Composición de funciones (Método fácil) (Ejemplo 3)
Summary
TLDREn este vídeo de 'Matemáticas Fácil', se explica paso a paso cómo calcular las composiciones de funciones: f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) y g(g(x)). Se utilizan fracciones y operaciones algebraicas para llegar a las soluciones, como la multiplicación y división de fracciones, y se enfatiza la importancia de seguir el orden de las operaciones. Se invita a los espectadores a practicar con otras funciones y se ofrecen sugerencias para seguir el canal y compartir los contenidos.
Takeaways
- 😀 En este video, se explica cómo calcular la composición de funciones matemáticas.
- 📐 Se presentan dos funciones específicas para calcular sus composiciones: f y g.
- 🔢 Se calcula la composición f(g(x)) reemplazando x en f por g(x).
- 📝 Se muestra el proceso de multiplicación y división de fracciones en la composición de funciones.
- 📖 Se detalla cómo simplificar las fracciones resultantes después de las operaciones.
- 🔄 Se explica que la división de fracciones se realiza mediante la regla de herradura.
- 📘 Se menciona que el resultado final de f(g(x)) es x/6.
- 📙 Se calcula la composición g(f(x)) siguiendo un procedimiento similar al de f(g(x)).
- 📕 Se resalta la importancia de convertir enteros en fracciones para realizar operaciones.
- 📓 Se demuestra que la simplificación de fracciones es un paso clave en la composición de funciones.
Q & A
¿Qué significa 'composición de funciones' en matemáticas?
-La composición de funciones es el proceso de aplicar una función a la salida de otra función. Si se tienen dos funciones f y g, la composición de f con g se denota como f(g(x)) y significa aplicar primero g y luego f al resultado.
¿Cómo se calcula f(g(x)) según el guion del vídeo?
-Para calcular f(g(x)), primero se escribe la función f tal cual, pero en lugar de x, se ponen paréntesis. Luego, en lugar de x, se coloca la función g, y se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.
¿Cuál es el resultado de f(g(x)) según el vídeo?
-El resultado de f(g(x)) es x/6, después de realizar las operaciones de multiplicación y división de fracciones.
¿Qué significa 'regla de herradura' en el contexto del vídeo?
-La 'regla de herradura' es un método para dividir fracciones, que implica multiplicar el numerador del primer fracción por el denominador del segundo fracción y el denominador del primer fracción por el numerador del segundo fracción.
¿Cómo se simplifica una fracción en el vídeo?
-Para simplificar una fracción, se identifican los números comunes que se pueden dividir tanto en el numerador como en el denominador y se reducen para obtener la fracción más simple.
¿Cuál es el resultado de g(f(x)) según el guion?
-El resultado de g(f(x)) es (2x - 5)/12, después de realizar las operaciones de resta y división de fracciones.
¿Qué significa 'efecto composición' en el contexto del vídeo?
-El término 'efecto composición' parece ser un error o una mala traducción. Probablemente se refiere a 'composición de funciones', que es el tema principal del vídeo.
¿Cómo se calcula f(f(x)) según el vídeo?
-Para calcular f(f(x)), se sigue el mismo procedimiento que para f(g(x)), pero reemplazando g(x) con f(x). El resultado es (4x + 5)/9.
¿Cuál es el resultado de g(g(x)) según el guion?
-El resultado de g(g(x)) es (x - 10)/16, después de realizar las operaciones de resta y división de fracciones.
¿Qué tipo de operaciones matemáticas se utilizan en el vídeo para calcular las composiciones de funciones?
-En el vídeo se utilizan operaciones como la sustitución de variables, la multiplicación y división de fracciones, la simplificación de fracciones y la aplicación de la 'regla de herradura'.
¿Cómo se puede simplificar una fracción que tiene un numerador y un denominador divisibles por el mismo número?
-Para simplificar una fracción con numerador y denominador divisibles por el mismo número, se dividen ambos por ese número común y se obtiene la fracción simplificada.
Outlines
📐 Composición de Funciones
En este primer párrafo se explica cómo calcular la composición de funciones en matemáticas. Se menciona que se trabajará con dos funciones y se procede a calcular la composición g de f y f de g. Se da un ejemplo específico de cómo reemplazar x en la función f por la función g, mostrando paso a paso los cálculos necesarios para llegar a la composición g(f(x)). Se detalla el proceso de multiplicación de fracciones y cómo manejar la suma de una fracción y un número entero, culminando con la simplificación final de la fracción obtenida.
