie Rendite RF und als sieht man
natürlich Null da er sonst nicht
risikofrei
das optimale Portfolio aus dem Portfolio
Set hat als Mühe MIP und als Sigma Sigma
P für die Berechnung des mies und des
Sigmas des neuen Portfolios gelten jetzt
wieder die ganz allgemeinen Formeln zur
Berechnung von mir und Sigma eines
Portfolios die wir eben kennengelernt
haben also das Mühe des Portfolios ist
wieder der gewichtete Durchschnitt der
myster einzelnen Komponenten in diesem
Beispiel also 0,9 XP und 0,1 mal RF das
sieht man das 9 Portfolios ist in diesem
speziellen Fall aufgrund der Tatsache
dass der risikofreie asset ein Sigma von
0 hat deutlich einfacher zu berechnen
als eben dadurch dass die
Standardabweichung von der Rendite das
risky Assets Null ist ist auch die
Varianz des risky es ist 0 und die
co-varianzen zwischen dem Risiko reichen
Portfolio sind auch 0 dadurch dass diese
Sachen alle 0 sind reduziert sich unsere
Formel für das Sigma des neuen
Portfolios welches ja zu einem Teil aus
dem riskanten Portfolie und zum anderen
Teil aus der risikofreien Anlage besteht
einfach auf den Anteil des riskanten
Portfolios am Gesamtportfolio Multi
passiert mit dem Sigma des riskanten
Portfolios auch das Sigma lässt sich
jetzt also als gewichteter Durchschnitt
berechnen dadurch sind die möglichen
Portfolios die sich als Kombination aus
dem Minus Cree asset und dem riskanten
Portfolio ergeben können einfach eine
Linie zwischen den beiden Punkten im
Music Man Diagramm im Folgenden Musik
mal Diagramm seht ihr den riscree asset
und die Portfolios P1 und P2 die blaue
Linie zeigt alle möglichen Portfolios
aus dem risky asset und P1 und die rote
Linie zeigt alle möglichen Portfolios
aus dem risky asset und P2 durch unsere
Dominanz Überlegungen wird schnell klar
dass ich einen Musik mehr Entscheider
immer für ein Portfolio auf der roten
Linie entscheiden würde das für jedes
gegebene Sigma ein höheres bietet als
das Portfolio auf der blauen Linie wir
sehen also dass sie größer die Steigung
dieser Linie ist desto attraktiver ist
sie für den Musik mehr entscheidender
daher ist die Steigung dieser Linie eine
ganz wichtige Kennzahl sie heißt Shark
Ration von P und in diesen Beispiel ist
die farbration von p2 größer als die
sharpresse von P1 ihr berechnet die
Sharp ratio indem ihr die risik dabei
Rendite RF von der Rendite des
Portfolios MPP abzieht und das ganze
Ergebnis dann durch die
Standardabweichung von P also Sigma P
teilt das bedeutet jetzt dass jede
Entscheider aus den riskanten Portfolios
des Portfolios Sets großroh das
Portfolio P raussucht welches die
höchste sharpresse aufweist und dann
dieses Portfolio mit dem risky asset
kombiniert um ein Portfolio zu bilden
welches zu den individuellen
risikopäferenzen des jeweiligen
Entscheiders passt das bedeutet dass
alle Akteure von den riskanten
Portfolios das gleiche halten und sich
nur darin unterscheiden wie viel ihres
Budgets Sie in dieses Portfolio und wie
viel in den risikofreien asset
investiert haben jetzt stellt sich aber
noch die Frage welches der Portfolio ist
aus dem Set groß roh nun die höchste
schabbration hat dazu können wir einfach
versuchen die steilste Linie zu zeichnen
die bei RF startet und durch eins der
Portfolios aus Groß roh geht man merkt
dann ziemlich schnell dass die steilste
Linie die wir zeichnen können die
Tangente ist die bei RF startet und
gerade so die Fischen von hier berührt
und der Punkt wo sie die ihr Fischen
frontier berührt ist das
tangentialportfolio T diese Tangente
nennen wir ab jetzt capital market line
kurz CML die Formel für die CML seht ihr
hier die Steigung dieser CML ist wie
eben schon gesagt die Shop ratio des
tangentialportfolios der Achsenabschnitt
ist offensichtlich RF und diese Formel
gibt uns jetzt an welche Rendite Mühe
sich entlang dieser Linie also für
unterschiedliche Kombinationen von dem
tangentialportfolio und dem risikofreien
asset bei gegebenem Risiko sieht man
erzielen lässt das Ganze was ich euch
gerade zuletzt erzählt habe nennt sich
Thomas separation Theorem und die
Kernaussage ist eben dass jeder
Entscheider egal welche risiko-version
er nun hat das gleiche riskante
Portfolio nämlich das
tangentialportfolio hält und es
lediglich unterschiedlich mit dem
risikofreien asset kombiniert
damit haben wir jetzt alle Grundlagen
die wir brauchen um das CAPM zu
verstehen womit wir dann endlich die
Eigenkapitalkosten eines Unternehmens
welche wir für die Bewertung des
Unternehmens per DCF brauchen berechnen
bzw schätzen können falls ihr die
anderen Videos unserer Playlist
Unternehmensbewertung noch nicht gesehen
habt solltet ihr sie euch unbedingt
anschauen um das gerade besprochene im
Kontext einordnen zu können gerne könnt
ihr euch auch andere Videos von uns zum
Beispiel unsere hier verlinkte
aktuellste Aktienanalyse anschauen falls
euch unsere Videos gefallen und vor
allem weiterhelfen würden wir uns sehr
freuen wenn ihr die Produktion der
Videos durch einen virtuellen Kaffee auf
bei mir coffee unterstützt vielen Dank
fürs zuschauen und bis zum nächsten Mal
Tristan und malte von einfach gut
investieren
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