Representación gráfica de funciones. Capítulo 1: ¿Qué es una función?
Summary
TLDREl guion narrativo ofrece una visión innovadora de cómo René Descartes, inspirado por la curiosidad de localizar una mosca en su habitación, desarrolló el sistema de coordenadas. La historia ilustra cómo Descartes graduó su techo con líneas paralelas a las paredes, creando un sistema de referencia que permitía determinar la posición exacta de la mosca a través de pares ordenados de distancias. Este concepto no solo resolvía su curiosidad, sino que también sentó las bases para la geometría analítica, uniendo álgebra y geometría y dando lugar al sistema de ejes cartesianos que es fundamental en las matemáticas modernas.
Takeaways
- 😀 René Descartes tenía problemas de salud que lo mantenían en cama, permitiéndole leer, escribir y reflexionar.
- 🔍 Descartes se dio cuenta de la necesidad de determinar la posición exacta de una mosca en el techo de su habitación.
- 📏 Para medir la posición de la mosca, Descartes ideó un sistema de medición basado en la distancia perpendicular a las paredes.
- 📏📏 Descartes creó un sistema de graduación en el techo con líneas paralelas a las paredes para facilitar la medición de la posición de la mosca.
- 📝 Descartes utilizó unidades y líneas paralelas para establecer un sistema de referencia que le permitía determinar la ubicación de la mosca mediante pares de distancias.
- 🧭 El sistema de pares de distancias que Descartes desarrolló es conocido como el sistema de ejes cartesianos, que divide el espacio en cuatro cuadrantes.
- 📈 La idea de Descartes de representar la posición de un punto en el espacio mediante un par ordenado dio lugar a la geometría analítica, uniendo álgebra y geometría.
- 📚 René Descartes nació en Francia en 1596 y su sistema de coordenadas influenció significativamente la matemática moderna.
- 🤔 Descartes consideró la posibilidad de que la mosca siguiera una trayectoria determinista, lo que le llevó a explorar las relaciones entre conjuntos de números.
- 🔢 El script ilustra cómo una función matemática, como y = x + 1, puede relacionar dos conjuntos de números y ser representada gráficamente como una línea recta.
- 📈📝 La representación gráfica de una función no es solo un conjunto de puntos, sino una línea continua que representa todos los números reales permitidos por la función.
Q & A
¿Qué problema de salud tenía René Descartes que lo mantenía en cama?
-El script no especifica el problema de salud exacto de René Descartes, pero menciona que tenía problemas de salud que lo mantenían en cama, permitiéndole leer, escribir y reflexionar.
¿Cómo se le ocurrió a Descartes determinar la posición exacta de la mosca en el techo?
-Descartes se dio cuenta de que podía determinar la posición de la mosca midiendo la distancia que había entre la mosca y las paredes en perpendicular, buscando la mínima distancia para cada punto donde posaba la mosca.
¿Qué método utilizó Descartes para no tener que medir constantemente la posición de la mosca?
-Descartes decidió graduar el techo con líneas paralelas a las paredes, tomando una unidad y trazando líneas a igual distancia, lo que le permitió saber la posición de la mosca en referencia a cada pared sin medir en cada momento.
¿Qué llamó Descartes al par de distancias que le permitía determinar la posición de la mosca en el techo?
-Descartes llamó 'par ordenado' al método de pares de distancias que utilizaba para determinar la posición de la mosca en el techo.
¿Por qué Descartes decidió ordenar las distancias a las paredes de una manera específica?
-Descartes ordenó las distancias para que siempre fuera primero la distancia a una pared y segundo la distancia a otra, ya que no es lo mismo el par (2, 4) que el par (4, 2), lo que le ayudó a evitar confusiones.
¿Cómo relacionó Descartes su sistema de medición con la idea de ejes de referencia?