🔢 Detalles de las Composiciones
Este segundo párrafo continúa explicando las operaciones de composición de funciones. Se detalla el proceso para calcular la composición f de g, poniendo de manifiesto los pasos para reemplazar x por la función g en la función f, y se procede a realizar las operaciones matemáticas necesarias, incluyendo la multiplicación y suma de fracciones. Se menciona cómo simplificar fracciones y se proporciona el resultado final de la composición f(g(x)). Además, se introduce el cálculo de la composición f de f(x) y se explica el proceso de multiplicar fracciones y sumar fracciones con enteros, culminando con la simplificación de la fracción resultante.
📚 Ejercicio Propuesto
En el tercer párrafo, el locutor propone un ejercicio a los espectadores para que prueben sus habilidades en la composición de funciones. Se les da una función f(x) y g(x) y se les desafía a calcular las composiciones g(g(x)), f(f(x)), f(g(x)) y g(f(x)). Se enfatiza que el procedimiento es el mismo que el explicado en el vídeo y se anima a los espectadores a intentar el ejercicio antes de ver la solución en el siguiente vídeo. Además, se invita a los espectadores a dejar comentarios si tienen alguna pregunta o sugerencia.
Mindmap
Keywords
💡composición de funciones
💡sustitución
💡fracciones
💡multiplicación de fracciones
💡división de fracciones
💡regla de herradura
💡simplificación
💡numerador
💡denominador
💡ejercicios
💡sugerencias
Highlights
Se presenta un nuevo vídeo de 'Mate Fácil'.
El objetivo es calcular las composiciones de dos funciones: g(f(x)) y f(g(x)).
Para g(f(x)), se reemplaza x en la función f por la función g, encerrándola entre paréntesis.
Se realiza una multiplicación de fracciones al reemplazar x en f por g.
Se simplifica la fracción resultante de la multiplicación.
Se convierte un entero en fracción para sumarlo a otra fracción.
Se simplifica la suma de fracciones para obtener g(f(x)) = x/6.
Para f(g(x)), se reemplaza x en la función g por la función f.
Se realiza una resta de fracciones en f(g(x)).
Se simplifica la fracción resultante de la resta.
Se convierte un entero en fracción y se aplica la regla de herradura para obtener f(g(x)) = 2x/5.
Se calcula f(f(x)) reemplazando x por f(x) en la función f.
Se realiza una multiplicación de fracciones para f(f(x)).
Se simplifica la suma de fracciones para obtener f(f(x)) = (4x + 5)/9.
Se calcula g(g(x)) reemplazando x por g(x) en la función g.
Se realiza una resta de fracciones para g(g(x)).
Se simplifica la fracción resultante de la resta para obtener g(g(x)) = (x - 10)/16.
Se propone un ejercicio similar para que los usuarios practiquen las operaciones.
