2.8 PERMUTACIONES CIRCULARES II PARTE 2º AÑO DE BACHILLERATO

Summary

En este video, se explica el concepto de permutaciones circulares a través de una serie de ejercicios prácticos. Se resuelven problemas como la organización de niños en un carrusel, la distribución de personas en una mesa redonda, y cómo ubicar a amigos y parejas en un círculo. Se destacan las diferencias entre las permutaciones en fila y las circulares, y se emplean fórmulas específicas para cada caso. Al final, se refuerza el aprendizaje con ejemplos claros, mostrando cómo aplicar correctamente las permutaciones circulares en diversas situaciones de la vida diaria.

Takeaways

• 😀 Las permutaciones circulares se utilizan cuando los arreglos son en un círculo, lo que implica que las rotaciones no cuentan como arreglos distintos.
• 😀 El número de maneras de organizar un grupo de elementos en una permutación circular se calcula dividiendo el factorial de los elementos por el número de elementos (n! / n).
• 😀 Para resolver un problema de permutaciones circulares, es esencial observar si el arreglo está en fila o en círculo, ya que esto afecta el número total de combinaciones.
• 😀 En el caso de un carrusel con siete caballos idénticos, el número de maneras en que los siete niños pueden sentarse es 720 (6!).
• 😀 Cuando se colocan personas en un círculo y hay posiciones fijas, el número total de maneras se ajusta al número de elementos y las restricciones de disposición.
• 😀 Para calcular permutaciones circulares con restricciones, como que dos personas deben estar juntas, tratamos a esas dos personas como una sola unidad, reduciendo el problema a permutar el resto de los elementos.
• 😀 En problemas con mesas redondas y un número específico de asientos, el número de formas en que se pueden ubicar las personas se calcula usando permutaciones de un subconjunto de los participantes.
• 😀 Cuando las personas deben sentarse en lugares alternados, como en una danza con hombres y mujeres, se deben considerar las restricciones de colocación y la simetría circular.
• 😀 Para organizar a los bailarines en una danza donde deben alternarse entre hombres y mujeres, el número de formas es 144, teniendo en cuenta la simetría circular.
• 😀 El número de maneras de sentar a parejas de novios en una mesa redonda con la condición de que se sienten frente a frente se calcula considerando las permutaciones de las parejas y las restricciones de disposición.
• 😀 La fórmula de permutaciones circulares puede ser ajustada según las condiciones particulares de cada ejercicio, como restricciones de grupo, ubicaciones fijas o arreglos alternados.

Q & A

¿Qué son las permutaciones circulares y en qué se diferencian de las permutaciones en fila?

Las permutaciones circulares son aquellas en las que el arreglo de objetos o personas se hace en una forma circular, donde el orden se cuenta de manera diferente que en las permutaciones en fila, ya que la rotación circular no cambia el resultado. En las permutaciones en fila, cada disposición es única, mientras que en un arreglo circular, una rotación del mismo arreglo no se considera distinta.

¿Cómo se resuelve el caso de los siete niños en el carrusel?

Para resolver el caso de los siete niños en el carrusel, usamos la fórmula de permutación circular, que es 7! / 7, ya que el carrusel es circular y cada disposición se cuenta 7 veces más que en una fila. El resultado es 6!, lo que equivale a 720 posibles formas.

¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de maneras en las que 7 personas pueden sentarse en una mesa redonda con 5 sillas?

La fórmula utilizada es 7 permutación 5 (7P5), que se calcula como 7! / (7-5)!, es decir, 7 × 6 × 5 × 4 × 3, lo que da 502 maneras posibles de ubicar a las personas en las sillas.

¿Cómo se resuelve el problema de los 5 amigos en la mesa redonda, donde dos de ellos siempre quieren estar juntos?

En este caso, tratamos a los dos amigos que siempre quieren estar juntos como una sola entidad, lo que reduce el problema a ordenar 4 'personas' en una mesa circular. Utilizando la fórmula de permutación circular para 4 personas, el número de formas es 4! / 4, lo que da un total de 24 maneras.

¿Qué sucede cuando 4 bailarines y 4 bailarinas deben alternar sus posiciones en un círculo?

Para resolver este problema, primero calculamos las formas de ubicar a los 4 hombres y 4 mujeres de manera alternada en una fila, lo que sería 4! × 4!. Luego, al considerar que están en un círculo, cada disposición se cuenta 8 veces más debido a la simetría circular, por lo que el número total de formas es 2 × 4! × 4! / 8, lo que da 144 maneras.

¿Cómo se resuelve el problema de las 4 parejas de novios en una mesa redonda, donde cada pareja debe sentarse frente a su compañero?

Para resolver este caso, primero calculamos las formas de ordenar las 4 parejas de novios en una fila, lo cual es 4! × 2! × 2!, ya que cada pareja puede ser reordenada entre sí. Luego, al considerar que están sentados en un círculo, cada disposición se cuenta 8 veces, por lo que el número total de maneras es 4! × 2! × 2! / 8, lo que da 48 maneras.

¿Por qué se utiliza la fórmula de 7! / 7 en el caso del carrusel?

Se utiliza esta fórmula porque en un arreglo circular, las rotaciones de un mismo patrón no se consideran distintas. Al dividir 7! entre 7, se elimina la redundancia causada por las diferentes formas de rotar los mismos 7 elementos, quedando solo las 6! disposiciones únicas.

¿Qué significa la expresión 7P5 y cómo se calcula?

La expresión 7P5 se refiere a la permutación de 7 elementos tomados de 5 en 5, y se calcula utilizando la fórmula 7! / (7-5)!, lo que da como resultado el número de formas en que 7 personas pueden ocupar 5 sillas en una disposición específica.

¿Cómo influye la disposición circular en la resolución de los problemas de permutaciones?

En los problemas de permutaciones circulares, la disposición circular influye porque reduce el número total de posibles arreglos, ya que una rotación de un arreglo no cuenta como una disposición distinta. Esto se refleja en las fórmulas aplicadas, que incluyen divisiones por el número de elementos o una constante que toma en cuenta la simetría circular.

¿Por qué se considera que en el caso de los bailarines alternados el número de disposiciones se divide entre 8?

El número de disposiciones se divide entre 8 porque en una disposición circular, cada configuración se repite 8 veces debido a las rotaciones posibles. Por lo tanto, para contar solo las disposiciones únicas, se divide el total por 8.