-Descartes consideró las paredes como ejes de referencia positivos y negativos, y utilizó el concepto de pares ordenados para representar la ubicación de la mosca en relación con estos ejes.
¿Cómo contribuyó la idea de Descartes a la matemática moderna?
-La idea de Descartes de vincular el álgebra con la geometría a través de su sistema de pares de números (sistema de ejes cartesianos) dio lugar a la geometría analítica, uniendo números, símbolos y dibujos geométricos.
¿Qué representan las coordenadas de un punto en el sistema de ejes cartesianos?
-Las coordenadas de un punto en el sistema de ejes cartesianos representan las distancias de ese punto a los ejes X e Y, que son las referencias para determinar su posición en el plano.
¿Qué es una trayectoria y cómo se relaciona con una ecuación en el contexto de la geometría analítica?
-Una trayectoria es la ruta que sigue un objeto, como la mosca en el script, y se relaciona con una ecuación porque representa una relación establecida entre los valores de los ejes X e Y, lo que permite predecir y dibujar su camino.
¿Cómo se describe la relación entre los valores de X e Y en el caso de la mosca que se posa en el techo según el script?
-Según el script, la relación entre los valores de X e Y es directa y lineal, donde el valor de Y es siempre uno más que el valor de X (Y = X + 1), lo que representa una trayectoria recta en el plano cartesiano.
¿Cómo se entiende la representación gráfica de una función en el contexto del script?
-La representación gráfica de una función es la visualización de los pares ordenados que surgen de la regla analítica, como en el caso de Y = X + 1, donde no solo se dibujan puntos sino que se traza una línea continua que representa la trayectoria completa de todos los valores posibles de X.
¿Qué es el dominio en el contexto de las funciones y por qué es importante?
-El dominio es el conjunto de todos los valores que el eje X puede tomar en una función, y es importante porque define el rango de valores que se pueden calcular para una función dada, afectando así la forma y el comportamiento de la gráfica.
¿Qué son las asintotas y cómo se relacionan con la representación gráfica de una función?
-Las asintotas son líneas que la gráfica de una función se acerca pero nunca toca, representando límites en el comportamiento de la función, como cuando se acerca a un valor en el infinito. Son importantes para entender la extensión y el comportamiento a largo plazo de la gráfica.
Outlines
😀 La curiosidad de Descartes y el nacimiento de la geometría analítica
Este párrafo narra la historia de cómo Descartes, al observar una mosca en su techo, desarrolló el sistema de coordenadas cartesiano. Descartes, quien pasaba mucho tiempo en cama por problemas de salud, se dio cuenta de que podía determinar la posición de la mosca midiendo la distancia mínima a las paredes. Graduó su techo con líneas paralelas a las paredes y creó un sistema de referencia que le permitía localizar la mosca sin medir constantemente. Este sistema se basaba en pares ordenados de distancias, lo que le permitió representar la posición de la mosca en cualquier momento. Descartes llamó a esta idea de pares ordenados 'par ordenado', y su sistema de referencia se convirtió en lo que hoy conocemos como el sistema de ejes cartesianos, fundamental para la matemática moderna y la geometría analítica.
📚 La relación entre ecuaciones y trayectorias en la geometría analítica
En este párrafo, se explora cómo las trayectorias de objetos, como la mosca en el ejemplo, pueden ser representadas por ecuaciones y cómo estas ecuaciones se relacionan con las gráficas correspondientes. Se menciona que si la mosca siguiera una trayectoria recta, esta tendría una regla o ecuación que relaciona los valores del eje x con los del eje y. Se da un ejemplo de una ecuación simple, 'y = x + 1', y se explica cómo, al aplicar esta regla a diferentes valores de x, se obtienen pares ordenados que pueden ser graficados en el sistema de ejes cartesianos. Se enfatiza cómo cada valor de x corresponde a un único valor de y, lo que permite visualizar la trayectororia gráficamente como una línea continua, representando todos los números reales posibles. Además, se introduce la idea de dominio y cómo algunas funciones pueden tener restringidos los valores que pueden procesar, como en el caso de 'y = 1/x' donde x no puede ser cero.