Se invita a los usuarios a dejar sus preguntas o sugerencias en los comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a un nuevo vídeo de
mate fácil en este vídeo vamos a
calcular las siguientes composiciones
para estas dos funciones vamos a
calcular
efe composición g efe composición f g
composición f y g composición g
bueno
para calcular la primera composición efe
composición que vamos a escribir
efe composición g de x
y lo que vamos a hacer es escribir la
primera función que aparece aquí que es
la f vamos a escribirla tal cual como
aparece aquí pero en lugar de la equis
vamos a poner unos paréntesis o sea
ponemos un 2 y aquí donde iría la equis
son unos paréntesis y luego más 1 sobre
3 entonces pueden notar que es
exactamente lo mismo pero en lugar de la
equis están estos paréntesis y adentro
de los paréntesis se va a poner la
segunda función que aparece aquí o sea
el valor de g que es esto de aquí esto
lo vamos a poner aquí adentro de los
paréntesis y lo siguiente que debemos
hacer son las operaciones aquí estos
paréntesis indican que se está haciendo
multiplicación estamos multiplicando por
2 y esto de aquí adentro es una fracción
entonces tenemos que hacer una
multiplicación de fracciones para eso
vamos a ponerle un 1 abajo al 2 para
convertirlo en fracción y vamos a
multiplicar lo de arriba por lo de
arriba y los de abajo por lo de abajo
entonces cuando multiplicamos lo de
arriba por lo de arriba nos queda esto
de aquí 2 por x es 2x y 2 por 2 son 4 y
luego lo de abajo por lo de abajo es 1
por 44 este más uno que aparece aquí hay
que seguirlo escribiendo y todo sigue
todavía sobre 3
ahora tenemos aquí una suma en la que
tenemos una fracción más un entero
entonces este entero lo vamos a
convertir en fracción poniéndole 1 abajo
y lo que vamos a hacer es dibujar una
línea horizontal multiplicamos los
números de abajo 4 por 1 nos da 4 y
luego vamos a multiplicar cruzado
entonces multiplicamos 2 x menos 4 por 1
nos queda 2x menos 4
cualquier cosa que multiplicamos por 1
nos queda el mismo resultado y luego es
más 1 por cuatro nos queda más 4 y todo
esto todavía sigue sobre 3
ahora vamos a hacer aquí las operaciones
menos 440 así que es como si se
cancelarán este 4 que está restando con
este que está sumando y nada más nos
queda entonces 2x sobre 4 y sobre 3
aquí tenemos entonces en la parte de
arriba una fracción y abajo tenemos un 3
vamos a convertirlo en fracción para
hacer la división de fracciones vamos a
dividir entonces 2x sobre 4 entre 3
sobre 1
la división de fracciones se hace
mediante regla de herradura
multiplicamos lo que aparece hasta
arriba por lo que aparece hasta abajo 2x
por 1 nos da 2x y 4 por 3 nos da 12
ahora aquí todavía podemos simplificar
un poco más ya que tanto el 2 como el 12
tienen mitad exacta mitad de dos es 1
mitad de 12-6 así que nos queda
simplemente 1x sobre 6 pero el 1 no hace
falta escribirlo nada más escribimos la
pura equis y entonces queda x sobre 6 s
de ahí es finalmente el resultado de f
composición g de x entonces tenemos que
f composición g de x es igual a x sobre
6 vamos a calcular ahora qué composición
efe
entonces para calcular qué composición f
empezamos escribiendo la primer función
que en este caso es g escribimos
entonces esto que aparece aquí pero en
lugar de la equis ponemos unos
paréntesis así que nos va a quedar
entonces paréntesis menos dos sobre
cuatro y adentro de esos paréntesis hay
que escribir el valor de la segunda
función que en este caso es f entonces
aquí adentro debemos poner 2 x 1 sobre 3
y vamos a hacer ahora las operaciones en
este caso los paréntesis indicarían
multiplicación por lo que está antes del
paréntesis pero en este caso no hay nada
escrito antes del paréntesis así que no
hace falta escribir los paréntesis los
podemos quitar y dejarlo escrito de esta
manera ahora aquí tenemos una resta de
fracciones tenemos esta fracción menos
dos enteros vamos a convertir estos dos
enteros en fracción poniéndoles un 1
abajo y entonces vamos a hacer la resta
de fracciones la resta se hace dibujando
una línea horizontal multiplicamos las
dos cantidades de abajo 3 por 1 queda 3
y luego multiplicamos cruzado 2 x + 1
por 1 es 2 x 1 y luego tenemos menos 2 x
3 que es menos 6 recordemos que este
signo negativo simplemente es el signo
del 2 este signo negativo no afecta al 1
los denominadores siempre los vamos a
considerar positivos bueno entonces
ahora vamos a hacer aquí la reducción de
