Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

Summary

In diesem Video lernst du, wie du die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmst. Es wird erklärt, wie man die Steigung und den y-Achsenabschnitt rechnerisch ermittelt, indem man zwei gegebene Punkte verwendet. Anhand der Punkte A (1|4) und B (5|–4) wird die Steigung mit der Formel berechnet und anschließend in die allgemeine Gleichung y = mx + b eingesetzt. Der y-Achsenabschnitt b wird durch Einsetzen eines der Punkte in die Gleichung bestimmt, wodurch die vollständige Funktionsgleichung der Geraden entsteht.

Takeaways

• 📚 Dieses Skript erklärt, wie man die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmt.
• 📍 Die Gerade verläuft durch die Punkte A und B.
• 🔍 Um die Gleichung zu finden, braucht man die Steigung und den y-Achsenabschnitt.
• 📈 Der y-Achsenabschnitt ist in diesem Beispiel 6.
• 📐 Die Steigung wird durch ein Steigungsdreieck berechnet, welches -2 ergibt.
• ↕️ Die Änderung in y-Richtung beträgt -8 Einheiten, die Änderung in x-Richtung 4 Einheiten.
• 🔢 Die Steigung m ist die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte.
• 📝 Die Steigung kann auch mit den Koordinaten der gegebenen Punkte (1|4) und (5|-4) als -8/4 = -2 berechnet werden.
• 🔄 Die allgemeine Form der Funktionsgleichung ist y = m * x + b.
• 🧩 Um den y-Achsenabschnitt b zu bestimmen, wird ein Punkt in die Gleichung eingesetzt.
• 📉 Durch die Gleichung (-2) * 1 = -2 + b aufzulösen, findet man b = 6.
• 🎯 Die vollständige Funktionsgleichung der Geraden ist y = -2x + 6.

Q & A

Was ist das Ziel des Beispiels im Skript?

Das Ziel ist es, zu zeigen, wie man die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmt, die durch zwei Punkte A und B verläuft.

Welche beiden Angaben benötigst du, um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen?

Man benötigt die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Geraden.

Was ist der y-Achsenabschnitt in dem Beispiel?

Der y-Achsenabschnitt ist 6.

Wie berechnest du die Steigung einer Geraden?

Die Steigung wird berechnet, indem man ein Steigungsdreieck verwendet oder die Formel 'Änderung der y-Werte' geteilt durch 'Änderung der x-Werte' anwendet.

Was ist die Steigung der Geraden in dem Beispiel?

Die Steigung ist –2, was durch das Steigungsdreieck oder die Berechnungsformel ermittelt wurde.

Wie wird die Änderung in y-Richtung in dem Beispiel beschrieben?

Die Änderung in y-Richtung ist –8 Einheiten lang.

Wie wird die Änderung in x-Richtung in dem Beispiel beschrieben?

Die Änderung in x-Richtung ist 4 Einheiten lang.

Wie lautet die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer Geraden?

Die allgemeine Form ist y = m·x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

Welche Punkte wurden im Beispiel für die Berechnung der Steigung verwendet?

Die Punkte (1|4) und (5|–4) wurden verwendet.

Wie bestimmt man den y-Achsenabschnitt b in der Funktionsgleichung?

Man wählt einen Punkt und setzt dessen Koordinaten in die Gleichung ein, um b zu bestimmen. Im Beispiel wurde Punkt A (1|4) verwendet.

Was ist die vollständige Funktionsgleichung der Geraden im Beispiel?

Die vollständige Funktionsgleichung ist y = –2x + 6, basierend auf der ermittelten Steigung und dem y-Achsenabschnitt.

Outlines

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📚 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden

Dieses Video erklärt, wie man die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmt, die durch zwei Punkte A und B verläuft. Es wird ein y-Achsenabschnitt von 6 und eine Steigung von –2 ermittelt, basierend auf einem Steigungsdreieck und der Formel für die Steigung m, welche die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilt. Die gegebenen Punkte (1|4) und (5|–4) werden verwendet, um die Steigung rechnerisch zu überprüfen und den y-Achsenabschnitt b zu ermitteln. Schließlich wird die Funktionsgleichung y=m·x+b vollständig bestimmt, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

Keywords

💡Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung ist eine mathematische Gleichung, die eine lineare Beziehung zwischen zwei Variablen beschreibt. Im Video wird gezeigt, wie man die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmt, welche durch zwei Punkte A und B verläuft. Die Funktionsgleichung ist von zentraler Bedeutung, um die Geraden zu beschreiben und ist im Video durch die Form y = mx + b präsentiert.

💡Gerade

Eine Gerade ist ein geometrischer Begriff, der eine unendlich verlängerte Linie ohne eine Krümmung beschreibt. Im Kontext des Videos ist die Gerade das Objekt, dessen Funktionsgleichung bestimmt werden soll, und sie geht durch die Punkte A und B.

💡Steigung

Die Steigung einer Geraden ist ein Maß für die Neigung der Geraden. Sie gibt an, wie viel die y-Koordinate ändert, wenn die x-Koordinate um 1 Einheit verändert wird. Im Video wird die Steigung als –2 bestimmt, was bedeutet, dass die Gerade zwei Einheiten nach unten geht, wenn sie eine Einheit nach rechts bewegt.

💡y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Er ist ein Bestandteil der Funktionsgleichung und im Video wird er als 6 angegeben. Dies hilft, die Funktionsgleichung der Geraden vollständig zu bestimmen.