📘 Aprendiendo a analizar y interpretar gráficas de funciones
El último párrafo se enfoca en el aprendizaje de cómo analizar y interpretar gráficas de funciones. Se presenta una serie de capítulos que irán desde lo básico hasta lo más complejo, permitiendo al lector avanzar a su propio ritmo y profundizar en el tema según sus necesidades. Se menciona que el objetivo es comprender completamente una función sin necesidad de graficar cada punto individualmente, sino a través de un análisis más profundo. Se invita al lector a quedarse con los conceptos si tiene dificultades o a continuar si siente curiosidad, con la promesa de cubrir temas desde el dominio de las funciones hasta el análisis de su crecimiento o decrecimiento, así como la representación gráfica de asintotas.
Mindmap
Keywords
💡René Descartes
💡Mósca
💡Coordenadas
💡Ejes de referencia
💡Geometría analítica
💡Pares ordenados
💡Función
💡Dominio
💡Ecuación
💡Asíntota
💡Representación gráfica
Highlights
Una mosca en la habitación de René Descartes inspiró su curiosidad sobre cómo determinar su posición exacta en el techo.
Descartes, debido a problemas de salud, pasaba mucho tiempo en cama, lo que le permitía leer, escribir y reflexionar.
La idea de medir la distancia perpendicular mínima entre la mosca y las paredes nació como un método para determinar su posición.
Descartes creó un sistema de graduación en el techo con líneas paralelas a las paredes para facilitar la medición de la posición de la mosca.
La creación de un sistema de referencia mediante ejes de pared le permitió a Descartes medir la posición de la mosca sin medir en cada punto.
El concepto de par ordenado fue introducido por Descartes para describir la posición de la mosca en relación con las paredes.
La idea de los ejes de referencia como un sistema de medición dio lugar a la geometría analítica.
La geometría analítica es la unión de álgebra y geometría, permitiendo representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas.
El sistema de coordenadas de pares de números, en honor a Descartes, es conocido como el sistema de ejes cartesianos.
La mosca se utiliza como un ejemplo práctico para entender la representación de puntos en el espacio bidimensional.
La trayectoria de la mosca, si tuviera una regla, estaría representada por una ecuación y un conjunto de pares ordenados.
La relación entre los valores de x e y en el sistema cartesiano permite visualizar la trayectoria de la mosca como una línea recta.
La representación gráfica de una función es la visualización de los pares ordenados que surgen de una ecuación analítica.
La función y = x + 1 es utilizada como ejemplo para demostrar cómo se relacionan los valores de x e y en el sistema cartesiano.
La gráfica de la función y = x + 1 muestra una línea continua que representa todos los números reales posibles para x.
La serie de capítulos futuros se enfoca en el análisis y estudio detallado de funciones para comprender su dominio, crecimiento, decrecimiento y asíntotas.
El aprendizaje se estructura de manera secuencial, desde conceptos básicos hasta temas más complejos, adaptándose al nivel de cada estudiante.