términos semejantes
1 - 6
5 así que nos queda 2 x 5 sobre 3 y todo
eso sobre 4 otra vez tenemos arriba una
fracción y abajo un entero así que hay
que convertirlo en fracción poniéndole
un 1 debajo y vamos a hacer regla de
herradura multiplicamos 2x menos 5 por 1
nos queda 2 x menos 5 y luego 3 por 4
nos queda 12 en este caso esta fracción
ya no se puede simplificar más y este es
el resultado deje composición efe
entonces queda que deje composición efe
de x es igual a 2 x 5 entre 12 ese es el
resultado
pasemos ahora a efe composición f
entonces vamos a escribir la primera
función que es f pero en lugar de la x
ponemos unos paréntesis así que ponemos
dos paréntesis más uno entre tres y
adentro de los paréntesis debemos
escribir la segunda función que en este
caso también es efe así que adentro
vamos a poner 2 x 1 sobre 3 y ahora hay
que realizar las operaciones entonces
tenemos una fracción multiplicada por
dos
este dos vamos a convertir en una
fracción para hacer multiplicación de
fracciones le ponemos un 1 debajo y
multiplicamos lo de arriba por lo de
arriba y los de abajo por lo de abajo
entonces nos va a quedar lo siguiente 2
por 2x queda 4 x 2 por 1 queda 2 así que
queda 4x + 2 en la parte de arriba y 1
por 3 queda 3 se se queda en la parte de
abajo todavía hay que escribir más 1 y
todavía hay que escribir sobre 3 ahora
vamos a hacer la suma de fracciones que
aparece aquí y esta fracción más un
entero esto lo vamos a convertir en una
fracción poniéndole un 1 debajo y
hacemos la suma de fracciones entonces
ponemos una línea horizontal
multiplicamos las cantidades de abajo 3
por una es 3 y luego multiplicamos
cruzado 4x + 2 por 1 queda 4x + 2 más 1
por 3 queda más 3 y todo esto todavía
sigue sobre 3 entonces hay que seguirlo
escribiendo sobre 3 hacemos la suma de
términos semejantes dos más tres queda 5
entonces es 4x + 5 sobre 3 y todo esto
sobre 3 le ponemos un 1 abajo al 3 para
convertirlo en fracción y aplicamos
regla de herradura 4x + 5 por 1 que da 4
x + 5 y 3 por 3 que da 9 este de aquí
entonces es el resultado de f
composición
efe efe composición de fx es igual a 4 x
+ 5 sobre 9
y pasemos a la última composición de
composición g
entonces en este caso la primera función
es que vamos a escribir entonces la
función g y en lugar de la equis ponemos
unos paréntesis entonces ponemos
paréntesis menos dos sobre cuatro y
adentro de los paréntesis ponemos el
valor de la segunda función que también
es g entonces queda x menos 2 sobre 4
dentro de los paréntesis en este caso
como no hay nada escrito antes del
paréntesis podemos quitarlos y eso no
afecta nada entonces queda x menos 2
sobre cuatro menos 2 sobre 4 vamos a
hacer ahora estás restas de fracciones
tenemos x menos 2 sobre 4 que es una
fracción y este 2 son dos enteros vamos
a convertirlos en fracción poniéndoles
un 1 debajo y hacemos la operación de
fracciones entonces dibujamos una línea
horizontal multiplicamos las cantidades
de abajo 4 por 1 queda 4 y luego
multiplicamos cruzado x menos 2 x 1
queda x 2 y luego menos 2 por 4 queda
menos 8
ahora reducimos términos semejantes
menos dos menos ocho queda menos diez
así que nos queda x 10 sobre 4 y eso
sobre 4 a este 4 le ponemos un 1 debajo
para convertirlo en fracción y aplicamos
regla de herradura x 10 por uno queda x
10 y 4 x 4 queda 16 esta fracción ya no
se puede simplificar más y entonces este
es el resultado deje composición que así
que composición g x es igual a x menos
10 sobre 16
bueno entonces ya calculamos las cuatro
composiciones ahora les propongo a
ustedes el siguiente ejercicio
considerando estas dos funciones f x
igual a x entre x 1 ig x igual a x 4
calculen efe composición g g composición
f f composición f y g composición que el
procedimiento es exactamente el mismo
recuerden que dependiendo de cuál es la
primera función esa es la que vamos a
escribir poniendo paréntesis en lugar de
x y la segunda función es la que se
sustituye a dentro de los paréntesis así
que intenten hacer ustedes esa esas
operaciones de estas cuatro
composiciones y en el siguiente vídeo
les muestro el procedimiento completo
para que así ustedes verifiquen su
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me regalándome un like suscriban a mi
canal y compartan mis vídeos y recuerden
que si tienen cualquier pregunta o
sugerencia pueden dejarla en los
comentarios
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