💡Steigungsdreieck

Ein Steigungsdreieck ist ein Hilfsmittel zur Bestimmung der Steigung einer Geraden. Im Video wird das Konzept verwendet, um die Steigung durch die Änderung in y-Richtung geteilt durch die Änderung in x-Richtung zu berechnen.

💡Änderung der y-Werte

Die Änderung der y-Werte bezieht sich auf die Differenz zwischen den y-Koordinaten zweier Punkte, die auf derselben Geraden liegen. Im Video wird diese Änderung verwendet, um die Steigung der Geraden zu berechnen, indem man die y-Koordinate des zweiten Punkts von der des ersten subtrahiert.

💡Änderung der x-Werte

Die Änderung der x-Werte ist die Differenz zwischen den x-Koordinaten zweier Punkte. Im Video wird diese Änderung zusammen mit der Änderung der y-Werte verwendet, um die Steigung der Geraden zu bestimmen.

💡Formel

Die Formel zur Bestimmung der Steigung einer Geraden ist eine mathematische Gleichung, die die Steigung m als die Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten zweier Punkte darstellt. Im Video wird diese Formel verwendet, um die Steigung rechnerisch zu bestimmen.

💡Koordinaten

Koordinaten sind die x- und y-Werte eines Punktes in einem Koordinatensystem. Im Video werden die Koordinaten der Punkte A und B verwendet, um die Funktionsgleichung der Geraden zu bestimmen.

💡y-Achse

Die y-Achse ist eine der Grundachsen in einem kartesischen Koordinatensystem. Im Video wird die y-Achse relevant, um den y-Achsenabschnitt der Geraden zu bestimmen, der der Punkt ist, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Highlights

Lernst du, wie man die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmt.

Die Punkte A und B liegen auf einer Geraden.

Bestimme die Funktionsgleichung rechnerisch zu einer gegebenen Geraden.

Die Steigung und der y-Achsenabschnitt sind die Hauptparameter für die Gleichung.

Der y-Achsenabschnitt ist 6.

Die Steigung wird mit einem Steigungsdreieck berechnet: ein Schritt nach rechts, zwei Schritte nach unten.

Die Steigung ist –2, basierend auf dem Steigungsdreieck.

Alternativ kann die Steigung durch die Änderung in y-Richtung geteilt durch die Änderung in x-Richtung berechnet werden.

Die Änderung in y-Richtung beträgt –8 Einheiten, die Änderung in x-Richtung 4 Einheiten.

Die allgemeine Formel zur Berechnung der Steigung ist m = (Änderung der y-Werte) / (Änderung der x-Werte).

Die gegebenen Punkte (1|4) und (5|–4) werden verwendet, um die Steigung erneut zu berechnen.

Die berechnete Steigung ist –8/4 = –2, was mit der zeichnerischen Lösung übereinstimmt.

Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer Geraden ist y = m·x + b.

Der y-Achsenabschnitt b wird durch Einsetzen eines Punktes in die Gleichung bestimmt.

Die Gerade schneidet die y-Achse bei 6, was durch die Gleichung 6 = b bestätigt wird.

Die vollständige Funktionsgleichung der Geraden wird durch den y-Achsenabschnitt vervollständigt.

Transcripts

In diesem Beispiel lernst du, wie du die Funktionsgleichung einer Geraden bestimmst.

Die Punkte A und B liegen auf einer Geraden.

Bestimme zu dieser Geraden rechnerisch eine Funktionsgleichung.

Stell dir die Gerade vor.

Sie geht durch die Punkte A und B. Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen,

benötigst du zwei Angaben: die Steigung und den y-Achsenabschnitt.

Der y-Achsenabschnitt ist 6.

Die Steigung berechnest du mithilfe eines Steigungsdreiecks:

ein Schritt nach rechts und zwei Schritte nach unten.

Also ist die Steigung –2.

Du hättest auch das Steigungsdreieck wählen können, das die Punkte A und B verbindet.

Die Änderung in y-Richtung ist –8 Einheiten lang.

Die Änderung in x-Richtung ist 4 Einheiten lang.

–8 geteilt durch 4 ist ebenfalls –2.

Das kann man auch allgemein formulieren: Sind zwei Punkte (x_1|y_1) und (x_2|y_2) gegeben,

so ist die Steigung m gleich „Änderung der y-Werte“ dividiert durch „Änderung der x-Werte“.

Berechne nun die Steigung erneut, diesmal ohne die Zeichnung, nur mithilfe der Formel.

Die gegebenen Punkte haben die Koordinaten (1|4) und (5|–4).

Also ist die Steigung gleich: „y-Koordinate des zweiten Punkts“ minus „y-Koordinate des ersten Punkts“

dividiert durch „x-Koordinate des zweiten Punkts“ minus „x-Koordinate des ersten Punkts“.

Das ergibt –8/4 = –2, genau wie bei der zeichnerischen Lösung!

Nun zur Funktionsgleichung. Die allgemeine Form lautet: y=m·x+b.

Den Wert von m kennst du bereits.

Bestimme als nächstes den y-Achsenabschnitt b.

In der Zeichnung konntest du ihn ablesen.

Rechnerisch gehst du so vor: Wähle einen der beiden Punkte, zum Beispiel A,

und setze seine Koordinaten in die Gleichung ein: für x die 1 und für y die 4.

(–2)·1 = –2.

Löse die Gleichung nach b auf.

Addiere dazu auf beiden Seiten 2. Du erhältst 6=b.

Die Gerade schneidet die y-Achse also bei 6.

Setze den Wert in die Funktionsgleichung ein und sie ist komplett!