Transcripts
una mosca se posó en el techo de la
habitación de René
Descartes Descartes pasaba mucho tiempo
en cama porque tenía problemas de
salud esto le permitía leer escribir y
sobre todo
reflexionar la mosca iba cambiando de
posición y a René le picó la
[Música]
curiosidad se preguntó Cómo podría
determinar la posición exacta de la
mosca en cada momento
y se le ocurrió medir la distancia que
había entre la mosca y las paredes en
perpendicular claro para que sea la
mínima distancia O sea la distancia de
esta forma cada vez que la mosca se
posaba en un punto del techo Descartes
podía saber dónde estaba la mosca En
referencia a cada
pared para no tener que estar midiendo
en cada punto se le ocurrió graduar el
techo mediante líneas paralelas a las
paredes tomó una unidad y se fue a la
esquina del techo aquí puso el cero y
empezó a trazar líneas paralelas a igual
distancia
[Música]
[Música]
[Música]
René Descartes había graduado su techo
de manera que podía saber el punto
Exacto en el que estaba la mosca sin
tener que medir en cada instante si la
mosca estaba aquí decía la mosca está a
tres unidades de Esta
pared y a dos de esta Y si la mosca
estaba aquí decía la mosca está a cuatro
unidades de Esta
pared y a cinco de
esta Y si estaba aquí pues a 5 y Med y a
5 y Med y afinó dijo para no liarme voy
a medir primero la distancia a Esta
pared y segundo la distancia a esta otra
repito primero la distancia a Esta pared
y segundo la distancia a Esta pared
estaba ordenando El par de distancias
para que siempre fuera primero esta y
segundo esta porque no es lo mismo el 24
que el
42 por eso lo llamó par ordenado y
avanzó un poco más pensó que esta era su
referencia las dos paredes eran ejes de
referencia ejes desde los que medía la
distancia pero la mosca también se podía
posar en el techo de la habitación de al
lado y si esta era la referencia en
positivo si la mosca estaba aquí la
distancia a la pared era positiva porque
la distancia siempre es positiva pero el
par ordenado debería tener una
referencia negativa a Esta pared si este
eje es positivo a partir de cer0 estas
unidades tendrán signo negativo porque
que están a la izquierda de
cero El par ordenado que representa su
ubicación es -2 3 y si la mosca está
aquí -3 -5 y si la mosca está aquí el
par ordenado será 4 -4 Descartes había
dividido el espacio bidimensional el
espacio de dos dimensiones largo y ancho
en cuatro partes ahora podía representar
la posición exacta de la mosca en
cualquier momento mediante dos
cantidades mediante un par ordenado y
esto lo cambió todo la idea de Descartes
contribuyó a la matemática moderna
porque vinculaba relacionaba el álgebra
con la geometría de esta forma nace la
geometría analítica geometría y análisis
las ecuaciones números símbolos con el
dibujo geometría analítica René
Descartes nació en Francia en 1596 y a
su sistema de coordenadas
de pares de números que representan un
punto se le llama en su honor sistema de
ejes cartesianos de
Descartes vuelvo a la mosca y a los ejes
cartesianos la mosca puede estar aquí
aquí aquí o aquí puede estar en
cualquier sitio del techo cada posición
tiene dos coordenadas que son como ya
sabes las distancias a las paredes o a
los ejes entonces Descartes quiso saber
si había alguna
entre los puntos en los que se posaba la
mosca pero claro la mosca no tenía
ninguna regla ni orden se posaba donde
creía oportuno Sin rumbo fijo los puntos
en los que se posaba no guardaban un
patrón pero imagina que la mosca
guardara una trayectoria
recta o que empieza a hacer dibujos con
sus
[Música]
paradas que sus paradas responden a unr
establecido Entonces el dibujo que hace
la trayectoria se corresponde con una
regla con una ecuación existe una
relación entre el conjunto de números de
este eje y el conjunto de números de
este otro hay una relación esperable
entre los dos conjuntos que viene
marcada por una regla si a este eje lo
llamo x y a este y y la mosca se está
parando en estos puntos puedo intentar
ver que hay alguna relación una relación
entre el junto de los valores que toma x
y los valores que toma
I atención plena para esta posición x
vale 1 e y vale 2 para esta posición x
vale 2 e y vale 3 para esta x vale 3 e y
vale 4 y siempre vale uno más de lo que
valga
x y siempre es x + 1 y esta es la forma
de expresar la regla con números
símbolos y letras es la forma analítica
y siempre vale el valor de X + 1 pruebo
a ver si sustituyo x * 2 2 + 1 son 3 lo
mágico del sistema de ejes cartesianos
es que con una regla como esta puedo ir
dando valores a x y que para cada valor
de X obtengo un solo valor de y y que
voy a ir teniendo pares ordenados que
puedo llevar al sistema de Descartes o
sistema cartesiano cada punto aunque sea
un punto tiene tiene según su posición
dos valores dos distancias el dibujo
está formado por puntos que vienen de la
regla de la ecuación de lo analítico lo
analítico me da lo gráfico cada punto de
la trayectoria es un par ordenado que
sale de la regla hay una relación entre
la regla y el dibujo la representación
gráfica es la visualización de cada par
ordenado que sale de la regla fíjate
bien en la relación que hace la regla
entre los valores de del eje x y los
valores del eje Y si analizo eso de dar
un valor a x y obtener uno de I si
analizo bien que cada valor de y sale de
dar un valor a x me doy cuenta de que lo
que estoy haciendo es relacionar dos
conjuntos de números una relación
unívoca porque a cada valor del conjunto
del eje x le corresponde un solo valor
del conjunto del eje I y este segundo
conjunto se crea mediante una regla la
regla es suma 1 a lo que valga x así
para x = 1 y vale 1 + 1 2 el elemento
del segundo conjunto que se relaciona
con el un del primer conjunto es el dos
sigo dando valores al primer conjunto y
haciéndolos pasar por la regla para x =
2 y vale 3 para x = 3 y vale 4 para x =
4 y vale 5 parece como si los elementos
del primer conjunto pasaran por una
máquina que los transforma mediante una
regla la regla es la condición la
ecuación la función agrupando el número
que meto con el que sale voy obteniendo
pares
ordenados cuando dibujamos los ejes
estamos representando la recta real la
recta en la que están representados
todos los números reales los enteros -2
0 3 y los que están entre los enteros
por eso la representación gráfica de la
función = x + 1 no es solo un grupo de
puntos sino que estará formada por una
línea continua en la que están todos los
puntos Así que el primer conjunto estará
formado por todos los números reales
salvo los que no permita la regla en
nuestro caso la regla los permite todos
por ejemplo puedo meter el 0,5 y me da
0,5 + + 1
1,5 Qué elementos forman el primer
conjunto todos los que la regla permita
y digo los que la regla permita porque
hay casos en los que la regla no saca
nada en los siguientes capítulos te
cuento por ejemplo Que si la regla es I
= 1 / x y se me ocurre meter x = 0 la
máquina no hace nada a la máquina se le
hace bola y no saca nada la máquina no
entiende cuánto es 1 entre 0
aprenderemos a saber cuáles son los
elementos que forman el primer conjunto
con funciones sencillas y no tan
sencillas aprenderemos que la regla es
una función cuando a cada elemento del
primer conjunto le corresponde un y solo
un elemento del segundo conjunto uno y
solo uno cada capítulo estará dedicado a
un apartado concreto qu es El dominio
que es el recorrido Qué quiere decir que
la función crece o decrece qué es una
asíntota y cómo se representa
gráficamente porque representar una
función no es dar valores a la x y
obtener valores de y y los pares
ordenados llevarlos a la Gráfica es
mucho más es analizar una función
estudiarla a fondo hasta conocerla por
completo sin tener que dibujar cada
punto sin tener que llevar cada par al
sistema de ejes cartesianos Y esto es lo
que puedes aprender en los siguientes
capítulos de esta serie quiero contarte
todo lo que hace falta saber para que
cuando veas la representación gráfica de
una función sepas analizarla e
interpretarla da igual el nivel que
tengas está pensado de forma secuencial
de menos a más de lo más elemental a lo
más complejo así que puedes ir avanzando
por capítulos y parar cuando creas que
tienes el nivel que te hace falta si
tienes alguna dificultad de aprendizaje
Quédate y si no la tienes pero te pica
la curiosidad Quédate
[Música]
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